Cap-5-[79 - 96] Algebra[Baldor]

ATENAS

PLATON (429-347 A. C.) Uno de los más grandes filósofos de la Antigüedad . Alumno predilecto de Só-crates, dio a conocer las doctrinas del Maestro y las suyas propias en los famosos Diálogos, entre los que sobresalen el Timeo, Fedón, el Banquete etc . Viajó

79

por el mundo griego de su época, y recibe la influen-cia de los sabios y matemáticos contemporáneos de él. Alcanzó pleno dominio de las ciencias de su tiem-po. Al fundar la Academia hizo inscribir en el fron-tispicio : "Que nadie entre aquí si no sabe Geometría" .

CAPITULO

V

DIVISION

7Q LA DIVISION es una operación que tiene por objeto, dado el pro-ducto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente) .

1)e esta definición se deduce que el cociente multiplicado por cl

divi-sor reproduce el dividendo . 2

Así, la operación de dividir 62 entre 3a, que se indica 6a2 -3a

o 6a ,

3a consiste en hallar una cantidad que multiplicada por 3a dé 6a2. Esa can-tidad (cociente) es 2a.

6a'-Es evidente que 6a2 - 2a = = 3a, donde vemos que si el dividendo 2a

se divide entre el cociente nos da de cociente lo que antes era divisor . 71 LEY DE LOS SIGNOS

La ley de los signos en la división es la misma que en la multipli-cación :

Signos iguales dan - y signos diferentes dan En efecto :

1. +ab=+a=+ab-=+b

+a

80 ALGEBRA

cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor repro-duzca el dividendo : (+a) x (+ b) = -I- ab .

El cociente no puede ser - b porque multiplicado por el divisor no reproduce el dividendo : (+ a) x (- b) = - ab .

En resumen : + entre da + . entre da -E-• entre da entre +- da

72 LEY DE LOS EXPONENTES

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el

ex-ponente del divisor.

Sea el cociente a5 _a". Decimos que

5

(1°-a3= á =a5-3 =a2

a3

a ser.íelcociente de esta división si multiplicada por el divisor a3 repro-duce el dividendo, y en efecto : a2 x a5; =a55.

73 LEY DE LOS COEFICIENTES

El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

En efecto :

20a2= 5a = 4a

4a es el cociente porque 4a x 5a - 20a2 y vemos que el coeficiente del

cociente 4, es el cociente de dividir 20 entre 5 .

74 CASOS DE LA DIVISION

Estudiaremos tres casos : 1) División de monomios. 2) División de un polinomio por un monomio. 3) División de dos polinomios .

2. -ab-. -a= -ab_-a = + b porque (-a) x (+b) _ -ab.

+ ab

3. _{+ab-.-a= _ - b porque (-a) x (- b) _ + ab.} - a

-ab

DIVISION _{• 81}

I . DIVISION DE MONOMIOS

I)e acuerdo con las leyes anteriores, podemos enunciar la siguiente :

7S REGLA PARA DIVIDIR DOS MONOMIOS

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor . El signo lo da

la Ley de los signos .

Ejemplos

1

( °.)

Dividir 4o3b2 entre - 2ab. V,

porque (-2ab) X (--2a2b)=4a'b' . ( 2) Dividir - 5a'lb3c entre -02b.

4a8b2 - - 2ab = -4 3b = - 2a2b. R.

a4b3c

- 5a4b3c -- - a2_{b =} - 5 _{= 5a2b2c. R .}

a2_b

porque 5c2b2c X (- a'2b) _ - 5a4b3c.

Obsérvese que cuando en el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este caso c, dicha letra aparece en el cociente . Sucede lo mismo que si la c estuviera en el divisor con exponente cero porque tendríamos :

c-c°=c1-0=c . Dividir - 20rnx-y' _ 4xy3.

-20mx2y 8

- 20mx2y 8-4xy8= = - 5mx. R.

4xy$

porque 4xy3X (-5mx) _ - 20mx2y 3.

Obsérvese que Letras iguales en el dividendo y divisor se cancelan porque su cociente es 1 . Así, en este caso, y 3 del dividendo se cancela con y 3 del

divi-sor, igual que en Aritmética suprimimos los factores comunes en el nume-rador y denominador de un quebrado .

También, de acuerdo con la ley de los exponentes y3 - y 3 = y3-3 = y ° y ve-remos más adelante que y° = 1 y 1 como factor puede suprimirse en el cociente .

(4) Dividir - x"'y"zk entre 3xy2z3. / - x"`ynz' 1

-2m2ne entre -3mne . ax entre a2.

-3axbm entre ab2. 5ambnc entre -6a 3b4c. axbm entre -4ambn.

-3manxx 3 entre -sin n2x3.

(5) Dividir ax+abm+2 entre ax+2bm+1 ax+38m+2

=a x+3-(x+2)bm+2-(m+1) = ax+3-x-2bm+2-m-1 = ab. R. ax+2bm+1

(6) Dividir -3x2a+3y3a-2 entre -5xa-4ya-1 - 3x2a+3 3a-2_{y 3}

= $ x2a+S-(a-4) y3a-2-(a-1) = x2&+3- a.4y3a-2-a+1 = 3 xa+7yU-1 . _R.

-SXa-4ya-1 ° a 5

W

1 . 2 .

3.

4.

5.

EJERCICIO 50

Dividir:

am +3 entre am +2.

2xa } 4 entre -x°+2 . -3am entre -5a n'-5. x2n t 3 entre. -4xn+ 4. -4ax-2bn entre -5a3b 2.

(7) Dividir 2a2b8c entre -ea2bc.

6 . -7xm+3ym-1 entre _-8x_{4y 2}. 7 . 5a2m-15x-3 entre -6a 2" -2bx-4.

8. -4xn-1yn+1 _{entre 5x}n-lyn11. 9. am+nbx+a _{entre amb°.} 10 . -5ab2C3 entre 6ambncx.

2a2b8c

_-4b2: R .

a b

- ea2bc

M- EJERCICIO 51

Dividir:

1. _{-x- entre -}1 2 _{7. -} 7

a2bace entre ---a5 bate.

2 a ' 8 2

2. -a3b_a3 entre -'-a 2b._a 8. 2₃axbm entre -8₅ab2. 3. 2 xy5z3 entre - e0. 9. --cada entre₈ 8₄dx. 4. - 77ambas entre -

e

ab2. 10. áamb° entre ---b3.

8 4 4 2

5. -

9

x4y5 entre -2. 11. -tax+ 4bm-3 entre -1a4ó3. 6 3m4n5pe entre --1m₈ 4np5. 12. - .ax₁₅ -abm+ 5c2 entre -!-al-4b,-' .₅ 82 • ALGEBRA

I>

1 .

EJERCICIO 49

Dividir :

-24 entre 8. 8. -5m2n entre m2n. 15. 2. -63 entre -7 . 9. -8a 2x3 entre -8a2x3. 16. 3. -5a2 entre -a. 10. -xy 2 entre _2y. 17. 4. 14a3b4 entre -2ab2. 11. 5x4y5 entre -6x 4y. 18.

5. -a3b4c entre a3b4. 12. -a"boc4 entre Sc4. 19.

6. -a2b entre -ab . 13. 16men4 entre _-5n3. 20.

II. DIVISION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS 76 Sea (a + b - c) _ m. Tendremos:

ab

-(a.+b-c)--m= + c = a-+ b--

c-111 m m m

En efecto: a_{m m m}

+ b -

C es el cociente de la división cado por el divisor reproduce el dividendo:

I

a b c a b c

-+--- )m = - Xm + - xm - - Xm=a+b-c.

m m m m m m

Podemos, pues, enunciar la siguiente :

DIVISION

porque

multipli-77 REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos .

Esta es la Ley Distributiva de la división.

= a2-2ab + 3b2. R.

( ) Dividir 2axbm -Gal+lbm-1 - 3az+2bm-2 entre -2a3b'.

2axbm (2axbm - baz+lbm-1 - 3ax+2bm-2 ) - - 2a3b4=

-2a3b4

6ax+1bm-1 3ax+2bm-2 3

= - ax-8bm-4+3.x-2b--" + 2a:-1bm-6. R.

9.

83

8m9n2-10m7n4-20m5n8+12m3n3

entre 2m2. ax+am-1 entre a2.

2am-3a",+2+6am+4 entre -3a3.

amb"+am-1 bn+ 2-am-2bo+ 4 entre a2b8. xm+ 2-5xm+6xm +l-xm-1 entre xm-2. 4ax+4bm-1-6ax+abm-2+8ax+ 2bm-8.

entre -2ax+2bm-4.

Ejemplos

( I ) Dividir 3a8 - 6a2b + 9ab2 entre 3a.

3a3 - 6a2b + 9ab2 3a3 6a2b 9ab2 +

2b 9ab2 ) 3a= _{= 3a}

(3a3 -6a + _ _{3a 3a}

+ 2a8b' + _2a3b4

f 1 .

EJERCICIO 52 Dividir:

a2-ab entre a.

2. 3x2y3-5a2x4 entre -3x2.

3. 3a3-5ab2-6a2b3 entre -2a. 4. x3-4x2+x entre x.

84

w

ALGEBRA

(3) Dividir 43x y-3x'y2+6Xy3- ;y4 entre 3y .2 1 5

7. 8.

;X3y -ax2y2 .+. 'Xy3 Y_

9 4 ., _° 3 3

= 10X3 -a X-y + Xy` -~y EJERCICIO 53

Dividir :

1 2

1. -x2-

3

x entre 3x.

2. ₃1a3--~3a2 + -1 a entre - -3-.

1 2 3 „ 2 1

3. im4 - 3man + mn- entre 4 \ 4. _{X 4y3 - '}x3y4 +_ax2_y5 - xy 6

- X3y 3X2y2 Xy3 1 y1

u y +

6 _{5 5 5 5}

ay

i,y

ny

G

entre

5. 2₅a5 - -a 3 U 3 - ab₃ entre 5a.

6 _3am+ * am-1 entre a.

2 1 2 1

-ax+₃ 1 - -ax-1 - rax entre ... __{4 3 5}a.-2.

-Sa n-1Xm+2+, lanxm+1- 2an4lxm _entre

4 R 3

R.

2 --a3X2.

III . DiVISION DE DOS POLINOMIOS

La división de dos polinomios se verifica (le acuerdo con la siguiente :

78 REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS

Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra . Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divi-sor y tendremos el primer término del cociente.

Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escri-biendo cada término debajo de su semejante . Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor .

Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente .

Ejemplos

(1) Dividir 3x2 + 2x - 8 entre x + 2 .

EXPLICACION

DIVISION

3x 2 +2x-8 i x+2 - 3x 2 - 6x 3x - 4. R .

-4x-8

4x+ 8

495 85

Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ; y asi sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

El dividendo y el divisor están ordenados en orden descendente con relación a x .

Dividimos el primer término del dividendo 3x 2 entre el primero del divisor x y tenemos 3x 2 = x = 3x. Este es el primer término del cociente .

Multiplicamos 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos pro-ductos hay que restarlos del dividendo, tendremos : 3x X x = 3x=, para restar - 3x 2 ; 3x x 2 = 6x, para restar - 6x .

Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los tér-minos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reducción ; nos da - 4x y bajamos el - 8.

Dividimos - 4x entre x : - 4x = x = - 4 y este es el segundo término del co-ciente . Este - 4 hay que multiplicarlo por cada uno de los términos del divi-sor y restar los productos del dividendo y tendremos:

( - 4) X x = - 4x, para restar + 4x; (- 4) X 2 = - 8, para restar 8 . Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción nos da cero de residuo.

RAZON DE LA REGLA APLICADA

Dividir 3x 2 + 2x - 8 entre x + 2 es hallar una cantidad que multiplicada por x + 2 nos dé 3x 2 + 2x - 8, de acuerdo con la definición de división .

El término 3x2 que contiene la mayor potencia de x en el dividendo tiene que ser el producto del término que tiene la mayor potencia de x en el divisor que es x por el término que tenga la mayor potencia de x en el cociente, luego di-vidiendo 3x2 - x = 3x tendremos el término que contiene la mayor potencia

de x en el cociente .

Hemos multiplicado 3x por x + 2 que nos da 3x 2 + 6x y este producto lo res-tamos del dividendo . El residuo es - 4x - 8 .

Este residuo - 4x - 8, se considera como un nuevo dividendo, porque tiene que ser el producto del divisor x + 2 por lo que aún nos falta del cociente . Divido - 4x entre x y me da de cociente - 4 .

dremos : _ _{24xy - 3Oy2} - 24xy + 30y 2

EXPLICACION

Dividimos 28x 2 = 4x = 7x . Este primer término del cociente lo multiplicamos por cada uno de los términos del divisor : 7x X 4x = 28x 2, para restar - 28x2; 7x X (- 5y) = - 35xy, para restar + 35xy . Escribimos estos términos debajo de sus semejantes en el dividendo y los reducimos . El residuo es 24xy - 30y2 . Divido el primer término del residuo entre el primero del divisor : 24xy = 4x = + 6y. Este es el segundo término del cociente .

Multiplico 6y por cada uno de los términos del divisor . 6y X 4x = 24xy para restar - 24xy; 6y X (- 5y) = - 3Oy2, para restar + 30y2 . Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción nos da cero de residuo . 7x + 6y es el cociente de la división .

5n2-llmn+6m2 entre m-n.

32n2-54m2+12mn entre 8n-9m.

-14y2+33+71y entre -3-7y.

x3-y3 entre x-y.

a3+3ab2-3a2b-b3 entre a-b.

x4-9x2+3+x entre x+3 .

a4 +a entre a+l . me-n° entre m2-n2.

2x4-x3-3+7x entre 2x+3.

3ys+5y2-12y + 1 t) entre _y2+2.

amo-am-2a entre am+a. 23. 12a3+33ab2-35a2b-1Ob3 entre 4a-5b .

24. 15m5-9m3n2-5m4n+3na2n3+3mn4-ns entre 3m-n. PRUEBA DE LA DIVISION

Puede verificarse, cuando la división es exacta, multiplicando el divi-sor por el cociente, debiendo darnos el dividendo si la operación está co-rrecta.

(3) Dividir 20-2-4 entre 2+2x .

Al ordenar el dividendo y el di-visor debemos tener presente que en el dividendo falta el tér-mino en x2, luego debemos de-jar un lugar para ese término :

2x 3 -4x-2 2x+2

-2x 3 -2x 2 x 2 -x-1 .

- 2x 2 - 4x 2x2 + 2x

-2x-2 2x + 2

R .

ID-1 .

EJERCICIO 54

Dividir:

a2+2a-3 entre a+3. 12.

2. a2-2a-3 entre a+l. 13.

3. x2-20+x entre x+5. 14.

4. m2-11m+30 entre m-6. 15.

5. x2+15-8x entre 3-x. 16.

6. 6+a2+5a entre a+2. 17.

7. 6x2-xy-2y2 entre y+2x. 18.

8. -15x2-8y2+22xy entre 2y-3x. 19.

9. 5a +8ab-21b2 entre a+3b. 20.

lo.

14x2-12+22x entre 7x-3. 21.

11. -8a2+12ab-4b2 entre b-a. 22.

86 • ALGEBRA

(2) Dividir 28x 2 - 30y2 -11 xy entre 4x - 5y.

28x 2 - 11 xy - 30y2 1 4x - y_ Ordenando dividendo y divisor en

(4) Dividir 3a5 + 10a3b2+ 64a2b3- 21 ab + 32ab' entre a3 - 4ab2- 5a2b. Ordenando con relación a la a en orden descendente :

3a5 - 21a4b + 10a3b2+ 64a2b8+ 32ab4 ₁ 03 -_{5a2b - 4ab2}

- 3a5 + 15a4b + 12a3b2 3a2 - 6ab - 8bí. R. - 6a4b + 22a3b2 + 64a2b3

6a4b - 30a3b2 - 24a2b3

- 8a3b2 + 40a2b3 + 32ab4 8a3b2 - 40a2b3 - 32aó4

(5) Dividir x12 + xOy6 -x8y4 -_{x2y1° entre X8+X}Oy2 -_x4y4 -X2y°. Al ordenar el dividendo tenemos x12 -x8y4+ x0y° - x2y'°

Aquí podemos observar que faltan los términos en x10y2 y en X4y8; dejaremos

pues un espacio entre x12 y -x8y4 _{para el término en x10y2 y otro}

espa-cio entre x°y0 y - x2y10 para término en x4y8 y tendremos :

X12 -x8y4+ XOy6 -X2y10 x8+ x6y2 -_X4y4 -_x2y0

-x12 -x10y2+ x8y4+ x6y0 x4 -x2y2+ y4. R.

- x10y2 + 2x6y0 x10y_{2 + x}8_y4 - _{x°y6 - x}4_y8

x8y4+ _{x6y6 - x}4_y8 -x2y10 -x8y4 - x°y6+X 4y8+x2y10

(6) Dividir 11 a3 - 3a5 - 46a2 + 32 entre 8 - 3a2 - 60.

Ordenaremos en orden ascendente porque con ello logramos que el primer término del divisor sea positivo, lo cual siempre es más cómodo . Además, como en el dividendo faltan los términos en a4 y en a dejaremos los lugares vacíos correspondientes y tendremos :

8a3 - 6a' - 3a5 - 8a3 + 6a4 + 3a5

DIVISION _" 87

32 _46a2+ lla3 -3a5 8-6a-3a 2

- 32 + 24a + 12a2 4+3a-2a 2 + a . R. 24a - 34a2 + 1103

- 24a + 18a2 + 9a3 - 16a2 + 20a3

16a2 - 12a3 - 6a'

f EJERCICIO 55

Dividir:

a4-a'-2a-1 entre a2+a+1. 2. x5+12x2-5x entre x2-2x+5 .

3. m7'-5M4n+20m2n3-16nin4 entre m2-2mn-8n2. 4. x4-x2-2x-1 entre x2-x-1.

88 • ALGEBRA

6. m°+m5-4m4-4m+m2

-1

entre m3+m2-4m-1. 7. a5-a4+10-27a+7a2 entre a2+5-a.

8. 3x3y-5xy3+3y4-x4 entre x2-2xy+y2. 9. 2n-2n3+n4---1 entre n2-2n+1.

10. 22a2b4-5a4 b2+a5b-40ab 5 entre a2b-2ab2-loba. 11 . 16x4-27y4-24x2y2 entre 8x3-9y3+6Xy2-12x2y.

12. 4y4-13y_+4y3-3y-20 entre 2y+5.

13. 5a3x2-3x5-11ax4+3a4x-2a5 entre 3x3-a3+2ax2. 14. 2x5y-x°-3x2y4 -xy5 entre x4-3x3y+2x2y2+xy3. 15. a°-505+31a2-8a+21 entre a3-2a-7.

16. MR-m5+5m3-6m+9 entre m4+3-m2+m3. 17. aR+b6-0b-4a4b2+6a3b3-3ab5 entre a2-2ab+b2. 18. x°-2x4y2+2x3y3-2x2y4+3xy5-2y° entre x2-2y2+xy.

19. 4y3-2y5+y°-y4-4y+2 entre y4+2-2y2.

20 . 3m7-11m5+in4+18m3-8m-3m2+4 entre m4-3m2+4. 21. a•+2a5-3a3-2a4+2a2-a-1 entre a3+a2-a+l.

22. 24x5-52x4y+38x3y2-33x2y3-26xy4+4y5 entre 8x3-12x >y-6xy2+y3.

23. 5a5+6a4+5a8-4a7-8a°-2a3+4a2-6a entre a4-2a2+2. 24. x7-3x°+6x5+x2-3x+6 entre x3-2x2+3x+6.

25. 3a°+5a5-9a4-10a3+8a2+3a-4 entre 3a3-I-2a2-5a-4.

26. 5y8-3y7-lly°+lly 5-17y4-3y3-4y2-2y entre 5y4-3y3+4y2+2y . 27. -m1+5m°n-14m5n2+20m4n3-13m3n4-9m2n5+20mn°-4n 7 entre

n3+3m2n-5mn2-m8.

28. x11-5x9y2+8x7y4-6x5y°-5x3y-a+3xy1° entre x5-2x3y2+3xy4.

29. 3a9-15a7+14a6-28a4+47a3-28a2+23a-10 entre 3a5-6a3+2a2-3a+2. 30. a2-b2+2bc-c2 entre a+b-c.

31. -2x2+5xy-xz-3y2-yz+10z2 entre 2x-3y+5z . 32. x3+y3+z8-3xyz entre x2+y2+z2-xy-xz-yz . 33. a5+b5 entre a+b.

34. 21x5-21y5 entre 3x-3y . 35. 16x8-16y8 entre 2x2+2y2. 36. x"-y10 entre X2-y '2 .

37. x15+y15 entre x3+y3.

38. x3+y3+3x2y+3xy2-1 entre x2+2xy+y2+x+y+1.

39. x5+y5 entre x4-x3y+x2y2-xy3+y4.

80 DIVISION DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES

Ejemplos

(1) Dividir 3ac+5 + 19ax+3 - 10ax+4 -8ax+2+5a"' entre a2 - 3a + 5.

Ordenando en orden descendente con relación a la a, tendremos : 3ax+5 - 1 00x+4 + 1Sox+3 -_{8c;x+2 + 5ax+1}

-3ax+5+ 9a-4 - 15ax+3

- ax+4 + 4ax+3 - 8ax+2 ax+4 - 3ax+3_{+ 50}x+2

ax+3 -_3ax+2_{+ 5ax+}1 - _{ax+3+ 3a x+2 -}5ax+1

a2 -3a+5

f

1 .

2.

3.

4. 5. 6.

7.

8. 9.

10. 11. 12. 13. 14.

EXPLICACION

La división 3aX+5 . a2 = _{3ax+5-2 =} 3aX+8 La división - az+4 _ a2 = - aX+4-2 - - aX+2 La división aX+3 _a 2= _{ax+8-2 =} aX+1

(2) Dividir xsa -17x3a-2 + xsa-1 + 3xSa-4+ 2xsa-8 - 2x3a-5 entre x2a-1 -2x2a-3 -3x2a 2

Ordenamos en orden descendente con relación a x y tendremos :

xsa_{+ X3a-1 -}17x3a-2₊ 2xsa-8_{+ 3x8a-4- 2x8a-5} 1 x2a-1- 3x_{2a-2- 2X«a-3}

- x3a+ 3x3a-1_{+ 2x3a-2} xa+1 + 4xa - 3xa-1 + X a-2 .

4xsa-1 - 15xsa-2_{+ 2xsa-3}

- 4x3a-1 + 12x3a-2_{+ 8x3}a-3

- 3x3a-2+ 10x8"-8+ 1(8a-4

3x3a-2 - 9x3a-3 -6x3 a-4

x3a-8 -3x'a-4- 2X3a-5

- xsa-3 + 3x3 a-4+ 2x3a-5

EXPLICACION

La división La división La división La división

DIVISION

X3a . X2a-1 =X3a-(2a-1) = X3a-2a+1 =Xa+1

4x3a-1 - X2s-1 = 4x3a-1-(2a-1) = 4x3a-1-2a +' = 4xa.

- 3xIa-2 . X2a-1 = - 3X3a-2-(2a-1) = - 3xsa-2-2a +' = - 3x "-' .

X3a-3_X2a-1 =X3a-3-(2a-1) = X3&-3-2a+1 =Xa-2,

89

EJERCICIO 56 Dividir :

ax + 3+ax entre a+l.

X"+2+3xn+3+xn+4-xn+5 entre X2_{+x .}

ma+4-ma+3_{+61na+'-5m"+3ma-1 entre m2-2m+3.}

a2n+3+4a2n+2+a2ni 1-2a2n entre an+an+1.

x2a+5-3x2a+a+2x2a+4-4x2a+2+2x'2ai 1 entre xa+3-2xa41.

ax + 2_{-2ax+8ax-1-3ax}-2 entre 3ax-2-2ax-'+ax.

a2X-4a2X-2+5a2 x-3+2a_{2 x -}'-2a2 x -4 entre ax-a'-'+ax-2

Mea~2-m2a_-1-4m'2"+2m2a+1_+2m2a+2-mea+s entre ma-3-_7na-l+ma-2

x2a-2+x2a-3-4x2a-4-x2a-7 entre _Xa-8+Xa-'-Xa-2.

a2nb3_a2n-_{'b4+a2n--2b5-2a}2n-4b7+a2n-5_{bs entre anb-a"-'b2+2an -2b}3_-an-3b4.

am+x+an'bx+axb`n+bm + x entre ax+bx.

al-abn-'-ax-'b+bn entre a-b.

3a5m-_a-23a5m-2_{+5a5 n - '+46a5in-30aám+' entre asm-s+6as'n-1-8aIm}-2.

+?mn2-₅ 1₄n3.

ALGEBRA

90 0

8

DIVISION DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES 8 FRACCIONARIOS

Ejemplo

13x3

35 2 3 2

Dividir 3X3 -3ax2y + _Xy2-Ry3 entre 3x -3

y

.

as 2 a 2 a

36

-_X2y + 3xy2 _{by3 I xx _y}

- 3x3+ 4x2y 2x2 -1₃xy + 1y2.₄ R. 2_{X2y + áxy2}

9x2y-2xy2 1 , _{a a}

6xy- - ay

-

§.

xy2 +- ya

f

Obsérvese que todo quebrado que se obtenga en el cociente al dividir, lo mismo que los quebrados que se obtienen al multiplicar el cociente por el divisor, deben reducirse a su más simple expresión .

EJERCICIO 57

Dividir:

1.

_c

1_{a-+ 3}s_{Uab - 6bz}1 _entre 1_3Q+ 1_-b. 2. 1_{x2+-xy -}7 _-y21 _entre X --y .2

3. _{y X3-}3Ux2y +-2i-xy2 -Ñy3 entre 1x~ - _-31 xy + y2. 4. 1_{a3 - 5a-b - b3+} 5_{ab2 entre -'4a -8b.}

5. á_m4+

lo

1m3n -ao177n2n2

s + =ma n3- n4 entre á2 m'= + 2n2-mn. 6. áx5+ 1X4 - 437 2 4 ₊

19x entre 2x3-_{1x +2.}

+ x2 -0X3

3 5

4 Y 40 8 5 30 3

7. 9_a4 3 18 3- 1, . 1 4 3 _{2 2}

4a a X+ 1 ax

1

1a`x- - 3x entre s a- -ax + 3 x .

$, _{1 x5 + isa X3y2 - 1 x2y3}

14 280 .. - 420IO1X4y + 125xy4 entre 27X3- -x2y + Xy11 2. 8 3X5+llx4- 47 X3+ 79 X₂

+ 1% - 1 entre 1 + 1x2 -1X+ 3X{.

8 40 120 120 10 10 2 3 4 4

10. 99m In2 -Qm2n3101 _+-ms1 _--m45 _{n +} 7_{rnn4 -} 5_{n5 entre} 3_{m3 -} 1_men

COCIENTE MIXTO • 91

82 DIVISION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE COEFICIENTES SEPARADOS

La división por coeficientes separados, que abrevia mucho la opera-ción, puede usarse en los mismos casos que en la multiplicación .

1) División de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra .

Dividir 80 - 16x5 + 6x4 + 24x2 + 18x - 36 entre 4x 3 + 3x - 6 por coeficientes separados .

Escribimos solamente los coeficientes con sus signos teniendo cuidado de poner cero donde falte algún término y se efectúa la división con ellos:

8-16+6+ 0+24+18-36 1 4+0+3-6

-8- 0-6+12 2-4+0+6

Ejemplo

-16+0+12+24 16+0+12-24

+24+ 0+18-36 -24- 0-18+36

El prime¡ término del cociente tiene x3 porque proviene de dividir xa entre x3 y

como en el dividendo y divisor el exponente de x disminuye una unidad en cada tér-mino, en el cociente también disminuirá una unidad en cada tértér-mino, luego el co-ciente es :

20 - 42+ 6 . R .

2)División de dos polinomios homogéneos que contengan solamente

dos letras.

Ejemplo

Dividir a•• -7a4b + 21 a8b2 - 37 a2b3 + 38ab4 - 24b5 entre

- 3ab + 4b2 por coeficientes separados. Tendremos: 1 -7+21 -37+38-24 1 -3+4

-1+3- 4 1-4+5-6

-4+17-37 4-12+16

5-21 +38 - 5+15-20

- 6+18-24 6-18+24

El primer término del cociente tiene a 3 porque proviene de dividir a5 entre a 2. Como el cociente es homogéneo y en el dividendo y divisor el exponente de a

dis-minuye una unidad en cada término y el de b aumenta una unidad en cada término, el cociente será :

a8 - 4a2b + 5ab2 - 6bs. R.

92

s

ALGEBRA

J> EJERCICIO 58

Dividir por coeficientes separados: 1 . x5-x4+x2-x entre x3-x2+x.

2. x7+x°-11x5+3x4-13x3+19x'2-56 entre x 3-2x2-7.

3. a°+a5b-7a4 b2+12a3b 3-13a2b4+7ab5-b° entre a2-2ab+b2.

4. m0+2n14n2-5ni5n+2Om3n3-19m2n4-10mn5-n° entre m3-4mn2•-n3. 5. xg-2x°-50x 4 +58x2-15 entre x4+6x2-5.

6. a14+9a10-7a12+23a8-52a°+42a 4 -20a2 entre a°-4a°+3a4 -2a2. 7. 3x't-20x12-70x6+51x°+46x3-20 entre 3x°-8x3+10.

8. 53m2i-12m24+m23-127m1°+187m12 -192m3+87m4-45 entre m 12-7m8+9m4-15. 9. 2x7-6x6y-8x5y2 -20x4y3-24x3y4-18x2y5-4y7 entre 2x2+4y2.

10. 6a°- 12a7+2a°-36a5+6a4-16a3+38x2-44a+ 14 entre a4-2a2+a-7.

11 . n10-6nH+5n7+1:3n°-23n5-8n4 +44n3-12n2-32n+16 entre n°-3n4 +5n3 -8n+4.

12 . 3x7-4x°y-15x5y2+29x4y3 -13x3y'+5xy°-3y7 entre x3-5xy2+3y3.

13. x 1 °-4x14y2-10x''y_{4+21x10y°+28xriy3-23x';y10+9x4y12+33x2y14 -6y'°} entre

x°-4x4y2.-5x2y4+y° .

14. a'n+ 2-3an, 1 -5am+20am-1-95an'-3 entre a2-5.

15. 7a2' 4 5-35a2xi4+6a' 4 3-78a2x+ 2-5a2,11 -42a2x-7a2x-' entre ax+6a'41+7ax +3.

16. 6x2a+3-4x2a 1 2-28x2a+1+21x2a-46x2a-1 +19x2a-2-12x=a-3-6x2"--4 entre

óxa+1 -4xa+2xa-1+xa-2.

17. 6a•'x+*1-23a5x+2+12a 5x+1 -34a5x+22a5x -1-l.iaox-2 entre a2x +2- a2x-3a2x+1-5a2x-1 .

83 COCIENTE MIXTO

En todos los casos de división estudiados hasta ahora el dividendo era divisible exactamente por el divisor . Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, así llamados porque constan de entero y quebrado.

Ejemplos

(1) Dividir x2-x-6 entre x+3.

(Z)

6m4 - 4m3n2 - 3m2n'4 + 4mn" - n" 2ni" - n4

VALOR NUMÉRICO

6

0 93

x2- x- 6 x+3

-x2 -3x 6

x-4+ . R. -4x- 6 x+3

4x + 12

El residuo no tiene x, así que es de grado cero con relación a la x y el divisor es de primer grado con relación a la x, luego aquí detenemos la división porque el residuo es de grado inferior al divisor . Ahora añadimos al co-ciente x - 4 el quebrado 6 de modo semejante a como procedemos en

x+3' Aritmética cuando nos sobra un residuo .

Dividir 6m4- 4m3n2 - 3m2n4 + 4mn6- n" entre 2m2- n4

- 6m4 +_3m2n'

3m2- 2mn2+ 2mn° - n"4 . R . - 4m3n2 + 4mn° 2m2 - n

4m3n2 - 2mn° 2mn'' - n`

Hemos detenido la operación al ser el primer término del residuo 2mn° en el cual la m tiene de exponente 1 mientras que en el primer término del divisor la m tiene de exponente 2 y hemos añadido al cociente el quebrado que se forma poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor . NOTA

En el número 190, una vez conocidos los cambios de signos en las fracciones, se tratará esta materia más ampliamente.

If EJERCICIO 59

Millar cl cociente mixto de :

1. a2+b2 entre a2. 8.

2. a4 +2 entre a3. 9. 3. 9x3+6x2+7 entre 3x2. 10 .

4. 16a4-20a3b+8a2b2+7ab3 entre 4a2. 11.

5. x2+7x+10 entre x+6. 12.

6. x2-5x+7 entre x-4. 13.

7. M4-11M2+34 _{entre m2-3.} 14.

84 VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES

POSITIVOS Y NEGATIVOS

Conociendo ya las operaciones fundamentales con cantidades negati-vas, así corno las reglas de los signos en la multiplicación y división, pode-mos hallar el valor de expresiones algebraicas para cualesquiera valores de las letras, teniendo presente lo siguiente :

x2-6xy+y2 entre x+y. x3-x2+3x+2 entre x2-x+1. x3+y3 entre x-y.

x'+y' entre x-y .

x3+4x2-5x+8 entre x 2-2x+1 .

y

94 ALGEBRA

85 POTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS

1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, porque equivale a un producto en que entra un número par de factores negativos .

y así sucesivamente .

En general, siendo N un número entero se tiene : (-a)2N= a2N .

Ejemplos

impar de una ( .lntitlad negativa c negativa porque un producto en que entra un número impar de factores ne-2) Toda polun(la

equivale a gativos.

Así, (-2)1 =- 2.

(-2)8=- 8 porque

(-2)'1=- 32 porque (-2)7 =- 128 porque así sucesivamente .

En general, se tiene :

(-2)3= (-2)2 X(-2)=(+ 4)x(-2)=- 8 .

(- 2)6= (-2)4 x (- 2) = (+ 16) x (- 2) = - 32 .

(- 2)z = (- 2)6x (-2) = (+ 64) x (- 2) = - 128 .

(-a)2N+1= - a2N+1

( ) Valor numérico de x3- 3x2+2x - 4 para x = - 2.

Sustituyendo x por - 2, tenemos: (-2)3-3(-2)2+2(-2) -4 =-8-3(4)+2(-2)-4 =-8-12-4-4

=-28. R. a' 3a2b 5ab2 (2) Valor numérico de

4-

6

+

3

-b3 para a=-2, b=-3 .

4

Tendremos: á -₄ 302b + Sa - b8

6 3

= (-2

)4 -3(-2)2(-3) +5(-2)(-3)2-

3

(-3)3

=4-

3(4)(-3)_{3) +} 5(2)_{19) - (-27)} =4-(136) +( 390) +27

=4-(-6)+(-30)+27 =4+6-30+27=7 . R. NOTA

Para ejercicios de valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes cero, negativos o fraccionarios, véase Teoría de los Exponentes, pág . 407.

Así, (- 2)2= + 4 porque (-2)2=(-2) X(-2) =+4,

(- 2)' = + 16 porque (- 2)' = (- 2)2x (-2)2 = (+ 4) x (+ 4) = + 16 . (-2)6 =+ 64 porque (-2)6=(-2)4X(-2)2=(+16) x (+ 4) = + 64.

9.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para y=-1, m=3, n=

2:

a=2, b=

á,

x=-2,

x4 x2y 3xy2 lo. g - 2 + 2-Ys.

11. (a - x)2 + (x - y)2 + (x2 - y2) (m + x - n) .

12. -(x-y)+(x2+y2)(x-y-m)+3b(x+y+n) .

x-13. (3x - 2y) (2n - 4m) + 4x2y2 - - 2 x3

14.

3x-3y _2+y3 +L b >x+x4 -m.

15. x2(x - y + m) - (x - y) (x 2 + y2 - n) + (x+y)2 (m2 - 2n).

3a 2y 3n m

16. - +- +_x ---+ 2(x3-y2+4).

M y n

f EJERCICIO 61

MISCELÁNEA

SOBRE SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION

1. A las 7 a.In . el ternuínietro marca +5° y de las 7 a las 10 a . m . baja a razón de 3'O por hora . Expresar la temperatura a las 8 a. m ., 9 a. m. y 10 a.In.

2. Tomando como escala 1 cm = 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a +40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B .

3. Sumar x2-3xy con 3xy-y2 y el resultado restarlo de x 2.

4. ¿Qué expresión hay que añadir a 3x2-5x+6 para que la suma sea 3x? 5. Restar -2a2+3a- ;-) de 3 y sumar el resultado con Sa+5 .

6. Simplificar -3x2-~-[4x2+5x-(x2-x+6)]} . 7. Simplificar (x+y) (x-y)-(x+y)2.

8. Valor numérico de 3(a+b)-4(c-b)+ ./c-b para a=2, b=3, c=1._a Rcstar x2-3xy+y2 de 3x2-5y2 y sumar la diferencia con el resultado de restar 5xy+x 2 de 2x2+5xy+6y2.

MISCELÁNEA DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES • ₉₅

f EJERCICIO 60

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a=-1, b=2, c=-

Z :

1. a2 -2ab+b2. 6. (b+a)3-(b-c)3-(a-c)3 .

2.

3. a4-3a3+tac-3bc.3a3-4a2 b+3ab2-b3.

7 ab + ~ - bca

96

10. Multiplicar

3

a2 -

2

ab

+

5

b2 por

2

a2+

4

ab - 2b2.

11. Dividir la suma de x5-x3+5x2, -2x4+2x2-10x, 6x3-6x+30 entre x2-2x+6.

12. Restar el cociente de

á

a3 - _ ab2 +-b3 entre

_l

2

a +

3

b cíe 1-a2 + ab + 1b2. 13. Restar la suma de -3ab2-b3 y 2a2b+3ab2-b3 de a3-a2b+b3 y la

dife-rencia multiplicarla por a 2-ab+b2.

14. Restar la suma de x3-5x2+4x, -6x 2-6x+3, -Sx2+8x-3 de 2x 3-16x2 +5x+12 y dividir esta diferencia entre x 2-x+3.

15. Probar que (2+x)2(1+x2)-(x'--2)(x2+x- :3)=x2(ax+10)+2(3x-1) .

16. Hallar el valor numérico de (x+y)2(x-y) +2(x+y)(x-y) para x=-2, y=1 . 17. ¿Qué expresión hay que sumar a la suma de x+4, x-6 y x 2+2x+8 para

obtener 5x 2-4x+3?

18. Restar -~ 3a+(-b+a)-2(a+b) » de -2[(a+b)-(a-b)•]. 19. Multiplicar 5x+[-(3x-x-y)] por bx+[-2x+(-x+y)] .

20. Restar el cociente de

9x

3

+ 24

x2

y +

6`

xy2 + 3 entre

s

_X2- ;-xy+y2 de

2x+[-)x-(x-y)] .

21. Probar que [x2-(3x+2)] [x2+(-x+3)]=x2(x2-4x+4)-(7x+6) . 22. ¿Qué expresión hay que sumar al producto de

[x(x+y)-x(x-y)J [2(x-+y2)-3(x2-y2)] para obtener 2x3y+3xy:'?

23. Restar -x2-3xy+y2 de cero y multiplicar la diferencia por el cociente de dividir x 3-y3 entre x-y.

24. Simplificar (x-y)(x2+xy+y2)-(x+y) (x2-xy+y2).

25. Hallar el valor numérico de V ab + 2(b - a) V 9b - 3(c - b)para a=,l, b=9, c=25 . C a2 b

¿Por cuál expresión hay que dividir el cociente de x 3+3x2-4x-12 entre x+3 para obtener x-2?

27. Simplificar 4x2-~ :3x-(x2-4+x)»+[x2-ix+(-3)H y hallar su valor para x=-2 .

28. ¿De cuál expresión hay que restar -18x 3+14x2+84x-45 para que la diferencia dividida entre x 2+7x-5 dé como cociente x 2-9?

29. Probar que (a2+b2)(a+b)(a-b)=a4-[3a+2(a+2)-4(a+l)-a+b4] .

30. Restar _X3- - x'->+6 de 3 y sumar la diferencia con la suma de x 2 -x+2 y -[x2+(-3x+4)-(-x+3)] .

26.