Algunas soluciones exactas de la magnetofluidodinámica

(1)

K A R M A N

ALGUNAS SOLUCIONES EXACTAS

DE LA MAGNETOFLUIDODINAMICA

Por A. LINAN

Resumen.

Se obtiene la solución exacta al m o v i m i e n t o o s -cilatorio de u n a placa infinita que se mueve paralelamente a sí misma bajo la acción de u n c a m p o m a g -nético transversal. N o se i m p o n e n i n g u n a limita-ción al valor de la c o n d u c t i v i d a d de la placa, extendiéndose a valores intermedios de la c o n d u c t i v i -dad las soluciones correspondientes a la placa perfec-tamente conductora y perfecperfec-tamente n o c o n d u c t o r a . Se p o n e de manifiesto en t o d o s los casos la existencia de dos o n d a s que se p r o p a g a n hacia el interior del fluido con distintas velocidades y longitudes de p e -netración. T a m b i é n se p o n e de manifiesto la existencia de u n a única o n d a electromagnética que se p r o -paga hacia el interior de la placa.

Se muestra c ó m o la resistencia magnética, m á s la resistencia de r o z a m i e n t o de la placa, es m a y o r que en ausencia de c a m p o magnético. E n cambio, la resistencia de r o z a m i e n t o es m e n o r c u a n d o la placa es más conductora que el fluido, y m a y o r c u a n d o ocurre lo c o n t r a r i o , en t a n t o que para igual con-ductividad el c a m p o magnético n o influye en el coefi-ciente de r o z a m i e n t o .

Se extiende la solución al m o v i m i e n t o i m p u l -sivo de la placa, obteniéndose resultados análogos.

P a r a el p r o b l e m a de la placa oscilante se obtie-ne la distribución de t e m p e r a t u r a y en particular el flujo de calor en la pared.

Notación.

-Y-

H0 — velocidad de ALFVEN. fl'i, fl'2i= definidos en la fórmula [27].

Ce = coeficiente de rozamiento.

CM '= coeficiente de resistencia magnética.

CD = coeficiente de resistencia total.

-p'

-» E -> H

H0

h

J

k

luí.

cv = calores específicos a presión y volumen constante.

= intensidad del campo eléctrico.

= excitación magnética, también llamada intensidad del campo magnético.

= excitación magnética aplicada en el medio fluido.

H„ '

= densidad de corriente eléctrica.

h

9 { l Ht0

= conductividad térmica.

L2 = longitudes que aparecen en la fórmula [12].

¡ = valores adimensionales que aparecen en [ 2 3 ] .

a

y 2 o)0 \

l/2m

V>.+ 1

p

Pr

r\,

s T

= presión, cuando no es subíndice. = presión de la corriente libre.

p cD v

= — - — ( n ú m e r o de PRANDTL).

/•„:= definidos en [ 1 6 ] .

= parámetro de la transformación de LAPLACE. = temperatura; T temperatura de la corriente

libre.

Mi

T. = ( T - T J

/ = tiempo.

U = amplitud de la velocidad de la placa en el movi-miento oscilatorio o velocidad de la misma en el impulsivo.

(2)

ttx

U

"o

ul

V i ,

V I ,

->

V uy

v

2 v2 x,y,z

Uz = componentes

x, y, z.

tt*

U _ U

a

= energía interna. — velocidades que

de la velocidad v según li

aparecen en la ecuación — valores adimensionales

= velocidad. = coordenadas.

1

que aparecen en

T22].

[24].

os

P + 2

_ J

\'\ Pr

difusitividad magnética (r;p de la placa).

P

(O,

= - 5 - inverso del número de PRANDTL magnético, v

= permeabilidad magnética del fluido y de la placa. = viscosidad cinemática o difusitividad viscosa.

a =

y~—-= densidad. _ vv-p

— conductividades eléctricas del fluido y de la placa, . a2

= »>o

Vr¡v

parámetro que aparece en la fórmula [3,1]. pulsación del movimiento de la placa.

Vv_

a2

I. Introducción.

E n u n fluido c o n d u c t o r en m o v i m i e n t o se p r o -ducen, bajo la acción de campos magnéticos, corrien-tes eléctricas que modifican el c a m p o electromagné-tico aplicado, y aparecen fuerzas sobre el fluido y se desarrolla energía calorífica, p o r efecto J o u l e , que modifican a su vez el m o v i m i e n t o del fluido.

E l estudio de esta doble interacción entre los

efectos electrodinámicos y fluidodinámicos consti-tuye el objeto de la M a g n e t o f l u i d o d i n á m i c a .

L a formulación matemática de esta interacción nos lleva a u n sistema de ecuaciones n o lineales de-m a s i a d o code-mplejo para poder conocer, en los casos n o r m a l e s que se presentan en la práctica, la solución exacta. Es necesario buscar soluciones a p r o x i m a d a s que p r o p o r c i o n e n los rasgos más esenciales del fenó-m e n o a considerar, que p e r fenó-m i t a n interpretar fenó-mejor las experiencias y p r o p o r c i o n e n fórmulas sencillas para utilizar en los proyectos.

Estas soluciones a p r o x i m a d a s se obtienen me-diante u n m o d e l o m a t e m á t i c o sencillo del problema, ya sea simplificando las condiciones de c o n t o r n o {co-rrientes bidimensionales, cuerpos delgados) o sim-plificando las ecuaciones al despreciar términos cuya influencia se presume ha de ser relativamente pe-queña en el p r o b l e m a a considerar.

P a r a esta labor de simplificación es m u y i m p o r t a n t e conocer la solución exacta en casos que, a u n -que n o se presenten en la práctica, p e r m i t a n poner de manifiesto la i m p o r t a n c i a y significado de cada u n o de los t é r m i n o s .

E n el presente t r a b a j o se considerará u n fluido de características m u y simples (densidad, viscosidad, c o n d u c t i v i d a d y permeabilidad magnéticas constan-tes) y u n esquema físico que dé lugar a condiciones de c o n t o r n o m u y sencillas.

Consideraremos el m o v i m i e n t o de una placa de superficie y espesor infinito y conductividad arbitra-ria, que oscila o t o m a u n m o v i m i e n t o impulsivo, paralelamente a sí misma, en el seno de u n fluido c o n d u c t o r , b a j o la acción de u n c a m p o magnético transversal, c u a n d o el fluido se extiende hasta el in-finito (problemas de la placa oscilante y de RAY-LEIGH), o bien c u a n d o el fluido está limitado p o r la presencia de otra placa en reposo (corriente de COUETTE n o e s t a c i o n a r í a ) .

Diversos autores h a n u t i l i z a d o este m i s m o es-q u e m a . E l p r o b l e m a de RAYLEIGH ha sido t r a t a d o p o r V . J . ROSSOW ( i ) despreciando el campo eléc-trico que mide u n observador en reposo.

C. C . CHANG y T . T . Y E N ( 2 ) p l a n t e a n el m i s m o p r o b l e m a para u n a placa perfectamente con-ductora, o b t e n i e n d o la solución exacta para fluidos cuya relación entre difusitivídades magnética y vis-cosa sea la u n i d a d , y soluciones a p r o x i m a d a s para o t r o s valores de esa relación.

L. N . T A O ( 3 ) presenta la solución al movi-m i e n t o i movi-m p u l s i v o de COUETTE cuando el camovi-mpo eléctrico m e d i d o p o r el observador en reposo es nulo o c o n s t a n t e .

C. C. M l E {4) da la solución general al pro-blema en forma de serie, obtenida u t i l i z a n d o la

(3)

transformada finita de FOURIER, para u n fluido vis-coso, incompresible y perfectamente c o n d u c t o r .

El p r o b l e m a de la placa oscilante h a sido tra-t a d o p o r ONG y NlCHOLLS ( 5 ) , despreciando el c a m p o eléctrico.

J . A . STEKETTE ( 6 ) p o n e de manifiesto la exis-tencia de dos p r o f u n d i d a d e s de penetración que de-penden de la intensidad del c a m p o magnético apli-cado, y da resultados explícitos para n ú m e r o s de REYNOLDS magnéticos y viscosos iguales.

W . I. AxFORD ( 7 ) analiza el p r o b l e m a , exa-m i n a n d o con detalle las condiciones de c o n t o r n o , y obtiene la solución con a p r o x i m a c i o n e s conve-nientes.

T . KAKUTANI ( 8 ) presenta la solución para u n n ú m e r o de P R A N D T L magnético a r b i t r a r i o , discu-tiendo los resultados en los casos límites. Calcula la resistencia c u a n d o la placa es perfectamente c o n d u c -tora y c u a n d o es perfectamente n o c o n d u c t o r a .

E l presente artículo resume u n t r a b a j o m á s de-tallado sobre el tema p u b l i c a d o c o m o c o m u n i c a d o interior del I . N . T . A . E . T . ( 1 3 ) .

2 . E c u a c i o n e s generales.

Si n o s l i m i t a m o s a fluidos incompresibles de viscosidad, permeabilidad y c o n d u c t i v i d a d eléctrica constantes, las ecuaciones de la M a g n e t o f l u i d o d i n á -mica, con las aproximaciones h a b i t u a l e s (ver ( 1 0 ) , ( n ) y ( 1 2 ) ) , t o m a n la f o r m a :

Ley de AMPÉRE:

rot H = J .

Ley de FARADAY:

r o t E =

Líneas de fuerza magnética cerradas:

?div (|i H) = 0 .

Ley de OHM:

J = a (E -L v A n H),

Conservación de la m a s a :

div v = 0 .

C a n t i d a d de m o v i m i e n t o :

D v

D i

V p + pvAv + J A n H .

[i] [2] [3]

w

[5] [6]

Se h a u t i l i z a d o el sistema racional de unidades

M K S Q ; las m a g n i t u d e s eléctricas E , H , J y la

velocidad v son las medidas p o r u n o b s e r v a d o r liga-do al sistema de referencia ( 9 ) .

E l anterior sistema de 14 ecuaciones ( n o inde-pendientes, pues, p o r ejemplo, si h a l l a m o s la diver-gencia de los dos m i e m b r o s de [2J o b t e n e m o s — ( d i v / i H ) = 0 ) con 13 incógnitas, n o s

deter-c t

m i n a de m o d o único la solución sí lo c o m p l e m e n -t a m o s c o n las condiciones de c o n -t o r n o a p r o p i a d a s .

L a ecuación de la energía:

D a, \t

-~=%+SJ -(kV^ +

^-li t a [7]

d o n d e <&v es la función de disipación de LORD

RAYLEIGH, p o d r á resolverse separadamente u n a vez h a -llada la solución al sistema anterior.

Si consideramos a h o r a el m o v i m i e n t o i n d u c i d o en el fluido p o r u n a placa que se mueve paralela-m e n t e a sí paralela-m i s paralela-m a , t o paralela-m a n d o u n sisteparalela-ma de referen-cia en reposo con el eje x en el p l a n o de la placa y en la dirección del m o v i m i e n t o , y el eje y perpendicular a ella (fig. 1 ) , las únicas variables i n -dependientes del p r o b l e m a serán el t i e m p o f y la distancia y a la placa. C o n ello las ecuaciones a n -teriores t o m a r á n la f o r m a :

E n el m e d i o fluido:

3 H ,

h = -—r

J

-> (

8

«)

3 H . 3y

3 E .

; (8 6)

3 / 3 y

]z = s(Ez i-v.H0ux); (8c)

3a„ 32u„ _l*H₀

dt 3 y" p Jz;(8rf)

3 HZ

9y

3 H , 3EV

IA-(9 a)

(9 6)

3 í dy

]x = o(Ex-^H0uz); (9 c)

Su,

—*._uJíi2!Lj

; ( 9 í 0

J

v

= 0

« , = 0

Hj, = H0

sy

dt 3y2

Ey = V- ("* H2 - uz Wx ) ;

E n el interior de la placa se verificarán las m i s -mas ecuaciones anteriores, excepto las [ 8 d] y [ 9 d], que se sustituyen p o r :

ux = U (t) y uz=0.

T a m b i é n la relación H ^ = H0 se sustituye p o r

TT v-ti«

JH,,

= •

(4)

t t

í t

Fig. — Sistema

f

>^Z

Y

t t „ t

/y

\

y\

V

Ux'V

' V

H

o '

de referencia.

,1

1

1 t

x A

f

Las condiciones de contorno exigen:

i.° Para

y = Q . u

x

= U(t) »

B j r

= 0

para

a , = 0 ,

j/->oo

w

v

= 0

U j , = 0 » Hz

2.° Para y = 0 ,, H

x

, H

2

, E*, E

2

han de ser

continuas, pues así nos lo muestran las ecuaciones

de

M A X W E L L

(leyes de

FARADY

y

A M P É R E ) ,

es-critas en forma integral (ver ( 9 ) ) .

Teniendo en cuenta [ 3 ] , p.H

y

ha de ser

conti-nua; luego el valor de H

y

en el interior de la placa

V- H

0

sera

3.

0

Para t/->oo y también para t/-> — 00

H

x

= 0

H

2

= 0;

E = 0 .

(5)

4-° P a r a y-><*>,, p = p^

E n estas condiciones el sistema [ 9 ] a d m i t e la solución:

C o n estas variables el sistema de ecuaciones [ 1 0 ] y [ 1 1 ] t o m a la f o r m a :

J,

H , _E_{x = "* = °-.}

y el p r o b l e m a se reduce a resolver el sistema [ 8 ] , que puede reducirse, a su vez, al sistema:

3

2

"x

. ix H0 a " x dt

Oh

dt

dy*

1 a ' H , a ix 3 y2

H„

dy

sy

[10]

para el m e d i o fluido, y

3 Hr 3*11, 3/ a P vP ¿y2

[ i i ]

en el interior de la placa.

C o n las condiciones de c o n t o r n o :

para y ->• °o > «^ = 0 »

para y = 0 » «x = U (f) » Hx y

para y ->• — °o

1 3Hx

3 3y

Hv = 0 .

continuas;

du

3x

¿I=I/K ^

3 T dp

1 32 a | dh

3 ? 3 "

[12|

que se verifican en el m e d i o fluido, y

dh , 32//

[13]

que se verifica en el interior de la placa.

3. Problema de la placa oscilante.

Si la placa t o m a u n m o v i m i e n t o oscilatorio, p o -demos escribir U (f) c o m o s u m a de oscilaciones armónicas, y al ser lineal el sistema de ecuaciones, p o -demos obtener la solución s u m a n d o las correspon-dientes a cada a r m ó n i c o .

S u p o n g a m o s , pues, que U (f) = U eos o>0 t, que

escribiremos en f o r m a a d i m e n s i o n a l u (0, T) = = ií0 eos <o T, h a b i e n d o p u e s t o :

«„ = U

y

rjv

U n a vez conocido ux (y, t) ,, Hx (y, t), p o d r e

-mos calcular las restantes variables m e d i a n t e las fór-m u l a s :

para la J_. utilizaremos la [ 8 a ] , y para la Ez, la

[ 8 c ] . L a Ej, es idénticamente n u l a .

Forma adimensional.

H P o n i e n d o h —

—í-a u —

d o n d e a = H„

P o r ser lineal el sistema de ecuaciones, la p a r t e real de la solución correspondiente a la condición de c o n t o r n o u ( 0 , T ) = u0 e'"'' será la solución

co-rrespondiente a la condición u ( 0 , T) = u0 eos « T.

B u s q u e m o s , pues, la solución del sistema de ecuaciones [ 1 2 ] y [ 1 3 ] con las condiciones de con-t o r n o :

P a r a

il = «„ e"

A = 0 ;

h 1 d h

n y continuas.

a 3c

a ]x v magnética

-x1- Ho es la velocidad de ALFVEN; A =

P

— — ' - , d o n d e -q — es la difusitivídad

0 ( x

, relación entre las difusitivídades

(i

viscosa y magnética, será el n ú m e r o de PRANDTL magnético) :

5 = >

P u e d e esperarse, c o m o consecuencia de estas c o n d i -ciones de c o n t o r n o , q u e :

C o n ello la ecuación [ 1 3 ] t o m a la f o r m a : rf2F

/ Í U F = d?

V,v

}'r

1 ' = •

_ O j x _

cuya solución, t e n d i e n d o a cero p a r a £->• — °° es:

VÉ-F ($) = VÉ-F (0) e [14J

(6)

en función de F ( 0 ) , que d e t e r m i n a m o s más ade-lante.

El sistema [ 1 2 ] , a su vez, t o m a la f o r m a :

U t i l i z a n d o estos valores de C i y C2 podemos

escribir la solución al p r o b l e m a de la placa oscilante o m i t i e n d o el s í m b o l o parte real d e :

[15] . , I d'-f . dF

1 mf —

y r ? t

d<? d^

y las condiciones de c o n t o r n o serán: para £ ^ 0 0 » / = 0 » F = 0

S = 0 > / = « „ > F = F(0)

c o m o exige la c o n t i n u i d a d de h, m i e n t r a s que la

c o n t i n u i d a d de — nos muestra q u e :

« = [ C1er' ' + C2er° ' ] eí ü , x [18]

h =

-[(7K1

c

'

c

"'

+

(?r-")

c

""

!

]

e

'""

[19]

y teniendo en cuenta las leyes de AMPÉRE y OHM, i.e. [ 8 a ] y [ 8 c ] :

I d F \ _ o / d F \

\ <tf)í=,0 °p \ dt )e i.ui F (0).

'i = + o

La solución del sistema [ 1 5 ] será de la f o r m a :

/ = C, er'' - f C„ er°

1 1

F =

-s i e n d o :

V^

_Qe

- /--., — 1 o)

r

' = +

C,er'

y i + (P-i-2) a> / -f- V 1 + ( P - 2 ) < « /

2

y 1 + ( p + 2 ) mi - y i + ( p — 2 ) a)/

., [16]

d o n d e se h a p u e s t o :

p = j/T + 4

-n

Las condiciones de c o n t o r n o en el infinito se cumplen de este m o d o a u t o m á t i c a m e n t e , y las con-diciones en I = 0 n o s d e t e r m i n a n Cx y Q2

-. h

[,,,+,,-iy^o+vT)],, ..

ri

c,=-[17]

1 ¿ H ,

E¿ + n H0 ux

que en forma adimensional escribiremos:

y t a m b i é n teniendo en cuenta [ 8 a ] :

- J * _ = - V

K 3

"

a n H0 a 3 £

[20]

[21

con lo c u a l : E

-^=|>.-'»Vnc

ie

'.«

+

(/*

s

-/«.V"Oc

I

e

r

«]e"

Dt

[20 a]

[21a]

Las fórmulas [ 1 8 ] , [ 1 9 ] , [ 2 0 a ] y [ 2 1 a ] resuelven el p r o b l e m a e indican que cualquiera de las incógnitas puede escribirse en forma dimensio-nal c o m o sigue:

q = k

q

e

L,

cos

L)

0

|í - -^-j + 9

q

I +

+ B

q

e ü c o s | ü > . ( / - - i - - r - +

í

) J

f

[22]

C , =

-l'

(r, + r,) -

'^(l+VO](r

2

-r,)

p u d i e n d o ser q cualquiera de las ux, Hx, E ¿ , Jz.

C o n ello se p o n e de manifiesto la existencia de dos o n d a s sinusoidales que a v a n z a n hacia el interior del

(7)

fluido con velocidades V i , V

2

, reduciéndose su

am-y__

plítud según el factor e

l

¡ en el que aparecen las

longitudes características Li y L

2

de penetración de

los efectos magnetofluidodinámicos.

Los valores de estas velocidades y longitudes

pueden calcularse fácilmente, obteniéndose:

Lt= 1/.?.». ,l ( X > m) , LS = ] / -2^ /S0 . , / B ) ; [23]

V1= V 2 Í O0V V , (X, m) » V2 = V2u), wa(X,m). [24]

Coeficiente de rozamiento.

Definiremos el coeficiente de rozamiento para la

placa oscilante: .

Siendo m =

4

la relación entre

r2(o„v |'2 cu

la velocidad de propagación de las ondas

magneto-fluidodinámicas en ausencia de efectos de viscosidad

y la velocidad de propagación de las ondas en

au-sencia de campo magnético.

En las figuras 2, 3 y 4 se dan los valores de l¡,

vj, en función de m, para distintos valores del

pará-metro A.

2v

' 2)' ly = 0

U"

n

L _ ( Ü L \ . [25]

« O ^ ' 5 = 0

Teniendo en cuenta [ 1 8 ] :

2

C/ = R e

T ? _

(C Tx +

Q

r

.) e

,u,T

]

_[26]

donde R e indica "parte real de".

Sustituyendo en la expresión anterior los

valo-res de Ci y C

2

ya calculados [ 1 7 ] , podremos

es-cribir :

_ 9 y<"o*

C , = 2

U

< K 2 , m

1) c o s [ ( o0r + *1] , [27]

l2 U

T 9 90

80 .8

70

60

50

40 - i

30

20

10

0- 0

Fig. 2 . — Longitudes y velocidades de penetración'de los efectos magnetofluidodinámicos.

X = . 3 6

í

12

l1

"2

. v1

y

102

-5. 6. _m 10. 11. 12.

(8)

A = 1

100r 1

Fig. 3. — Longitudes y velo-cidades de penetración de los efectos

magnetofluido-dinámicos

donde:

<¡.(2,mi) =

/

siendo:

a . =

m

\ +

;

]/m\

+ 1

m , =

V21

V^+i

- m\

+ \'m\ + 1

2 = ^ 2

-a

^

En la figura 5 se ha representado $, en función

de m

lt

para distintos valores de 2 ; simultáneamente

se ha representado la solución obtenida por

Nl-CHOLLS y ONG ( 5 ) .

Nótese que cuando X > 1. el coeficiente de

ro-zamiento es mayor que el que se obtiene en

ausen-cia de campo magnético, mientras que para % < 1

es menor.

Para 2 = 1 no tiene efecto el campo magnético

sobre el coeficiente de rozamiento.

Cuando \! — > a'i, podemos escribir:

V

2

4

t(S,m,) = V l + m

4

i -

(28]

El valor de ^ obtenido por NlCHOLLS y

ONG es:

4 =

f

1+

(.v^y. „,,

(9)

U l.

X = 6.76

v, v

2

Fig. 4 —Longitudes y velocida-des de penetración de los efec- g o

tos magnetofluidodinámicos.

80

70

60

50-¿0

30

20

10

• .1

.9

• .8

7

• .6

5

3

- .2

1

l1

•12

/

i

/

yj

V?

12-

10-

6-i

" 2

-

0-1. 2 . 3.

_{L 5 6. 7. 8.}

m *•

Cuando:

í

\ < .*

1} (S, IB,) =

[30]

Vi +

m\

En cualquiera de los dos casos anteriores, la

con-ductividad de la placa no influye en el coeficiente

de rozamiento.

Cuando:

m,

. —>v¿.

[31]

Esto indica que, aumentando el campo

magné-tico, el coeficiente de rozamiento tiende a un valor

asintótico que depende de la relación entre las dos

conductividades de la placa y el medio.

El valor dado por [28] se refiere a la placa

per-fectamente no conductora (S - > o o ) , a la que le

co-rresponde la condición de contorno H

x

= 0 en la

superficie de la placa.

En cambio, el valor dado por [30] se refiere a

la placa perfectamente conductora (S = 0 ) , a la que'

corresponde la condición de contorno:

3H

V

0 .

3y

Cálculo del campo magnético inducido y de la

pre-sión en el contorno placa-medio fluido.

Teniendo en cuenta [ 1 9 ] , puede obtenerse,

omitiendo el símbolo R „ :

h (0, T) = -

m, K

0

e

(a\ +

b\ i)

+ Vs i

[32]

luego:

tt

x

(0, 0 = - H

0

a

0

$ (m

lt

k) eos (w

0

t+<f), [33]

(10)

siendo:

MD+Mi)

que se anula cuando 2->-oo (placa perfectamente no

conductora), y toma el valor <£ -cuando

Cuando simultáneamente

* > |/

/ 2

y mi

> i , esto es, para valores grandes del campo mag-nético: <*>-»• i ,, f -> 0, con lo cual:

luego:

H = — H0 «0 eos u>0 f,

1 H ! 1

|34]

[35] V l + m4 :

X = 0 (placa perfectamente conductora). La

fun-ción * está representada en la figura 8, en funfun-ción esto es, se igualan en el contorno la presión dina de mi. mica y la magnética debida al campo inducido.

-.1

2.0-1 c

logY

y • •

. - - ' " - :

1 •?

. o

•

/

• •

/

U

0.693

í - . 4 ~ " " ^

/

.0

I.¿

1.6 2.0

Nícholls y Ong

JL = 1 \ \

•

/

•

v

\

•

/ .

V''

y

*; 0.693 /

0

\ - '

/

V

0.693

' 0.693

XA—oo

4 : =

oo-^ oo-^ Z = 100

Z = 1

¡^s. .4 .8 1.2 1.6 log m^ _^

z = o.c

Z = 0

2.0

íi

x

Fig. 5. — Resistencia de ro-zamiento en función de la intensidad del campo mag-nético aplicado ( ~ m,), para distintos valores de la con-ductividad de la placa. (Mo-vimiento o s c i l a n t e d e la

placa).

(11)

Calculado el c a m p o H ^ , p o d e m o s obtener la pre-sión en el c o n t o r n o m e d i a n t e la f ó r m u l a :

P

=P

oa

-~

v

.n\,

[36]

que, teniendo en cuenta [ 3 5 ] , nos p r o p o r c i o n a :

£ = 0 » Ti = Ti (0, s) » £ -> - 00 » 7z = o,

luego la solución puede escribirse:

P (0, t) = px — — p u\ eos2 u)0 r, [37]

que indica que la presión en el c o n t o r n o oscila, con frecuencia doble que la velocidad, alrededor del va-lor m e d i o :

Poo- 4 P"2

o-4. Problema de Rayleigh en Magnetofluidodi-námica.

T r a t a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n del m o v i m i e n t o i m pulsivo de la placa bajo la acción de u n c a m p o m a g -nético-transversal, calculando en particular el coeficiente de r o z a m i e n t o , que veremos depende f u n d a -m e n t a l -m e n t e de la relación entre las conductividades de la placa y del m e d i o .

S u p o n d r e m o s que p a r a f r- 0 la placa y el fluido están en reposo, y que para f > 0 la placa se mueve con u n a velocidad constante U .

La velocidad u y el c a m p o magnético i n d u c i d o

h verificarán el sistema de ecuaciones [ 1 2 ] y [ 1 3 ] .

Las condiciones iniciales y de c o n t o r n o son a h o -ra las siguientes:

a) P a r a

f ^ O » ü = 0 » /; = 0

h&s) = h(0,s)e'

E l sistema [ 1 2 ] se t r a n s f o r m a e n :

1 d2ü _^ di

[38]

y - d? di

d? d £

[39]

£-><» » u = 0 > h = 0,

5 = 0 » M "o

5 = + 0

m-tí

T h (0» s

>-P a r a escribir la ú l t i m a condición h e m o s t e n i d o en cuenta [ 3 8 ] .

P o n i e n d o :

_ ] / l + ( P + 2 ) s + ] / l + ( P - 2 ) s ,

' 1 — r >

r, = — ] / l + ( P + 2)s - V l + ( P - 2 ) a

[40]

P o d e m o s escribir la solución de [ 3 9 ] , con las con-diciones de c o n t o r n o dadas, en la f o r m a :

b) P a r a

í > 0 y S - > « £->• — °°

u = un h = 0,

= 0,

1 3/!

í = 0 > //y continuas.

o as

P a r a resolver el sistema de ecuaciones anterior, haremos uso de la t r a n s f o r m a c i ó n de LAPLACE, para lo cual escribiremos:

[41)

m

00

ü(Z,s) = [e-sru&T)dv,

o

00

L a ecuación [ 1 3 ] se t r a n s f o r m a e n :

, d27í

s h = r{

d?

u = C\ er'> ^ + C2 er'>?;

[(r'. + ^-d+VT)-^!/-^]^-,',)

C's = -Hí- - c , .

V o l v i e n d o al c a m p o original, t e n d r í a m o s los valores de u y fr, y con ellos el c a m p o eléctrico y co-rriente eléctrica en función de y.

E n este t r a b a j o n o s l i m i t a r e m o s a calcular

h ( 0 , T) y el coeficiente de r o z a m i e n t o .

d o n d e :

C ' , = tfo .

(12)

Fig. 6. — Resistencia de ro-zamiento en función de la

ntensidad del campo mag-nético a p l i c c d o (~0), para distintos valores de la conductividad de la placa. ( M o -vimiento impulsivo de le

placa).

0=

vínV"v

Cálculo del coeficiente de rozamiento.

Teniendo en cuenta [25] y que:

Í 4 T ) =C'

1

r'

1

+ C'

2

r'

2

=

-s + V-s +

a

]/sS" í/-„ .

sQ/s + a + V s S )

donde:

Podemos calcular C

f

hallando la inversa de la

trans-[43] formada de LAPLACE de

l ) •

Y entonces el coeficiente de rozamiento, en va

(13)

Hables dimensionales, y poniendo, para abreviar,

6 = —¡zz 1/ — = ' / a x , tomará la forma:

Vx + 1 *

c

^ir\/^ '

ÍS=1);

^-^[-''^•^•^(-^'-^¿T')]

» ( 2 > i ) ;

<7 =

u

!

+ 2

1 — 2

• V T ^ '

e* «fx

( 2 < 1 ) .

[44]

[45]

146]

En la figura 6 se ha representado Cy

P. 6.° Para 2 < i y tiempos no demasiado

gran-des:

en función de 0 para distintos valores de A. T a m

-bién se ha representado la solución de ROSSOW ( i )

para distintos valores de A.

Obsérvese que:

i.° Para 2 > i (placa menos conductora que el

fluido) el coeficiente de rozamiento es mayor que el

obtenido por RAYLEIGH en ausencia de campo

mag-nético.

2.° Para 2 < i, en cambio, el coeficiente de

ro-zamiento es menor que el de RAYLEIGH.

3.

0

Para 2 = 1 el campo magnético no

modi-fica el coeficiente de rozamiento.

4.

0

Para valores grandes del tiempo:

r

u y r.i

(50|

que es el resultado obtenido por CHANG y YEN (2)

al suponer la placa perfectamente conductora.

Se observa que para tiempos muy pequeños

pre-dominan los efectos viscosos sobre los magnéticos,

ocurriendo lo contrario para tiempos grandes.

Cálculo del campo magnético inducido en la placa.

«o V a 1

h (0, s) =

i t í

.n

y/s +

a

+Vs2

[51]

[47]

5.

0

Para 2 > 1 y tiempos no demasiado

gran-des podemos escribir:

Hallando la inversa de la transformada de

LA-PLACE de h, obtenemos, volviendo a variables

di-mensionales:

rl(0,f) =

-2_

U

— [

e

-"

2

+ \ / * e r / o ] , [48]

I Í

resultado que se obtiene suponiendo que la placa es

perfectamente no conductora.

El resultado obtenido por ROSSOW es:

:

'-~uV~í7l

_{V x + i}

Vi

-Vicer/8 . [49]

Coincide con el anterior para valores muy

gran-1

des de A. Teniendo en cuenta que A

obte-0 |i v

nemos que únicamente podremos despreciar la

in-fluencia del campo eléctrico en el cálculo del

coefi-ciente de rozamiento cuando el fluido sea mucho

más conductor que la placa y la difusitividad

mag-nética sea muy superior a la viscosa.

H

x

(0, l) = - ] / i

( 2 > D ;

Uerfd —

[52]

v.

i r '

e

x

dx;

(2 < 1);

1 - e ~

H

x

V,

t)

= -]/u[er

f

e-^£f]

|53]

» ( 2 = 1 ) . [54]

(14)

En la figura 7 se ha representado — H , /JL_L_

V 9 U

en función de 6. Nótese que cuando:

luego la presión en la placa, teniendo en cuenta que:

tenderá al valor:

P = / >M- - ^PU 2 , [55]

en correspondencia con el resultado [37] obtenido para la placa oscilante.

5. Corriente de Couette no estacionaría.

Cuando el medio fluido está limitado por otra placa o una distancia finita d de la primitiva, las ecuaciones que determinan el movimiento en el me-dio fluido son las [ 1 2 ] . En el caso de ser oscilante el movimiento de la placa en y = 0 (£ = 0 ) , la so-lución es de la forma, omitiendo el símbolo R,,:

u = ei w7($) » h = eiu,zF®>

verificando f y F las ecuaciones [15] con las con-diciones de contorno:

Para 6 = 0 . / = « . . A L

=

J L 1 / ^

F

(0).

d'rZ °p \ r¡'

Para £ = Ed(Equivalente a y = rf)/= 0 » F = 0.

Para escribir esta última condición hemos su-puesto que la placa en y = d está en reposo y es per-fectamente no conductora.

De este modo tenemos un modelo muy simplifi-cado de la capa límite, donde la corriente exterior, no conductora, está representada por la placa exte-rior.

Las ecuaciones [ 1 5 ] , con las condiciones de contorno anteriores, nos muestran que f y F son de la forma:

4 4

/ = S C /

/ E

» F = S ¡ D , e

r j

'

í

,

1 J 1

donde r¡ son las cuatro raíces de la ecuación;

r4 — (1-f-P cu/) r2 — Ü)2 = 0 ,

y

1 2 .

r, — im

p , -

Vi

1 rJ J

La determinación de las constantes C7- por medio

de las condiciones de contorno es muy laboriosa. Se simplifica notablemente el problema cuando A = 1, esto es, cuando el número de PRANDTL magnético es la unidad.

De modo análogo se procede cuando es impul-sivo el movimiento de la placa en y = 0. Utilizan-do la transformación de LAPLACE se llega al siste-ma [ 3 9 ] . Las condiciones de contorno u = 0,

h = 0 se imponen ahora en | = £d en lugar de

im-ponerse en el infinito.

La determinación de la solución es muy labo-riosa, simplificándose para A = 1.

6. Resistencia magnética.

Además de la resistencia de rozamiento a que está sometida la placa, actúan sobre ella fuerzas

eléctricas (J A ¡xp H por unidad de volumen),

debi-das a las corrientes inducidebi-das en el interior de la placa.

Es preferible, para facilitar el cálculo, sustituir estas fuerzas másicas por fuerzas de superficie, que podemos representar mediante el uso del tensor de esfuerzos de MAXWELL, ya que:

JA|VH = V . ( - 2l v H ' 8i i +,VH H ) .

De aquí que aparezca un esfuerzo tangencial /u, H r H0, que da lugar a la resistencia de

roza-miento.

Definiremos el coeficiente de rozamiento mag-nético CM:

2 a H, H„ 2

c

»= í l í — 7 7 * -

|561

y teniendo en cuenta [33] :

CM = ~ $ ( muS ) c o s K r + 0 . [57]

La función $ definida en [33] está representada en la figura 8. Definiremos el coeficiente de resistencia

(15)

•=-Vffr-Fig. 7. — Campo magnético inducido en la placa y tam-bién resistencia magnética en función del campo m a g nético aplicado ( ~ 8). M o v i

-miento impulsivo).

-yr+i y *

total C

D

= Cf -f- C

M

. U n cálculo sencillo, aunque

laborioso ( 1 3 ) , muestra que:

iV

u>o v

u

<Mm, X,Z) eos H / +

? l

) , [58]

siendo la función \f>x siempre superior a la unidad

para m 4= 0, lo que demuestra que el campo

mag-nético aumenta la resistencia total de la placa.

Para el problema de la placa oscilante, C

M

vie-ne dado análogamente por [ 5 6 ] , y se obtievie-ne el

valor de C

M

sin más que sustituir en las fórmulas

[52] y siguientes, que proporcionan el valor de

— U por el factor

-La figura 7 representa también C

M

H

x

, el factor —

U

2a

La resistencia total se obtiene poniendo C

M

+

+ C, =

C

D

.

(16)

7. Distribución de temperaturas.

Teniendo en cuenta [ 6 2 ] , podemos escribir:

Poniendo u¿ = c

v

T , y en el supuesto de ser

c

v

y k constantes, la ecuación de la energía interna,

ecuación [ 7 ] , tomará la forma:

_ y

r, = í fy e

Uj

cosí 2 <«„ íí - ^ - J + <J

(63)

3t \dy I p 3 v

2

op

[59]

que escribiremos en forma adimensional poniendo:

Pr =

P pV

(N.° de Prandtl) »

T

=

, _ 7

P r j ^

T» = ( T - T ) - ? - - -

(T - T )

v

"" » y = — ^ —

v "' a* a [ i H0a

la ecuación [59] toma entonces la forma:

9

.T.,_

B

3*T,

=

/

5

» \

2 [ y

.

| Sx 3 S2 \ 3 $

[60|

que resolveremos en primer lugar con las

condicio-nes de contorno:

S = 0 , T, = 0

£->co , T, = 0.

Para la placa oscilante, u viene dada por la

ecua-ción [ 1 8 ] , mientras que j viene dada por la [ 2 1 a ] .

La solución de [60] con las condiciones de

con-torno anteriores es de la forma:

T

1

= R e [ G © e

, a a , v

] ,

[61]

donde:

[621

siendo:

r», + ( n , - / c u y / Y ) *

A

2

= c»,

2 cu / — 4 p /• 2,

r»

3

+ (/«,- /coVT)

8

A

3

= CV

2 cu / — 4 p r

22

(r«, - / (0^).') (r'

s

- /cu V I ) + / co

A

4

= 2 C, C„

2 cu / — ¡J (r, + /-o)2

y

A, = - ( A

8

+ A, + A

4

).

con lo cual se ponen de manifiesto cuatro ondas de

temperatura que avanzan hacia el interior del fluido

con velocidades V

J y

, longitudes de penetración L

i;

-,

amplitudes if¡ y fases <p¡, cuyo cálculo es sencillo,

aunque laborioso.

Damos a continuación los valores de las

longi-tudes y velocidades de penetración:

-í

2 v U)„

L12

1-13

1 =

=

L

/ *

' 2 P r

^

- ^

. + L

2

2 P r

V„ = V

l l

v„ = v

i;

L, + L

2

V» =

v»v«

v, + v

2

Los valores de Li, L

2

, V i , V

2

están dados por

las fórmulas [23] y [24] y representados en las

figuras 2, 3 y 4.

En particular el flujo de calor en la pared

, 3T •

q

f

= k sera:

3y.

q

f

= —~- p a

3

$0 (eos 2 <a„ t + <p

0

), [64]

' XPr

siendo:

<J>0 =

2 u ) í

A, + 2 /-, A

2

+ 2 r, A

3

+ (r, + r,) A

4

Si consideramos ahora como condiciones de

con-torno las correspondientes a la pared adiabática

(q

f

= 0, y = 0 » T = T a p a r a y ->=»), la

tempe-ratura vendrá dada por [61] y [62] sin más que

sustituir la ecuación Ai = (A

2

+ A

3

+ A

4

) ,

que determina A L por la ecuación:

2 o ) í

A, = 2 r, A. + 2 r

s

A

s

-1 - (r, + r.) A<

(17)

Fig. 8. — Amplitud del c a m -po magnético inducido en la placa y también resis-tencia magnética en función del campo magnético apli-cado (~ m j . M o v i m i e n t o

oscilante).

1.

.9

.8

.7

6

.5

.¿

3

2

1

3 1 *

Z = 0

\ £ =

!. : )M

z =

I. k 1

/ í

Z = K ) 0

Z - * o o

>. e

>. 7

m,

que se obtiene expresando la condición de ser nulo Mientras que el esfuerzo de rozamiento, r

f

, en

el flujo de calor en la pared. la pared [27] y [ 3 1 ] , viene dado para valores

Para valores grandes del campo magnético, o grandes de m por:

mejor de m, si despreciamos términos de orden

su-perior a --• , obtenemos para el flujo de calor:

x

_{/ 2 U}

r

= - i -

P

i y

2

^

2 c

° °

v

' V S eos (o.

0

/ + ?.)• [

6&

]

„ V 2 » , v VXS

9 _ p U 3 _ » ^ < L : _ L ^ I _ eos (2 <»0 f + —

;

U 2 m \ 2

[65]

C o r r e s p o n d i e n t e a las p r i m e r a s condiciones de

c o n t o r n o , esto es, t e m p e r a t u r a de la placa igual a

la de la corriente exterior.

D e l m i s m o m o d o , despreciando t é r m i n o s de o r

-den superior en , la t e m p e r a t u r a de la pared

adia-m

b á t i c a :

T — T

P° o.

U2

2 c „ VT> P

1 _m

COS Í 2 O)0 í 7C) . _[67]

(18)

Escribiremos a continuacion, como

compara-cion, los valores de q

f

, T

f

y T p

a

, para las mismas

condiciones de contorno, en ausencia de campo

mag-netico (m = 0) (ver ( 1 3 ) ) :

q

f

=

P

oU3

1/2,

U

2 +

7

cos (2 UJ0 r + <p3); [0g]

T / = _ L p U» — \ ^ - cos (o>01 + <p4); [69]

U

"pa T =

U

2

2c

'

i+

n

cos(2u)0f + <p5).

[70]

Si se comparan las formulas [ 6 6 ] y [ 6 9 ] ,

ve-mos como, para valores grandes del campo

magne-tico, la influencia de este en el coeficiente de

roza-miento se manifiesta por la presencia de un factor

\/Z, lo que significa que, por ejemplo, para

valo-res pequefios de % (placa mas conductora que el

fluido) la resistencia de rozamiento es mucho

me-nor en presencia de campo magnetico.

En cambio, la resistencia total [ 5 8 ] , que

inclu-ye la magnetica, es siempre mayor que sin campo

magnetico.

Comparando las formulas [ 6 5 ] y [ 6 8 ] , vemos

como el campo magnetico introduce un factor, en el

flujo de calor, proporcional a

v

, que indica que

m

para valores grandes del campo magnetico y para

placas mucho mas conductoras que el fluido se

re-duce considerablemente el flujo de calor en la pared.

Lo mismo ocurre con la temperatura de la

pa-red adiabatica, como puede verse comparando las

formulas [ 6 7 ] y [ 7 0 ] .

NOTA. — Agradezco a los Sres.

M I L L A N

y

D A - R I V A

el interes y la colaboracion prestada en

este trabajo.

106 INGBNIBR1A ABRONAUTICA Y ASTRONAUTICA

R E F E R E N C I A S

1. Rossow, W . J . : NACA T N , 3971 (1957).

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