La Ley de Inducci´
on de Faraday
1.
La Ley de Faraday. Ley de Lenz
− Consideremos un circuito cerradoC, como el mostrado en Fig. 1, formado por un alambre conductor. Supongamos que existe un campo magn´etico B; el flujo magn´etico a trav´es de la superficie S limitada por C ser´a
Φ =
Z
SB·da
Escogemos una direcci´on de recorrido para C, de modo que el sentido del vector da en la expresi´on de Φ estar´a dado por la regla del sacacorchos (el sentido en que avanza un sacacorchos al hacerlo girar en el sentido de recorrido dado a C). Suponemos que no existen bater´ıas u otras fuentes de fuerza electromotriz conectadas al circuito.
Figura 1:
− Los experimentos realizados por Faraday en 1831 llevaron a la conclusi´on de que si el flujo magn´etico a trav´es de la superficie limitada por un circuito var´ıa en el tiempo se induce en dicho circuito una corriente, denominada corriente inducida, y por tanto una fuerza electromotriz, denominada fuerza electromotriz o fem inducida.
− Laley de Faradayestablece que la fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a menos la derivada del flujo magn´etico con respecto al tiempo,
Eind =−ddtΦ (1)
donde Eind es la fuerza electromotriz inducida en el circuito y Φ es el flujo magn´etico a trav´es de la superficie limitada por el circuito.
Si el circuito tiene una resistencia R, la corriente inducida estar´a dada por:
Iind= Eind
R
− En relaci´on a la ley de Faraday es conveniente hacer las siguientes consideraciones: El cambio de flujo a trav´es de la superficie limitada por C puede deberse: (i)a que el campo B var´ıa en el tiempo, B =B(t), o (ii) a que el circuito se est´a moviendo de modo que, al moverse, los valores de B que encierra el circuito cambian y con ello el flujo Φ, y (iii) a una combinaci´on de los dos efectos anteriores (B cambia en el tiempo y adem´as el circuito se est´a moviendo). Los resultados experimentales demuestran que la relaci´on (1) es v´alida cualquiera que sea la causa por la que var´ıa Φ.
La ley de Faraday (1) es v´alida tanto si el circuito se encuentra en el vac´ıo como si se encuentra en presencia de materia.
El signo negativo en (1) indica la direcci´on y sentido de la fem inducida (y por tanto de la corriente inducida): si Eind > 0, el sentido de la corriente inducida coincide con el sentido de recorrido dado al circuito C; si Eind< 0, el sentido de la corriente inducida es opuesto al sentido de recorrido dado a C. Considerar as´ı el ejemplo de Fig. 2, en el que se tiene un circuito fijo (de forma y posici´on) de modo que el flujo Φ var´ıa s´olo porque cambia B.
Figura 2:
Se ha elegido para C el sentido de recorrido indicado en la figura (notar que con ese sentido de recorrido y con el campo B dado, el flujo Φ = R
S B·da es positivo). En la figura (a) se supone que el flujo est´a aumentando, dΦ/dt > 0, de modo que usando (1), Eind < 0. Esto significa que el sentido de Eind, y por tanto el de la corriente inducidaIind, es opuesto al sentido de recorrido dado aC, como se muestra en la figura (a). En la figura (b), se ilustra qu´e es lo que ocurre cuando se supone que Φ disminuye: en este caso, Eind>0, por lo que el sentido de Eind y el de la corriente inducida es el mismo que el sentido de recorrido de C.
− La ley de Lenz proporciona un m´etodo simple para determinar el sentido de la fuerza electromotriz inducida: la fem inducida (y, por tanto, la corriente inducida) tiene un
sentido que tiende a oponerse al cambio que la provoca. As´ı, si la corriente inducida se debe a un aumento del flujo, el sentido de la corriente inducida ser´a tal que crea un campo magn´etico que disminuir´a el flujo y, viceversa, si la corriente inducida se debe a una disminuci´on del flujo magn´etico, el sentido de la corriente inducida ser´a tal que crear´a un campo magn´etico que aumentar´a el flujo. Esto se ilustra en los ejemplos de Fig. 2: como se ve en la figura (a), en la que el flujo aumenta (dΦ/dt > 0), la corriente inducida Iind tiende a oponerse a este cambio, tratando de hacer disminuir el flujo Φ produciendo l´ıneas de campo (las l´ıneas a trazos indicadas en la figura) opuestas al sentido de B, es decir, hacia dentro del circuito. En el caso de la figura (b), en el que dΦ/dt <0, la direcci´on de
Iind es tal que produce l´ıneas de B que tienden a aumentar el flujo, es decir, se opone al cambio de acuerdo a la ley de Lenz.
2.
Medios estacionarios y Medios en Movimiento
− De acuerdo con la ley de Faraday, cuando el flujo magn´etico a trav´es de un circuito var´ıa en el tiempo se origina en dicho circuito una fem inducida y, por tanto, una corriente inducida. Para que exista dicha corriente inducida Iind, tienen que existir portadores de carga movi´endose en el circuito. Ahora bien, para que los portadores de carga q se muevan a lo largo del circuito dando lugar a la corriente inducida tiene que actuar sobre cada portador de carga q una fuerza Fq que los haga moverse.
Queremos determinar cu´al es la naturaleza de la fuerza Fq que da lugar a la fuerza
electromotriz inducida (a la corriente inducida) en un circuito. Para ello, distinguiremos dos casos, que corresponden a las dos formas en que podemos variar el flujo a trav´es del circuito C: (a)medios estacionarios(circuito estacionario), que corresponde al caso en que el circuito C es fijo (en forma y posici´on) y el cambio de flujo a trav´es de C se debe a que el campo B var´ıa en el tiempo, B = B(t); (b) medios en movimiento (circuito en movimiento), caso en el que se supone que B no var´ıa en el tiempo y que el cambio de flujo a trav´es de C se debe a que el circuito se est´a moviendo en el campo B.
MEDIOS ESTACIONARIOS
− En este caso, la corriente inducida se debe a un campo el´ectrico E que ejerce sobre los portadores de carga una fuerza el´ectrica Fq = qE que da lugar al movimiento de los
portadores de carga y con ello a la corriente inducida.
− Dicho campo el´ectrico E tiene su origen en el cambio del campo B en el tiempo:campos magn´eticos variables en el tiempo dan lugar a un campo el´ectricoEy este campo el´ectrico es el que da lugar a la corriente inducida.
− Este punto es muy importante ya que nos dice que no solamente se puede crear un campo el´ectrico mediante cargas el´ectricas (como se vi´o en Electrost´atica) sino tambi´en mediante campos magn´eticos variables en el tiempo.
Dicho de otro modo, tenemos dos fuentes de campo el´ectrico (es decir, dos maneras de crear un campo el´ectrico):
(a) la carga el´ectrica
MEDIOS EN MOVIMIENTO
− Hemos visto que para un circuito estacionario, el origen de la fem inducida es un campo el´ectrico debido a la variaci´on de B en el tiempo. Consideramos ahora el caso contrario: el circuito se encuentra en movimiento y el campo B no cambia en el tiempo. Al moverse el circuito, los portadores de carga del conductor se mueven con ´el y experimentan de este modo una fuerza magn´etica
Fq = q (v×B)
Es esta fuerza magn´etica que se ejerce sobre cada portador de carga q al moverse con el circuito la que da origen a la corriente inducida.
− Por tanto,en el caso de un circuito en movimiento en un campoBconstante en el tiempo, el origen de la fem inducida (la corriente inducida) es la fuerza magn´etica que se ejerce sobre los portadores de carga del circuito al moverse con el circuito.
A la fuerza electromotriz inducida en un circuito en movimiento se le suele denominar
fuerza electromotriz (o fem) de movimiento.
CASO GENERAL
− Consideramos ahora el caso m´as general posible, en que el circuito se est´a moviendo y adem´as el campo B var´ıa en el tiempo, B= B(t). En este caso, sobre cada portador de cargaq del circuito existe una fuerza el´ectrica, que tiene su origen en el campoB variable en el tiempo, y una fuerza magn´etica, que aparece al moverse el portador de carga q con el circuito en el campo B, de modo que la fuerza total sobre cada portador de carga es:
Fq= q (E+v×B)
− Por tanto, en el caso general en que el circuito est´a en movimiento y adem´as el campoB
var´ıa en el tiempo, el origen de la fem inducida (la corriente inducida) es una fuerza Fq
sobre los portadores de carga, suma de una fuerza el´ectrica debida a un campo el´ectrico
E que tiene su origen en el campo B variando en el tiempo m´as una fuerza magn´etica que se ejerce sobre los portadores de carga del circuito al moverse con el circuito.
3.
Autoinductancia e Inductancia Mutua
AUTOINDUCTANCIA
− Supongamos que se tiene un circuito C aislado, r´ıgido y estacionario (es decir, que no cambia de forma y que se encuentra en reposo). Si por dicho circuito circula una corriente
I, esta corriente dar´a lugar a un campo magn´etico y existir´a por tanto un flujo magn´etico Φ a trav´es de C. Este flujo magn´etico depender´a de la corriente I que circula por el circuito: Φ = Φ(I).
− La autoinductancia o coeficiente de autoinducci´on de un circuito constituye un coeficiente caracter´ıstico de dicho circuito que describe c´omo es el flujo magn´etico que lo atraviesa debido a la corriente que circula por ´el. Se designa por Ly tiene la expresi´on:
L= ΦI (2) − En relaci´on a la autoinductancia L de un circuito conviene hacer notar que:
La autoinductancia L es una constante caracter´ıstica del circuito, que s´olo depende de sus propiedades geom´etricas y del medio en que se encuentra el cirucito.
Conocida la autoinductancia L de un circuito es inmediato determinar el flujo magn´etico a trav´es del circuito debido a la corriente I que circula por ´el:
L= Φ
I =⇒ Φ =LI
Evidentemente, si la corriente I en el circuito C var´ıa en el tiempo, el flujo Φ que atraviesa el circuito tambi´en variar´a en el tiempo y se tendr´a de este modo una fem inducida en el circuito,
Eind=−dΦ
dt =−L dI
dt (3)
La unidad deLen el Sistema Internacional es el Henrio (H) y, de acuerdo a (2) y (3), se tiene que: 1 H = 1 Wb A = 1 V·s A INDUCTANCIA MUTUA
− Suponemos ahora que tenemos dos circuitos C1 y C2, r´ıgidos y estacionarios, por los que
circulan unas corrientes I1 eI2, respectivamente (ver Fig. 3). Evidentemente, la corriente
I2 en el circuitoC2crea un campo magn´etico y da lugar de este modo a un flujo magn´etico
Φ12 a trav´es del circuito C1 (Φ12 es el flujo en el circuito 1 debido a la corriente en el
circuito 2). Este flujo Φ12 depender´a naturalmente de la corriente I2 que circula por el
circuito 2: Φ12= Φ12(I2).
− La inductancia mutua o coeficiente de inducci´on mutua entre los circuitos 1 y 2 constituye un coeficiente caracter´ıstico de los dos circuitos que describe c´omo es el flujo magn´etico que atraviesa el circuito 1 debido a la corriente en el circuito 2. Se designa por
M12 y tiene la expresi´on:
M12= ΦI12
2 (4)
(de forma similar, el coeficiente de inducci´on mutua M21 se define como M21 = Φ21/I1,
donde Φ21 es el flujo que atraviesa el circuito 2 debido a la corriente en el circuito 1).
− Fijarse en que:
La inductancia mutua M12 (o M21) es una constante caracter´ıstica de los circuitos
que s´olo depende de su geometr´ıa y del medio en que se encuentran.
La unidad de la inductancia mutua M12 (M21) es la misma que la de la
autoinduc-tancia L antes definida. Por tanto, en el Sistema Internacional, la unidad de M12
(M21) es el Henrio (H).
La inductancia mutua es sim´etrica:
M12=M21
Si conocemos la inductancia mutua M12, es inmediato obtener el flujo Φ12 en el
circuito 1 debido a la corriente I2 en el circuito 2:
M12=
Φ12
I2
=⇒ Φ12 =M12I2
De forma similar, si conocemos la inductancia mutua M21, es inmediato obtener el
flujo Φ21 en el circuito 2 debido a la corriente I1 en el circuito 1:
M21=
Φ21
I1
=⇒ Φ21 =M21I1
Supongamos ahora que tenemos el sistema formado por los circuitos 1 y 2 de Fig. 3, por los que circulan unas corrientes I1 eI2, respectivamente. Si queremos calcular el
flujo total Φ1 a trav´es del circuito 1, ´este ser´a igual a la suma del flujo Φ11 debido
a la corriente I1 en el propio circuito 1 (Φ11=L1I1, donde L1 es la autoinductancia
del circuito 1) m´as el flujo Φ12debido a la corrienteI2 en el circuito 2 (Φ12 =M12I2):
Φ1 =L1I1+M12I2
De igual modo, el flujo total Φ2 en el circuito 2, ser´a igual a la suma del flujo Φ21
debido a la corrienteI1 en el circuito 1 (Φ21=M21I1) m´as el flujo Φ22 debido a la la
corriente I2 en el propio circuito 2 (Φ22 =L2I2, donde L2 es la autoinductancia del
circuito 2):
Si ahora las corrientes I1, I2 en los circuitos 1 y 2 var´ıan en el tiempo, los flujos Φ1
y Φ2 variar´an y se tendr´an unas fuerzas electromotrices inducidas en los circuitos 1
y 2: Eind,1 =− dΦ1 dt =−L1 dI1 dt −M12 dI2 dt , Eind,2=− dΦ2 dt =−M21 dI1 dt −L2 dI2 dt
Se puede demostrar que si L1 y L2 son las autoinductancias de los circuitos 1 y 2,
respectivamente, entonces:
M12=k
q L1L2,
donde k es una constante, y |k|<1.
4.
Energ´ıa Magn´
etica
− Supongamos que se tiene un circuito r´ıgido y estacionario por el que circula una corriente
I. Se define la energ´ıa magn´etica asociada a esta corriente como el trabajo realizado para establecer dicha corriente en el circuito, es decir, el trabajo que ha sido necesario realizar para pasar de un estado inicial, en el que la corriente en el circuito era cero, hasta un estado final en el que por el circuito circula la corriente I que actualmente tiene. − Para entender en qu´e consiste este trabajo, notar que al ir aumentando la corriente en el
circuito desde su valor inicial cero, el campo magn´etico debido a esta corriente va tambi´en aumentando y por tanto el flujo magn´etico a trav´es del circuito. Como el flujo magn´etico que atraviesa el circuito var´ıa en el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday, existir´a en el circuito una fem inducida que seg´un la ley de Lenz se opondr´a a la causa que la provoca (es decir, al aumento de la corriente en el circuito). Por tanto, la fem inducida en el circuito se opone al aumento de la corriente. Para crear la corriente I en el circuito hay que realizar un trabajo contra la fem inducida en el circuito: la energ´ıa magn´etica consiste en el trabajo realizado contra la fem inducida en el circuito al ir aumentando la corriente desde su valor inicial cero hasta su valor final I.
− Se puede demostrar que la energ´ıa magn´etica Um asociada a un circuito, r´ıgido y esta-cionario, por el que circula una corriente I, est´a dada por la expresi´on:
Um = 12LI2 (5)
donde L es la autoinductancia del circuito, e I la corriente que circula por ´el.
− La energ´ıa magn´etica asociada a la corriente I que circula por un circuito se puede con-siderar almacenada en el campo magn´etico B creado por dicha corriente.
− Definimos la densidad de energ´ıa magn´etica en un punto como la energ´ıa magn´etica almacenada en ese punto por unidad de volumen y est´a dada por:
um =
B2
2µ (6)
dondeB es el valor del campo magn´etico en dicho punto, yµel valor de la permeabilidad magn´etica en dicho punto (µ=µrµ0).
