Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

J. Juan Rosales Garc´ıa, Manuel Gu´ıa Calder´

on

Facultad de Ingenier´ıa Mec´

anica, El´

ectrica y Electr´

onica

Universidad Aut´

onoma de Guanajuato

(4)

DEDICATORIA

A mis hijos, Daniel y Alberto. A mis padres, Martha y Gonzalo. A Hilda Corina.

A mis hermanos. A mis abuelos Q.E.D.

A Jos´e Mart´ınez Sandoval Q.E.D.

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3

AGRADECIMIENTOS

Los autores queremos agradecer a la Facultad de Ingenier´ıa Mecánica, Eléctrica y Electrónica de la Universidad de Guanajuato por darnos el apoyo requerido en la realización de este trabajo.

Agradecemos a nuestros colegas y compañeros del departamento de ingenier´ıa eléctrica, ingenier´ıa en comunicaciones y electrónica, en particular a los Drs. René Mart´ınez Celorio, J. Amparo Andrade Lucio, Oscar Ibarra Manzano y al M.C. Mario Ibarra Manzano por el apoyo desinteresado y valiosos comentarios.

Estamos en deuda con muchos de nuestros estudiantes del curso ecuaciones diferenciales ordi-narias, en particular, agradecemos a los estudiantes; Fernando Ort´ız Segovia, Ezequiel Mart´ınez Ayala, Helena S. López Avilés, Blad´ımir Ramos Alvarado, José Lu´ıs Aguinaco Zúñiga, por el apoyo que nos brindaron con sus cr´ıticas y ayuda en cuestiones computacionales.

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PREFACIO

El ´exito de cualquier obra es directamente proporcional a la sencillez y elegancia con que se transmite su contenido. En este libro, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Aplicaciones, uno de nuestros objetivos principales es mantener la simplicidad y poder comunicar a los estudiantes la importancia que tienen las ecuaciones diferenciales en la Ciencia e Ingenier´ıa.

Este libro está diseñado para cursos semestrales y trimestrales en las facultades de ingenier´ıa. Contiene las definiciones y teoremas básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se analizan los métodos de solución más conocidos y se resuelven con todo detalle ejercicios correspondientes a cada método. Al final de cada cap´ıtulo se propone una serie de problemas que ayudarán al estudiante a reforzar sus conocimientos adquiridos.

La demostración de algunos teoremas se ha omitido ya que, por un lado, nuestro enfoque está di-rigido más a las técnicas de solución y aplicaciones, que al riguroso análisis matemático y, por el otro, consideramos que el incremento de información no contribuye en forma decisiva al aprendizaje de los estudiantes de ingenier´ıa.

El libro está organizado de la siguiente manera: En el Cap´ıtulo 1 se dan los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales; en el Cap´ıtulo 2 se analizan los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden, se introduce la definición de ecuación diferencial lineal homogénea, no homogénea y reducible a homogénea, y se ilustran los métodos de solución. Se plantean y se resuelven con todo detalle algunos problemas. Al final de este cap´ıtulo se pide al alumno resolver una serie de ejercicios, esto para garantizar su aprendizaje; las ecuaciones de orden superior, y algunas aplicaciones se analizan en el Cap´ıtulo 3; en el Cap´ıtulo 4 se dan los fundamentos básicos del cálculo operacional, mejor conocido como Transformada de Laplace; en el Cap´ıtulo 5 se analizan las ecuaciones diferenciales usando series de potencias como soluciones; en el cap´ıtulo 6 se da una introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Esperamos haber podido mantener en la pr´actica nuestra filosof´ıa, sencillez y elegancia, si no que el estudiante nos juzgue, y desde luego aceptaremos cualquier cr´ıtica constructiva, para de esta manera mejorar nuestro trabajo y darle a la sociedad mejores resultados.

Los autores J. Juan Rosales Garc´ıa Manuel Gu´ıa Calder´on

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_{Indice general}

1. CONCEPTOS B ´ASICOS 9

1.1. Definici´on y Caracterizaci´on de las Ecuaciones

Diferenciales . . . 9

1.2. Soluciones de Ecuaciones Diferenciales . . . 11

1.3. Problemas de Repaso del Cap´ıtulo 1: . . . 15

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 17 2.1. Ecuaciones Diferenciales con Variables Separables . . . 21

2.2. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Separables . . . 24

2.3. Ecuaciones Diferenciales Homog´eneas . . . 26

2.4. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homog´eneas . . . 33

2.5. Ecuaciones Diferenciales Cuasi-homog´eneas . . . 36

2.6. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden . . . 40

2.7. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Lineales . . . 46

2.8. Ecuaci´on de Riccati . . . 50

2.9. Ecuaciones Diferenciales Exactas . . . 55

2.10. Factor Integrante . . . 59

2.11. Ley de Enfriamiento . . . 62

2.12. Circuitos El´ectricos . . . 64

2.13. Soluci´on del Circuito RL . . . 65

2.14. Soluci´on de un Circuito RC . . . 67

2.15. Carga en el Condensador . . . 69

2.16. Presi´on Atmosf´erica . . . 70

2.17. Ecuaciones Diferenciales no Resueltas Respecto a la Derivada . . . 73

(8)

2.18. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairaut . . . 77

2.19. Isoclinas . . . 81

2.20. Trayectorias Ortogonales . . . 82

2.21. Aplicaciones . . . 86

3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 121 3.1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior . . . 122

3.2. Ecuaciones de Orden Superior Reducibles a Primer Orden . . . 123

3.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior . . . 129

3.4. Ecuaciones Lineales con Coeficientes Constantes . . . 137

3.5. Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homog´eneas de Segundo Orden . . . 142

3.6. Variaci´on del Par´ametro . . . 148

3.7. Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . 153

3.8. Vibraciones Mec´anicas . . . 163

3.9. Soluci´on para el Movimiento Libre no Amortiguado . . . 165

3.10. Soluciones Para las Oscilaciones Forzadas no Amortiguadas . . . 166

3.11. Circuito El´ectrico RLC . . . 168

3.12. Oscilaciones Libres del Circuito RLC . . . 170

3.13. Soluci´on General del Circuito RLC . . . 171

4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 179 4.1. Conceptos B´asicos de la Transformada de Laplace . . . 180

4.2. Transformada de Laplace de Algunas Funciones Elementales . . . 182

4.3. Transformada de Laplace para las Derivadas . . . 193

4.4. Transformada Inversa de Laplace . . . 194

4.5. Funciones Racionales . . . 196

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INDICE GENERAL 7

4.7. Transformada de Laplace para Funciones Discontinuas . . . 205

4.8. Diferenciaci´on e Integraci´on de la Transformada de Laplace . . . 210

4.9. Ecuaciones Diferenciales con Fuentes Discontinuas . . . 214

4.10. Ecuaciones Diferenciales con Impulsos . . . 221

4.11. Transformada de Laplace de la Funci´on Delta de Dirac . . . 222

4.12. Teorema de Convoluci´on . . . 225

4.13. Problemas de Repaso para el Cap´ıtulo 4: . . . 231

5. INTEGRACI ´ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES USANDO SERIES DE POTENCIA 233 5.1. Series de Potencias . . . 233

5.2. Intervalo y Radio de Convergencia . . . 235

5.3. Propiedades de las Series de Potencias . . . 235

5.4. Derivadas de las Series de Potencias . . . 237

5.5. Series e Integraci´on de Ecuaciones Diferenciales . . . 237

5.6. Integraci´on de Ecuaciones Lineales Mediante Series de Potencias . . . 239

5.7. Soluciones Alrededor de Puntos Ordinarios . . . 242

5.8. Ecuaci´on Diferencial de Hermite . . . 248

5.9. Polinomios de Hermite . . . 249

5.10. Condiciones Suficientes para la Existencia de Soluciones en Serie Potencias. . . 250

5.11. Ecuaci´on Diferencial de Legendre . . . 250

5.12. Polinomios de Legendre . . . 252

5.13. Series Generalizadas: M´etodo de Frobenius . . . 254

5.14. Ecuaci´on Indicial . . . 255

5.15. Ecuaci´on Diferencial de Bessel . . . 256

5.16. Funciones de Bessel . . . 258

5.17. Propiedades de la funci´on Jν(x) . . . 261

5.18. Funciones de Bessel Fraccionarias, ν = ±1₂, ±3₂, ±5₂ . . . 262

5.19. Funciones de Bessel de segunda clase . . . 264

5.20. Funciones de Bessel de Segunda Clase Yn(x) . . . 266

5.21. Problemas de Repaso del Cap´ıtulo 5 . . . 267

(10)

6.1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . 269

6.2. Valores Propios y Vectores Propios . . . 286

6.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales Homog´eneos . . . 289

(11)

Cap´ıtulo 1

CONCEPTOS B ´

ASICOS

Las Matem´aticas son el Idioma con el cual DIOS Escribi´o el Universo Galileo Galilei

La Ciencia jamás podrá descubrir todos los secretos de la Naturaleza ya que la Ciencia la hacen los Hombres y éstos son parte de Ella J. Juan Rosales Garc´ıa Antes de empezar con los diferentes métodos para resolver las ecuaciones diferenciales, definire-mos qué es lo que vamos a entender por ecuación diferencial en la forma más general y cómo la vamos a caracterizar.

1.1. Definici´

on y Caracterizaci´

on de las Ecuaciones

Diferenciales

Una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función dependiente y = f (x) y sus derivadas y0, y00, ..., y(n)_{se llama ecuaci´}_{on diferencial . Simb´}_{olicamente, se escribe de}

la siguiente manera

Fx, y, y0, y00, ..., y(n)_{= 0} _(1.1)

donde las derivadas se toman respecto a la variable independiente x, es decir, y0= dy/dx, ..., y(n)₌

dn_y/dxn _.

Si la función y = f (x) y sus derivadas dependen de una sola variable independiente, entonces, decimos que la ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria EDO .

Si, por el contrario, la función y = f (x, z, ...) y sus derivadas dependen de más de una variable independiente, diremos que es una ecuación diferencial en derivadas parciales EDP. De tal manera que existen dos tipos de ecuaciones diferenciales: las ordinarias y las parciales.

(12)

El orden de la derivada superior que aparece en la ecuación es el orden, mientras que el grado se define como el exponente de la derivada de mayor orden. As´ı, la ecuación (1.1) representa una ecuación diferencial ordinaria de orden n y grado uno.

Las ecuaciones diferenciales también se distinguen por su linealidad y no linealidad. Para esto, supongamos que en la ecuación (1.1) podemos despejar la derivada de orden máximo, y(n)_{, esto es:}

y(n)_{= f}_{x, y, y}0_{, y}00_{, ..., y}(n−1) _(1.2)

entonces, decimos que una ecuación diferencial, de la forma (1.2), es una ecuación diferencial lineal si f es una función lineal de y, y0, y00, ..., y(n−1)_{. En otras palabras, una ecuaci´}_{on diferencial es lineal}

si es posible escribirla de la siguiente manera

an(x)d

n_y

dxn+ an−1(x)d

n−1_y

dxn−1+ .... + a1(x)dy_dx+ a0(x)y = g(x) (1.3)

donde los coeficientes ai(x) (i = 0, 1, 2, ..., n) son funciones continuas de la variable independiente

x en un cierto intervalo (a, b). Si en (1.3) la función g(x) = 0, entonces, decimos que la ecuación es una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en caso contrario, si g(x) 6= 0, diremos que es una ecuación diferencial lineal no homogénea . Si los coeficientes ai(x) (i = 0, 1, 2, .., n) son

todos constantes, entonces la ecuaci´on (1.3) representa una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes.

Desde el punto de vista práctico la parte izquierda, de la ecuación (1.3), representa a un sis-tema, sea cual sea, donde hay ciertos cambios (debidos a fricción, desintegración, ca´ıdas de voltaje, viscosidad etc.,) y la parte derecha de la ecuación representa la fuente (lo que se suministra al sis-tema, puede ser voltaje, corriente, una fuerza, etc.). Resolver la ecuación (1.3), significa, entonces, hallar la función que representará el resultado del proceso, es decir, nos dará información sobre el comportamiento del sistema.

Ejemplo 1: Las ecuaciones

y0+ 4x2y = 3x2+ 2x − 5, (1.4)

y0− xy = 0, (1.5)

y00+ 5y0+ 3y = x2− 1, (1.6)

son, todas, ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden y grado uno. La ecuación (1.4) es una ecuación diferencial lineal no homogénea, mientras que la ecuación (1.5) es una ecuación diferencial homogénea. Finalmente, la ecuación (1.6) es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Ejemplo 2: Las ecuaciones y∂u(x, y) ∂y + x ∂u(x, y) ∂x = 0, (1.7) t∂u(x, t) ∂t + x ∂u(x, t) ∂x = u(x, t), (1.8)

(13)

1.2. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11

∂2u(x, y)

∂x∂y = x + y, (1.9)

son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (1.7), (1.8), y la ecuaci´on (1.9), es de segundo orden. Ejemplo 3: Las ecuaciones y0 = xy1/2, (1.10) yy00− 4y0+ y = x − 3, (1.11) y000+ y4= 0, (1.12)

son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo y tercer orden, respectiva-mente. La ecuaci´on (1.10), es de grado dos, ya que (y0)2_{, las dos ecuaciones restantes son de grado}

uno.

1.2. Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Toda función y = φ(x), definida en un intervalo (a, b), que satisface una ecuación diferencial se llama solución ó integral de la ecuación diferencial dada.

La solución general de una ecuación diferencial es una familia de curvas o funciones que contiene tantos parámetros arbitrarios como sea el orden de la ecuación diferencial. Es decir, la solución general de una ecuación de primer orden F (x, y, y0) = 0 tendrá como solución general a la familia de curvas representada por Φ(x, y, c) = 0, donde c es el parámetro arbitrario (familia uniparamétrica), tal que, cada término de la familia es una solución de la ecuación diferencial. As´ı, al resolver una ecuación diferencial de orden n, es decir, F (x, y, y0, ..., y(n)_{) = 0, esperamos obtener una familia}

n-param´etrica de soluciones Φ(x, y, c1, ..., cn) = 0, donde ci(i = 1, 2, ..., n) son par´ametros arbitrarios.

La solución de una ecuación diferencial que no contiene parámetros arbitrarios se llama solu-ción particular . Una manera de obtener una solución particular es elegir valores espec´ıficos del parámetro(o de los parámetros) en una familia de soluciones. En el caso en que se analice un sistema real estos parámetros se obtienen de las condiciones iniciales en que se encuentra el sistema.

Hay ocasiones en que una ecuación diferencial tiene una solución que no puede obtenerse dando valores espec´ıficos a los parámetros en una familia de soluciones; a esta solución se le llama solución singular .

Ejemplo 1:

La función y = (x2/4 + c)2 es solución de la ecuación y0 = xy1/2. Cuando c = 0, la solución particular es y = x4/16. En tal caso, la función y ≡ 0 es una solución singular de la ecuación, ya que no puede ser obtenida de la familia para ningún valor del parámetro c. Otra manera de ver esto es la siguiente: Si la solución y = x4_{/16 la escribimos como 16 = x}4_{/y y luego hacemos y ≡ 0, tenemos}

una indeterminación, lo cual implica que la solución y ≡ 0 es una solución singular de la ecuación y0= xy1/2_. Ejemplo 2: Dada la función y(x) = ce−2x+1 3e x_, _(1.13)

(14)

demostrar que ésta es solución de la ecuación diferencial

y0+ 2y = ex. (1.14)

Soluci´on:

Para demostrar que efectivamente la función (1.13) es solución de la ecuación (1.14), debemos sustituir (1.13) en (1.14). Tenemos que la derivada de (1.13), es

y0(x) = −2ce−2x+1 3e

x_. _(1.15)

Sustituyendo esta expresi´on y (1.13) en (1.14), obtenemos −2ce−2x+1 3e x_{+ 2ce}−2x₊2 3e x₌1 3e x₊2 3e x_{= e}x_. _(1.16)

El tener la igualdad ex = ex, implica que la función (1.13) es la solución general de la ecuación diferencial (1.14). De la solución general (1.13), podemos obtener una solución particular de la ecuación diferencial (1.14). Supongamos que cuando x = 0, y = 2. Sustituyendo estos valores en la solución (1.13), obtenemos

2 = c +1

3 → c =

5

3. (1.17)

Luego, poniendo el valor de c en (1.13), obtenemos la soluci´on particular de la ecuaci´on (1.14), y(x) =5

3e

−2x₊1

3e

x_. _(1.18)

El haber restringido la solución general a una solución particular, quiere decir que la curva repre-sentada por la ecuación (1.18), pasa por el punto (0, 2).

Ejemplo 3: Dada la funci´on

y(x) = c1x + c2x ln x + 2x3, (1.19)

demostrar que ésta es la solución general de la ecuación diferencial

x2y00− xy0+ y = 8x3. (1.20)

Soluci´on:

Derivando dos veces la funci´on (1.19), obtenemos

y0= c1+ c2ln x + c2+ 6x2 → y00=

c2

x + 12x. (1.21)

Sustituyendo estas dos expresiones y (1.19) en la ecuaci´on (1.20), tenemos x2c2

x + 12x

− x[c1+ c2ln x + c2+ 6x2] + c1x + c2x ln x + 2x3 =

12x3− 6x3_{+ 2x}3 ₌ _8x3_. _(1.22)

Lo cual implica que la función (1.19) es la solución general de la ecuación (1.20). Ejemplo 4:

Demostrar que para toda constante c la funci´on

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1.2. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 13 satisface la ecuaci´on dy dx = 1 (x + y)2. (1.24) Soluci´on:

Diferenciando la función (1.23), tenemos dy dx = 1 + dy_dx 1 + (x + y)2 → [1 + (x + y) 2_]dy dx = 1 + dy dx → [1 + (x + y) 2_{− 1]}dy dx = 1. (1.25) Esta última expresión la podemos escribir como

dy dx =

1

(x + y)2. (1.26)

De las ecuaciones (1.24) y (1.26), concluimos que la función (1.23), es solución de la ecuación (1.24). Podemos hacer el caso inverso, es decir, supongamos que conocemos la familia de curvas y deseamos conocer la ecuación diferencial correspondiente. Este tipo de problemas surgen a menudo en las ciencias e ingenier´ıas.

Ejemplo 5:

Dada la familia de curvas

x2+ y2− cx = 0, c ∈ R, (1.27)

hallar su correspondiente ecuaci´on diferencial. Soluci´on:

Considerando a y como una funci´on de x, y diferenciando (1.27), respecto a x, tenemos 2x + 2ydy

dx− c = 0. (1.28)

Luego, de la ecuaci´on (1.27), despejamos a la constante c c = x

2_{+ y}2

x . (1.29)

Sustituyendo este resultado en (1.28), obtenemos 2x + 2ydy dx − x2+ y2 x = 0 → 2yx dy dx + 2x 2_{− x}2_{− y}2_{= 0.} _(1.30)

Finalmente, tenemos que la ecuaci´on diferencial que representa a la familia de curvas (1.27), tiene la forma

2xydy dx+ x

2_{− y}2_{= 0.} _(1.31)

En otras palabras, la familia de curvas (1.27) es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (1.31). Ejemplo 6:

Hallar la ecuaci´on diferencial que represente a la familia de curvas

x − y − cey−xx _{= 0.} _(1.32)

(16)

Escribamos la ecuaci´on (1.32), de la siguiente manera

(x − y)ex−yx _{= c.} _(1.33)

Diferenciando esta expresi´on respecto a x, tenemos 1 −dy dx ex−yx _{+ (x − y)} hx − y − x(1 −dy dx) (x − y)2 i ex−yx _{= 0.} _(1.34)

La expresi´on ex−yx 6= 0, entonces, lo que debe ser cero es

1 − dy dx+ x − y − x + xdy_dx x − y = 0 → 1 − dy dx+ x_dxdy− y x − y = 0. (1.35)

Esta última ecuación la podemos escribir como x − y − (x − y)dy dx + x dy dx− y = 0 → x − 2y − (x − y − x) dy dx = 0. (1.36) Finalmente, tenemos la ecuación diferencial que representa a la familia de curvas (1.32),

ydy

dx− 2y + x = 0. (1.37)

Ejemplo 7:

Hallar la ecuaci´on diferencial que describe una familia de par´abolas, las cuales pasan por el or´ıgen de coordenadas y su eje de simetr´ıa es el de las ordenadas.

Soluci´on:

La ecuaci´on que representa a la familia de par´abolas con eje de simetr´ıa en las ordenadas es

y = cx2, c ∈ R. (1.38)

Diferenciando esta expresi´on respecto a x, obtenemos dy dx = 2cx. (1.39) De (1.38), despejamos a c y la sustituimos en (1.39), c = y x2 → dy dx = 2 y x2x = 2 y x. (1.40)

Entonces, la ecuaci´on diferencial es

dy dx −

2y

x = 0. (1.41)

Observaci´on:

Las ecuaciones diferenciales no lineales, a excepción de algunas de primer orden, son generalmente dif´ıciles o imposibles de resolver en términos de las funciones elementales(funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logar´ıtmicas, y funciones trigonométricas inversas). Además, si tuviéramos una familia de soluciones de una ecuación diferencial no lineal, no es obvio cuándo esta familia forma una solución general. Las ecuaciones no lineales son muy sensibles a las condiciones iniciales. De tal manera, que el nombre de solución general se aplica sólo a ecuaciones diferenciales lineales.

(17)

1.3. PROBLEMAS DE REPASO DEL CAP´ITULO 1: 15

1.3. Problemas de Repaso del Cap´ıtulo 1:

1.1.-) En los siguientes ejercicios diga si las ecuaciones dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y el grado de la ecuaci´on:

1. xy0+ y = y2_. 2. xdx_dt + t = 1. 3. y0− y = 2x − 3. 4. y0 ₌ r 1 +d_dx2y2 2 5. d_dt2x2 + α x2 = 0. 6. (1 − y2_{)dx + xdy = 0.} 7. xy0+ 1 = ey_. 8. y(y0)2+ 2xy0= y + 1. 9. xy2dy + y3dx = dx_x. 10. y0(x + y) = y.

1.2.-) Por sustituci´on, compruebe que las soluciones dadas corresponden a las ecuaciones diferenciales: 1. e−y− cx = 1 ⇐⇒ xy0+ 1 = ey_. 2. y₂2 + y + ln |y − 1| = −1_x+ c ⇐⇒ x2_y2_y0_{+ 1 = y} 3. y = _{cos x}c ⇐⇒ y0− y tg x = 0. 4. y = ln(c + ex₎ _⇐⇒ _y0_{= e}x−y_. 5. y =√x2_{− cx} _⇐⇒ _(x2_{+ y}2_{)dx − 2xydy = 0.} 6. x = yecy+1 ⇐⇒ y0= _{x(ln x−ln y)}y . 7. y = x√1 − x2 _⇐⇒ _yy0_{= x − 2x}3_. 8. y = −1 2x 2_e−x_{+ c} 1ex+ c2e−x+ c3xe−x ⇐⇒ y000+ y00− y0− y = 2e−x.

(18)

(19)

Cap´ıtulo 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

DE PRIMER ORDEN

Una vez dadas algunas de las definiciones básicas correspondientes a las ecuaciones diferenciales ordinarias podemos estudiar los métodos de solución. Para esto, empecemos con las ecuaciones más sencillas, pero no menos importantes, ya que existe un sin número de aplicaciones de estas ecuaciones, tanto en las ciencias exactas como en las ingenier´ıas.

De la ecuaci´on (1.1), se deduce que una ecuaci´on diferencial de primer orden tiene la forma

Fx, y, y0= 0 (2.1)

Si, además, suponemos que esta ecuación se puede resolver respecto a su derivada, entonces, tenemos la siguiente ecuación

y0= f (x, y) (2.2)

Para esta ecuación es válido el siguiente teorema acerca de la existencia y unicidad de su solución. Teorema 2.0.1. (existencia y unicidad) Sea dada la ecuación diferencial

y0= f (x, y), (2.3)

y sea f (x, y) una funci´on continua de las variables x, y, definida en un cierto dominio D en el plano x0y. Si existe una vecindad Ω de un punto M0(x0, y0) ∈ D, donde f (x, y);

es continua en todos los argumentos,

admite derivada parcial ∂f_∂y, entonces, existe un intervalo (x0− h0, y0+ h0) en la x− abcisa en

el cual existe una solución única y = φ(x) de la ecuación (2.3), tal que, para una x = x0 hay

una y = y0, figura (2.1)

(20)

Figura 2.1:

La condici´on, de que la funci´on debe tomar un valor dado y0 para un x = x0, se conoce como

condici´on inicial. Formalmente, esta condici´on la escribimos como

y |x=x0= y0 ⇐⇒ y(x0) = y0 (2.4)

El problema de hallar una soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2.2), sujeta a las condiciones iniciales (2.4), se conoce como problema de Cauchy .

Desde el punto de vista geom´etrico, el teorema nos dice que por el punto M (x0, y0) pasa una y

s´olo una curva integral de la ecuaci´on (2.3).

El teorema anterior expresa las condiciones suficientes para la existencia de una solución única del problema de Cauchy para la ecuación (2.3), pero estas condiciones no son necesarias, ya que puede existir una solución única de la ecuación (2.3), que satisface a la condición inicial (2.4), a pesar de que en el punto (x0, y0) no se cumpla una (o las dos) de las condiciones del teorema.

Apliquemos el teorema anterior para analizar los siguientes ejercicios. a) y0= x + y2, b) y0=x

y. (2.5)

(21)

19

Tenemos que la funci´on f (x, y) es

f (x, y) = x + y2. (2.6)

la derivada de esta funci´on respecto a y es ∂f

∂y = 2y. (2.7)

Como podemos ver, las condiciones del teorema se cumplen, es decir, la función f (x, y) en (2.6), y su derivada parcial (2.7), son continuas en todo el dominio de x y y. Entonces, existe una, y sólo una solución y = φ(x) que cumple la condición y(x = x0) = y0.

Soluci´on b):

Tenemos que la funci´on y su derivada son f (x, y) = x y. ∂f ∂y = − x y2. (2.8)

Como podemos ver, ´estas presentan discontinuidad en los puntos (x0, 0) del eje x. Por lo tanto, las

dos condiciones del teorema no se cumplen. Sin embargo, por cada punto del eje x pasa una sola curva integral

y = q

x2_{− x}2

0, (2.9)

donde x0es una constante arbitraria.

Del teorema(existencia y unicidad), se deduce que la ecuación (2.2), tiene un número infinito de soluciones diferentes. Por ejemplo, la solución cuya gráfica pasa por el punto (x0, y0) y otra solución

cuya gr´afica pasa por (x0, y1) y otra que pasa por (x0, y2) y otra m´as que pasa por (x0, y3) y as´ı

suce-sivamente, siempre y cuando estos puntos sean puntos del dominio D que es donde est´a definida la funci´on.

Se llama solución general de una ecuación diferencial de primer orden a la función

y = φ(x, c) (2.10)

que depende de una constante arbitraria c, y cumple las siguientes condiciones Satisface la ecuaci´on diferencial para cualquier valor de c

Cualquiera que sea la condici´on inicial y = y0 para x = x0, se puede encontrar un valor de

c = c0, tal que la funci´on y = φ(x, c0) cumpla la condici´on inicial dada. Es claro que estamos

suponiendo que los valores y0 y x0 pertenecen al dominio de variaci´on de x y y, en el cual se

verifican las condiciones del teorema sobre la existencia y unicidad de la soluci´on.

Frecuentemente, sucede que cuando buscamos la solución de una ecuación diferencial llegamos a la relación del tipo

Φ(x, y, c) = 0 (2.11)

no resuelta respecto a y, donde es imposible expresar a y en función de funciones elementales, es decir, expl´ıcitamente. En tal caso la solución general (2.11), se llama solución impl´ıcita .

(22)

Toda funci´on y = φ(x, c0) que sea obtenida a partir de la soluci´on general y = φ(x, c), ya sea

aplicando las condiciones iniciales ´o dando a la constante c un valor determinado c = c0 se llama

solución particular y la relación Φ(x, y, c0) = 0 se llama integral particular de la ecuación diferencial.

Desde el punto de vista geométrico, la integral general representa una familia de curvas en el plano de coordenadas dependientes de una constante arbitraria c ( a veces, en lugar de constante arbitraria se dice parámetro c). A estas curvas se les conoce como curvas integrales de la ecuación diferencial dada. Cada integral particular será representada por una curva de esta familia, la cual pasa por un punto del plano x0y.

Toda ecuaci´on diferencial, de primer orden (2.2), se puede escribir tambi´en de la siguiente manera

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.12)

donde M (x, y) y N (x, y) son funciones continuas dadas en un cierto dominio D del plano x0y, las cuales no contienen puntos singulares. En realidad la expresión (2.12), contiene dos ecuaciones diferenciales de primer orden; una respecto a la función y(x) y la otra respecto a la función x(y). En el primer caso, por solución de la ecuación (2.12), se entiende la función y = φ(x, c) que está definida en cierto intervalo (a, b), tiene derivada continua y satisface la ecuación (2.12).

Debido a que el diferencial dx de la variable independiente x no es igual a cero, la ecuación (2.12), se puede dividir entre dx y obtener un valor de y(x) que satisfaga la ecuación diferencial de primer orden escrita en su forma conocida. Para esto dividimos entre dx la ecuación (2.12), tenemos

M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0. (2.13)

Ahora escribiendo esta expresi´on de la siguiente manera

dy dx = −

M (x, y)

N (x, y) = f (x, y), (2.14)

siempre y cuando N (x, y) 6= 0. Como se puede observar, las expresiones (2.2) y (2.12) son simple-mente dos maneras de escribir lo mismo, es decir, dos diferentes representaciones.

Siguiendo el mismo razonamiento, obtenemos que para las soluciones de la forma x = φ(y, c) la ecuaci´on diferencial (2.12) es equivalente a la siguiente

dx dy = −

N (x, y)

M (x, y) = g(x, y), (2.15)

siempre y cuando M (x, y) 6= 0. Vamos a estudiar más detalladamente la ecuación diferencial (2.14), donde x es la variable independiente y y(x) es la función dependiente. No existe un método general para integrar las ecuaciones diferenciales de primer orden (2.14). Sin embargo, para ciertas formas particulares de la función f (x, y) s´ı existen métodos generales de integración. Estos métodos se analizan detalladamente en las secciones siguientes.

(23)

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES 21

2.1. Ecuaciones Diferenciales con Variables Separables

Supongamos que en la ecuaci´on (2.12) podemos escribir M (x, y) = p1(x)q1(y) y N (x, y) =

p2(x)q2(y), entonces, tenemos la siguiente expresi´on

p1(x)q1(y)dx + p2(x)q2(y)dy = 0 (2.16)

donde pi(x), i = 1, 2., son funciones continuas dadas en un intervalo (a, b), y qi(y), i = 1, 2., son

funciones tambi´en continuas en el intervalo (c, d) y el dominio D = [(x, y) : x ∈ (a, b), y ∈ (c, d)] no contiene puntos singulares de la ecuaci´on (2.16). Al tipo de ecuaciones (2.16), se les conoce como ecuaciones diferenciales con variables separables .

Supongamos que en (2.16), ninguna de las funciones p2(x) y q1(x) son id´enticamente igual a cero,

esto nos permite expresar la ecuaci´on (2.16), en la forma p1(x)

p2(x)

dx +q2(y) q1(y)

dy = 0. (2.17)

De donde la integración término a término nos conduce a la relación Z _p 1(x) p2(x) dx + Z _q 2(y) q1(y) dy = c, (2.18)

que, precisamente, determina en forma impl´ıcita la solución general de la ecuación (2.16). Obsérvese que, en la expresión (2.18), c es una constante de integración, la cual será determinada de las condiciones iniciales. Al calcular las dos integrales en (2.18), ya no es necesario introducir ninguna constante de integración, ya que, a la suma o resta de dos o más constantes siempre podemos representarla por medio de una sola constante, en este caso por c.

Ejemplo 1.

Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial e−y1 + dy

dx

= 1. (2.19)

Soluci´on:

Antes que nada debemos analizar qué tipo de ecuación es. Para esto, reescribamos la ecuación dada en la siguiente forma

e−y+ e−ydy dx = 1 → e −ydy dx = 1 − e −y _→ _e−ydy dx = −(e −y_{− 1).} _(2.20)

De la ´ultima ecuaci´on, en (2.20), vemos que podemos separar las variables, esto es e−y

e−y_{− 1}dy = −dx. (2.21)

Ahora integrando las dos partes − Z _d(e−y_{− 1)} e−y_{− 1} = − Z dx → Z _d(e−y_{− 1)} e−y_{− 1} = Z dx, (2.22)

(24)

donde hemos tomado en cuenta la relaci´on d(e−y− 1) = −e−y_{dy. Integrando esta expresi´}_on

obte-nemos la soluci´on general

ln |e−y− 1| = x + ln c, (2.23)

donde por comodidad hemos tomado a la constante de integraci´on como ln c, desde luego pudimos haber tomado a la constante c, esto no altera el resultado.

Ahora solo nos queda representar la soluci´on general en una forma m´as elegante(compacta). Esto se puede hacer haciendo uso de las propiedades de los logaritmos

ln y + ln x = ln |yx|, ln y − ln x = ln y x , ln y = x → y = e x_.

Aplicando estas propiedades a la ecuaci´on (2.23), la soluci´on general tiene la forma

e−y = 1 + cex. (2.24)

Como podemos observar, la solución general está dada en forma impl´ıcita. Ejemplo 2: Resolver la ecuación dy dx = (x 2_{+ 1)y ln y.} _(2.25) Solución:

Esta ecuaci´on es de variables separables, dy y ln y = (x 2_{+ 1)dx} → Z _dy y ln y = Z (x2+ 1)dx. (2.26)

Tomando en cuenta que d(ln y) = 1

ydy, tenemos

Z _{d ln y} ln y =

Z

(x2+ 1)dx. (2.27)

Integrando, obtenemos la soluci´on general

ln | ln y| = x

3

3 + x + c. (2.28)

Ejemplo 3:

Resolver el problema de Cauchy

x2ydx = (x3+ 1)(y2+ 1)dy, y(2) = 3. (2.29) Soluci´on:

Como podemos ver, esta ecuaci´on es de variables separables. Separando las variables, tenemos x2 x3_{+ 1}dx = y2_{+ 1} y dy. (2.30) Integrando 1 3 Z _d(x3_{+ 1)} x3_{+ 1} = Z y + 1 y dy, (2.31)

(25)

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES 23 resulta 1 3ln |x 3_{+ 1| =} y2 2 + ln y + c 3 → ln |x 3_{+ 1| =} 3 2y 2_{+ 3 ln y + c,} _(2.32)

donde hemos tomado por constante de integraci´on a c/3 esto es por comodidad. Usando las propiedades de los logaritmos y acomodando t´erminos, tenemos el resultado final

ln x3_{+ 1} y3 = 3 2y 2_{+ c.} _(2.33)

Esta es la solución general de la ecuación (2.29). Para hallar la solución con las condiciones y(2) = 3, es necesario sustituir estos valores en (2.33). Tenemos

ln (2)3_{+ 1} (3)3 = 3 2(3) 2_{+ c} _→ _{c = ln} 9 27 − 27 2 . (2.34)

Sustituyendo el valor de c en (2.33), tenemos la soluci´on del problema de Cauchy ln x3_{+ 1} y3 = 3 2y 2_{+ ln} 1 3 − 27 2 . (2.35)

Esta es la soluci´on particular de (2.29). Ejemplo 4:

Resolver la ecuaci´on diferencial dy

dx = ay + by

2_, _a _y _b _son _constantes. _(2.36)

Soluci´on:

Esta ecuaci´on es de variables separables dy by2_{+ ay} = dx → Z _dy y(by + a) = Z dx. (2.37)

Para resolver la primer integral de la izquierda, en (2.37), usaremos fracciones parciales, esto es 1 y(by + a) = A y + B by + a → A = 1 a, B = − b a → 1 y(by + a) = 1 ay − b a(by + a). (2.38) Entonces, la primer integral

Z _dy y(by + a) = 1 a Z _dy y − 1 a Z _dy y +a_b = 1 aln y − 1 aln y + a b . (2.39)

Luego poniendo este resultado en (2.37) e integrando la parte derecha, tenemos 1 aln y − 1 aln y + a b = x + c1, (2.40)

donde c1 es la constante de integraci´on. Usando las propiedades de los logaritmos y haciendo un

poco de ´algebra elemental, podemos escribir la soluci´on (2.40) de la siguiente manera y(x) = ae

ac1_eax

b(1 − eac1_eax₎ → y(x) =

a

Ce−ax_{− b}, (2.41)

donde hemos multiplicado la primer expresi´on de (2.41), por e−ac1_e−ax _{y definido la constante de}

(26)

2.2. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Separables

Supongamos ahora que la funci´on f (x, y) en (2.2) tiene la forma f (ax + by + c), entonces, la ecuaci´on diferencial se escribe de la siguiente manera

dy

dx = f (ax + by + c) (2.42)

donde a, b y c son ciertas constantes dadas. La ecuación (2.42) puede reducirse a una ecuación con variables separables si hacemos la siguiente sustitución

z = ax + by + c (2.43)

En (2.43), z es una funci´on continua de x, es decir, z = z(x). Para sustituir en la ecuaci´on (2.42), debemos tomar la derivada de z respecto a x, tenemos

dz dx = a + b dy dx. (2.44) De donde dy dx = 1 b dz dx − a b. (2.45)

Entonces, la ecuaci´on (2.42), se reduce a dz

dx = bf (z) + a. (2.46)

Esta última ecuación es una ecuación con variables separables. Su solución impl´ıcita es

Z _dz bf (z) + a = Z dx → Z _dz f (z) +a_b = b Z dx + c1, (2.47)

donde c1 es la constante de integración. La solución impl´ıcita, (2.47), es la solución de la ecuación

diferencial (2.46). Entonces, para obtener la solución de la ecuación (2.42), debemos recordar que hicimos la sustitución (2.43). O bien, en términos de las variables x y y, tenemos

Z _{d(ax + by + c)} f (ax + by + c) + a_b = b

Z

dx + c1. (2.48)

Al integrar la expresión (2.48) obtendremos la solución general de la ecuación diferencial (2.42). Ejemplo 1:

Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial dy

dx = p

4x + 2y − 1. (2.49)

Soluci´on:

Según el método antes visto, para resolver este tipo de ecuación debemos hacer el cambio

(27)

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A SEPARABLES 25

Ahora, para sustituir (2.50) en la ecuación (2.49), debemos encontrar la derivada dy_dx en términos de la nueva función z(x). Para esto, calculamos la derivada, en (2.50), respecto a x

dz dx = 4 + 2 dy dx, (2.51) de donde obtenemos dy dx = 1 2 dz dx − 2. (2.52)

Sustituyendo en la ecuaci´on original (2.49), tenemos 1 2 dz dx − 2 = √ z → dz dx = 2 √ z + 4. (2.53)

De esta forma obtenemos una ecuaci´on con variables separables, la cual podemos resolver sin ning´un problema. Integrando Z _dz √ z + 2 = 2 Z dx. (2.54)

Calculemos la integral de lado izquierdo. Para esto hacemos el cambio de variable u =√z, du = 1 2z −1/2_dz, _{2udu = dz.} _(2.55) Sustituyendo en (2.54), obtenemos 2 Z _u u + 2du = 2 Z _{u + 2 − 2} u + 2 du = 2 Z 1 − 2 u + 2 du = 2u − 2 ln |u + 2|= 2u − 4 ln |u + 2|. (2.56) Recordando que u =√z, tenemos que la integral es

Z _dz

√

z + 2 = 2 √

z − 4 ln |√z + 2| (2.57)

Regresando a las variables x, y, e integrando la parte derecha de la ecuación (2.54), resulta que la solución general de la ecuación (2.49), está dada por la expresión

p

4x + 2y − 1 − 2 ln |p4x + 2y − 1 + 2| = x + c. (2.58) Esta soluci´on est´a en forma impl´ıcita. La constante c puede tomar diferentes valores dependiendo de las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo 2:

Resolver la ecuaci´on diferencial

dy dx = (x + y) 2_. _(2.59) Soluci´on: Hagamos la sustituci´on z = x + y → dz dx = 1 + dy dx → dy dx = −1 + dz dx. (2.60)

Sustituyendo este resultado en (2.59), tenemos −1 +dz

dx = z

2 _→ dz

dx = z

(28)

Separando las variables e integrando Z _dz

z2_{+ 1} =

Z

dx → arc tg z = x + c. (2.62)

Recordando que z = x + y, tenemos como resultado

arc tg(x + y) = x + c → x + y = tg(x + c). (2.63) Ejemplo 3:

Hallar la solución general de la ecuación dy dx = y x ln y − ln x. (2.64) Solución:

La ecuación (2.64) la podemos escribir de la siguiente manera dy dx = y xln y x . (2.65) Hagamos la sustitución z = y x → y = zx → dy dx = z + x dz dx. (2.66) Sustituyendo en (2.65), tenemos xdz dx = z(ln z − 1). (2.67) Integrando Z _dz z(ln z − 1) = Z _dx x. (2.68) Obtenemos ln | ln z − 1| = ln x + ln c → ln ln z − 1 cx = 0 → ln z = cx + 1. (2.69) Recordando la sustitución z = y_x, obtenemos finalmente la solución de la ecuación (2.64),

lny x

= cx + 1. (2.70)

2.3. Ecuaciones Diferenciales Homog´

eneas

Una función F (x, y) es homogénea de orden n, si para todo λ > 0 se cumple la relación

F (λx, λy) = λn_{F (x, y)} _(2.71)

Ejemplo 1:

Analizar si la funci´on dada es homog´enea y de que orden

(29)

2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOG ´ENEAS 27

Soluci´on:

De la definici´on, tenemos

F (λx, λy) = (λx)2+ (λy)2= λ2(x2+ y2) = λ2F (x, y). (2.73) Es decir, la función (2.72), es una función homogénea de orden 2.

Ejemplo 2: Sea la funci´on

F (x, y) = x

2_{+ y}

x , (2.74)

analizar si ésta es o no homogénea. Solución:

Aplicando la definici´on, tenemos F (λx, λy) = (λx) 2_{+ λy} λx = λ2_x2_{+ λy} λx = λ(λx + y) λx = λx + y x , (2.75)

la cual, no cumple con la condici´on (2.71), y por consiguiente no es homog´enea. Ejemplo 3:

Demostrar que la funci´on

F (x, y) = x

4_{+ y}4

y4 , (2.76)

es homog´enea de orden cero. Soluci´on:

De la definici´on, tenemos F (λx, λy) = (λx) 4_{+ (λy)}4 (λy)4 = λ4_x4_{+ λ}4_y4 λ4_y4 = λ4_(x4_{+ y}4₎ λ4_y4 = F (x, y). (2.77)

Esto muestra que n = 0 y por lo tanto, la función (2.76), es homogénea de orden cero. Toda ecuación diferencial de la forma (2.2),

dy

dx = f (x, y) (2.78)

se llama ecuación diferencial homogénea , si la función f (x, y) es homogénea de orden cero. De una forma equivalente, toda ecuación diferencial de la forma

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.79)

será homogénea, si y sólo si, las funciones M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas del mismo orden.

Toda ecuación diferencial homogénea se reduce a una ecuación diferencial con variables separables mediante la sustitución y = z(x)x.

(30)

Para demostrar lo anterior, supongamos que las funciones M (x, y) y N (x, y) en (2.79), son funciones homog´eneas del mismo orden y, por consiguiente, tiene lugar la sustituci´on y = z(x)x. Entonces, tenemos que el diferencial dy se expresa como

dy = zdx + xdz, (2.80)

sustituyendo en la ecuaci´on (2.79), obtenemos

M (x, zx)dx + N (x, zx)[zdx + xdz] = 0, (2.81) acomodando t´erminos, resulta

[xM (1, z) + zxN (1, z)]dx + x2N (1, z)dz = 0. (2.82) Luego, dividiendo entre x llegamos a la relaci´on

[M (1, z) + zN (1, z)]dx + xN (1, z)dz = 0. (2.83) Por último, separando variables e integrando ambas partes de (2.83), obtenemos impl´ıcitamente la solución general de la ecuación (2.83).

Z _dx x +

Z _{N (1, z)}

M (1, z) + zN (1, z)dz = c, (2.84)

donde c es la constante de integración. Al integrar (2.84), tendremos la solución representada como z(x) = χ(x, c) de donde debemos recordar el cambio z = y/x, para tener la solución y(x) = φ(x, c) que será la solución general de la ecuación (2.79).

Ejemplo 4:

Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial

(y2+ xy − x2)dx − x2dy = 0. (2.85)

Soluci´on:

Esta ecuaci´on tiene la forma de (2.79). Veamos si es homog´enea, para esto identificamos las funciones M (x, y) y N (x, y)

M (x, y) = y2+ xy − x2, N (x, y) = −x2. (2.86) Es fácil mostrar que estas funciones son homogéneas del mismo orden 2. Entonces, hagamos la sustitución

y = zx → dy = zdx + xdz. (2.87)

Sustituyendo en la ecuaci´on (2.85), obtenemos

(z2x2+ zx2− x2_{)dx − x}2_{(zdx + xdz) = 0.} _(2.88)

Factorizando, resulta

x2[(z2+ z − 1 − z)dx − xdz] = 0. (2.89) Suponiendo que x26= 0, entonces debe cumplirse la relaci´on

(z2+ z − 1 − z)dx + xdz = 0 → Z _dx x − Z _dz z2_{− 1} = 1 2ln c. (2.90)

(31)

donde, por comodidad, hemos escogido a la constante de integraci´on como 1₂ln c. La segunda integral de la izquierda la desarrollaremos en fracciones parciales, es decir

1 z2_{− 1} = 1 (z + 1)(z − 1) = A z + 1 + B z − 1 → A = − 1 2, B = 1 2. (2.91)

Entonces, regresando a la segunda expresi´on de (2.90), tenemos Z _dx x + 1 2 Z _dz z + 1− 1 2 Z _dz z − 1 = 1 2ln c. (2.92)

Integrando esta expresi´on, tenemos ln x + 1 2ln |z + 1| − 1 2ln |z − 1| = 1 2ln c. (2.93)

Utilizando las propiedades de los logaritmos, obtenemos ln x2_{(z + 1)} c(z − 1) = 0 → x 2_{(z + 1) = c(z − 1).} _(2.94)

Recordando la sustituci´on y = zx, de donde z = y_x, y sustituyendo en (2.94), resulta x2y x+ 1 = cy x− 1 . (2.95)

Esta expresi´on la podemos escribir en su forma final

x2(y + x) = c(y − x). (2.96)

Otro tipo de ecuación diferencial homogénea es la ecuación

dy dx = f _y x (2.97)

Entonces, haciendo la sustituci´on

z = y_x → y = xz (2.98)

Derivando respecto a x, de (2.98), resulta dy dx = z + x dz dx. (2.99) Sustituyendo en (2.97), z + xdz dx = f (z). (2.100)

Esta ecuaci´on es de variables separables. Integrando obtenemos

Z _dz f (z) − z = Z _dx x → ln x c = Z _dz f (z) − z (2.101)

Este mismo resultado lo podemos escribir de la siguiente forma x = ce

R dz

(32)

donde c 6= 0 es la constante de integraci´on.

Una ecuación homogénea más general que la ecuación (2.97), tiene la forma

dy dx = x α−1_f y xα (2.103)

Esta ecuación se puede reducir a una ecuación con variables separables haciendo la sustitución

y = xα_z(x) _(2.104)

Derivando esta expresi´on respecto a x, obtenemos dy

dx = αx

α−1_{z + x}αdz

dx. (2.105)

Sustituyendo este resultado en (2.103), tenemos la siguiente ecuaci´on αxα−1z + xαdz dx = x α−1_{f (z)} _→ dz dx = 1 x[f (z) − αz]. (2.106) Separando las variables e integrando

Z _dz

f (z) − αz = Z _dx

x. (2.107)

Finalmente, este resultado lo podemos escribir como ln x c = Z _dz f (z) − αz → x = ce R dz f (z)−αz_, _(2.108)

donde c 6= 0 es la constante de integración. Observe que las soluciones (2.102), y (2.108), son muy semejantes excepto por el número arbitrario α, que puede tomar cualquier valor y para el caso en que α = 1, la ecuación (2.103), se reduce a la ecuación (2.97).

Toda ecuaci´on del tipo

yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0 (2.109)

se reduce a una ecuaci´on con variables separables mediante la sustituci´on

z = xy → y = z

x (2.110)

Para probar esto, diferenciemos (2.110), respecto a x, tenemos dy = xdz − zdx x2 . (2.111) Sustituyendo en (2.109), resulta z xf (z)dx + xg(z) hxdz − zdx x2 i = 0. (2.112)

(33)

Esta expresi´on se reduce a la ecuaci´on

z[f (z) − g(z)]dx + xg(z)dz = 0, (2.113)

la cual es de variables separables. Entonces, tenemos el resultado final Z _dx

x +

Z _g(z)dz

z[f (z) − g(z)] = c. (2.114)

La sustituci´on z = xm_yn _{transforma una ecuaci´}_{on de la forma}

dy dx =

y xf (x

m_yn₎ _(2.115)

en una ecuaci´on con variables separables. Para demostrar esta afirmaci´on, tomemos la derivada de z = xmyn, dz dx = mx m−1_yn_{+ nx}m_yn−1dy dx → 1 n dz dx− m nx = 1 xf (z). (2.116)

Esta ecuaci´on la podemos escribir como 1 n dz dx = 1 x h f (z) +m n i , (2.117)

la cual es de variables separables. Separando las variables e integrando, obtenemos

Z _dz

[nf (z) + m]= Z _dx

x. (2.118)

Ejemplo 5:

Resolver la ecuaci´on diferencial xdy dx − y = (x + y) ln x + y x . (2.119) Soluci´on:

Escribamos esta ecuaci´on de la siguiente manera dy dx = y x+ x + y x lnx + y x . (2.120)

Esta ecuación es homogénea, as´ı que podemos transformarla en una ecuación con variables separables con la siguiente sustitución

z(x) =_xy (2.121)

Diferenciando respecto a x, tenemos dz dx = xdy_dx− y x2 → dy dx = x dz dx+ z. (2.122)

Sustituyendo en la ecuaci´on (2.120), obtenemos xdz

(34)

Como podemos ver, esta ecuaci´on es de variables separables

Z _dz

(1 + z) ln(1 + z)= Z _dx

x . (2.124)

Estas integrales son bastante sencillas de resolver si notamos que el t´ermino (1 + z) que est´a en el denominador, es el diferencial de ln(1 + z), as´ı

Z _{d ln(1 + z)} ln(1 + z) = Z _dx x. (2.125) El resultado de integrar es ln ln(1 + z) = ln cx, (2.126)

Usando las propiedades de los logaritmos, tenemos que

ln(1 + z) = cx. (2.127)

Ahora, regresando a las variables y, x, tenemos la soluci´on general lnx + y

x

= cx. (2.128)

Ejemplo 6:

xy0 = y − xey/x. (2.129)

Soluci´on:

Como podemos ver, esta es una ecuación homogénea, por lo tanto podemos reducirla a una ecuación con variables separables mediante la sustitución

z = y

x → y = xz. (2.130)

Diferenciando respecto a x el último término de la expresión (2.130), obtenemos dy

dx = z + x dz

dx. (2.131)

Sustituyendo en la ecuaci´on original (2.129), tenemos la siguiente ecuaci´on z + xdz dx = z − e z _→ _xdz dx = −e z_. _(2.132) Separando variables Z e−zdz = − Z _dx x . (2.133) Integrando, tenemos −e−z_{= − ln x − ln c} _→ _e−z_{= ln x + ln c} _→ _e−z _{= ln |cx|.} _(2.134)

Ahora recordamos que hicimos el cambio z = y/x, lo sustituimos en la ´ultima ecuaci´on de (2.134), y obtenemos

ln |cx| = e−y/x. (2.135)

Esta expresi´on la podemos escribir como

y = −x ln | ln cx|. (2.136)

En la siguiente sección veremos otro tipo más general de ecuaciones diferenciales que se reducen a ecuaciones homogéneas las cuales, a su vez, se reducen a ecuaciones con variables separables.

(35)

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOG ´ENEAS 33

2.4. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homog´

eneas

Mediante una transformaci´on lineal apropiada, toda ecuaci´on del tipo

dy dx = f _ax+by+c a1x+b1y+c1 (2.137)

se reduce a una ecuación homogénea la cual, a su vez, con la sustitución que vimos anteriormente y = z(x)x, se reduce a una ecuación con variables separables.

En la ecuaci´on (2.137), las funciones g(x, y) = ax + by + c = 0 y g1(x, y) = a1x + b1y + c1 = 0

definen dos rectas que cuando c = c1= 0 pasan por el or´ıgen de coordenadas y en tal caso (2.137),

es una ecuación homogénea que se reduce a una ecuación con variables separables.

Supongamos que al menos uno de los par´ametros c o c1, o ambos son diferentes de cero, entonces,

la ecuación (2.137), no es una ecuación diferencial homogénea. En tal caso, de las ecuaciones g(x, y) = ax + by + c = 0 y g1(x, y) = a1x + b1y + c1= 0 podemos hallar el punto de intersección de las rectas

(x0, y0) a donde debemos trasladar el or´ıgen del nuevo sistema de coordenadas X, Y , obteniendo de

esta manera la transformaci´on lineal

x = X + x0 y = Y + y0 (2.138)

donde x0, y0 son ciertas constantes arbitrarias y diferentes de cero. Entonces, tenemos

dy dx =

dY

dX. (2.139)

Ahora sustituyendo en la ecuaci´on (2.137), las expresiones (2.138), y (2.139), obtenemos dY dX = f aX + bY + ax₀+ by₀+ c a1X + b1Y + a1x0+ b1y0+ c1 . (2.140)

Elijamos x0 y y0de tal manera que se cumplan las ecuaciones;

ax0+ by0+ c = 0,

a1x0+ b1y0+ c1= 0. (2.141)

Es decir, determinemos las constantes x0 y y0como soluciones del sistema de ecuaciones algebr´aicas

(2.141). Bajo esta condición la ecuación (2.137), tomará la forma dY dX = f aX + bY a1X + b1Y . (2.142)

Está claro que esta ecuación es homogénea según la definición dada anteriormente (2.71). Mediante la sustitución Y = z(X)X la ecuación (2.142), se reduce a una ecuación con variables separables. Al resolver la ecuación (2.142), y regresando a las variables x y y [para esto de (2.138), debemos cambiar a las X, Y por X = x−x0, Y = y −y0], obtenemos la solución general de la ecuación (2.137).

El sistema de ecuaciones (2.141) no tendr´a soluci´on si su determinante es cero, en tal caso, ab1 = a1b. No obstante, se puede notar que en tal caso a_a1 = b_b1 = λ, es decir, a1= λa, b1 = λb y,

como consecuencia, la ecuaci´on (2.137), se transformar en dy dx = f (ax + by) + c λ(ax + by) + c1 . (2.143)

(36)

Luego, haciendo la sustituci´on

z = ax + by, (2.144)

en (2.143), ésta se reduce a una ecuación con variables separables. Veamos que la hipótesis es cierta. Derivando (2.144) respecto a x, obtenemos

dz dx = a + b dy dx. (2.145) De donde, dy dx = 1 b dz dx − a b. (2.146)

Sustituyendo las expresiones (2.144), y (2.145), en (2.143), obtenemos, finalmente 1 b dz dx − a b = f z + c λz + c1 . (2.147)

La ecuaci´on (2.147), es una ecuaci´on con variables separables

Z _dz f_λz+cz+c 1 +a_b = b Z dx + C, (2.148)

donde c y c1son constantes dadas y C es la constante de integraci´on.

Ejemplo 1:

(x − y + 3)dx + (3x + y + 1)dy = 0. (2.149) Soluci´on:

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos encontrar el punto de intersecci´on de las rectas x − y + 3 = 0 y 3x + y + 1 = 0. Esto es, resolver el sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas

x − y + 3 = 0,

3x + y + 1 = 0. (2.150)

Al resolver este sistema obtenemos los puntos de intersecci´on, x0 = −1 y y0 = 2. Al punto (−1, 2)

es a donde debemos trasladar el origen de coordenadas para que la ecuación (2.149), se transforme en homogénea. Para esto hacemos x = X − 1 y y = Y + 2, y vemos que, dx = dX, dy = dY , los diferenciales de x y y no cambian, pues estamos desplazando en unas constantes. De este modo, la ecuación original (2.149), toma la siguiente forma

(X − 1 − Y − 2 + 3)dX + (3X − 3 + Y + 2 + 1)dY = 0 → (X − Y )dX + (3X + Y )dY = 0. (2.151) Esta ecuación es una ecuación homogénea y la podemos transformar en una con variables separables haciendo la sustitución Y = zX, dY = zdX + Xdz. (2.152) Sustituyendo en (2.151), tenemos (X − zX)dX + (3X + zX)(zdX + Xdz) = 0. (2.153) Agrupando términos (1 + z)2dX + X(3 + z)dz = 0. (2.154)

(37)

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOG ´ENEAS 35 Separando e integrando Z _dX X + Z _{z + 3} (z + 1)2dz = c. (2.155)

La primer integral es f´acil. Hagamos por separado la segunda integral, esto es Z _{z + 3} (z + 1)2dz = Z _{z + 1 + 2} (z + 1)2 dz = Z _dz z + 1 + Z ₂ (z + 1)2dz = = ln |z + 1| − 2 z + 1. (2.156)

Luego, tenemos que la soluci´on de la expresi´on (2.155), es ln |X| + ln |z + 1| − 2

z + 1 = c. (2.157)

Regresando a las variables X, Y mediante la relaci´on z = Y /X, entonces, de (2.157), resulta ln |X| + ln 1 + Y X − 2 Y X + 1 = c. (2.158)

Haciendo un poco de operaciones algebr´aicas la expresi´on (2.158), la podemos escribir como ln |X| + ln X + Y X − 2X Y + X = c, (2.159)

la cual, finalmente, tiene la forma

ln |X + Y | − 2X

Y + X = c. (2.160)

Aún nos falta regresar a las variables originales x, y. Tenemos que X = x + 1 y Y = y − 2, de modo que la solución general de la ecuación (2.149) es

ln |x + y − 1| = c + 2(x + 1) x + y − 1. (2.161) Ejemplo 2: Resolver la ecuaci´on dy dx = y − x + 1 y − x . (2.162) Soluci´on:

Esta ecuación tiene la forma de (2.143). Hagamos la sustitución, según (2.144), tenemos z = y − x → dz dx = dy dx − 1 → dy dx = 1 + dz dx. (2.163) Sustituyendo en (2.162), resulta 1 + dz dx = z + 1 z → dz dx = z + 1 z − 1 = z + 1 − z z = 1 z. (2.164)

Separando las variables e integrando, obtenemos Z zdz = dx → z 2 2 = x + c 2 → z 2_{= 2x + c,} _(2.165)

(38)

donde hemos escogido a c/2 como la constante de integración. Ahora, recordemos la sustitución z = y − x en (2.163), y poniéndola en la última expresión, (2.165), obtenemos el resultado final

(y − x)2= 2x + c. (2.166)

Ejemplo 3:

Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

(x − y + 6)dx − (x + y + 8)dy = 0. (2.167) Soluci´on:

De la ecuaci´on identificamos las funciones

M (x, y) = x − y + 6, N (x, y) = −x − y − 8. (2.168) Para encontrar el punto de intersecci´on de las rectas debemos resolver el sistema de ecuaciones

x − y + 6 = 0,

−x − y − 8 = 0. (2.169)

El punto de intersecci´on es x0= −7 y y0= −1. Entonces, haciendo el desplazamiento

x = X − 7, y = Y − 1. (2.170)

Luego, sustituyendo en (2.167), tenemos

(X − Y )dX − (X + Y )dY = 0. (2.171)

Esta ecuación es homogénea y la podemos resolver haciendo la sustitución Y = zX. Sin embargo, es más fácil escribirla de la siguiente manera

XdX − Y dX − XdY − Y dY = 0 → XdX − Y dY − d(XY ) = 0, (2.172) donde, d(XY ) = Y dX + XdY . Ahora es f´acil integrar

Z XdX − Z Y dY − Z d(XY ) = 1 2c. → 1 2X 2 −1 2Y 2 − Y X = 1 2c. (2.173) De la ecuaci´on (2.170), podemos regresar a las variables x y y, sustituyendo

X = x + 7, Y = y + 1, (2.174)

en la soluci´on (2.173), obtenemos la soluci´on general de (2.167)

(x + 7)2− (y + 1)2_{− 2(y + 1)(x + 7) = c.} _(2.175)

2.5. Ecuaciones Diferenciales Cuasi-homog´

eneas

Decimos que una funci´on F (x, y) es cuasi-homog´ena de grado k, si para ciertos valores de α y β tiene lugar la igualdad

(39)

2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES CUASI-HOMOG ´ENEAS 37

para todo λ > 0. El orden cuasi-homog´eneo se forma al multiplicar las funciones, a estos ´ordenes se les conoce por pesos. De tal forma que x y y, en (2.176), tienen pesos α y β, respectivamente.

Ejemplo 1:

Demostrar que la funci´on

F (x, y) = 3x2y3, (2.177)

es cuasi-homog´enea. Soluci´on:

De la definici´on, tenemos

F (λαx, λβ) = 3(λαx)2(λβy)3= 3λ2αx2λ3βy3= 3λ2α+3βx2y3= λ2α+3βF (x, y). (2.178) Entonces, como resultado, tenemos que el grado de la funci´on (2.177) es 2α + 3β y sus pesos, para x es 2α y para y, es 3β.

La ecuaci´on Diferencial

dy

dx = f (x, y) (2.179)

es cuasi-homogénea (con pesos α y β), si la función f (x, y) es cuasi-homogénea (con pesos α y β) de orden k = β − α. Es decir, si la función f (x, y) cumple la relación

f (λα_{x, λ}β_{y) = λ}β−α_{f (x, y)} _(2.180)

Si tenemos una ecuación diferencial cuasi-homogénea, es decir, si la función f (x, y), en (2.179), cumple la relación (2.180), entonces, la sustitución y = uβ/α_{, donde u = u(x), transforma la ecuaci´}_on

cuasi-homogénea en una ecuación homogénea. Sin embargo, desde el punto de vista más práctico, es mejor hacer la sustitución y = uxβ/α_{, la cual transforma la ecuaci´}_{on cuasi-homog´}_{enea en una}

ecuaci´on con variables separables. Ejemplo 2:

Comprobar que la ecuaci´on diferencial dy dx =

4x6_{− y}4

2x4_y , (2.181)

es cuasi-homogénea y hallar la solución general. Solución:

Supongamos que x tiene peso α, y β es el peso de y. Entonces, para que la ecuación sea cuasi-homogénea, la función f (x, y) deberá cumplir la relación

f (λαx, λβy) = 4(λ α_x)6_{− (λ}β_y)4 2(λα_x)4_(λβ_)y = 4λ6αx6− λ4β_y4 2λ4α+β_x4_y = λ β−α4x 6_{− y}4 2x4_y . (2.182)

De esta expresión vemos que para que esta función sea cuasi-homogénea se debe cumplir la relación 3α − 2β = 0 → 2β = 3α → si α = 1, entonces, β = 3

(40)

La ecuación (2.181), deberá reducirse a una ecuación con variables separables si hacemos el cambio de variables y = u(x)x3/2 → dy dx = 3 2x 1/2_{u(x) + x}3/2du dx. (2.184)

Sustituyendo (2.184), en la ecuaci´on (2.181), obtenemos x3/2du dx + 3 2x 1/2_{u =} 4x6− u4x6 2x4_ux3/2 . (2.185)

Dividiendo esta ´ultima ecuaci´on entre x1/2 y factorizando, tenemos xdu dx+ 3 2u = x6 x1/2_x11/2 4 − u4 2u . (2.186)

Finalmente, esta ecuaci´on se escribe como xdu dx+ 3 2u = 4 − u4 2u . (2.187)

Esta es una ecuaci´on con variables separables xdu dx = 4 − u4 2u − 3u 2 = − (u2_{+ 4)(u}2_{− 1)} 2u . (2.188)

Separando las variables, tenemos

Z _2udu

(u2_{+ 4)(u}2_{− 1)} = −

Z _dx

x. (2.189)

Ahora desarrollamos en fracciones parciales la expresi´on 2u (u2_{+ 4)(u}2_{− 1)} = Au + B u2_{+ 4} + Cu + D u2_{− 1} . (2.190)

De aqu´ı obtenemos el siguiente desarrollo 2u (u2_{+ 4)(u}2_{− 1)} = Au + B u2_{+ 4} + Cu + D u2_{− 1} = − 2u 5(u2_{+ 4)} + 2u 5(u2_{− 1)}. (2.191) Sustituyendo en (2.189), tenemos − Z _2u 5(u2_{+ 4)}du + Z _2u 5(u2_{− 1)}du = − Z _dx x. (2.192) Integrando obtenemos −1 5ln u 2_{+ 4} + 1 5ln u 2 − 1 = − ln |x| + ln c. (2.193) Hemos escrito ln c, en lugar de 5 ln c, esto no afecta a la solución. Podemos escribir la ecuación (2.193), de la siguiente manera ln x5_(u2_{− 1)} u2_{+ 4} = ln c → x 5_(u2 − 1) = c(u2+ 4). (2.194) Ahora recordemos la expresión (2.184), de la cual obtenemos la función u2= y2/x3, y sustituyendo en la ecuación (2.194), finalmente, tenemos

(41)

2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES CUASI-HOMOG ´ENEAS 39

Algunas veces es posible ”provocar” la homogeneidad de una ecuaci´on diferencial por medio de la introducci´on de nuevas variables s, t, tales que y = sp _{y x = t}q_{, donde p y q son exponentes por}

determinar(precisamente, de una elección adecuada de ellos es que podr´ıamos obtener una ecuación diferencial homogénea para las variables s y t). En esencia este método y el anterior son similares, sin embargo, creemos vale la pena mostrarlo.

Ejemplo 3:

Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial dy dx =

x2_y2_{− 2}

x2 . (2.196)

Soluci´on:

Obviamente, la ecuaci´on (2.196), no es homog´enea. As´ı que ”provoquemos” la homogeneidad haciendo el cambio de variables

y = sp, x = tq, donde p, q ∈ N. (2.197)

En la ecuación (2.197), t tomará el papel de variable independiente y s tendrá el papel de función dependiente. Entonces, dy = psp−1ds, dx = qtq−1dt. (2.198) Luego, dy dx = psp−1 qtq−1 ds dt. (2.199)

Sustituyendo en la ecuaci´on (2.196), tenemos psp−1 qtq−1 ds dt = t2q_s2p_{− 2} t2q . (2.200) O bien p q ds dt = tq−1_t2q_s2p_{− 2t}q−1 sp−1_t2q = t3q−1_s2p_{− 2t}q−1 sp−1_t2q . (2.201)

Supongamos que m y n son el resultado de las sumas de los exponentes en el numerador y el denominador de (2.201), respectivamente. Entonces, para que la ecuaci´on, (2.201), sea homog´enea del mismo orden debe cumplirse la igualdad m = n, donde

m = 3q − 1 + 2p, n = p − 1 + 2q, m = n, 3q − 1 + 2p = p − 1 + 2q → p = −q. (2.202) De donde podemos escoger q = 1 y entonces, p = −1. En tal caso, la ecuaci´on (2.201) se transforma en la ecuaci´on

ds dt = −

t2_s−2_{− 2}

t2_s−2 , (2.203)

la cual es homog´enea. Hagamos la sustituci´on z = t s → ds = zdt − tdz z2 → ds dt = 1 z − t z2 dz dt, (2.204)

donde z es una nueva funci´on dependiente de t. Sustituyendo en (2.203), tenemos 1 z − t z2 dz dt = − z2− 2 z2 → t dz dt = z 2_{+ z − 2.} _(2.205)

(42)

Esta ´ultima ecuaci´on es de variables separables, integremos

Z _dz

z2_{+ z − 2} =

Z _dt

t . (2.206)

La primer integral se hace por fracciones parciales 1 (z + 2)(z − 1) = A z + 2 + B z − 1. (2.207) Obtenemos Az − A + Bz + 2B = 1 → A = −B, 3B = 1, A = −1 3, B = 1 3. (2.208)

Sustituyendo el resultado en la primer integral de (2.206), obtenemos −1 3 Z _dz z + 2+ 1 3 Z _dz z − 1 = Z _dt t + 1 3ln c → − ln |z + 2| + ln |z − 1| = ln |ct 3_|. _(2.209)

Usando las propiedades de los logaritmos obtenemos el resultado en funci´on de las t, z, esto es ln z − 1 ct3_{(z + 2)} = 0 → z − 1 = ct 3_{(z + 2).} _(2.210)

Recordemos que z =_st = xy, ya que x = t y y = s−1=1_s. Entonces, el resultado final es

xy − 1 = cx3(xy + 2). (2.211)

En la siguiente secci´on analizaremos una important´ısima clase de ecuaciones diferenciales de primer orden conocidas con el nombre de ecuaciones diferenciales lineales

2.6. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

De la definición dada en Ç onceptos Básicos” tenemos que una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n, se escribe como

an(x)d

n_y

dxn+ an−1(x)d

n−1_y

dxn−1+ .... + a1(x)dy_dx+ a0(x)y = g(x)

De esta expresión se sigue que una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden se escribe de la siguiente manera

a1(x)dy_dx+ a0(x)y = g(x)

Debido a que a1(x) 6= 0, podemos dividir esta ´ultima expresi´on y obtener

dy dx + a0(x) a1(x) y = g(x) a1(x) .

Toda ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea se puede escribir en su forma estándar

dy

(43)

2.6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 41

donde P (x) = a0(x)

a1(x) y f (x) =

g(x)

a1(x) son funciones continuas de x en un cierto dominio D (tambi´en

pueden ser funciones constantes).

Analizaremos dos m´etodos para resolver las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homog´eneas (2.212).

Método I: Variación del Parámetro

Supongamos que podemos escribir la ecuaci´on (2.212), en la forma

dy

dx+ P (x)y = 0 (2.213)

a la cual llamaremos ecuación homogénea (no en el sentido que vimos anteriormente, sino que es homogénea porque estamos suponiendo, por un momento, que f (x) = 0).

La solución, de la ecuación (2.213), la podemos encontrar separando las variables y después integrando, es decir,

Z _dy y = −

Z

P (x)dx + ln c. (2.214)

Ahora, integramos y despejamos el logaritmo, tenemos

yh= ce−R P (x)dx. (2.215)

Hemos definido yhpara recordar que tenemos la solución de la ecuación homogénea (2.213), y no la

solución de la ecuación (2.212), que es no homogénea. En la expresión (2.215), c es la constante de integración o parámetro.

Definamos una nueva solución que llamaremos solución particular(o complementaria) y la rep-resentaremos como yp. Esta nueva solución se construye en base a la solución homogénea (2.215),

tomando a c como una función dependiente de x, es decir, como c = c(x). La solución particular tendrá la forma

yp= c(x)e−R P (x)dx= c(x)y1(x), (2.216)

donde y1(x) = e−R P (x)dx. Sustituyendo (2.216), en la ecuaci´on no homog´enea (2.212), tenemos

d dx[c(x)y1] + P (x)c(x)y1= f (x) → c(x) dy1 dx + y1 dc(x) dx + P (x)c(x)y1= f (x). (2.217) Agrupando t´erminos c(x)hdy1 dx + P (x)y1 i + y1 dc(x) dx = f (x), (2.218)

pero, la relación en paréntesis es cero, debido a que la función y1(x) satisface la ecuación homogénea

(2.213), de tal manera que tenemos

y1

dc(x)

dx = f (x). (2.219)

Como vemos, esta es una ecuaci´on con variables separables. Separando variables e integrando dc(x) = f (x) y1(x) dx → c(x) = Z _{f (x)} e−R P (x)dxdx = Z eR P (x)dxf (x)dx. (2.220)

(44)

De acuerdo con la relaci´on (2.216), tenemos que la soluci´on particular tiene la forma yp= y1c(x) = e−R P (x)dx

Z

eR P (x)dxf (x)dx. (2.221) De tal manera que la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea tiene la forma

y(x) = yh+ yp= ce−R P (x)dx+ e−R P (x)dxR eR P (x)dxf (x)dx (2.222)

Si sustituimos la solución obtenida en la ecuación (2.212), ésta última se anulará, mostrando as´ı que efectivamente la relación (2.222) es la solución general de la ecuación (2.212). Es importante men-cionar que la suma de dos soluciones(homogénea yh y particular yp) es válida sólo para ecuaciones

lineales.

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial

y0= y

3x − y2. (2.223)

Soluci´on:

Antes que nada debemos analizar la ecuaci´on. Vemos que la ecuaci´on (2.223), es no lineal respecto a y, debido a que hay una y2_{. Sin embargo, podemos observar que si la ecuaci´}_{on la vemos respecto a}

x, ésta será una ecuación lineal no homogénea. Es decir, tomamos a x como una función dependiente y a y como la variable independiente. Tenemos

dx dy −

3

yx = −y. (2.224)

Esta es una ecuación lineal no homogénea de primer orden respecto a x. Primero, hallaremos la solución correspondiente a la ecuación homogénea obtenida de (2.224), ésta es

dx dy −

3

yx = 0. (2.225)

La ecuaci´on (2.225), es una ecuaci´on con variables separables. Separando las variables e integrando, obtenemos

Z _dx x − 3

Z _dy

y = ln c. (2.226)

Donde hemos escogido, por comodidad, a la constante de integración c como ln c. Integrando ambas partes de (2.226), hallamos que la solución a la ecuación homogénea es

ln |x| − 3 ln |y| = ln c → xh= cy3. (2.227)

El siguiente paso es encontrar la soluci´on particular xp de la ecuaci´on (2.224). Para esto, tomamos

la solución (2.227), y suponemos a c como una función de y. La solución particular tiene la forma

xp= c(y)y3. (2.228)

Derivando (2.228), respecto a y, tenemos