Fuerzas Magneticas sobre cargas y elementos de corriente

(1)

FUERZAS MAGNETICAS SOBRE PARTICULAS MOVILES Y ELEMENTOS DE CORRIENTES FUERZAS MAGNETICAS SOBRE PARTICULAS MOVILES Y ELEMENTOS DE CORRIENTES PROBLEMA 1: Si una partícula cargada con velocidad v ingresa en un campo magnético PROBLEMA 1: Si una partícula cargada con velocidad v ingresa en un campo magnético uniforme B, demostrar que a) describe una circunferencia de v es perpendicular a B. b) uniforme B, demostrar que a) describe una circunferencia de v es perpendicular a B. b) Describe una hélice cilíndrica si v forma un ángulo con B

Describe una hélice cilíndrica si v forma un ángulo con B

z

x

y

B

ρρ

F

Fm

m

V

Vo

o

La fuerza que actúa sobre una

La fuerza que actúa sobre una partícula cargada espartícula cargada es F_Fm_m ==q q v

⋅⋅

( (

_{voo B}

××

B

))

Es decir, que la fuerza que actúa es

Es decir, que la fuerza que actúa es perpendicular al plano formado por la velocidad y el campoperpendicular al plano formado por la velocidad y el campo magnético uniforme B (es un producto escalar entre vo y B). El sentido se obtiene por la

magnético uniforme B (es un producto escalar entre vo y B). El sentido se obtiene por la reglaregla de la mano derecha.

(2)

A medida que la particula se mueve describe una trayectoria curvilinea cuyo radio se obtiene de igualar la fuerza centrífuga con la magnética

q v

⋅

B m v 2

⋅

R = o R m v

⋅

q B

⋅

=

La velocidad angular de la partícula será

ω

v R = q B

⋅

m = y el periodo T 2

⋅

π

ω

= 2

π

⋅

q B

⋅

m =

PROBLEMA 2: Dado un haz de electrones cuya distribución de velocidades es al azar, encontrar un método para seleccionar los electrones cn una velocidad determnada.

Ver simulacion

Un selector de velocidades consiste en un par de placas paralelas cargadas cada una de ellas con caras iguales y opuestas (bah... un condensador de placas paralelas) generadoras de un campo electrico constante entre ellas

(3)

B 1.706 10

=

×

−

3T B _me ve

ρ

⋅

_qe

⋅

:=

por lo que qe ve

⋅

B me ve 2

⋅

ρ

=

y esta fuerza se iguala con la centrífuga

Fm qe ve=

⋅

B

Sabemos que la fuerza magnética está dada por Velocidad del electrón

ve .01 c

:=

⋅

Carga del electrón

qe 1.6 10

:=

⋅

−

19C

Masa del electrón

me 9.1 10

:=

⋅

−

31kg Radio de la órbita

ρ

:=

0.01m Velocidad de la luz c 300000 km sec

:=

PEOBLEMA 3: Un electrón cuya velocidad es el 1% de la velocidad de la luz en el vacío,

penetra en un campo magnético uniforme, formando su velocidad un ángulo recto con el campo B. a) ¿Cuál es el valor de B si el electrón se mueve con una órbita de radio 1 cm (ojo, en la guía dice 10 cm)? b) ¿Cuál es el período del electrón en su órbita?

v E B

=

De modo que, pasarán por el selector de velocidades, aquellas partículas cuya velocidad sea

q E

⋅

=q v

⋅

B

Para que no se desvie la particula, el campo eléctrico se deberá compensar con el magnético

Campo

magnético

entrante

Campo

eléctrico

Referencia vectores

-- Fuerza Eléctrica

- Fuerza Magnética

+ + + + + + + + + +

(4)

ω

ve

ρ

= y f r = ₂

ω

_⋅

_π

la frecuencia es v p q p B

⋅

ρ

m p

⋅

=

entonces, la velocidad del protón es

m p v p 2

ρ

⋅

=_q p v p

⋅

B ac v p 2

ρ

= y como Fm m p ac=

⋅

=_q p v p

⋅

B

Al igual que en el caso anterior, sabemos que la fuerza magnética es

q p

:=

qe B

:=

1T

m p

:=

1.67 10

⋅

−

27kg

PROBLEMA 4: Un ciclotrón acelera protones a velocidades no relativistas. El imán del ciclotrón posee una intensidad del campo de 1 tesla. ¿A qué frecuencia orbitan los protones en el

acelerador? ya que

ω

= ve/

ρ

τ

=

2.094 10

×

−

8s

τ

2

π

⋅

ve

ρ









:=

El período

τ

(5)

PROBLEMA 6: Un espectrógrfo de masas es un instrumento ideado para determinar la relación carga/masa de las partículas. a) Haga un esquema del dispositivo, indicando claramente la región donde se halla el campo magnético. b) Exprese la relación q/m de las partículas en términos de los parámetros que se manejan en el espetrógrafo. c) Para un haz de partículas de igual carga y distinta masa, el dispositivo dispersa el haz Porqué?

Ek 6.132 10

=

×

−

11J Ek q p

ρ

⋅

B q p

ρ

⋅

B m p









⋅

:=

ρ

:=

100cm Si Ek 6.132 10

=

×

−

13J Ek q p

ρ

⋅

B q p

ρ

⋅

B m p









⋅

:=

ρ

:=

10cm Si m p v p

⋅

2 2 q p

ρ

⋅

B

⋅

v p = _q p

⋅

ρ

⋅

B q p

ρ

⋅

B

⋅

m p









⋅

= Punto c)

Si a la expresión anterior la multiplicamos por vp y la dividimos por 2

m p v p

⋅

=q p

⋅

ρ

⋅

B m p v p 2

ρ

⋅

=_q p v p

⋅

B Punto b) f r 3.05 10

=

×

7Hz f r q p B

⋅

2

⋅

π

⋅

_m p

:=

Punto a) B

:=

2T

PROBLEMA 5: Un protón orbita en un ciclotrón cuyo campo magnético es de 2 tesla. a) ¿Cuál debe ser la frecuencia del campo eléctrico oscilante en el ciclotrón? b) Demuestre que la cantidad de movimiento del protón para un valor

ρ

del radio está dada por mp. vo = Bo.qp.

ρ

c) ¿Cuál es la energía cinética del protón si el radio de la órbita es i) 10 cm, ii) 100 cm. Exprese los valores en Mev

f r 1.525 10

=

×

7Hz f r q p B

⋅

2

π

⋅

_m p

(6)

En el espectrógrafo, solo pasan por por la rendija de salida del selector de velocidades aquellas partículas que cumplan con que

Fm Fe=

q v

⋅

B =q E

⋅

o que tengan una velocidad v E B

=

Una vez que salen de la rendija las partículas quedan bajo la acción solo del campo magnético B y de la fuerza centrífuga, y dentro de esta región, las partículas realizan una trayectoria circular cuyo radio determinamos a partir de la expresión

q v

⋅

B m v 2 R

⋅

= reemplazando v q E B

⋅

B m E 2 B2

⋅

R =

de donde despejamos el valor del cociente de q/m

q m E B2

⋅

R

(

)

=

(7)

R

⋅

B

uma

:=

1.6604 10

⋅

−

27

⋅

kg

y la masa de la primer partícula será

q

:=

1.6 10

⋅

−

19coul

siendo que son partículas simplemente ionizadas, el valor de la carga será

R m v

⋅

q Bd

⋅

=

Estas partículas entran a la cámara de deflexión donde describen una trayectoria de radio

v 2 10

×

4m s

=

v Es Bs

:=

Las partículas que pasan a través de la rendija son aquellas cuya velocidad es Distancia de la rendija a la primera impresión

R m 60.17cm

:=

Distancia de separación entre trazas

∆

R

:=

8.28cm

campo magnético en la cámara de deflexión.

Bd

:=

1T

campos magnéticos y eléctricos en el selector

Es 200

:=

volt_m Bs 0.01T

:=

PROBLEMA 7: En un espectrógrafo de masas se estudian los isótopos de un elemento simplemente ionizados. En su selector de velocidades actúan un campo B = 0.01 T y un campo E = 200 volt/m. En la cámara de deflexion existe una campo magnético uniforme de 1 T. Los iones impresionan una película fotográfica dejando trazas separadas 8.28 cm. El radio menor de las órbitas es 60.17 cm. ¿Cuál es la masa en gramos de cada isótopo?

Vemos que el radio de curvatura es directamente proporcional a la masa, por lo que al aumentar la masa, también aumenta el radio de curvatura.

(siempre que el campo en el selector y en la cámara de deflexión sean los mismos)

R m E

⋅

q B

⋅

2

=

Si despejamos R y reemplazamos la expresión de la velocidad

q v

⋅

B m v 2 R

⋅

= Sabiendo que

Ejemplo de película fotográfica ubicada en la cámara de deflexión del espectrógrafo. Las regiones a, b y c indican los lugares donde impactan las partículas con igual velocidad pero distinta relación q/m

(8)

de ésta última, despejamos la expresión de la velocidad y la reemplazamos en la ecuación del voltaje

I n q=

⋅

v

⋅

A

Sabemos que la expresión de la corriente viene dada por

VH EH d=

⋅

=_{v B}

⋅

_d

Si d es el espesor del conductor, la diferencia de potencial (conocidad como voltaje Hall) que se genera es

EH = Fm_q =_{v B}

⋅

Esta acumulación de cargas

provoca un campo eléctrico dentro del conductor que tiene la

dirección de las x positivas y cuyo módulo está dado por

Fm q v=

⋅

B

La fuerza que actúa sobre cada portador es

Al circular una corriente por el conductor en la dirección del eje y, la presencia del campo

magnetico hace que aparezca sobre las partículas una fuerza que va a tener la dirección de las x positivas (si la carga es positiva) o de las x negativas (si la carga es negativa).

B

EH

J

v

d

t

z

x

y

PROBLEMA 8: Por un conductor de sección A y número de portadores de carga por unidad de volumen n, circula una corriente I. Al conductor se lo coloca en un campo magnético como muestra la figura. Determine la diferencia de potencial generada a través del conductor conocidad como voltaje Hall

m2 3.298 10

=

×

3uma m2 R m

∆

R

+

(

)

⋅

q

⋅

_Bd v

:=

y la masa de la segunda partícula será

m1 2.899 10

=

×

uma m1

:=

_v

(9)

Para que se elimine el alargamieno, el peso debe ser igual a la fuerza

Resistencia

:=

12

Ω

V b

:=

12V masa

:=

10gm

L 5cm

:=

Problema 11: Un alambre recto de 10 g y 5 cm se suspende con dos resortes idénticos de tal manera que forman un circuito mostrado en la figura. La resistencia del mismo es de 12

Ω

. Los resortes estan

alargados debidos al peso en 0.5 cm. ¿Cuál es la magnnitud y sentido del campo magnético que se requiere para eliminar el alargamiento de los resortes? t 6.3 10

=

×

−

7m t R H B

⋅

I

⋅

VH

:=

VH 1 10

:=

⋅

−

3V Si t 6.3 10

=

×

−

10m t R H B

⋅

I VH

:=

VH 1V

:=

B

:=

1.5T I

:=

5A R H 0.84 10 10

−

⋅

m 3 coul

:=

Problema 10: Suponga que una hoja de plata lleva una corriente de 5 A. Si la corriente está dirigida perpendicular a un campo magnético de 1.5 T. El valor del coeficiente Hall es

0.84.10(-10) m(3)/coul ¿cuál debe ser el espesor de la hoja para producir un voltaje de Hall de a) 1 V b) 1 mV R H 4.63 10

×

−

9m 3 s A

=

R H

:=

VH t_{B I}

_⋅

⋅

B

:=

1.8T I 21A

:=

VH 35 10

:=

⋅

−

6volt t

:=

0.5cm

Problema 9: Un conductor de 0.5 cm de espesor, se utiliza como espécimen en la medida del efecto Hall. Si un voltaje Hall de 35

µ

V es medido para una corriente de 21 amp en un campo magnético de 1.8 T. Calcule el coeficiente Hall para el conductor

VH R H B

⋅

I

⋅

t = o VH R H I

⋅

B

⋅

d A = R H= _{n q}1

_⋅

se define como coeficiente Hall RH

(10)

Problema 12: Para el circuito de la figura determine la fuerza de origen magnético en la espira semicircular de la figura B 1.96 T

=

B masa 9.8

⋅

m s2 Resistencia

⋅

V b L

⋅

:=

esta fuerza se iguala al peso, por lo que el valor del campo B será

Ft V b B

⋅

L Resistencia

:=

por la ley de ohm

Ft

:=

I B

⋅

L

por lo que la fuerza total es

I =n q

⋅

v

⋅

A

pero la corriente era

V

:=

A L

⋅

ya que

Ft n q=

⋅

v

⋅

B

⋅

A

⋅

L

Y para el volumen del alambre

Ft

V n q

⋅

v

⋅

B

=

Si n es el número de portadores por unidad de volumen, la fuerza total por unidad de volumen será será

Fi

:=

q v

⋅

B

La corriente circula en sentido antihorario y está formada por electrones. La fuerza que actía sobre uno de ellos es

(11)

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