Capítulo Pág.
1. Sistemas de medición angular ... 133
2. R. T. de un ángulo agudo ... 141
3. Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricas de los ángulos agudos ... 147
4. Repaso ... 157
5. Cálculo de lados - aplicación... ... 161
6. Ángulos verticales ... 169
7. R.T. de ángulos de cualquier magnitud I ... 175
8. R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II ... 183
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Sistemas de medición angular
Capítulo I
•
Ángulo trigonométrico
Se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta llegar a una posición final (todo en un mismo plano).
figura(1) figura(2)
la
do
fin
al
lado inicial
lado inicial
vértice
vértice
α β 0 0'lad
o
fin
al
Los ángulos "α" y "β" son ángulos trigonométricos con vértices en 0 y 0' respectivamente.
El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativo o nulo
En efecto, si la rotación se realizara en sentido antihorario se generará (por convención) un ángulo positivo, y si la rotación se realizara en sentido horario el ángulo resulta ser negativo.
De la figura (1), "α" es un ángulo positivo (rotación antihoraria) y de la figura (2) "β" será un ángulo negativo (rotación horaria). Si no hubiera rotación alguna, estaremos hablando de un ángulo nulo.
•
Sistemas de medidas angulares
Sistema sexagesimal (inglés)* Unidad: 1° (grado sexagesimal)
tal que:
360 vuelta 1
1° = ∠ → ∴ ∠ 1 vuelta = 360°
* Sub - unidades: 1' (minuto sexagesimal) 1" (segundo sexagesimal) tal que: 1° = 60' y 1' = 60"
En consecuencia: 1° = 3600"
Sistema centesimal (francés) * Unidad: 1g (grado centesimal)
tal que: 400 vuelta 1 1g = ∠ → ∴ ∠ 1 vuelta = 400g
* Sub - unidades: 1m (minuto centesimal) 1s (segundo centesimal) tal que: 1g = 100m y 1m = 100s
En consecuencia: 1g= 10000s
Sistema radial o circular (o sistema internacional) * Unidad: 1 rad (radián)
Donde el radián es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene dicho arco.
R L A B R R 0 θ R L Si : : : :
número de radianes del ángulo central radio de la circunferencia
longitud del arco que subtiende " L = R = 1 rad
θ → θ
"
Además: 1 vuelta = 2 rad ∠ π θ
Observaciones:
Comparando los tres sistemas de medición angular se concluye:
1. 1 rad > 1° > 1g
2. 360° = 400g = 2πrad 180° = 200g =πrad 3. Como: 180° = 200g 9° = 10g
Conversión entre sistemas:
Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la que posee. Para ello, procederemos como en los ejemplos siguientes: a. 30° a radianes rad 6 180 rad . 30 ⇒ α=π ° π ° = α b. 72° a centesimales: g g 80 9 10 . 72 ⇒ β= ° ° = β c. rad 20 π a sexagesimales rad 180 . rad 20 π ° π = θ = 9° d. 60g a radianes rad 10 3 200 rad . 60g π g ⇒φ = π = φ 1. Interpretar "x" en función de " " y "β". A B C β α x 0 Resolución:
En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentes aparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico queda así:
β α -x -Por lo tanto: - x = - +β α x = -β α A B C 0 2. Halle "x", en función de "α", "β" y "θ". β α x θ A B C D 0 Resolución:
Según las recomendaciones anteriores, trataremos de colocar los ángulos en sentido antihorario.
β α x Por lo tanto: - = x - +θ α β x = - -α β θ θ A B C D 0
-3. Indicar la relación que se cumple entre "α" y "β".
B C A 0 β α Resolución: Ordenando el gráfico: Por lo tanto: α β - = 90° B C A 0 β α
-4. Del gráfico mostrado, indicar la relación que existe entre " ", " " y " ". β D C B A 0 α θ Problemas resueltos
Resolución:
Replanteando el gráfico a nuestra conveniencia.
Por lo tanto: β D C B A 0 α θ - -β α θ - - = 180°
5. En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de "x"?
B A C 0 x θ Resolución: Un nuevo gráfico: Por lo tanto: - + x - 90° = 360°θ B A C 0 x θ x = 450° +θ x - 90°
-6. Convertir 36° a grados centesimales. Resolución: Utilizamos: 9° = 10g, entonces: 36° x 10 9° g = 40g 4 1 7. Convertir 15° a (rad) Resolución:
Utilizamos: 180° =πrad, entonces:
15° x π 1 8 0 ° =rad π 12 rad
12
8. Convertir 80g a (rad) Resolución:
Utilizamos: 200g = rad, entonces:
80 xg π r a d
2 0 0g = 25π rad
9. Del gráfico mostrado, hallar "x".
(5x - 9)° 160g A B 0 Resolución: (5x - 9)° = -160 xg 9° 10g 5x - 9 = -144 5x = -135→ x = -27
10.Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo "B" en radianes. A B C 9x° π x 30rad 10x 3 g Resolución: ° = π ° π = π = ° = ° = ° = = x 6 rad 180 . rad 30 x rad 30 x C x 9 B x 3 10 9 . 3 x 10 3 x 10 A g g g
→ A + B + C = 180° → 3x° + 9x° + 6x° = 180° x = 10 Como: B = 9x° → B = 90° . ° π 180 rad rad 2 B = π ∴
Medidas angulares (grados y radianes)
Consideremos las unidades de medida de los ángulos. Veamos su origen en primer lugar. ¿Por qué se emplea una unidad de ángulo que subdivide una vuelta completa en 360 partes? Existen muchas explicaciones, y hay una que parece ser especialmente aceptable. Los babilonios empleaban en muchos casos la subdivisión duodecimal o sexagesimal (es decir, en 12 o en 60 partes iguales). Considerando la duración de la rotación diurna (aparente) del Sol subdividida en 12 partes y haciendo corresponder a cada una, una desviación angular de 15 unidades (la cuarta parte de 60) se obtiene en total un valor de 180 unidades para la mitad de giro completo del astro luminoso alrededor de la Tierra. Es decir, que 360 unidades corresponden a una rotación completa.La unidad angular común, el grado no es necesariamente la mejor para medir ángulos. No es conveniente emplear unidades de medida no relacionadas para la longitud o distancia, y la dimensión angular. Cuando se establece un sistema de coordenadas, los ejes se marcan en "unidades de longitud". Dichas unidades se determinan según el caso, pero todos los ángulos mencionados anteriormente se expresaron en "grados". Si se hubieran empleado unidades relacionadas para las medidas lineales y angulares, el análisis hubiese resultado independiente de la unidad utilizada. Esto es, de hecho, lo que se hace en
matemáticas superiores, y en general, en los trabajos científicos, donde se utiliza exclusivamente la unidad llamada radián.
El llamado transportador es el instrumento usual para medir ángulos. Es simplemente un arco (o el círculo completo) de una circunferencia que ha sido dividida en 360 partes iguales llamadas grados. Un transportador suele tener diferentes tamaños, desde los pequeños para uso escolar; hasta el modelo grande (generalmente de madera) para empleo en el pizarrón y que se utiliza en los salones de clase. Si se dispone de un transportador de tamaño cómodo podría entonces calcularse su circunferencia, y la magnitud lineal de las unidades de arco que se marcan en dicho instrumento solamente dependerá del radio elegido. Para definir el radián se emplea una circunferencia de radio igual a 1 y que se denomina circunferencia unidad (o unitaria). El radián es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud. A la circunferencia total corresponden e n to n c e s 2 radianes, de modo que 2 representa una vuelta completa o revolución (ángulo de 360°). La mitad de una revolución (ángulo de 180°) representa radianes, y en forma semejante, cualquier ángulo se puede expresar de esta manera. En el caso de un ángulo cualquiera, el arco interceptado es proporcional al perímetro de la circunferencia, y la medida de dicho ángulo será proporcional también a la amplitud de una revolución. De modo que:
360 grados en " " ángulo 2 radianes en " " ángulo θ = π θ Abreviando; (rad2 ) = 360(°) π o bien: 180 ) ( ) rad ( ° = π π (rad) 180° (°)
Cualquier número real puede ser la medida en radianes de un ángulo, y en este caso se expresa como una cantidad en tales unidades angulares. Por ejemplo, 180° se expresa comoπ radianes, yπ/2 radianes equivale a 90°. Si no se especifica ninguna unidad, se supone que se trata de radianes.
Bloque I
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
A B C β α θ 0 a) α +β +θ = 360° b) α -β -θ = 360° c) β -α -θ = 360° d) β +α -θ = 360° e) θ -α -β = 360°
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
α B A C D β a) α -β = 90° b) β +α = 90° c) β -α = 270° d) α -β = 270° e) α +β = 270°
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
x α
a) 90° -α b) 90° +α c) 180° -α d) 180° +α e) α - 90°
4. Del gráfico mostrado, hallar "x".
120g (5x + 18)° a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 5. Calcular: rad 15 9 30 A g π ° + = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?
a) 35° b) 36° c) 37° d) 38° e) 39° 7. Hallar: ' 33 1 ' 6 3 M ° ° = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Siendo "x", "y" "z" números enteros, que cumplen la igualdad: rad 17 π = x° y' z"; obtener: Q = 3x + y − z a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Si: 21π rad = a°3b'1c"
Calcular: c a b R − = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10.Si un ángulo se expresa como ab y también como° ; 0 ) 1 a ( + g calcular: a + b a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8 Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
120° α θ a) θ -α = 360° b) θ -α = 240° c) θ +α = 360° d) θ +α = 240° e) -θ = 240°
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
α β
a) β -α = 270° b) α -β = 270° c) β +α = 270° d) β -α = 180° e) α -β = 90°
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
C B A α x β a) 270° -α +β b) α +β - 270° c) β -α - 270° d) α -β - 270° e) 270° +α -β 4. En la figura, hallar "x" π 7x + 1 x° rad a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Calcular: rad 2 54 40 K g π ° + = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 80g y 70°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?
a) 35° b) 36° c) 37° d) 38° e) 39° 7. Hallar: ' 19 1 ' 16 5 M ° ° = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. S ie n d o "x ", "y " "z" números enteros los cuales cumplen
la igualdad: rad 7 π = x°y'z" ; obtener: Q = y + z + 7 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. Si: 13π rad =1a°b0'4c" Calcular: R = ca−b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10.Un ángulo se expresa como ab° y también como g 0 4 b . Calcular: a + b a) 7 b) 9 c) 11 d) 6 e) 8 Bloque III
1. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A
a) 32 b) 33 c) 48
d) 47 e) 40
2. Un mismo ángulo es medido por dos personas: Marcos
encontró o 2 1 x 7 −
y Luis encontró rad. 360 1 x 2 π + Halle dicho ángulo en minutos centesimales.
a) 70 b) 80 c) 90
d) 100 e) 10
3. Se ha creado un nuevo sistema tal que 50 grados "y" equivalen a un ángulo recto. ¿A cuántos minutos y segundos en el sistema sexagesimal equivalen 28,125 grados "y"?
a) 50°37'30" b) 50°39'15" c) 50°40'17" d) 51°37'45" e) 50°11'14"
4. Un ángulo mide 245kπ radianes. Calcule el ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento de dicho ángulo es 4k grados centesimales.
a) 160° b) 60° c) 70° d) 144° e) 172°
5. Siendo m° y ng ángulos suplementarios quienes se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente. Calcule el valor de:
7 m 3 n 4 E = + − a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 6. Siendo:
α = (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g
Además:α +β = 3πrad. Hallar "β" en radianes. a) 1,79πrad b) 1,80π c) 1,81π d) 1,82π e) 1,83π
7. Hallar el menor valor positivo de "a", si verifica:
0 n y m ; ' n 9 n m ' m 10 n m a g g g > + ° + °+ = ° a) 21°48' b) 22°48' c) 20°48' d) 23°48' e) 24°48'
8. Hallar "x", a partir de la siguiente condición:
° = ° = ∑ ) ' n ' n n ( x 27 1 n g a) 1800° b) 1810° c) 1820° d) 1830° e) 1840° 9. Siendo: x = 1°2' + 2°3' + 3°4' + 4°5' + ...
Calcule el mayor valor de "x", si es menor que: rad 3 2π
a) 106°59' b) 107°59' c) 108°59' d) 109°59' e) 110°59'
10. Hallar la medida de tres ángulos en radianes, si la suma de los números de grados sexagesimales de los dos primeros es 36, la suma de los dos números de radianes del segundo y tercero es 407π y la suma del número de grados centesimales del primero y tercero es 25. (indicar el mayor)
a) rad 15 π b) 15 2π c) 30 4π d) 40 5π e) 40 π
La pervivencia del sistema sexagesimal
Reconozco mi vieja perplejidad ante el hecho de que el tiempo y los ángulos se midan por un arcaico sistema sexagesimal, y máxime cuando es consubstancial a materias que van desde el electromagnetismo a la mecánica cuántica. Precisamente por conocer que este sistema proviene de la cuna de nuestra civilización, Mesopotamia, no entendía cómo no lo había desplazado el sistema decimal, irradiado en el mundo por los revolucionarios franceses tras el triunfo de la Ilustración. Puesto que ahora creo poseer algunas respuestas, me parece procedente comunicarlas.
La primera referencia literaria al día, noche, mes y año, provienen del poema Gilgamesh, escrito en caracteres cuneiformes y que narra las míticas aventuras de este príncipe de la ciudad sumeria de Uruk, que vivió sobre el año 2750 a. de C. La escritura la habían inventado los sumerios sobre el 3300 a. de C. Posteriormente, en la Biblia hay además referencias a la semana y a la hora, y conocemos que los babilonios ya dividían el arco en grados y minutos.
Hay que pensar que la medición de los ángulos y del tiempo en el mismo sistema sexagesimal proviene de un proceso convergente en el que la observación astronómica, en la que los primitivos pueblos agrícolas eran maestros, ocupa un lugar destacado, tal y como nos muestran las reliquias megalíticas supervivientes de esos pueblos, como las de Stonhengen en Inglaterra, empezado a construir hace 5000 años, las pirámides egipcias, mayas y aztecas o el intihuatana inca de Machu Picchu.
En primer lugar, hay que destacar la razón de ser de estas construcciones en su aplicación de calendarios, ya que un pueblo agrícola sin escritura necesitó conocer con exactitud la duración del año y de las estaciones, al objeto de prever labores tan vitales como la siembra y la recolección, lo cual no es difícil comprobando, al observar el Sol, que en los equinoccios el día tiene una duración igual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre), mientras que en los solsticios, las duraciones del día son máximas respecto a las de la noche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas (21 al 22 de diciembre). La duración exacta del día y de su noche podía observarse por la posición de las estrellas en el firmamento, pues hay un momento en la noche en el que las estrellas ocupan el mismo lugar a lo largo de todo el año, o día sideral, cuya duración es de 23 horas y 56 minutos; y para conocer los espacios del día, los sumerios empleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del gnomon, o barra clavada en el suelo.
Al observar la Luna, resulta evidente comprobar que cada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días), existe luna llena. A este período lo llamaron mes. Un año comprendía 12 períodos de lunas llenas o meses, por lo que su duración era de 360 días. Aunque en realidad era
algo más de 365 días, había cuatro días al año en los que reajustar el calendario, por lo que el error estaba siempre bajo control. El hecho de que los calendarios megalíticos prevean hasta la determinación exacta de la fecha de los eclipses, mucho más de lo necesario para determinar los ciclos estacionales agrícolas, es debido a que al ligar la religión y los dioses a los astros, los sacerdotes debían conocer cuándo se ocultaban o manifestaban a los mortales, y cuál era el superior.
El problema a determinar es por qué los sumerios, que partían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados, dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60 minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos, cuya respuesta exige remontarse a una época ágrafa en la que se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo los sistemas decimales, sino los de base duodecimal y los de base sexagesimal.
Hoy en día, existen artículos que en occidente se compran por docenas, tales como los huevos o las ostras. Georges Ifrah al observar a pueblos actuales que aún cuentan con las falanges de los dedos de una mano en Egipto, Siria, Irak, Afganistán, Pakistán y algunas regiones de la India, mantiene la siguiente tesis: Si extendemos la palma de la mano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una de las tres falanges de los dedos meñique anular corazón e índice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugar de las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos. Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la mano izquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar la cuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos tenemos la posibilidad de designar biunívocamente hasta 60 objetos con sólo señalar los dedos correspondientes de la mano izquierda, y la falange determinada de un dedo de la mano derecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedan establecidas.
Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y 12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculo de 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 grados cada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astros eran parte de su mística y sistema de medir el tiempo. Era normal que el día lo dividieran en 12 horas, y posteriormente, en 24 (12 para el día y 12 para la noche). Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, la segunda base prestó su apoyo, por lo que se estableció en 60 minutos, mensurables desde el año 2000 a. de C. gracias a la existencia de los relojes de arena y de agua.
La necesidad de medir segundos fue muy posterior, pues la trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. con Hiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sólo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. No obstante, el reloj naútico de precisión para determinar la posición del buque no es operativo hasta 1680. Supongo que para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría en la validez de un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol, Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no sólo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia (hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal) y en el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales.
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R. T. de un ángulo agudo
Capítulo II
• Definición
Son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:
seno de : sen =θ θ cateto opuesto hipotenusa tangente de : tan =θ θ cateto opuesto
cateto adyacente secante de : sec =θ θ hipotenusa
cateto adyacente
coseno de : cos =θ θ cateto adyacente hipotenusa cotangente de : cot =θ θ cateto adyacente
cateto opuesto cosecante de : csc =θ θ hipotenusa
cateto opuesto Por ejemplo, de la siguiente figura:
A C B b c a θ entonces: b = a + c2 2 2 sen =θ ab cos =θ cb tan =θ ac cot =θ ca sec =θ bc csc =θ ba (Teorema de Pitágoras) θ + = 90ºα α 1. En un triángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA.cscA + cosA.secA Resolución: Graficando tenemos: A B C c b a L = ab . ba +cb . bc → L = 2
Problemas resueltos 2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden13cm y 12cm. Calcular el coseno del mayor ángulo
agudo. Resolución:
Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, por lo tanto se puede graficar:
C B A 13 x 12 β α i) ii) Pitágoras: 13 = 12 + x 169 = 144 + x x = 5 2 2 2 2
A menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, por lo tanto el mayor ángulo agudo es " "β
→
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo. Resolución:
Graficando y respetando la condición:
C B A x a 2a β α i) ii) iii)
Por Pitágoras: x = (a) + (2a)
x = a + 4a x = 5a x = 5a
2 2 2
2 2 2 2 2
→ →
Mayor ángulo agudo " "β
Por lo tanto: sen = sen =β 2a → β a 5
2 5
4. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos = 3 2 ; determinar "sen ". Resolución: Interpretando la condición: cos =θ 23 =C.A.H
∴ C.A. = 2a H = 3a, entonces llevando a un triángulo rectángulo. C B A 3a x 2a θ i) ii)
Por Pitágoras: (3a) = (2a) + x
9a = 4a + x x = 5a x = 5 a 2 2 2 2 2 2 2 2 sen =θ → C.O. H →sen =θ 5a 3a sen =θ 5 3 →
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de lados "a", "b" y "c", se cumple que:
8 senC A sec C tan A tan = − +
, reducir: K = [cot2A + 2senA]cosC
Resolución:
Interpretando la condición en función de los lados del triángulo rectángulo. A C B c a b i) ii) reemplazando: efectuando operaciones: a c + ca b c - cb = 8 (a + c )bc ac (b - c ) 2 2 2 2 = 8
iii) Utilizando Pitágoras: a2 + c2 = b2 b2 - c2 = a2, entonces queda: b .bc ac.a2 2 = 8 b a 3 3 = 8 ba = 21 → Comparando: b = 2n, a = n reemplazando en el triángulo rectángulo inicial.
A C B x n 2n i) ii) Por Pitágoras: (2n) = (n) + x2 2 2 Reemplazando en "K": 3 n 4n = n + x 3n = x x = 3n2 2 2 → 2 2
K = [cot A + 2senA]2 cosC → 3n n + 2 n 2n 22 n/2n K = [( 3) + 2( )] K = 22 1 1/2 2 = →
6. Del gráfico mostrado; calcular: L = tanα.tan
A B
C
M α
Resolución:
Del gráfico, sea: BC = n AM = MB = m
A B C M α θ m n m i) ii) iii) MBC : tan =θ mn ABC : tan =α 2mn Reemplazando en "L": L = L =2mn mn → 12
7. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución: Sea (a > b) i) ii) iii) A C B c b a θ c - a = 8 a = c - 8→ c - b = 9 b = c - 9→ además: a + b = c2 2 2
}
Reemplazando: (c - 8) + (c - 9) = c c - 34c + 145 = 02 2 2→ 2 Factorizando: c - 34c + 145 = 02 c c -29-5 (c - 29) (c - 5) = 0 c = 29 a = 21por lo tanto: b = 20→ ∧ Entonces: tan = 2021 8. Calcular: tan 2 θ θ 5m + 2 A C B 4m + 3 3m - 1 Resolución: : (5m + 2) = (3m - 1) + (4m + 3)2 2 2 Efectuando: 25m + 20m + 4 = 9m - 6m + 1 + 16m + 24m + 92 2 2 → 2m = 6 m = 3 ABC → Entonces, la figura queda:Q C B A 17 15 17 θ/2 θ 8 tan = =θ 2 328 14
9. En un cuadrado ABCD, se traza BE y CF("E" en CD y "F" en AD tal que: FD = 3AF y CE = ED, si:); ∠ BEC =α y ∠ CFD =β; calcular: J = 2cotα + 3tanβ
Resolución: A B C D E F a 2a α 4a β 3a i) ii) iii) 2a
Como: CE = ED "E" : punto medio⇒ Además: FD = 3AF AF = a FD = 3a⇒ ∧ Reemplazando en "J": J = 2 + 3 4a 3a 2a 4a J = 5
10.En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "M", "N" y "P" en BC,AD y AB respectivamente, tal que:
2 ND 3 BP 4 MC AP BM = = = =
Si: ∠ PCD =α ∧ ∠ MNA =β, calcular: J = tanα + tanβ Resolución: i) ii) iii) Interpretando el gráfico: B C D A P Q 4a 3a a R 2a 2a M 3a a a a α β BM = AP = = = a BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a Reemplazando: J = + ; J = + 2 J =→ MC 4 ND2 5a 3a 4a2a 53 113 BP 3 = N Bloque I
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 1 y 3 . Determinar la suma de los senos de sus ángulos agudos. a) 2 1 3 + b) 2 1 c) 2 3 d) 2 1 3 − e) 3
2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 3 y 2 Determinar la suma de los cosenos de sus. ángulos agudos. a) 1 b) 3 2 7− c) 3 7 d) 3 7 2 + e) 3 2
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del menor ángulo agudo.
a) 2 b) 23 c) 3
d) 2
5
e) 5
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el triple de uno de sus catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo.
a) 1 b) 2 c) 2 2
d) 10 e) 2 10
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: R = senB.senC.tanB.a2
a) a2 b) b2 c) c2
d) ab e) bc
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: S = tanA.tanC + senA.secC + cosA.cscC
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: Q = cos2A + cos2C + csc2A - tan2C
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) -1
8. Siendo: senα = 5 2
; "α" es agudo, calcule "cotα"
a) 15 29 b) 25 29 c) 23 21 d) 2 21 e) 5 21 9. Siendo: tanα = 12 5
; "α" es agudo, calcule "senα"
a) 135 b) 1312 c) 54 d) 5 3 e) 2 1
10.En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es el triple del seno del otro ángulo agudo. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo.
a) 12 b) 3 2 2 c) 3 2
d) 10 10 e) 10 10 3 Bloque II
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 5 y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 61 10 b) 61 11 c) 61 14 d) 61 16 e) 61 17
2. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y 2. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 3 2 b) 3 13 2+ c) 3 5 3+ d) 3 2 5 + e) 3 13 3+
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro cateto. Calcular la cosecante de su menor ángulo agudo. a) 10 b) 3 10 c) 2 2 d) 3 2 2 e) 3 2
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo.
a) 2 1 b) 3 c) 3 3 d) 2 e) 3 2
5. En un triángulo rectángulo, recto en "A", reducir: S = cosC.cotB.secB.b2
a) a2 b) b2 c) c2
d) ab e) bc
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: S = cotA.cotC + cosC.cscA + senA.secC
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: Q = sec2A - cot2C + sen2A + sen2C
a) 1 b) -1 c) 2
d) 0 e) -2
8. Siendo:
4 3
cosα = , "α" es agudo, calcule "cotα".
a) 3 1 b) 4 3 c) 7 7 3 d) 3 7 e) 43
9. Siendo: tanα=158 , "α" es agudo, calcular "cscα".
a) 1715 b) 158 c) 178 d) 12 17 e) 7 2
10.En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es el doble del coseno del otro ángulo agudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.
a) 5 5 b) 5 5 2 c) 2 3 d) 2 3 3 e) 5 2 Bloque III
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la m e d ia n a AN ("N" en BC , tal que: CAB = y ANB = .) Calcular: K = tan .tan
a) 1 b) 2 c) 4
d) 21 e) 14
2. En un cuadrado ABCD se traza AE ("E" en BC , tal) que: BAE = y EDC = . Calcular: K = tan + tan
a) 1 b) 2 c) 4
∧ ∧
d) 12 e) 8
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tan ". B A D C M N θ a) 12 b) 32 c) 43 d) 52 e) 61
4. Del gráfico, hallar: tan
A B C M N m n φ a) nn+−mm b) nn−+mm c) 2nn+−mm d) nn mm + − e) m n 2 m n 2 + −
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se tiene como datos: el lado "a" y la diferencia "m" entre la hipotenusa y el otro lado. Calcular "senC".
a) 2 2 2 2 m a m a + − b) a2 m2 am 2 + c) a2 m2 am 2 − d) a m m a − + e) aa+−mm
6. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica que: , 5 7 b a b a = − +
hallar: senA + senB.
a) 7 37 b) 37 37 5 c) 37 37 7 d) 371 e) 375
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se verifica: A cot B cos c b 2 a − = − . Calcular "cscA" a) 3 3 2 b) 2 c) 21 d) 2 e) 2 3 8. S i: A B = B C , c a lc u la r: Q = c o tα - cscφ 0 A B C 5 3 α β a) 2 b) 2 2 c) - 2 d) -2 2 e) 1
9. Si " " es un ángulo agudo, tal que:
5 1 cosθ =
Calcular: K = tan .tan2θ +3
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios "R" y "r" (R > r). Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.
a) (R r)2 Rr 4 − b) (R r)2 Rr 4 + c) (R r)2 Rr 2 − d) (R r)2 Rr 2 + e) (R r)2 Rr −
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Capítulo III
•
Triángulos rectángulos notables
Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes triángulos:
a. De 30° y 60° C A 30° a 2a a 3 B 60° Ejemplos: 4 8 4 4 3 2 30° 30° 60° 60° 3 2 3 b. De 45° y 45° 45° C B A a a a 2 45°
Triángulos rectángulos de ángulos
no-tables y propiedades de las razones
trigonométricas de los ángulos agudos
Ejemplos: A A C C B B 3 5 3 2 5 3 45° 45° 45° 45° 2 5 2 c. De 37° y 53° 37° C B A 4a 3a 5a 53° Ejemplos: 24 28 37° 37° 53° 30 18 35 21 C C B B A A
• Razones trigonométricas de ángulos notables (30°; 45°; 60°)
seno coseno tangente cotangente secante cosecante 30° 45° 60° 37° 53° 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 1 2 3 3 3 2 3 3 2 3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3 4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4
Observación:
Una forma práctica para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en "C"). Si queremos las razones trigonométricas de (A/2) entonces prolongamos el cateto CA hasta un punto "D" tal que: AD = AB luego el triángulo DAB es isósceles, BDA = A/2.
D A B C a b c A/2 A/2 c A Por lo tanto: a b c 2 A cot = + entonces: A cot A csc 2 A cot a b a c 2 A cot = + → = + análogamente: A cot A csc 2 A tan a b c b c a 2 A tan = − → = − + =
consecuencia de lo concluido es:
24a 7a 16° 8° 74° 82° 25a 7a 5 2a a C C B B A A 2a 3a 53°/2 37°/2 5 a a 10 a a C C B B A A
• Propiedades de las razones
tricas de ángulos agudos
* Razones trigonométricas recíprocas
i) ii) iii) iv) v) vi) sen =α cos =α tan =α cot =α sec =α csc =α a b c b a c c a b c b a C B A b a c α 1 1 1 sen.csc = 1 Ejemplos:
sen10°.csc10° = 1 ; sen20°.csc20° = 1; sen25°.csc25° = 1
se n α.csc40° = 1 → α = 40°; sen50°.csc5α = 1 → α = 10° tan.cot = 1
Ejemplos:
tan25°.cot25° = 1; tan15°.cot15° = 1; tan35°.cot35° = 1 tanα.cot50° = 1 → α = 50°; tan40°.cot8α = 1 → α = 5° cos.sec = 1
Ejemplos:
cos5°.sec5° = 1; cos23°.sec23° = 1; cos17°.sec17° = 1 cos35°.sec7α = 1→ α = 5°; cos7α.sec70° = 1 → α = 10°
*
Razones trigonométricas de ángulos tariosCualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón trigonométrica del ángulo complementario, si "a" es un ángulo agudo, entonces:
R.T.( ) = Co-R.T. (complemento de " ")
Ejemplos:
i) sen20° = cos70° ii) sen 3 π = cos 6 π iii) secθ = csc θ − π
2 iv) cos40° = sen50°
v) tan 5 π = cot 10 3π vi) csc(90° -φ) = secφ
vii) tan10° = cot80° viii) csc 8 π
= sec 8 3π
ix) cotα = tan(90° -α)
) 90 csc( sec ) 90 cot( tan ) 90 cos( sen α − ° = α α − ° = α α − ° = α
1. Calcular: Q = sen230° + tan37° Resolución:
Reemplazando valores en la expresión: 1 Q 4 3 4 1 Q 4 3 2 1 Q 2 = ∴ → + = ⇒ + = 2. Evaluar: ° ° + ° = 30 csc 60 cos 45 sen A 2 Resolución:
Reemplazando valores en la expresión:
2 1 A 2 2 1 2 1 A 2 2 1 2 2 A 2 = ∴ → + = → + =
3. Hallar: L = (sec53° + tan53°)cos60° Resolución: Reemplazando valores: 2 3 L 2 1 3 9 L 2 1 . 3 4 3 5 L → ∴ = = → + =
4. Hallar: T = (tan260° + 5sen37°)sen30° Resolución: Reemplazando valores:
( )
(
)
T 3 2 1 3 3 T 2 1 . 5 3 5 3 T 2 → = + → ∴ = + =5. En la figura adjunta, se sabe que:
AB = 18m, CAD = 15° y el CBD = 30°, calcular la longitud "CD". D C B A 15°18 m 30° Resolución:
Podemos observar que el ADB resulta: 15°, luego el triángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto: BD = AB = 18m, en el triángulo BCD, se tiene: Problemas resueltos CD 9m 2 1 18 2 1 . BD CD , 30 sen BD CD = ∴ → = = ° = D C B A 15°18 30° 18 9 15°
6. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 12m, CAD = 30° y el CBD = 45°. Calcular la longitud "CD". D C B A Resolución: D C B A 30°12 45°x x Como en el BCD es isósceles: BC = DC = x En el ACD; por definición:
cot30° = ACDC 3 = 12 + x
x x = 16,4 m
→ →
7. Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios son "r" y "3r" respectivamente. Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos con una de las tangentes exteriores a ambos círculos.
Resolución: 3r C B A Q 2r 3r 01 02 r r r α α Se traza: 0 Q // AC,2 en el 0 Q02 1 sen =α 0 Q1 0 01 2 = 2r4r sen =α 12 → α = 30°
8. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito en una circunferencia, si "M" es el punto medio del arco AC y "N" el punto medio del lado BC. Determinar el seno y tangente del ángulo MNC. Resolución: B A M C N θ
* Unimos los puntos "M" y "C", obteniendo el triángulo rectángulo MCN.
Sea: MNC =∠ θ
Luego: sen = tan =θ MCMN ∧ θ MCNC
De la geometría: MC = = R6 NC = 3 2 = R 32 MN = MC + NC = R + =2 2 2 3R 4 2 R 7 2 Entonces: sen = =θ R 2 77 R 2 33 R 7 2 R 32 tan =θ ⇒ = ⇒
9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanx".
B F C E D A x 37° Resolución: i) ii) iii) iv)
ADE notable de 37° y 53°, entonces: AD = 16a ED = 12a∧
Por ser un cuadrado: AD = CD, entonces EC = 4a
FCE notable de 37° y 53°, entonces: CE = 4a, CF = 3a, entonces: BF = 13a
ABF: tanx = 13a16a → tanx = 1316 :
10.En el gráfico mostrado, hallar "tanθ"
A B C 8 6 θ 135 Resolución: A B C 135 2 6 θ 45 Q
AQC: tan = tan =θ 28 → θ 14 2 2 2 11.Reducir: ° ° ° ° ° ° = 40 cos . 65 sen . 20 csc 50 sen . 25 cos . 70 sec Q Resolución:
Aplicando razones trigonométricas de ángulos complementarios.
i) sec70° = csc20° ii) cos25° = sen65° iii) sen50° = cos40° Por lo tanto: 1 Q sen50cos40 . cos25 sen65 . sec70 csc20 .cos25 .sen50 sec70 Q ⇒ ∴ = ° ° ° ° ° °° ° ° = 12.Reducir: 5 2 tan . 24 sen . 8 sec 24 11 cos . 8 3 csc . 10 cot A π π π π π π = Resolución:
Por razones trigonométricas de ángulos comple-mentarios. i) sec 8 π = csc 8 3π ii) sen 24 π = cos 24 11π iii) tan 5 2π = cot 10 π
Por lo tanto: 1 A 10 cot 5 2 tan . 24 11 cos 24 sen . 8 3 csc 8 sec 24 11 cos . 8 3 csc . 10 cot A= ⇒ ∴ = π π π π π π π π π 13.Si:
α = 15°, calcular: Q = senα.sen2α.sen3α.sen4α.sec5α Resolución: Q = sen15°.sen30°.sen45°.sen60°.sec75° ° ° ° = 15 csc 75 sec 2 3 2 2 2 1 15 sen Q → ∴ 8 6 Q = 14.Si: secα = csc2φ. Hallar: R = tan φ + α 2 + sec(330° - 3α - 6φ) Resolución: i) secα = csc2φ → α + 2φ = 90° ] ) 2 ( 3 330 [ sec 2 2 tan R + ° − α+ φ α+ φ = )] 90 ( 3 330 sec[ 2 90 tan R + ° − ° ° = R = tan45° + sec60° ∴ R = 3
15.Si: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°), "α" y " " son ángulos agudos Calcular: ) 120 tan( ) 85 ( cot 2 cot 4 tan A ° − θ + α + ° − θ + α α+ θ + α + θ = Resolución: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°) → α - 20° +θ - 30° = 90° ∴ α +θ = 140° Reemplazando: ) 120 140 tan( ) 85 140 cot( 2 140 cot 4 140 tan A ° − ° + ° − ° ° + ° = 1 A 70 cot 35 tan 70 cot 35 tan A 20 tan 55 cot 70 cot 35 tan A →∴ = ° + ° ° + ° = → ° + ° ° + ° =
16.Calcular el valor de la cotangente de " 2 α
" sabiendo que:
tanα = 73−−52xx ; tanθ = 104xx−−12 ,
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios. Resolución:
Como "α" y "θ" son ángulos complementarios tan = cotθ ) 1 x 4 )( x 5 7 ( ) 2 x 10 )( x 2 3 ( 2 x 10 1 x 4 x 5 7 x 2 3 − − = − − → − − = − − , simplificando: x = -1 Entonces: tan =α 3 - 2(-1)7 - 5(-1) →tan =α 125 5 12 13 α Luego: α + α = α cot csc 2 tan ; 5 2 tan 5 12 5 13 2 tanα = + →∴ α = 17. Si:α = 7°30' Calcular: α α + α α + α α + α α + α α
= cossen11 sencos102 cossen39 cossen84 cossen75 R Resolución: Dato:α = 7°30' = 7,5°; reemplazando en "R": ° ° + ° ° + ° ° + ° ° + ° ° = 5 , 52 cos 5 , 37 sen 60 sen 30 cos 5 , 67 cos 5 , 22 sen 75 sen 15 cos 5 , 82 cos 5 , 7 sen R i) sen7,5° = cos82,5° ii) sen22,5° = cos67,5° iii) sen37,5° = cos52,5° iv) cos15° = sen75° v) cos30° = sen60°
Reemplazando: 5 R 5 , 37 sen 5 , 37 sen 30 cos 30 cos 5 , 22 sen 5 , 22 sen 15 cos 15 cos 5 , 7 sen 5 , 7 sen R = ∴ → ° ° + ° ° + ° ° + ° ° + ° ° = 18.Si:
Q = tan1° - cot1° + tan2° - cot2° + .... + tan89° - cot89° R = tan1° . tan2° . tan3° . .... . tan88° . tan89° S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + ... + sen89° - cos89° Hallar: M = Q + R + S
Resolución:
Q = tan1° + tan2° + tan3° + ... + tan89°
-(cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°)
) 89 cot 88 cot 87 cot ... 3 cot 2 cot 1 (cot 89 tan 88 tan 87 tan ... 3 tan 2 tan 1 tan Q 1 tan 2 tan 3 tan 1 cot 2 cot 3 cot ° ° ° ° ° ° ° + ° + ° + + ° + ° + ° − ° + ° + ° + ° + ° + ° = ∴ Q = 0 ° ° ° ° ° ° ° ° ° = 1 cot 2 cot 3 cot 89 tan . 88 tan . 87 tan ... . 3 tan . 2 tan . 1 tan R ∴ R = 1
S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + .... + sen89° - cos89° S = sen1°+sen2°+ sen3°+... sen87° + sen88° + sen89° -) 89 cos 88 cos 87 cos ... 3 cos 2 cos 1 cos ( 1 sen 2 sen 3 sen 87 sen 88 sen 89 sen ° ° ° ° ° ° ° + ° + ° + + ° + ° + °
Por lo tanto: S = 0 ; entonces:
Q R S M 1 M 0 1 0 = → + + =
19.Siendo "α" y "θ" los menores ángulos positivos que verifican las relaciones:
senα.sec(3α +θ) = 1 .... (I) tanθ . tan(2α +θ) = 1 ... (II)
Determinar el valor de: M = 2sen(4α -θ) + tan(2θ -α) Resolución:
Como:
sen .sec(3 + ) = 1 sen = sec(31α + θ) sen = cos(3 + ) ∴ α + 3α +θ = 90°→ 4α +θ = 90° ... (1) Además: ) 2 cot( tan ) 2 tan( 1 tan 1 ) 2 tan( . tan θ + α = θ → θ + α = θ → = θ + α θ ∴ θ + 2α +θ = 90° → 2α + 2θ = 90° ... (2) De (1) y (2):α = 15° θ = 30° Por lo tanto: M = 2 se n (4 x 15° - 30°) + tan (2x30° - 15°) M = 2sen30° + tan45° ∴ M = 2 20.Si: sen(x + senx) = cos(y + cosy)
Calcular: ) y cos senx csc( . ) y x cos( ) y x cot( ) y cos senx tan( ) y cos senx cos( ) y x ( sen A + + + + + + + + = Resolución: Del dato:
sen(x + senx) = cos(y + cosy)⇒ x + senx + y + cosy = 2π Ordenando:
y senx cosy 2 2
x+ + + = π ⇒ α+θ= π
θ α
i) senα = cosθ ; ii) tanθ = cotα iii) cscθ = secα Reemplazando en "A": α θ α + α θ + θ α = sec csc . cos cot tan cos sen A Por lo tanto: A = 3 Bloque I 1. Calcular "x" en la igualdad:
xsen30° + sec260° = 4xtan45° + tan445°
a) 5 1 b) 5 2 c) 5 3 d) 5 4 e) 5 6
2. Sabiendo que " " es agudo y además tanα = sen45°. Calcular:
A = 4sec2α + sen2α a) 2 17 b) 2 19 c) 2 21 d) 2 23 e) 2 25
3. Del gráfico mostrado, calcular "tanα". A B C D 37° α a) 13 b) 32 c) 1 d) 3 4 e) 3 5
4. Del gráfico, calcular "tanθ"
A B C 10 21 θ 53° a) 73 b) 83 c) 78 d) 158 e) 157
5. Calcular "tan " del gráfico:
4 3 θ A B M C a) 43 b) 6 5 c) 4 5 d) 12 e) 18
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que: ∠ A = 30°. Trazamos CM ("M" enAB tal que: AM = 2MB..) Si:∠ CMB = , calcular "tan "
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
7. En un cuadrado ABCD, se traza AN, ("N" enCD tal que:) ∠BAN = 53°. Si:∠NMD =α, ("M" punto medio de AD ,) calcular "tanα". a) 2 1 b) 2 c) 2 3 d) 1 e) 3 2
8. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia de centro "O" se traza la tangentePT, tal que: OPT = 53°. Calcular "tan∠ OMT", si "M" es el punto medio de PT.
a) 3 8 b) 3 7 c) 2 d) 3 5 e) 3 4
9. Del gráfico, calcular "tan ", si el triángulo ABC es equilátero. A B D C 2 5 θ a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 6 3
10.Del gráfico, calcular: tantanαθ; si los triángulos ABC y CDE son equiláteros; además: AB = 4CD.
A B C D E M N θ α a) 193 b) 163 c) 194 d) 154 e) 1312
Bloque II 1. Si: tan3x.cot(x + 20°) = 1 Calcular: K = tan6x.tan(4x + 5°) a) 2 b) 3 c) 3 3 d) 3 e) 1 2. Si: sen4x.csc(x + 45°) = 1 tan3x.cot2y = 1
Calcular: M = sen(x + y - 10°) cot (y - x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2,5 e) 3,5
3. Si: sen3x = cos2x
Calcular: K = 4tan(2x + 1°) + 3tan(3x - 1°)
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
4. Si: tan7x = cot(2x + 9°) sen4x.csc3y = 1 Calcular: K = cos5x.cot4y.cot(4x + 6°) a) 1 b) 2 c) 3 d) 23 e) 21 5. Calcular "x", si: sen(2x+10°).sen(50°-x)=cos(x+5°).cos(40°+x) a) 15° b) 10° c) 5° d) 20° e) 25° 6. Si: sen(x + y - 20°) . csc(70° - z) = 1 Calcular: x csc ) z y sec( z cot ) y x tan( D = + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Sabiendo que: sen(2a+b).sec(12°-2c)=cos(a-2b).csc(78°+2c) Calcular: M = tan(2a + b + c). tan(a - 2b + c)
a) 1 b) 2 c) 12
d) 3 e) 13
8. Si: sen(40° - x) = tan(20°+α).cos(50° + x)
Obtener: ) 10 x cot( ) 50 x tan( ). 5 x 2 sec( K ° − − α ° + α + ° − = a) 2 2 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3
9. Calcular el valor de cotangente de " α2 " sabiendo que:
2 x 1 x tan 2 x 1 x tan + + = θ ∧ − + = α
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios. a) 3− 10 b) 3+ 10 c) 3+2 2
d) 3−2 2 e) 32
10.Siendo: sen(40° - x) . sec(5x + 10°) = 1 Calcular: E 8 tan(kx) 1 k∏= = a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) F.D. Bloque III
1. Siendo "0" y "01" centros. Hallar "tan " A B 0 01 θ a) 13 b) 12 c) 2 2 d) 2 e) 2 2
2. Siendo "0" centro y "P" punto medio deMN hallar "tan, θ". A
B 0
θ
a) 2 1 b) 4 3 c) 1 d) 2 3 e) 2 5
3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro,
o b te n e r e l v a lo r d e "ta n θ". A B 0 θ 30 ° N a) 3+ 3 b) 6 +2 c) 3+ 6 d) 3 6 +2 e) 2− 3
4. Del gráfico mostrado, hallar "AD", si: MB = MC = 2 y AB = 2 C D M B A 30° a) 6 + 2 b) 6 +2 c) 6 + 3 d) 2+ 3 e) 2 3+1
5. Del gráfico mostrado, calcular "tan ", si: AP = 8 2 y BC = 3. A P B C H 45°θ 37°/2 a) 5 1 b) 4 1 c) 3 1 d) 2 1 e) 6 1 6. Si: sen2α.csc(θ + 30°) = 1 tan(θ -φ) . tan(φ +α) = 1
Evaluar: A = sen(θ-10°)secθ+tan(α+5°)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Si: tan3x.sen(35°+ ).sec(55°-α)=cot2x Calcular: B = cos(2x-6°).sen(x+12°) a) 8 3 b) 4 3 c) 3 3 d) 2 3 e) 1 8. Si: π = π 4 ab cos 4 ab sen .... (I)
a = sen3θ . sen3α ... (II)
b 1
= cos3θ . cos3α ... (III)
Hallar el valor de:
) ( ) ( sen C α + θ α + θ π = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Calcular: tanx.tan(x-y).tan(30°-y), si se cumple que:
) 30 x tan( ) z 30 tan( ) z 60 tan( ) y 60 tan( ° − − ° = − ° − ° a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2
10.Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y) Calcular: ) y x tan( ] y 3 tan x 3 [tan ] y 3 tan x 3 [tan E 2 2 + − − + = a) 3 3 4 b) 3 3 2 c) 3 3 d) 2 3 e) 4 3
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Repaso
Capítulo IV
Problemas para la clase
Bloque I
1. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, se puede verificar que: β α a) α -β = 0° b) α +β = 0° c) α -β = 90° d) α +β = 90° e) α +β = -90°
2. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 120g y /3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?
a) 12° b) 18° c) 16°
d) 6° e) 8°
3. Del gráfico, calcular: S= x+y90°
5yg 3xº
a) 3 b) 2 c) 23
d) 23 e) 65
4. En un triángulo rectángulo, un cateto es el cuádruple del otro. Calcular el producto de las secantes de los ángulos agudos del triángulo.
a) 178 b) 174 c) 158
d) 154 e) 152
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); señale el equivalente de: A tan c bsenC bsenA C tan a K + + = a) aa++bc b) aa++bc c) ba++bc d) ab++bc e) 1
6. Si " " es agudo, tal que: cos = 61 ; calcular: K = tan cot2θ
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. Si " " es agudo, tal que: cscθ = tan60°; calcular el valor de: K = (cos2θ - sen2θ) (2sec2θ - 1)
a) 1 b) 31 c) 32
d) 23 e) 3
8. Del gráfico; calcular "tan "
A C B53º 5 7 θ a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
9. Del gráfico, determine el valor de "sen "
A D C
B
φ 37º
a) 0,24 b) 0,12 c) 0,48
d) 0,96 e) 0,36
10.Siendo " " un ángulo agudo, tal que:
° ° + ° ° ° ° = θ 70 cot 20 cot 2 80 tan 10 tan 3 40 sec 50 sen cos
Calcular: S = tan tan2θ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11.Si: π θ = π θ cot 4 cos tan 4
sen ; señale un valor de:
S = tan2 + cot2
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
12.Si: tan5x.tan(30° - x) = 1; calcular: S = sec23x + sec24x
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, se puede verificar que:
θ α
a) + = 180° b) - = 180°
c) - = 90° d) - = 90°
e) + = 0°
2. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden (7n + 3)° y (8n + 2)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo desigual?
a) 2πrad b) 3π c) 4π
d) 5π e) 6π
3. Del gráfico, calcular: S = x +y15
6xº 15yg
a) 1,5 b) 1,75 c) 2,5
d) 2,25 e) 2,75
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el producto del coseno y cotangente del menor ángulo agudo de dicho triángulo.
a) 2,25 b) 3,25 c) 2,75
d) 3,75 e) 4,15
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar:
C cos A cos c b S = − a) b b) a c) c d) a + c e) b - c
6. Si " " es agudo, tal que: cos = 71; calcular: S = tan tan2θ
a) 1 b) 3 c) 5
d) 4 e) 6
7. Si " " es un ángulo agudo, tal que: sen = tan30°; calcular: S = (2cos2 - 1) (csc2 + 1)
a) 32 b) 34 c) 2
d) 4 e) 6
8. Del gráfico, determine el valor de "cot " A C B 150º β 4 7 3 a) 3,5 3 b) 3 3 c) 4,5 3 d) 4 3 e) 5,5 3
9. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: sec = 7tan20°tan70° - 3sen40°sec50° Calcular: S = tan cot2θ
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
10.Si: sen[(15tan )°] = cos[(15cot )°]; señale un valor de: S = tan2 + cot2
a) 34 b) 36 c) 25
d) 23 e) 21
11.Si: tanx.tany = 1; calcular:
+ + + = tan x6y 3 y x tan 2 y x tan S
a) 2 3−1 b) 3 −1 c) 233 −1 d) 1 3 3 + e) 3 +1 Bloque III
1. Se tienen tres ángulos tales que al ser agrupados de a dos; las sumas de estas parejas resultan ser iguales a 80g,
3 2π
rad y 50°. ¿Cuál es la media aritmética de las medidas de los tres ángulos?
a) 30°15' b) 20°30' c) 40°20' d) 40°30' e) 20°20'
2. Señale el valor de:
++ ° ∑ = = 6 k(k(k 1)'1)' 1 k S a) 71 b) 72 c) 81 d) 82 e) N.A.
3. En el cubo mostrado, calcular: S = 3cot2 + 1 (CM = MD) B A B' A' C C' D D' M θ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.
4. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx.coty B A E C D x y 37º a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 16
5. Si " " y " " son ángulos agudos y complementarios; además: α + β = β + α = csc 2 sec 3 n y 3 cos sen 2 m entonces: a) m = n b) m > n c) m < n d) m + n = 2 e) m - n = 2 6. Si: x + y = 90°; además:
sen(senx + cosy) = cos(senx + cosy) Calcular: S = tan(2senx) + cot(2cosy)
a) 1 b) 2 c) 3
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Cálculo de lados - aplicación
Capítulo V
• Cálculo de lados:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y un ángulo agudo también conocido. Vamos a distinguir tres casos:
A L B C θ θ θ A L B C A L B C * BCL = tan BC = Ltan * ABL = cot AB = Lcot * BCL = sen BC = Lsen * ACL = sec AC = Lsec * ACL =csc AC = Lcsc * ABL =cos AB = Lcos A L B C θ θ θ A B C A B C Lsecθ Ltan θ Lcotθ Lcosθ Lsenθ Lcscθ L L
Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que dividir loloquequequierestienes : R.T.(ángulo conocido); y de esta igualdad se despeja el lado desconocido.
* Área de un triángulo:
El área de un triángulo cualquiera se puede calcular como el semiproducto de dos de sus lados, multiplicados por el seno del ángulo que forman dichos lados.
A B C a b c S S = senA S = senB S = senC bc 2 ca 2 ab 2 1. Determinar "x". A B C D x a θ Resolución: BDC : BD = asenθ BAD : AB = asen cosθ θ
2. Hallar "x". A D C B x a α β Problemas resueltos A B C D x a θ θ asenθ
Resolución: A D C B H a α β atanα acotβ atanα i) ii) iii) DCB : CD = atanα DHA : AH = acotβ AB = atan + acotα β a 3. Hallar "x". r x θ Resolución: r x θ Q 0 A B C D rcscθ xcotθ i) ii) iii) AQO : AO = rcscθ CBA : AB = xcotθ xcot = rcsc + rθ θ x = r(csc + 1)θ cotθ r
4. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos
m id e " " y el cateto adyacente a este ángulo mide "m".
¿Cuál es el perímetro del triángulo? Resolución:
Graficando de acuerdo al problema:
C A B m θ ABC: AB = mtanθ AC = msecθ
perímetro : m + mtan + msecθ θ
5. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "2n" y los ángulos congruentes miden " ". Hallar la altura relativa al lado desigual.
Resolución: B A C h n 2n β H β BHC : BH = ntanβ h = ntanβ n
6. En un rectángulo, las diagonales forman un ángulo agudo "2 " y miden "L". ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Resolución: B A C D L/2 cosβ β β L 2 2β L/2 L/2 L/2 0 β OQC: QC = senL β 2 OQ = cosL β 2 perímetro: 2L(sen + cos )β β senβ senβ L 2 L 2 Q Lcosβ → CD = Lsen AD = Lcosβ ∧ β
7. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9AB. Hallar "tan + cot "
P R A B Q D C α
Resolución: P R A B Q D C α a 9a a a a α α i) ii) BCQ : CQ = acotα ADP : PD = atanα como: PQ = 9AB → atan + a + acot = 9aα α tan + cot = 8α α
8. Hallar "tan ", si: AB = DE
D C B E A 37° θ Resolución: D C B E A θ37° 4atanθ 5atanθ 3atanθ 5a 3a 4a F 37 ° DE = 4atan + 3a ; AB = 4aθ 4atan + 3a = 4aθ tan =θ 14
9. Del gráfico, hallar "sen ".
A B C D 3 E 5 1 θ Resolución: A B C D 3 E 5 1 θ 34 26 Q 5 i) ii) S = AB . EQAEB
S = (4) (5) (forma geométrica)AEB 1
2 1 2
S = EB . AE . senAEB θ
S = 26 . 34 . sen (forma trig.)AEB θ
1 2 1 2 Igualando: 34 . 26 20 sen sen ) 34 ( ) 26 ( 2 1 ) 5 ( ) 4 ( 2 1 = θ ∴ → θ = 10.Hallar "BD". A B C D 2 37° 4 2 Resolución: A B C D 2 53°37° 4 2 i) ii) iii)
∆ ABD : S = ( 2) (BD) sen53°ABD
∆ DBC : S = (4 2) (BD)sen37°DBC S = S + SABC ABD DBC 1 2 1 2 Entonces: 4 2 5 BD ) 2 4 )( 2 ( 2 1 37 sen ) BD )( 2 4 ( 2 1 53 sen ) BD )( 2 ( 2 1 = ∴ → = ° + °
Bloque I
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: A B = m y CAB = . Hallar el perímetro del triángulo. a) m(sen + cos + 1)
b) m(sec + tan + 1) c) m(csc + cot + 1) d) m(cos + tan + 1) e) m(sen + cot + 1)
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: BC = n y BAC = . Hallar el área del triángulo.
a) cosα 2 n2 b) senα 2 n2 c) cotα 2 n2 d) tanα 2 n2 e) secα 2 n2
3. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden "L" y los ángulos congruentes miden " ", cada uno. Halle el lado desigual.
a) 2Lcos b) Lcos c) 2Lsen
d) 2Lsec e) Lsec
4. En el rectángulo mostrado, halle su área. B A C D L θ a) L2tan b) L2tan 2 θ c) 2L2tan d) 2 L2 tan2θ e) L2 2 sen2θ
5. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado PQRS en función de "L" y " ". A Q B R C P S L θ θ a) cotLθ+1 b) cot2θL+1 c) 2cotLθ+1 d) 2cot2Lθ+1 e) cotLθ+2
6. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden
"L " c a d a u n o ; y lo s á n g u lo s co n g ru e n te s m id e n " ". Hallar
el inradio de dicho triángulo.
a) Lsen tan2θ b) Lsen cot2θ
c) Lcos tan2θ d) Lcos cot2θ
e) Lsec tan2θ
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A D B
C
5 2
θ
α
a) 72tan b) 72cot c) 73tan
d) 72cos e) 72sen
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ". A
B M C
φ
β
a) 2seccosθ−θsenθ b) 2secsenθ−θcosθ
c) 2csccosθ−θsenθ d) 2cscsenθ−θcosθ
e) 2cotsenθ−θcosθ
9. En un triángulo ABC; se sabe que: AB = 8 y BC = 4; además CBA = 30°. Calcular el área del triángulo.
a) 12 u2 b) 24 c) 16
d) 8 e) 32
10.Del gráfico, hallar el área de la región sombreada.
A B C D E 2 7 4 1 θ
a) 17sen b) 14sen c) 21sen d) 28sen e) 16sen
Bloque II
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = n y ACB = . Halle el perímetro del triángulo. a) n(sen + cos + 1)
b) n(sec + tan + 1) c) n(csc + cot + 1) d) n(cos + cot + 1) e) n(sen + tan + 1)
2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "L" y cada uno de los ángulos congruentes mide " ". ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
a) L(1 + cos ) b) L(1 + sec ) c) L(1 + sen ) d) L(1 + csc ) e) L(1 + cot )
3. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "L" cada uno y el ángulo desigual mide "2 ". Halle el perímetro del triángulo.
a) 2L(1 + sen ) b) L(1 + sen ) c) 2L(1 + cos ) d) L(1 + cos ) e) 2L(1 + tan )
4. En el rectángulo mostrado, halle su área.
B A C L D 2α a) L2cot b) 2 L2 cot c) 2L2cot d) L2tan e) 2 L2 tan
5. Del gráfico hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es "L". A Q R B C P S L θ θ
a) Lsen + L2cos b) L2sen + Lcos
c) Lsec + 2L csc d) L2sec + Lcsc
e) Ltan + L2cot
6. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ángulos congruentes miden " " cada uno. Halle uno de los lados congruentes.
a) r(cot + cot2θ) b) r(cot2θ + tan )
c) r(csc + cot2θ) d) r(sec + tan2θ)
e) r(tan + tan2θ)
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A B
C
7 D 2
β θ
a) 3,5tan b) 4,5tan c) 5,5tan d) 4,5cot e) 3,5cot
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A C B D 2 1 H φ β
c) 2secβsen−β3cosβ d) 2sec2βsen−3βcosβ
e) 3csc2βcos−2βsenβ
9. En un triángulo ABC: AB = 4, BC =8 3 y ABC = 60°. Hallar el área del triángulo.
a) 8 u2 b) 12 c) 24 d) 32 e) 64 10.D e l g rá fic o , h a lla r: S 2 - S1 A F B E G C S2 S1 2 1 1 4 5 3D θ
a) sen b) 2sen c) 3sen
d) 4sen e) 6sen Bloque III
1. Del gráfico, calcular "x".
23 cm A 21º C B x a) 8,2425 cm b) 8,7234 c) 9,1724 d) 5,7432 e) 12,2312
2. Del gráfico, calcular "x".
17 cm A 32º C B x a) 14,4168 cm b) 17,5142 c) 13,1624 d) 6,2354 e) 12,5216
3. Del gráfico, calcular "x".
20 cm A 12º C B x a) 32,1732 cm b) 20,4468 c) 30,2514 d) 26,8442 e) 24,1634
4. Del gráfico, calcular "x".
12 cm A 20º C B x a) 31,2507 cm b) 43,2104 c) 28,3007 d) 32,4306 e) 35,0857
5. Del gráfico, calcular "x".
10 cm A 10º C B D 52º x a) 42,9 cm b) 47,9 c) 51,2 d) 61,2 e) 48,9
6. Del gráfico, calcular "x".
A B C 14 cm H x 20º 50º a) 32,3217 cm b) 46,1823 c) 50,2121 d) 53,1724 e) 59,2131
7. Del gráfico, calcular la altura "h" de la torre; si "M" es su punto medio.
d
θ α
a) cotα+d2cotθ b) cotα+2d2cotθ
c) cotθ+2d2cotα d) cotθ+d2cotα
e) cotα2+dcotθ
8. Del gráfico, hallar la altura "H" del poste vertical; si: QM = 2MP. d α β S L Q A P B M
a) 2cot2(αd−+Lcot) β b) cot3α(d+−3Lcot) β
c) 2cot3(dα−+Lcot) β d) 3cot3(αd+−2Lcot) β
e) 3cot3(dα−+Lcot) β
9. Del gráfico, hallar la longitud de la piscina "P" en función de los datos mostrados.
P θ
φ h
L d
a) Lcos + d + (h + Lsen )cot b) Lcos + d + (h + Lsen )tan c) Lsen + d + (h + Lcos )tan d) Lsen + d + (h + Lcos )cot e) Lsec + d + (h + Lsen )cot
10.Del gráfico, hallar "R" en función de los datos mostrados.
α
d
R h
a) hcotcscαα++1d b) hcsctanαα++1d
c) h1++dsectanαα d) h1++dseccotαα
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Ángulos verticales
Capítulo VI
Definición:
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal; como resultado de haberse efectuado una observación. En el gráfico tenemos:
α
linea visual linea horizontal β
linea visual
Línea visual: Une el observador con el objeto a observar.
Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y es paralela al nivel del suelo.
Del gráfico anterior: ángulo de elevación ángulo de depresión
Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa lo alto de un edificio de altura "H" con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráfico sería:
20º 2 m
40 m
H
Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°. (Complete)
1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste?
Resolución: Graficando: 24º 20 m x x = 20cot24º x = 20tan66º x = 20(2,246) x = 44,92 m 2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra
a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión
" " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle la
distancia que separa a los objetos. Resolución: Hcotα x β Hcotβ α H α β Del grafico: Hcot - Hcot = x x = H(cot - cot ) β α β α Problemas resueltos
3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la mitad de la altura de la torre, el ángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ" Resolución: Graficando: 37º θ A1 B C 6 3 5 i) ii) Sea: BC = 6 A B = 8⇒ 1 Pero: A A = 3....1 2 BC2 tan = = 1,2θ y = arctan = 50,1944285ºθ θ = 50º11'40" y tan = 1,2θ 6 5 6 5 A2
Determinación del ancho de un río.
4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto "C" en un borde del río y visualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véase figura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", se desplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide el ángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el ancho del río?
A
B
C
= 20°
a = 200m
b
Resolución:Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b", por lo que usamos la relación:
tan = ba para obtener: tan20° = 200b
⇒ b = 200tan20° ≈72,79 metros el ancho es 72,79 m
Determinación de la inclinación del sendero de una montaña.
5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce de un hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador, cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del sendero es de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero? Resolución:
La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ", como muestra la figura.
14100 3100
senβ = con una calculadora determinamos que: °
≈ β 12,7
La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7° Determinación de una altura mediante el ángulo de elevación.
6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora, un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véase la figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2 metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tan alta es la torre? Resolución: Hotel sendero 14100 pies mirador 11100 pies 3100 pies elevación 8000 pies Hotel 2m
