Cálculo
Financiero
PROESAD
Programa de Educación Superior a Distancia
Autor: Mg. Luis Enrique Falcón Delgado Diseño interior: Doris Sudario S. Diseño de tapa: Eduardo Grados S. Responsables de edición:
Edwin Sucapuca Sucapuca, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vásquez Villanueva, Mariela Malásquez Marín.
Primera edición, marzo 2012
El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor.
Universidad PerUana Unión - Facultad de Ciencias Empresariales Programa de Educación Superior a Distancia PrOesad
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en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-03319 IMPRESO EN EL PERÚ
Presentación
Introducirse al estudio de las finanzas requiere de una base fundamental como
lo es las matemáticas financieras. Siendo ésta una de las mejores inversiones
en información que un estudiante puede hacer. ¿Por qué?
Porque el éxito en cualquier organización desde las
pequeñas tiendas de la esquina hasta las grandes
corporaciones multinacionales requiere la comprensión
y el manejo adecuado de cálculos financieros.
Este libro es el resultado de la experiencia docente del
autor con alumnos de las carreras profesionales de
contador público y administración de empresas, así
como con profesionales del mundo de las finanzas.
Con este texto se cubren las necesidades de
ambos colectivos que, aunque diferentes, no son
excluyentes. Teoría y praxis forman un todo y deben
complementarse si se quiere lograr un conocimiento,
lo suficientemente riguroso, para entender y analizar
las operaciones financieras.
El texto contiene, por una parte, los conceptos
teóricos que permiten fundamentar el análisis de
los instrumentos financieros existentes, así como el
diseño de otros nuevos y, por otra parte, con la ayuda
de ejemplos y ejercicios, dichos conceptos se aplican en la
descripción del funcionamiento de las operaciones financieras
más habituales en el mercado.
Por este motivo, el presente texto va dirigido principalmente a empresarios,
estudiantes y profesionales no financieros, que sin tener necesariamente
conocimientos de finanzas, sin embargo, tengan la curiosidad y
deseen conocer los fundamentos de las matemáticas financieras
como herramienta vital de las finanzas corporativas modernas.
ínDice
uniDaD i
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES
sesión nº 1: CONCEPTOS BÁSICOS
...17.
1.
ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
...17.
1.1. Crédito
...17.
2.
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
...18
2.1. Costo de oportunidad
...19
3.
TASAS DE INTERéS
...22
3.1. Capitalización de interés
...23
4.
MONTO O VALOR FUTURO (S)
...24
5.
INTERéS COMERCIAL y REAL
...25
5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la prática?
...26
6.
PLAzO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS
...26
6.1. Días inicial y final
...26
6.2. Fecha de vencimiento
...27.
7..
HORIzONTES y SUBHORIzONTES TEMPORALES
...29
8.
MéTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERéS y AL PRINCIPAL CUANDO
SE REDUCE EL MONTO
...30
8.1. PPLI(Primero Principal Luego Interés)
...30
8.2. PILP(Primero Interés Luego Principal)
...31
PRÁCTICA DIRIGIDA
...32
uniDaD ii
LEyES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA
sesión nº 2: INTERéS SIMPLE
...37.
1.
INTRODUCCIÓN
...37.
2.
INTERéS CON PRINCIPAL y TASA NOMINAL CONSTANTE
...37.
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)
...40
2.2. Calculando la tasa de interés (j)
...41
4.
MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL y TASA NOMINAL
VARIABLE
...46
5.
MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE y TASA
NOMINAL VARIABLE
...48
6.
VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL y TASA
NOMINAL CONSTANTE
...50
7..
VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE
y TASA NOMINAL VARIABLE
...52
8.
ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES
...54
PRÁCTICA DIRIGIDA
...58
sesión nº 3: INTERéS COMPUESTO
...63
1.
INTRODUCCIÓN
...63
2.
INTERéS CON PRINCIPAL y TASA EFECTIVA CONSTANTE
...63
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)
...65
2.2. Calculando la tasa de interés (i)
...67.
2.3. Calculando el tiempo (n)
...69
3.
INTERéS CON PRINCIPAL CONSTANTE y TASA EFECTIVA VARIABLE
...7.1
4.
MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL y TASA
EFECTIVA CONSTANTE
...7.3
5.
MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE
y TASA EFECTIVA VARIABLE
...7.5
6.
VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL
y TASA EFECTIVA CONSTANTE
...7.7.
7..
VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL
CONSTANTE y TASA EFECTIVA VARIABLE
...7.9
8.
ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES
...81
9.
INTERéS COMPUESTO CON TASA J CAPITALIzABLE
...84
9.1. Valor futuro con tasa j capitalizable
...87.
9.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable
...88
OPERACIONES DE DESCUENTO, TASAS, INFLACIÓN y DEVALUACIÓN y LAS SEIS LLAVES
MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
sesión nº 4: OPERACIONES DE DESCUENTO
...97.
1.
INTRODUCCIÓN
...97.
2.
DESCUENTO COMERCIAL
...98
2.1. Descuento comercial unitario
...98
2.2. Descuento comercial sucesivo o en cadena
...99
3.
DESCUENTO BANCARIO
...101
3.1. Descuento bancario simple
...101
3.2. Descuento bancario compuesto
...105
4.
DESCUENTO RACIONAL
...109
4.1. Descuento racional simple
...109
4.2. Descuento racional compuesto
...114
5.
OPERACIONES DE DESCUENTO EN LA PRÁCTICA
...120
PRÁCTICA DIRIGIDA
...123
sesión nº 5: TASAS
...129
1.
INTRODUCCIÓN
...129
2.
TASA VENCIDA y ANTICIPADA
...130
3.
TASA NOMINAL PROPORCIONAL
...130
4.
CONVERSIÓN DE UNA TASA NOMINAL A EFECTIVA
...131
5.
TASA EFECTIVA EQUIVALENTE
...133
6.
TASA ACTIVA y PASIVA
...134
6.1. Tasa de interés pasiva
...134
6.2. Tasa de interés activa
...135
7..
TASA COMPENSATORIA y MORATORIA
...136
7..1. Aplicación de tasa compensatoria y moratoria en pagarés
...137.
8.
TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX
...138
9.
TASA CON CAPITALIzACIÓN DISCRETA y CONTINUA
...139
9.1. Tasa con capitalización discreta
...139
9.2. Tasa con capitalización continua
...139
10. TASA EXPLíCITA E IMPLíCITA
...140
1.
INTRODUCCIÓN
...145
2.
CÁLCULO DE LA TASA DE INFLACIÓN
...146
3.
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERéS REAL
...149
3.1. Tasa efectiva inflada
...150
4.
TIPO DE CAMBIO
...151
4.1. Tipo de cambio directo
...152
4.2. Tipo de cambio cruzado
...152
5.
TASA DE INTERéS EN MONEDA EXTRANJERA
...153
PRÁCTICA DIRIGIDA
...155
sesión nº 7: LAS SEIS LLAVES MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
...157.
1.
INTRODUCCIÓN
...157.
2.
FACTOR SIMPLE DE CAPITALIzACIÓN (FSC)
...158
3.
FACTOR SIMPLE DE ACTUALIzACIÓN (FSA)
...159
4.
FACTOR DE CAPITALIzACIÓN DE LA SERIE (FCS)
...160
5.
FACTOR DE DEPÓSITO AL FONDO DE AMORTIzACIÓN (FDFA)
...161
6.
FACTOR DE ACTUALIzACIÓN DE LA SERIE (FAS)
...162
7..
FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (FRC)
...163
PRÁCTICA DIRIGIDA
...165
uniDaD iv
ANUALIDADES y PROGRAMAS DE AMORTIzACIÓN DE CRéDITOS
sesión nº 8: ANUALIDADES VENCIDAS y ANTICIPADAS
...17.1
1.
INTRODUCCIÓN
...17.1
2.
ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIAS
...17.3
2.1. Valor futuro S de una anualidad vencida
...17.3
2.2. Valor presente P de una anualidad vencida
...17.6
3.
ANUALIDADES ANTICIPADAS
...180
3.1. Valor futuro S de una anualidad anticipada
...180
3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada
...184
1.
INTRODUCCIÓN
...191
2.
ANUALIDADES DIFERIDAS
...191
2.1. Valor futuro S de una anualidad diferida
...192
2.2. Valor presente P de una anualidad diferida
...193
3.
PERPETUIDADES
...196
3.1. Valor futuro S de una perpetuidad
...196
3.2. Valor presente P de una perpetuidad
...196
PRÁCTICA DIRIGIDA
...199
sesión nº 10: PROGRAMAS DE AMORTIzACIÓN DE CRéDITOS
...201
1.
INTRODUCCIÓN
...201
2.
AMORTIzACIÓN CON INTERéS SIMPLE
...201
2.1. Amortización con interés global
...202
2.2. Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir)
...204
3.
AMORTIzACIÓN CON INTERéS COMPUESTO
...206
3.1. Sistema de amortización constante (método alemán)
...207.
3.2. Sistema de amortización única al vencimiento (método
americano simple)
...208
3.3. Sistema de pagos constantes (método francés)
...209
3.4. Sistema de pagos con período de gracia
...210
3.5. Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante)
...212
4.
COSTO EFECTIVO DEL CRéDITO
...214
4.1. Uso del VAN y la TIR en la evaluación de crédito
...215
PRÁCTICA DIRIGIDA
...221
suMilla
El curso pertenece al área de formación profesional y a la sub-área de finanzas. Propone capacitar al estudiante en la formulación de modelos matemáticos básicos para resolver los problemas financieros. El curso es de naturaleza teórico-práctica y abarca los siguientes tópicos:
técnica mercantil, interés simple y compuesto, amortización de préstamos, anualidades o rentas,
cóMo estuDiar
LOS MÓDULOS DIDÁCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS
antes De la lectura
Durante la lectura
DesPués De la lectura
El método A2D para autodidactas, de Raúl Paredes Mo-rales, es un método de fácil aplicación para la mayoría de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si el estudiante aplica este método, su trabajo intelectual será más rápido y eficaz.
A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos, que se propone para la lectura de un módulo didáctico o cualquier otro texto.
Consiste en la exploración preliminar y se debe: Â
 Echar un vistazo general empezando por el índice, reconociendo unidades y lecciones que se van explicando en el módulo didáctico. Â
 Anotar las dudas que van surgiendo durante el vistazo general, para esclarecerlas durante la lectura o después de ella.
Â
 Adoptar una actitud positiva.
ésta es la fase más importante del método, el ritmo de lectura lo pone cada lector. Debes tener presente los siguientes aspectos:
Â
 Mantén una actitud positiva. Â
 Participa activamente en la lectura: tomando apuntes, subrayando, resumiendo y esquematizando.
Â
 Si no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida, consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.
Esta fase va a afianzar la lectura, mejorando tu comprensión lectora, para ello debes tener en cuenta lo siguiente:
Â
 Repasa los apuntes tomados durante la lectura. Â
 Organiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que sea siempre a la misma hora.
Â
 Realiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas. Â
 Procura ampliar las lecciones con lecturas complementarias. Â
 Al final de cada capítulo haz tu cuadro sinóptico o mapa conceptual. Â
 Elabora tu propio resumen.
Antes de la lectura Durante la lectura Después de la lectura
a2D
enriquece tu vocabulario para entender
mejor las próximas lecturas.
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES
sesión nº 1: Conceptos básicos
uni
D
a
D
i
uniDaD i
coMPetencias
CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL
Estudia el origen de las matemáticas financie-ras.
Organiza un mapa con-ceptual de las matemá-ticas financieras.
Valora la matemática fi-nanciera como tema de estudio.
P R O E S A D
1
Sesión
concePtos Básicos
1. oríGen De las MateMáticas financieras
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Investigando se encontró que las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, creo que «alguien» se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.
Es casi natural considerar que, al igual que otras múltiples actividades que realiza el ser humano, el comercio, con sus formas y modalidades, que hoy nos parecen asombrosas y alucinantes, como el mercado de capitales, es el resultado de un proceso, cuyo inicio hay que ubicarlo en algunos momentos o instituciones del pasado.
El hombre ha logrado satisfacer sus necesidades a través de actividades comerciales diferentes, siendo el criterio diferenciador el tipo objeto de intercambio empleado por él. En tal sentido, se identifican las siguientes etapas que fueron apareciendo no necesariamente en orden secuencial: Trueque o permuta: se intercambia un bien por otro (ej. papas por arroz).
Etapa monetaria: aparece el dinero que sirve para efectuar transacciones, y comprar así los bienes.
Etapa de crédito: además de mi propio dinero, me endeudo para comprar algún bien. Etapa de los documentos o instrumentos financieros: se formalizan más los acuerdos o
con-venios entre los participantes del mercado; se convierten así en instrumentos de vida propia que son negociados.
De todo lo expuesto anteriormente, podemos señalar que las matemáticas financieras aparecieron cuando apareció el crédito, a continuación, la definiremos.
1.1. crédito
Es el traspaso del derecho al uso de un bien por parte de una persona natural o jurídica que goza de tal derecho y que renuncia a ese uso a favor de otra persona natural o jurídica, la cual lo
adquiere por un plazo determinado o no.
Esta definición de «crédito» abarca cualquier operación de préstamo de cualquier bien, algunas de tanta envergadura como un crédito en dólares otorgado por el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) a un país latinoamericano o como una concesión por 20 años para explotar yacimientos mineros en nuestra selva peruana, a la vez que algunas tan simples como el préstamo de una calculadora entre dos compañeros de curso durante una evaluación.
Ahora, si bien la acepción más conocida de “crédito en dinero” es aquella en la cual una institución financiera le presta dinero a una persona natural o jurídica, es importante reconocer que este concepto involucra un conjunto bastante amplio de operaciones, como por ejemplo: depósitos de ahorro que realizan personas naturales o jurídicas en instituciones financieras (cuentas de ahorro, depósitos a plazo, depósitos de CTS, etc.), préstamos de carácter comercial (ventas a plazo) y, entre otros, la inversión en empresas productivas (el inversionista “le presta” dinero a la empresa).
Esto, sin duda, evidencia que en las operaciones de crédito en dinero el acreedor (la persona que prestó el dinero) exija al deudor (la persona que recibió el dinero en préstamo) el pago de una renta por el dinero prestado, renta que recibe el nombre de interés, concepto que veremos con más detalle más adelante.
2. el valor Del Dinero en el tieMPo
Para muchas personas resulta discutible el hecho de que se cobren intereses en las operaciones de crédito en dinero. Incluso, existen determinadas civilizaciones en que ello está penado por la ley, con base en preceptos religiosos.
A fin de situar este tema en la perspectiva adecuada, evitando las discusiones de carácter ético o religioso, es importante convencer al lector de que –dada una cierta lógica– resulta difícil discutir la aplicación de intereses en un préstamo en dinero. Obviamente, otro asunto es la cuantía o magnitud de tales intereses, a lo cual se hará referencia más adelante.
Supóngase que a usted se le enfrenta al problema de decidir entre dos alternativas mutuamente excluyentes (puede decidirse por solo una de ellas o por ninguna):
a) Recibir hoy una donación de $10.000.
b) Recibir una donación de $10.000 dentro de 1 año.
No cabe prácticamente ninguna duda que usted preferiría la alternativa (a). Si le preguntasen los motivos, lo más probable es que usted mencionaría a lo menos uno de los factores que se mencionan a continuación:
a) La pérdida de poder adquisitivo (debido a la existencia de inflación, con $10.000 disponibles hoy puedo adquirir más bienes y servicios que con $10.000 dentro de un año).
b) El riesgo (más vale tener $10.000 seguros hoy, que tener una promesa de que recibiré $10.000 dentro de un año).
c) Los usos alternativos del dinero (con $10.000 colocados a trabajar hoy, podría tener más de $10.000 dentro de un año).
Alcanzado un cierto acuerdo sobre lo recientemente planteado, cabe preguntarse –entonces– por qué alguien prestaría $10.000 hoy a 1 año plazo y aceptaría que al vencimiento de ese plazo le devolviesen los mismos $10.000. Parece evidente que se trata del mismo problema anteriormente planteado, de tal forma que cualquiera que haya preferido la primera alternativa de ese problema, no podría ahora defender una postura contraria a la de cobro de intereses. De esta manera, obviando el problema del riesgo que enfrenta el acreedor al prestar dinero, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero puede ser defendido desde dos perspectivas: la pérdida de poder adquisitivo del dinero a lo largo del plazo del préstamo (en una economía con inflación) y la existencia de los llamados «costos de oportunidad» en el uso del dinero.
El primero de estos factores resulta relativamente obvio, ya que el acreedor a lo menos debiera considerar que, una vez recuperado el dinero prestado, él pudiera adquirir un conjunto de bienes equivalente al que podía adquirir con la suma prestada en el momento del préstamo.
El segundo de los factores es más novedoso para las personas que recién se aproximan al tema, relacionándose con la existencia de alternativas rentables para el uso de una determinada cantidad de dinero.
2.1. costo de oportunidad
Es la ganancia o rentabilidad de la mejor alternativa desechada o sacrificada al asignar un bien o recurso a un uso específico, existiendo usos alternativos rentables para ese mismo bien o recurso. De acuerdo a ello, el concepto de «costo de oportunidad» es aplicable a cualquier bien o recurso con usos alternativos y la ganancia o rentabilidad no necesariamente se mide en términos monetarios.
Así, por ejemplo, el alumno que se encuentra asistiendo a una sesión de cátedra podría determinar cuál es el costo de oportunidad en que incurre al utilizar su tiempo en esa actividad y tal costo podría estar medido en términos de una determinada “satisfacción” sacrificada.
No obstante, aquí interesan los costos de oportunidad en el uso de una cantidad de dinero, medidos en términos de la ganancia o rentabilidad monetaria sacrificada, al realizar una asignación determinada de esa cantidad de dinero.
Resulta evidente que si bien, en algunos períodos de bajísimas inflación, la pérdida de poder adquisitivo podría ser considerada no relevante, siempre existirían usos alternativos rentables para la suma de dinero prestada, de tal forma que el acreedor debiera considerar que el interés del préstamo fuera suficiente para –a lo menos– compensar el costo de oportunidad en que incurrió al prestar dinero.
Cabe hacer aquí una breve precisión respecto del caso de las instituciones financieras que prestan dinero, por cuanto para ellas existe un costo explícito de «captación» del dinero. Estas instituciones son intermediarias que captan dinero, pagando una renta por ello (tasa de interés pasiva), con la final de colocar o prestar ese dinero, cobrando a su vez una renta (tasa de interés activa). A fin de que la institución financiera obtenga una ganancia o «spread» en estas operaciones, es necesario que la tasa activa supere a la suma de los costos de captación y de administración directa e indirecta de tales operaciones.
En definitiva, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero –en su aceptación amplia– proviene fundamentalmente de la existencia de costos de oportunidad en el uso del dinero, los cuales conducen al llamado valor del dinero en el tiempo. Se asigna mayor valor a $1 disponible hoy que a $1 disponible mañana, porque colocando hoy $1 en una alternativa rentable es posible tener mañana más de $1.
El valor del dinero en el tiempo conduce a la existencia de matemáticas especiales para cálculos crediticios, pues se debe reconocer que no siempre es pertinente sumar dos cantidades que se encuentran ubicadas en distintos momentos en el tiempo, o bien, no es posible saber si es conveniente por –ejemplo– pagar dos cuotas semestrales de $9.000 o solo una cuota anual de $20.000 en un determinado crédito.
ejemplo
el costo de oportunidad
Usted cuenta con las siguientes tres únicas y mutuamente excluyentes1 alternativas para
«invertir» $250.000, a un mes de plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo:
a) Realizar un depósito en un banco local, que ofrece pagarle a fin de mes un interés de $2 por cada $100 depositados.
b) Colocar el dinero en una alternativa que reportará un interés de $4.7.50 al final del mes.
c) Colocar el dinero en una alternativa que reportará, al final del mes, un interés de $0,25 por cada $100 del depósito previamente reajustado por inflación.
se pide:
1) Determinar cual sería la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflación men-sual de 1,6% para el mes relevante.
2) Determinar cual sería la ganancia bruta (en), la tasa de rentabilidad bruta (sobre $) de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa) al seleccionar cada una de las alternativas. Verificar la respuesta 1).
3) Determinar a partir de cual tasa de inflación (mínima o máxima) se entraría a modificar la respuesta 1).
Desarrollo:
1. Se calcula cuanto dinero se tendría al final del mes con cada una de las alternativas a) 250.000 + 250.000 (2/100)
250.000 + 5.000 $255.000 b) 250.000 + 4.7.50 $254.7.50
c) Primero se reajustan los $250.000, de acuerdo a la tasa de inflación. Con esta operación, el deudor le devuelve al acreedor la pérdida de poder adquisitivo que sufrió durante el período.
1 El término mutuamente excluyente indica que si emprendemos una de las alternativas, entonces no podremos emprender
250.000 + 250.000(0,016) 250.000 + 4.000
$254.000
Ahora se calculan los intereses sobre los $254.000. 254.000 + 254.000 (0,25/100)
254.000 + 635 $254.635
Por tanto, la mejor alternativa es la alternativa a). 2. Cifras en $ (ganancias)
Cifras en tasa (rentabilidad)
Por lo tanto, resulta evidente que la respuesta 1) es correcta, por cuanto –dado que todas las alternativas tienen el mismo nivel de riesgo– el evaluador debe elegir aquella que le otorgue la mayor ganancia o rentabilidad neta positiva, lo que implica necesariamente restarle a la ganancia o rentabilidad bruta aquella ganancia o rentabilidad que igualmente se habría obtenido si se hubiera llevado a cabo la mejor alternativa desechada (costo de oportunidad o tasa de rentabilidad alternativa). 3. En este caso, todas las alternativas cubren la pérdida de poder adquisitivo del período
(250.000) (0,016) = $4.000, con ganancias brutas «después de inflación» de $1.000 la alternativa a), $7.50, la alternativa b) y $635 la alternativa c), manteniéndose la primacía de la alternativa a). No obstante, la única alternativa que considera un reconocimiento explícito de la pérdida de poder adquisitivo es la alternativa c), de tal forma que a tasas de inflación mayores que 1,6% su ganancia bruta «antes de inflación» será gradualmente mayor que $4.635, mientras las otras dos alternativas mantienen inalteradas sus ganancias brutas.
Por calcular, entonces, a qué tasa de inflación mensual f, la ganancia bruta de la alternativa c) iguala a la de la alternativa a).
[250.000 + 250.000 f ] (1,0025) = 255.000 250.000 (1 + f ) (1,0025) = 255.000 (1 + f ) 250.625 = 255.000 (1 + f ) = 255.000/250.625 f = 1,017.456 – 1 f = 0,017.456 = 1,7.5%
alternativa Ganancia Bruta costo de oportunidad Ganancia neta
a) $5.000 $4.7.50 $250
b) $4.7.50 $5.000 –$250
c) $4.635 $5.000 –$365
alternativa rentabilidad Bruta tasa costo oportunidad Ganancia neta
a) 2,00% 1,90% 0,10%
b) 1,90% 2,00% –0,10%
Esto significa que con una tasa de inflación mensual superior a 1,7.5%, la alternativa c) superaría a la alternativa a) y pasaría a ser la mejor alternativa.
3. tasas De interés
La tasa de interés es el precio pagado a los que prestan dinero, mientras que en el caso del capital social, los inversionistas esperan compensación en la forma de dividendos y capital ganado. El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado como préstamo, la forma cómo se expresa el precio es la tasa de operación comercial. La unidad de tiempo es el año. La tasa se expresa en porcentajes (%).
El interés que se paga por una suma de dinero prestado depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del préstamo. Asimismo, a la oferta monetaria y variables socioeconómicas, etc.
Este concepto, no es nuevo, nuestro señor Jesucristo lo explicó hace más de dos mil años en una
de sus parábolas. A continuación la citaremos:
“El reino de los cielos es también como un hombre, que al salir de viaje, llamó a sus siervos, y le confió sus bienes. A uno le dio cinco talentos, a otros dos, y al tercero uno. A cada uno según su capacidad. y se fue lejos. El que había recibido cinco talentos, en seguida negoció con ellos, y ganó otros cinco. Del mismo modo el que había recibido dos, ganó otros dos. Pero el que había recibido uno, cavó en la tierra, y escondió el dinero de su señor. Después de mucho tiempo, vino el señor de aquellos siervos, y arregló cuentas con ellos. Llegó el que había recibido cinco talentos, trajo otros cinco talentos, y dijo: ‘Señor, cinco talentos me confiaste, aquí tienes otros cinco talentos que gané con ellos’. Su señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu Señor’. Llegó también el que había recibido dos talentos, y dijo ‘Señor, dos talentos me confiaste, aquí tienes otro dos talentos que gané con ellos’. Su Señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu señor’. Llegó también el que había recibido un talento, y dijo: ‘Señor, sabía que eres hombre duro, que siegas donde no sembraste, y juntas don de no esparciste, ‘y de miedo, fui y escondí tu talento en la tierra, aquí tienes lo que es tuyo’. Su Señor respondió: ‘siervo malo y negligente, sabías que siego donde no sembré, y junto donde no esparcí. ‘Por eso debías haber dado mi dinero a los banqueros, y yo hubiera recibido lo mío con el interés. ‘Quitadle el talento
y dadlo al que tiene diez talentos. ‘Porque al que tiene, le será dado, y tendrá en abundancia, y al que no tiene, aun lo que tiene, le será quitado. ‘y al siervo inútil echadlo fuera, en las tinieblas, allí será el llanto y el crujir de dientes’. SAN MATEO 25:14-30.
De esta manera, la tasa de interés es el porcentaje de variación entre un capital inicial (P) y un capital final ó monto (S) después de un periodo de tiempo es decir:
i S P
P
= − (1)
Pero S – P = I (interés), entonces:
i I
P
Donde:
“ I ” son los intereses que se generan
“ P ” es el capital inicial (en el momento n=0) “ S ” es el capital final (en el momento n) “ i ” es la tasa de interés que se aplica “ n ” es el tiempo que dura la inversión
ejemplo
cálculo de la tasa de interés
Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 de interés después de un año, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó?
solución:
Los datos son: i = ?
P = $10.000 I = $1.500 n = 1 año
Reemplazando en la ecuación (2), tenemos:
i= = ≈
$ .
$ . . %
1 500
10 000 0 15 15
El banco está cobrando una tasa anual del 15%. Actualmente el Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) de acuerdo con su Ley Orgánica D.L. Nº 26123 del 29/12/92, dentro de sus atribuciones, puede establecer la tasa máxima de interés compensatorio, moratoria y legal pero solo para las operaciones ajenas al sistema financiero y las operaciones de este sistema serán determinadas por la libre competencia.
El interés generado por un principal que se simboliza por la letra I está en función de múltiples variables, entre las cuales se encuentran:
La magnitud del principal (capital) colocado o invertido. La tasa de interés implícita o explícita.
El tiempo: a mayor tiempo, mayor interés para un mismo principal y una misma tasa de interés.
El riesgo de la operación; se supone que mayor riesgo al principal le corresponde una mayor tasa de interés que genera un mayor interés.
Otras variables de carácter económico, político, social, etcétera.
3.1. capitalización del interés
Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta se presenta un régimen de interés monocapitalizado como el del interés simple; si ocurre múltiples veces, se trata de un
régimen de interés multicapitalizado como el del interés compuesto.
Lo anterior se puede apreciar en la figura 1, así como con un ejemplo sencillo.
figura 1
capitalización del interés
ejemplo
comparación entre interés simple y compuesto
Supongamos que podemos colocar durante 5 años un capital de $1.000 en dos bancos, el primero en interés simple y el segundo en interés compuesto, con una tasa del 10% anual en ambos casos.
En el primer banco, cada año, el capital inicial produciría un interés de 1.000*10%=100. Así, al acabar el primer año tendríamos $1.100. Al final del segundo año (al no acumularse el interés) tendríamos $1.200 (el capital sobre el que calculamos el interés permanece constante $1.000, y al final del tercero $1.300, del cuarto $1.400 y del quinto $1.500. En el segundo banco el primer año obtendríamos un interés de 1.000*10%=100 y al acabar el primer año tendríamos $1.100. Para calcular el interés en el segundo año (al acumularse los intereses) tendríamos 1.100*10%=110, y al final del segundo año tendríamos $1.210. Al final del tercer año tendríamos $1.331, al final del cuarto $1.464,10 y al final del quinto $1.610,51.
Como puede observarse en el ejemplo, el interés compuesto produce un mayor capital final que el interés simple para un mismo capital, duración y tanto.
4. Monto o valor futuro (s)
Si se conoce el capital inicial y el interés generado hasta determinado momento, el monto o valor futuro para ese tiempo se puede calcular con la siguiente fórmula:
S = P + I (3) INTERéS Múltiples Capitalizaciones Única Capitalización Interés Simple Interés Compuesto
ejemplo
cálculo del monto o valor futuro (s)
Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 después de un año, ¿a cuánto asciende el monto o valor futuro?
solución:
Los datos son:
S = ?
P = $10.000 I = $1.500
Reemplazando en la ecuación (3), se tiene: S = 10.000 + 1.500 = $11.500
El monto o valor futuro asciende a $11.500.
5. interés coMercial Y real
Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa anual, semestral, trimestral, cuatrimestral, etc., a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual, semestral, etc., se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366, si el año es bisiesto2) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto (valor futuro), el interés
obtenido se llama interés real o interés exacto.
Ahora, cuando se lleva la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario.
A lo anterior se le conoce como año bancario, el cual se refiere a un período de 360 días. El año bancario tiene como submúltiplos, entre otros a los semestres, cuatrimestres, trimestres, bimestres, meses, quincenas y días bancarios, cuyo número de días se indica en la siguiente tabla:
Período bancario número de días
Año 360 Semestre 180 Cuatrimestre 120 Trimestre 90 Bimestre 60 Mes 30 Quincena 15 Día 1
5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la práctica?
El año comercial, y por ende el interés comercial, es usado por los bancos, bolsa de valores, bolsa de comercio, casas comerciales y demás instituciones financieras, debido a que el interés es mayor que el interés real.
Los bancos acostumbran a calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días, pero para la duración del tiempo de préstamos a plazos menores que un año, cuentan los días efectivos calendarios.
6. PlaZo coMPrenDiDo entre Dos fecHas
Desde hace muchos años, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Observe que 360 días tiene los siguientes divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 7.2, 90, 120 y 180. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles cuando se trabaja sin calculadora o computadora.
Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Es importante que el lector aplique sus costumbres locales en la solución de los problemas.
6.1. Días inicial y final
Es importante mencionar que para calcular el período de tiempo comprendido entre dos fechas la primera se excluye y la segunda se incluye; esto porque según la legislación vigente para que un depósito o inversión genere intereses debe haber permanecido como mínimo un día en la institución financiera desde la fecha de su deposito como lo demostramos en el siguiente cuadro.
ejemplo
número de días: días inicial y final
¿Cuál será el tiempo transcurrido entre el 01 de agosto de 2003 y el 15 de setiembre de 2003?
solución:
Como puede observarse en el ejemplo, del 01 de agosto al 15 de setiembre de 2003 han transcurrido 45 días.
Mes Días Días
transcurridos
observaciones
Agosto 31 30 Se excluye el 01 de agosto
Setiembre 30 15 Se incluye el 15 de setiembre
6.2. fecha de vencimiento
La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se reciba a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar solo el día final. Si la fecha final corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe efectuarse el primer día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha final de períodos mayores
a un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los años de
360 días y los meses de 30 días. y para períodos menores de un año, la costumbre comercial es contar los días calendarios que hay entre dos fechas.
Veamos a continuación cada uno de ellos.
tiempo aproximado
El número de días comerciales que transcurren, entre dos fechas, puede calcularse considerando los meses de 30 días y años de 360 días; y restando las fechas.
ejemplo
número de días: aproximados
Calcular el número de días aproximados entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días comerciales y restando las fechas.
solución:
considerando días comerciales
En este caso, consideramos los meses de 30 días y el año de 360 días.
restado las fechas
Si queremos restar las fechas, podemos observar que los meses si se pueden restar fácilmente pero no lo días, entonces convertimos los meses y los días de tal forma que se puedan restar. Decimos, 10 meses 15 días equivale a 09 meses 45 días. Recuerde, estamos considerando los meses de 30 días. Una vez convertido se procede a restar la fechas:
Mes Días Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre 5 (30 - 25) 30 30 30 30 30 30 15 total 200
De esto, 6 meses 20 días, equivale a (=6*30)+20 días) = 200 días.
tiempo exacto
El número de días naturales que transcurren entre dos fechas, sin contar una de las dos, puede calcularse con la tabla de fechas siguiente:
Mes Día 10 03 15 25 Mes Día 09 03 06 45 25 20
Día ene feb Mar abr May Jun Jul ago sep oct nov Dic Día
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 27.4 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 27.5 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 27.6 307. 337. 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247. 27.7. 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217. 248 27.8 309 339 5 6 6 37. 65 96 126 157. 187. 218 249 27.9 310 340 6 7 7. 38 66 97. 127. 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67. 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 7.0 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 7.1 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 7.2 103 133 164 194 225 256 286 317. 347. 13 14 14 45 7.3 104 134 165 195 226 257. 287. 318 348 14 15 15 46 7.4 105 135 166 196 227. 258 288 319 349 15 16 16 47. 7.5 106 136 167. 197. 228 259 289 320 350 16 17 17. 48 7.6 107. 137. 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 7.7. 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 7.8 109 139 17.0 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 7.9 110 140 17.1 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 17.2 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 17.3 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 17.4 204 235 266 296 327. 357. 23 24 24 55 83 114 144 17.5 205 236 267. 297. 328 358 24 25 25 56 84 115 145 17.6 206 237. 268 298 329 359 25 26 26 57. 85 116 146 17.7. 207. 238 269 299 330 360 26 27 27. 58 86 117. 147. 17.8 208 239 27.0 300 331 361 27 28 28 59 87. 118 148 17.9 209 240 27.1 301 332 362 28 29 29 88 119 149 180 210 241 27.2 302 333 363 29 30 30 89 120 150 181 211 242 27.3 303 334 364 30 31 31 90 151 212 243 304 365 31
Mes Días Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre 6 (31 - 25) 30 31 30 31 31 30 15 total 204 Mes Días 15/Octubre 25/Marzo 288 84 Diferencia 204
Para años bisiestos, febrero tiene 29 días y el número de cada día a partir del 1 de marzo, es uno más que el número dado en la tabla.
ejemplo
número de días: exactos
Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días de cada mes y la tabla de fechas.
solución:
utilizando los días de cada mes
En este caso, consideramos los meses de acuerdo a los números de días que le corresponden.
utilizando las tablas de fechas
En este caso, la solución es mucho más sencilla, simplemente nos ubicamos en la tabla de fecha y buscamos las fechas del problema. Encontramos en ella que para el 15 de octubre la tabla muestra 288 días y para el 25 de marzo 84 días. Se procede entonces a restar ambas fechas.
Se puede observar que en ambos casos el resultado es el mismo. Entre el 15 de marzo y el 15 de octubre hay 204 días exactos.
7. HoriZontes Y suBHoriZontes teMPorales
El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra n.
n
Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta. Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se simboliza con la letra h. por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo de 120 días, con cuotas cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en cuatro subhorizontes uniformes; entonces se tiene: n = 120 días y h = 30 días.
n = 120 días
0 h 30 h 60 h 90 h 120
=30 =30 =30 =30
8. MétoDos De afectación al interés Y al PrinciPal cuanDo se reDuce
el Monto
Cuando una deuda se amortiza con un pago, el monto de la misma se reduce en tal cantidad, pero los importes de sus componentes (interés y capital) pueden reducirse de acuerdo con diversos métodos.
Por ejemplo, si a las 9:00 a.m. del día de hoy tengo una deuda por $660, compuesto de $600 de capital y $60 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realiza un pago de $300, entonces el monto se reducirá a $360 ($660 – $300), ¿a qué importes se reducen el interés y el principal?
La respuesta a esta pregunta depende del método de afectación al interés y al principal cuando se reduce el monto por elegir: dos de los métodos más usados son los siguientes:
8.1. PPli (Primero Principal luego interés)
Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el principal y la diferencia rebaja el interés. Este método se usa en interés simple. En el ejemplo dado, si se usa el método PPLI, el pago de
$300 se aplica por completo para rebajar el principal.
al inicio del día antes del término del día
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
Principal interés Principal interés Principal interés
600 60 ? ? ? ?
al inicio del día antes del término del día
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
Principal interés Principal interés Principal interés
al inicio del día antes del término del día
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
Principal interés Principal interés Principal interés
600 60 300 60 300 0
8.2. PilP (Primero interés luego Principal)
Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el interés y la diferencia rebaja el principal. Este método se usa en interés compuesto. En el ejemplo dado, si se usa el método PILP, el pago
1. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 que generó $225 de interés en el plazo de un mes, ¿cuál fue la tasa de interés de ese período? Rpta. 5% mensual
2. El BWS le concedió un préstamo de $5.000 y cobró $500 de interés después de seis meses, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó? Rpta. 10% semestral
3. Usted deposita en una cuenta corriente la suma de $2.000 y lo mantiene durante un trimestre; la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 5%. ¿Cuál fue el interés generado al término del trimestre? Rpta. $100
4. Cierta persona deposita en una cuenta del Interbank la suma de $8.000 y lo mantiene durante un año; la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 12%. ¿Cuál fue el interés generado al término del trimestre? Rpta. $960
5. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Al término de dicho plazo usted cuenta con un monto de $4.7.25. Calcule la tasa de interés que el banco le pagó. Rpta. 5% mensual
6. Kamila deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Si el banco paga una tasa de interés del 5%, ¿cuál es el monto actual de la cuenta? Rpta. $4.7.25
¿?
¿?
¿?
Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________ 4. ______________ _____________________________________________ 5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7.. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________ 9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
Práctica DiriGiDa
refuerZa las coMPetencias a loGrar
1998. Rpta. 569 días
8. Un padre de familia ha depositado en una cuenta de ahorros la suma de $7..500, en el Banco Bovespa, del día 01 de agosto al 15 de noviembre del año 2002, a una tasa de interés simple del 45%. Posteriormente ésta disminuyó a 32% a partir del 15 de setiembre, y a partir del 1 de noviembre ésta se incrementó a 36%. ¿Cuántos días transcurre en estos períodos? Rpta. 45 días, 45 días y 14 días
9. Siendo las 9:00 a.m. del día de hoy, tengo una deuda por $1.500, compuesto de $1.250 de capital y $250 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realizó un pago de $500, ¿a cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método PPLI? Rpta. $7.50 principal y $250 interés
10. ¿A cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método PILP? Rpta. $1.000 principal y $0 interés
LEyES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA
sesión nº 2: Interés simple
sesión nº 3: Interés compuesto
uni
D
a
D
ii
uniDaD ii
coMPetencias
CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL
Identifican las distintas leyes financieras.
Aplican las leyes finan-cieras en el desarrollo de las operaciones fi-nancieras.
Respetan las opiniones y los pensamientos de sus compañeros y pro-fesores, dentro y fuera del aula.
P R O E S A D
2
Sesión
interés siMPle
1. introDucción
Existen dos modalidades básicas de interés: el interés simple y el interés compuesto, los cuales
difieren en la base sobre la cual se calculan los intereses devengados. En este capítulo, nos
ocuparemos del interés simple.
El interés simple es el importe que produce un capital generado por una tasa de interés nominal j durante un plazo determinado, en una operación cuya característica fundamental es que dicho
capital permanece constante hasta el vencimiento de la misma. La capitalización, que es la adición del interés ganado al capital original, se produce únicamente al término de todo el plazo de la operación.
La capitalización simple es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de un año), ya que para períodos más largos se utiliza la “capitalización compuesta o interés compuesto”, que veremos en el siguiente capítulo.
2. interés con PrinciPal Y tasa noMinal constante
Se supone que durante el horizonte temporal de la cuenta a interés simple: • El principal permanece invariable antes del cierre de la cuenta.
• La tasa de interés nominal j anunciada que se aplica sobre el principal no sufre variaciones. La fórmula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguiente:
I = P*j*n (1)
Donde:
“ I ” son los intereses que se generan
“ P ” es el capital inicial o principal (en el momento t=0) “ j ” es la tasa de interés nominal que se aplica
La fórmula anterior calcula el interés simple cuando el principal y la tasa de interés nominal no varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal; lo que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta, se percibe mayor interés.
Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
1. La j se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde
que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100.
2. La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc. Dado que la tasa de interés nominal puede referirse a diferentes plazos, se designará con las siguientes siglas:
tabla 1
Plazos de la tasa de interés nominal
ejemplo 1
cálculo del interés (i)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
solución:
Los datos son:
I = ? P = $5.000 TNA = 30% n = 1 año
La unidad de tiempo de j y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene:
I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500
Carlos pagará al final del plazo $1.500 de interés.
tasa nominal siglas
Anual TNA Semestral TNS Cuatrimestral TNC Trimestral TNT Bimestral TNB Mensual TNM Quincenal TNQ Diaria TND
ejemplo 2
cálculo del interés (i)
Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS de 18%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
solución:
Los datos son:
I = ?
P = $10.000
TNS = 18% n = 4 meses
La unidad de tiempo de j y n no coincide. Por tanto, antes de sustituir es necesario convertir la TNS a una TNM.
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene:
I = 10 000 0 18 4
6 1 200
. * , * =$ .
Luis Alberto pagará al final del plazo $1.200 de interés.
ejemplo 3
cálculo del interés (i)
¿De qué interés simple podrá disponerse el 27. de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TNM del 2%?
solución:
En este caso, contando los días con la tabla de fechas, encontramos que el número de días es de 287.. Por tanto, sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: I = 2 000 0 02 287
30 382 67
. * , * =$ ,
Se podrá disponer de un interés de $382,67..
A continuación, veremos algunos ejemplos sobre interés simple, donde se nos pide hallar, ya no el interés (I), sino el capital inicial (P), la tasa de interés (j) y el tiempo (n).
2.1. calculando el capital inicial o principal (P)
La fórmula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal:
P I
j n =
* (2)
ejemplo 1
cálculo del capital inicial (P)
Por un préstamo que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500 de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 30%.
solución:
Los datos son:
P = ? TNA = 30% I = $1.500 n = año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
P = 1 500
0 30 1 5 000
.
, * =$ .
Carlos pidió prestado la suma de $5.000.
ejemplo 2
cálculo del capital inicial (P)
¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Luis Alberto al BWS a pagar en cuatro meses a una TNS de 18%, si el banco durante dicho período me cobró un interés de $1.200?
solución:
Los datos son:
P = ? TNS = 18% I = 1.200 n = 4 meses
P = 1 200 0 18 4 6 10 000 . , * $ . =
El préstamo solicitado asciende a $10.000.
ejemplo 3
cálculo del capital inicial (P)
¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TNM del 2%, si para el 27. de noviembre había ganado $382,67. de interés?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
P = 382 67 0 02 287 30 2 000 , , * $ . =
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un interés de $382,67. en 287. días.
2.2. calculando la tasa de interés (j)
La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente:
j I
P n =
* (3)
ejemplo 1
cálculo de la tasa de interés (j)
Por un préstamo de $5.000 que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500 de interés, ¿qué TNA aplicó el banco?
solución:
Los datos son: j = ?
P = $5.000 I = $1.500 n = 1 año
j= 1 500 =
5 000 1 30
.
. * %
El banco aplicó una TNA de 30%. ¿Por qué una TNA? Porque en la fórmula n es 1 (anual), por tanto, j debe ser anual. Recuerde tanto j como n deben estar en la misma unidad de tiempo.
ejemplo 2
cálculo de la tasa de interés (j)
Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿qué TNS cobró el banco?
solución:
Los datos son: j = ?
P = $10.000 I = $1.200 n = 4 meses
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (3), se tiene:
j= 1 200 = 10 000 4 6 18 . . * %
El banco aplicó una TNS de 18%.
ejemplo 3
cálculo de la tasa de interés (j)
El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000. Al 27. de noviembre había ganado intereses por $382,67., ¿qué TNM obtuvo el inversionista?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene:
j= 382 67 = 2 000 287 30 2 , . * %
2.3. calculando el tiempo (n)
La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente:
n I
P i =
* (4)
ejemplo 1
cálculo del tiempo (n)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a una TNA de 30%. Si el banco cobra $1.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda?
solución:
Los datos son: n = ?
TNA = 30% P = $5.000 I = $1.500
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene:
n= 1 500 =
5 000 0 30 1
.
. * ,
La deuda tuvo una duración de un año.
ejemplo 2
cálculo del tiempo (n)
Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a una TNS de 18%. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación?
Solución: Los datos son: n = ?
TNS = 18% P = $10.000 I = $1.200
n= 1 200 = 10 000 0 18 6 4 . . * ,
La operación duró cuatro meses.
ejemplo 3
cálculo del tiempo (n)
El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TNM de 2%. Si pasado cierto tiempo he ganado $382,67. de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
n= 382 67 = 2 000 0 02 30 287 , . * ,
La inversión se mantuvo 287. días.
3. interés con PrinciPal constante Y tasa noMinal variaBle
En los ejemplos anteriores se calculo el interés cuando el principal y la tasa nominal son constantes, pero ¿cómo debe calcularse el interés simple cuando una persona coloca una inversión a un plazo fijo al cual no pueden efectuársele cargos o abonos luego de la apertura y antes del término del horizonte temporal, mientras que la tasa de interés está sujeta a las variaciones del mercado? Cuando en el horizonte temporal de la cuenta el principal no cambia y se produce variaciones en la magnitud de la tasa de interés nominal, cuyos respectivos plazos pueden cambiar, por ejemplo de TNA a TNS a TNM, etc. (j tiene un comportamiento variable), el interés simple se obtiene al modificar de manera conveniente F, de acuerdo con el plazo de j para que n pueda incluir los plazos de vigencia de las tasas variables durante el horizonte temporal.
La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los períodos de tasa son variables es la siguiente:
I P j h F k k k k z = ∗ =
∑
1 (5) Donde:“z” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones “jk” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte “nk” es el número de periodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte “F” es el plazo de la tasa de interés nominal
ejemplo 1
cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Calcule el interés en la fecha de cierre.
solución:
Los datos son: I = ? P = $5.000 TNA1 = 28% TNA2 = 25% TNA3 = 22% h1 = 146 h2 = 7.3 h3 = 68
Según la tabla de fechas, el horizonte temporal total de la operación es de 287. días. y dentro de dicho horizonte encontramos tres subhorizontes; el primero de ellos de 146 días; el segundo de 7.3 días y el tercero de 68 días.
Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I= + + = 5 000 0 28 146 630 0 25 73 360 0 22 68 360 1 029 03 . * , * , * , * $ . ,
El interés generado asciende a $1.029,03.
ejemplo 2
cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
tasa a partir del
TNA 28,0% 13/02
TNS 12,5% 09/07.
TNT 5,5% 20/09
solución:
Los datos son: I = ? P = $5.000 TNA1 = 28% TNS2 = 12,5% TNT3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 7.3 h3 = 68
Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes temporales. Un horizonte temporal total de 287. días y tres subhorizontes de 146, 7.3 y 68 días.
Lo que cambia son las tasas nominales, manteniéndose el principal constante. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I= + + = 5 000 0 28 146 360 0 125 73 180 0 055 68 90 1 029 03 . * , * , * , * $ . ,
Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas nominales son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes.
Por ejemplo, la TNA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TNS de 12,5% del ejemplo actual y la TNA de 22% es equivalente a la TNT de 5,5%.
Para calcular la TNS equivalente de una TNA de 25%, se procede de la siguiente manera: TNS = 0 25
2 12 5
,
, % =
y para calcular la TNT equivalente de una TNA de 22%, se procede de la siguiente manera: TNS = 0 22
4 5 5
,
, % =
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.029,03.
4. Monto o valor futuro siMPle con PrinciPal Y tasa noMinal variaBle
A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o valor futuro simple, y se simboliza mediante la letra S. por tanto,
Al sustituir la ecuación (1) en la (5) se obtiene: S = P + Pjn Factorizando la expresión anterior se tiene:
S = P[1 + jn] (7)
Las ecuaciones (6) y (7.) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés de j% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad S al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Recuerde un dólar hoy vale más que un dólar mañana.
ejemplo 1
cálculo del monto o valor futuro (s)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
solución:
Los datos son: S = ?
P = $5.000 TNA = 30% n = 1 año
El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas: Método 1
En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue: I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500
Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene: S = 5.000 * 0,30 * 1 = $6.500
Método 2
El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7.): S = 5.000[1 + 0,30 * 1] = $6.500
ejemplo 2
cálculo del monto o valor futuro (s)
Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS de 18%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
solución:
Los datos son: S = ?
P = $10.000 TNS = 18% n = 4 meses
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (7.), se obtiene:
S = 10 000 1 0 18 4 6 11 200 . + , * $ . =
Luis Alberto pagará al final del plazo un monto de $11.200.
ejemplo 3
cálculo del monto o valor futuro (s)
¿De qué monto podrá disponerse el 27. de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TNM del 2%?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene:
S = 2 000 1 0 02 287 30 2 382 67 . + , * $ . , =
Se podrá disponer de un monto de $2.382,67..
5. Monto o valor futuro siMPle con PrinciPal constante Y tasa
noMinal variaBle
El monto final cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente:
S P j h F k k k k z = + =
∑
1 1 * (8)ejemplo 1
cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Calcule el monto en la fecha de cierre.
solución:
Los datos son: S = ? P = $ TNA1 = 28% TNA2 = 25% TNA3 = 22% h1 = 146 h2 = 7.3 h3 = 68
Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene:
S= + + + = 5 000 1 0 28 146 360 0 25 73 360 0 22 68 360 6 029 03 . , * , * , * $ . , El monto asciende a $6.029,03. ejemplo 2
cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
tasa a partir del
TNA 28,0% 13/02
TNS 12,5% 09/07.
TNT 5,5% 20/09
