separata-aritmetica

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOS

1. NOCION DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo:

   
  
   
                   = == = = == = = == = 2. DETERMINACION DE CONJUNTOS

A) Por extensión: Un conjunto esta determinado

por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: Ej.: u} o, i, e, {a, C 25,36} {1,4,9,16, B {1,2,3,4} A = == = = == = = == =

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado

por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común.

Ej.: De los ejemplos anteriores

} vocal una es x / x { C } 6 x N x / x { B } 4 x N x / x { A 2 = == = ≤ ≤≤ ≤ ∧ ∧∧ ∧ ∈ ∈ ∈ ∈ = == = ≤ ≤≤ ≤ ∧ ∧∧ ∧ ∈ ∈ ∈ ∈ = == = OJO:

No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y extensión a la vez. extensión a la vez. extensión a la vez. extensión a la vez. En general:                   = == = ) s propiedade ( ticas Caracteris elemento del forma Conjunto 3. RELACION DE PERTENENCIA:

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de el. Además se dice que pertenece

(

∈

∈

∈

∈

)

a dicho conjunto, en caso contrario “no pertenece” (

∉

∉

∉

∉

) a dicho conjunto.

OJO:

La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede

conjunto sabiendo que un elemento puede conjunto sabiendo que un elemento puede

conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de tener forma de tener forma de tener forma de conjunto.

conjunto. conjunto. conjunto.

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS

A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el

conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.

Esta denotado por (B⊂⊂⊂⊂ A). Se lee: B esta incluido en A

B esta contenido en A B es subconjunto de A Ejemplo: Sea: A===={1,2,3,4,5,6} 5} 4, {3, B==== Luego (B⊂⊂⊂⊂ A) Pero (A⊄⊄⊄⊄ B) Observación:

Ø Todo conjunto esta incluido en si mismo. Ø Todo conjunto es subconjunto de si mismo Ø El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto Ø Sea n(A) el número de elementos del conjunto

A, entonces: Número de subconjuntos ) A ( n

2

A

de

s

subconjuto

º

n

=

==

=

Número de subconjuntos propios

1

2

A

de

propios

s

subconjuto

º

n

=

==

=

n(A)

−

−−

−

B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales

(=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

A

B

B

A

B

A

=

==

=

⇔

⇔

⇔

⇔

⊂

⊂

⊂

⊂

∧

∧

∧

∧

⊂

⊂

⊂

⊂

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son

diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

A

B

B

A

B

A

≠

≠≠

≠

⇔

⇔

⇔

⇔

⊄

⊄

⊄

⊄

∨

∨

∨

∨

⊄

⊄

⊄

⊄

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son

comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

A B B

A⊂⊂⊂⊂ ∨∨∨∨ ⊂⊂⊂⊂ .

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son

disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son

equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos. ) B ( n ) A ( n B A<><><><> ⇔⇔⇔⇔ ==== 5. CLASES DE CONJUNTOS: A B 3 6 2 5 4 1

A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de

elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último.

B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos

es ilimitado.

6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene

elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto

B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton,

es aquel que tiene un solo elemento.

C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que

contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.

D) Conjunto Potencia o conjunto de partes:

Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A.

Ej.: Sea

A

=

==

=

{a,

b,

c}

entonces los subconjuntos de A son:

∅

∅

∅

∅

c},

b;

{a;

c},

{b;

c},

{a;

b},

{a;

{c},

{b},

{a},

OJO: El conjunto vació El conjunto vació El conjunto vació

El conjunto vació (∅∅∅∅ es subconj) es subconjes subconjes subconjunto de todo unto de todo unto de todo unto de todo conjunto conjunto conjunto conjunto Entonces } c}; b; {a; c}; {b; c}; {a; b}; {a; {c}; {b}; {a}; { = P(A) ∅∅∅∅

Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es: n(A)

2

=

A

de

os

subconjunt

=#

n[P(A)]

7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente

grafico:

Donde:

C= C= C=

C=_{Conjunto de los números complejos} R=

R= R=

R=Conjunto de los números reales

Q= Q= Q=

Q=Conjunto de los números racionales

Z= Z= Z=

Z=_{Conjunto de los números enteros} N=

N= N=

N=Conjunto de los números naturales 8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

A) Unión (

AUB

): La unión de dos conjuntos A y

B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

}

B

x

A

x

/

x

{

AUB

==

=

=

∈

∈

∈

∈

∨

∨

∨

∨

∈

∈

∈

∈

Propiedades:



AUB

==

=

=

BUA



A

⊂

⊂

⊂

⊂

(

AUB

)



B

⊂

⊂

⊂

⊂

(

AUB

)



AUA

=

==

=

A



AU

∅

∅

∅

∅

=

==

=

A

B) Intersección:

(

A

I

B

)

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos).

Simbólicamente se define:

}

B

x

A

x

/

x

{

B

A

I

==

=

=

∈

∈

∈

∈

∧

∧

∧

∧

∈

∈

∈

∈

Propiedades:



A

I

B

=

==

=

B

I

A



A

I

B

⊂

⊂

⊂

⊂

A



A

I

B

⊂

⊂

⊂

⊂

B



(

A

I

B

)

⊂

⊂

⊂

⊂

(

A

U

B

)

A

I

A

=

==

=

A

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: DISTRIBUTIVAS:



A

U

(

B

I

C

)

=

==

=

(

A

U

B

)

I

(

A

U

C

)



A

I

(

B

U

C

)

=

==

=

(

A

I

B

)

U

(

A

I

C

)

DE ABSORCION:



A

I

(

A

U

B

)

=

==

=

A



A

U

(

A

I

B

)

=

==

=

A



A

U

(

A

'

I

B

)

=

==

=

AUB



A

I

(

A

'

U

B

)

=

==

=

A

I

B

C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos

A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:

}

B

x

A

x

/

x

{

B

A

−

−−

−

==

=

=

∈

∈

∈

∈

∧

∧

∧

∧

∉

∉

∉

∉

Propiedades:



A

−−

−

−

B

≠

≠≠

≠

B

−

−−

−

A



(

A

−

−−

−

B

)

⊂

⊂

⊂

⊂

A



(

A

−−

−

−

B

)

⊄

⊄

⊄

⊄

B



(

A

−−

−

−

B

)

U

(

A

I

B

)

=

==

=

A

D) Diferencia Simétrica: (

A∆

B

): La diferencia

simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:

)}

B

A

(

x

)

B

A

(

x

/

x

{

B

A

∆

=

==

=

∈

∈

∈

∈

U

∧

∧

∧

∧

∉

∉

∉

∉

I

Propiedades:



A

∆

B

=

==

=

B

∆

A



(

A

∆

B

)

⊂

⊂

⊂

⊂

(

A

U

B

)



Si

A

I

B

₌

₌₌

₌

_∅

_∅

_∅

_∅

⇒

⇒

⇒

⇒

A

_∆

B

==

=

=

A

U

B



A∆

A

=

==

=

∅

∅

∅

∅



A

∆

∅

∅

∅

∅

=

==

=

A

E) Complemento de un conjunto (A’),(

A

C):

Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define:

}

A

x

U

x

/

x

{

A

C

==

=

=

∈

∈

∈

∈

∧

∧

∧

∧

∉

∉

∉

∉

Propiedades:



A

U

A

'

=

==

=

U



A

I

A

'

==

=

=

∅

∅

∅

∅



(

A

'

)'

=

==

=

A



(

∅

∅

∅

∅

)'

=

=

==

U

∧

∧

∧

∧

(

U

)'

=

==

=

∅

∅

∅

∅

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: LEYES DE D´MORGAN



(

A

U

B

)'

=

==

=

A

'

I

B

'



(

A

I

B

)'

=

==

=

A

'

U

B

'

NUMERO DE ELEMENTOS



El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto:

0

)

(

n

∅

∅

∅

∅

=

==

=

)

A

(

n

)

B

(

n

)

A

(

n

)

B

A

(

n

∪

∪

∪

∪

==

=

=

+

++

+

−

−−

−

∩

∩

∩

∩

B

)

C

B

A

(

n

)

C

B

(

n

)

C

A

(

n

)

A

(

n

)

C

(

n

)

B

(

n

)

A

(

n

)

C

B

A

(

n

∩

∩

∩

∩

∩

∩

∩

∩

+

++

+

∩

∩

∩

∩

−

−−

−

∩

∩

∩

∩

−

−−

−

∩

∩

∩

∩

−

−−

−

+

++

+

+

++

+

=

==

=

∪

∪

∪

∪

∪

∪

∪

∪

B

9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos

elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b)

10. PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos

A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:

}

B

b

A

a

/

)

b

;

a

{(

AxB

=

==

=

∈

∈

∈

∈

∧

∧

∧

∧

∈

∈

∈

∈

n(AxB)=n(A).n(B)

SISTEMA DE NUMERACIO

SISTEMA DE NUMERACIO

SISTEMA DE NUMERACIO

SISTEMA DE NUMERACION

N

N

N

NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo

objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad.

1. PRINCIPIOS

Ø DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.

Ø DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.

abcd

(n) donde “n” es la base del numeral

Ø DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.

) n (

abcd

n

d

;

n

c

;

n

b

;

n

a

<

<<

<

<

<<

<

<

<<

<

<

<<

<

2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:

3. NÚMERO CAPICÚA:

Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general:

.

etc

;

atina

anitalaval

;

abba

;

aba

;

aa

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:

Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho número.

Sea: _(n) cifras m

xyz

...

abc

N

=

==

=

₁

₄₂

₄₃

;

Descomponiendo polinómicamente se tiene:

z

yn

...

cn

bn

an

N

=

==

=

m−−−−1

+

++

+

m−−−−2

+

++

+

m−−−−3

+

++

+

1

++

+

+

Ej.

3123

₍₄₎

==

=

=

3

x

4

3

+

++

+

1

x

4

2

+

++

+

2

x

4

++

+

+

3

5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:

Se llamara “bloque” a un grupo de cifras. Ej: Descompongamos

abcd

(n) en bloques:

) n ( 2 ) n ( ) n ( ab .n cd abcd ==== ++++ 6. PROPIEDADES:

Ø El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.

1

n

)

1

n

)...(

1

n

(

_(n) x cifras x

−

−−

−

=

==

=

−

−−

−

−

−−

−

₄

_{4 3}

₄

4 2

1

Ø

1

a

n

xa

veces x ) n ( a 1 a 1

==

=

=

+

++

+

43

42

1

O Ø

1

m

m

n

...

p

a

) a ( p 1 n 1

=

==

=

++

+

+

++

+

+

+

++

+

+

++

+

O

7. CONVERSION DE NÚMEROS A DIFERENTES BASES:

A) CASO 1: De base “n” a base 10

Tenemos dos formas de conversión: Ej. Convertir

321

₍₅₎ al sistema decimal: Por descomposición polinómica:

1

5

X

2

5

X

3

321

₍₅₎

==

=

=

2

+

++

+

+

++

+

321

₍₅₎

==

=

=

86

Por método de Ruffini:

∴ ∴ ∴

∴

321

₍₅₎

==

=

=

86

B) CASO 2: De base 10 a base “n”

Se convierte por medio de las divisiones sucesivas

Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas: ) 5 (

2304

329

=

==

=

∴

∴

∴

∴

C) CASO 3: De base “n” a base “m” donde

10

m

n

≠

≠≠

≠

≠

≠≠

≠

.



El primer paso, es convertir de base “n” a base 10



El segundo paso, es convertir el número obtenido a base “m”.

8. REGLAS PRÁCTICAS:

Ø Todas las cifras son menores que la base:

CIFRA < BASE

Ø Si un número se expresa en dos sistemas distintos, se cumple que:

9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD:

A) CASO 1: De base “n” a base 10

4 3 2 1 ) n (

an

bn

cn

dn

abcd

,

0

==

=

=

−−−−

+

+

++

−−−−

+

++

+

−−−−

++

+

+

−−−− Ej: Convertir 0,32₍₄₎ a base 10

2 1 ) 4 (

3

x

4

2

x

4

32

,

0

=

==

=

−−−−

+

++

+

−−−− 2 ) 4 (

4

2

4

3

32

,

0

==

=

=

++

+

+

16

2

4

3

32

,

0

₍₄₎

==

=

=

++

+

+

875

,

0

32

,

0

₍₄₎

=

==

=

B) CASO 2: De base 10 a base n

Ej. Convertir: 0,390625 a base 4 Se multiplica solo la parte decimal 0,390625x4 = 1,5625

0,5625x4 = 2,25

0,25x4 = 1,00

∴

∴

∴

∴

0

,

390625

=

==

=

0

,

121

₍₄₎

10. CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN DIFERENTES SISTEMAS



Número decimal exacto:

) n ( ) n ( ) n (

1000

abc

abc

,

0

=

==

=



Número decimal periódico puro:

) n ( ) n ( ) n (

)

1

n

)(

1

n

)(

1

n

(

abc

...

abcabcabc

,

0

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

=

==

=



Número decimal periódico mixto:

) n ( ) n ( ) n ( ) n (

000

)

1

n

)(

1

n

(

abc

abcde

...

abcdedede

,

0

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

=

==

=

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN:

A) DE BASE n A BASE

n

k:

Dado el número en base “n” se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha

Ej. Expresar

10011101

₍₂₎ a base 8

Vemos que

8

==

=

=

2

3; se separa en grupo de 3 cifras Base 2:

_{{{ {}

₍₂₎ 5 3 2

101

011

10

Base 8:

235

₍₈₎ B) DE BASE

n

k A BASE n:

Dado el número en base

n

k de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n:

Ej. Convertir: 235₍₈₎ a base 2 2 3 5

↓

↓

↓

010 011 101 ) 2 ( ) 8 (

10011101

235

=

==

=

12. TABLA DE NUMERACIÓN

CUATRO OPERACIONES

CUATRO OPERACIONES

CUATRO OPERACIONES

CUATRO OPERACIONES

Al estudiar los números, se observa que determinados valores se modifican según la aplicación que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números señalado debidamente.

Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será:

DIRECTA: O de composición, cuando señalados dos

números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.

INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el

resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro numero.

1. ADICION: Operación que tiene por finalidad reunir

varias cantidades en una sola.

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

sumandos n n 4 3 2 1

a

a

a

...

a

a

S

=

==

=

++

+

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

Donde “S” es la suma total

2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a

la suma.

PROPIEDADES:

Ø M+S+D=2M

Ø Si:

abc

−−

−

−

cba

=

==

=

mnp

, Se cumple que:

n=9 y m+p=9

3. MULTIPLICACIÓN: Operación donde dada dos

cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.

Donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto

4. DIVISION: En una división se identifican los

siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo

Donde D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo

ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división

también la podemos expresar de la siguiente forma:

Ø DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero D=d.q r=0 Ø DIVISION INEXACTA



POR DEFECTO: D=d.q+r donde: 0<r<d



POR EXCESO: D=d. (q+1)-R donde 0<R<d PROPIEDADES: Ø r+R=d

Ø El residuo máximo es una unidad menos que el divisor

1

d

r

_max

=

==

=

−−

−

−

Ø El residuo mínimo en cualquier división inexacta es 1

1

r

_min

==

=

=

5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO NATURAL:

Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:

xyz

...

abc

10

)

xyz

...

abc

.(

A

.

C

m cifras m

−

−−

−

=

==

=

43

42

1

OTRO MÉTODO:

Para hallar el complemento aritmético del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueves y la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento.

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

4

3

42

1

cifras m cifras m

)

z

10

)(

y

9

)...(

b

9

)(

a

9

(

)

yz

...

ab

.(

A

.

C

==

=

=

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO EN SISTEMAS DIFERENTES DE 10:

0

c

;

mnp

)

abc

.(

A

.

C

(8)

=

==

=

₍₈₎

≠

≠≠

≠

Se cumple:































−

−−

−



















=

==

=

+

++

+

=

==

=

+

++

+

=

==

=

+

++

+

)

1

base

la

de

valor

(

7

m

a

7

n

b

)

base

la

de

valor

(

8

p

c

7. SUMAS NOTABLES:



Sea:

4

4 3

4

4 2

1

os min ter n n 3 2 1

,

t

,

t

,...,

t

t

una progresión aritmética,

entonces la suma será:

2

n

).

t

t

(

t

...

t

t

t

S

1 2 3 n 1 n

+

++

+

=

==

=

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

=

==

=



2

)

1

n

(

n

n

...

3

2

1

S

sumandos n

+

++

+

=

==

=

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

=

==

=

₁

_{4 2}

₄

_{4 3}

₄



2 sumandos n

n

)

1

n

2

(

...

5

3

1

S

==

=

=

+

++

+

++

+

+

++

+

+

−−

−

−

=

=

==

4

4

4

3

4

4

4

2

1



S

2

4

6

...

2

n

n

(

n

1

)

sumandos n

+

++

+

=

==

=

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

=

==

=

₁

₄

₄

₄

₂

₄

₄

₄

₃



6

)

1

n

2

)(

1

n

(

n

n

...

3

2

1

S

sumandos n 2 2 2 2

₊

₊₊

₊

₊

₊₊

₊

₊

₊₊

₊

₊

₊₊

₊

₌

₌₌

₌

++

+

+

+

+

++

=

==

=

₁

₄

₄

₄

₂

₄

₄

₄

₃



2 sumandos n 3 3 3 3

2

)

1

n

(

n

n

...

3

2

1

S

_











++

+

+

=

==

=

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

=

==

=

₁

₄

₄

₄

₂

₄

₄

₄

₃

8. CONTEO DE CIFRAS:

Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de números del 1 hasta N se usa la formula siguiente:

3

2

1

cifras k N 1

(

N

1

)

k

11

...

11

CF

_→→→→

=

==

=

+

++

+

−

−−

−

Donde k es la cantidad de cifras que tiene N

TEORI

TEORI

TEORI

TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD

A DE LA DIVISIBILIDAD

A DE LA DIVISIBILIDAD

A DE LA DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD:

Parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros.

1. Divisor:

Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera.

Ejemplo:

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12 Divisores de 15: 1, 3, 5,15

2. Divisibilidad de un número:

Un número entero A es divisible entre otro entero B (módulo), si al dividir A entre B resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).

Ø El cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo.

Ø Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.

3. Multiplicidad de números:

Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el

resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero.

Si A es múltiplo de B lo representaremos como:

A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}

o

B

A

==

=

=

(Notación de Leibnitz)

Si un número entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto:

r

B

A

ó

r

k

.

B

A

==

=

=

++

+

+

=

==

=

+

++

+

o

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un número entero y exacto de veces. 4. Principios de la divisibilidad Ø o o o







+

++

+

==

=

=

Ø o o o







−

−−

−

==

=

=

Ø o o o







.

=

==

=

Ø o o





==

=

=

.

k

Ø o o





₎

n

==

=

=

(

Ø

(

a

)(

b

)...(

z

)

a

.

b

....

z

o o o o

+

++

+

=

==

=

+

++

+

+

++

+

+

++

+

₃

₃

₃

3

Ø Si o

c

.

b

.

a

N

c

.

b

.

a

N

=

==

=

⇒

⇒

⇒

⇒

==

=

=

Ø °°°° = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ °°°° °°°° = == =

























) b ; a ( MCM N b a N Ø N MCM(a;b) r r b r a N ⇒⇒⇒⇒ ==== ±±±± ± ±± ± ± ±± ± = == =

























_o o o

Ø Si a una cantidad “n” se le multiplica por una fracción irreducible y el resultado es un número entero, entonces “n” es el múltiplo del denominador. Sea

n

,

m

∈

∈

∈

∈

Z

y

b

a

f

=

==

=

(fracción irreducible). Si o

b

n

m

n

.

b

a

=

==

=

⇒

⇒

⇒

⇒

=

==

=

Ø Principio de Arquímedes:

Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo. Ej.: Si o o

7

a

7

a

5

==

=

=

⇒

⇒

⇒

⇒

=

==

=

Si o o o

5

a

5

a

3

35

a

21

=

==

=

⇒

⇒

⇒

⇒

=

=

==

⇒

⇒

⇒

⇒

=

=

==

Ø Todo número es múltiplo de la base en la cual esta escrito mas la última cifra

d n abcd(n) ====o++++

5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton

Ø

(

a

+

++

+

r

)

==

=

=

a

+

++

+

r

k

si

k

∈

∈

∈

∈

Z

++++ o k o Ø

























⇔

⇔

⇔

⇔

−

−−

−

⇔

⇔

⇔

⇔

+

++

+

=

==

=

−

−−

−

impar

es

k

r

a

par

es

k

r

a

)

r

a

(

k o k o k o 6. Criterios de divisibilidad:

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

Ø Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero.

Ø Divisibilidad por

2

n:

Es divisible por

2

n si sus “n” ultimas cifra son ceros o forman un número divisible por

2

n. Ø Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero.

Ø Divisibilidad por

5

n:

Es divisible por

5

n si sus “n” ultimas cifras son ceros o forman un número divisible por

5

n. Ø Divisibilidad por 3 o 9:

Un número es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9 respectivamente. Si o

3

abcd

=

==

=

entonces o

3

d

c

b

a

++

+

+

+

++

+

++

+

+

=

==

=

Si o

9

abcd

=

==

=

entonces o

9

d

c

b

a

++

+

+

+

++

+

++

+

+

=

==

=

Ø Divisibilidad por 11:

Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deberá ser cero o múltiplo de 11. Ej.: Si o

11

abcdefg

=

==

=

⇒

⇒

⇒

⇒

+ ++ + − −− − + ++ + − −− − + ++ + − −− − + ++ + = == = 1 1 1 1 1 1 1 11 g f e d c b a o

0

11

)

f

d

b

(

g

e

c

a

o

∨

∨

∨

∨

=

==

=

+

++

+

+

++

+

−

−−

−

+

++

+

+

++

+

+

++

+

Ø Divisibilidad por 7:

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó múltiplo de 7.

{

1

42

4

3

1

2

3

+ ++ + − −− − + ++ +

=

==

=

1

3

2

1

3

2

3

1

7

h

g

f

e

d

c

b

a

o o 7 h g 3 f 2 ) e d 3 c 2 ( b 3 a++++ −−−− ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ==== Ø Divisibilidad por 13

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,-1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo de 13. o

13

abcdefgh

==

=

=

{

{

+ ++ + − −− − + ++ + − −− −

=

==

=

1

3

4

1

3

4

1

3

13

h

g

f

e

d

c

b

a

o

3

2

1

3

2

1

o 13 a 3 b c 4 d 3 ) e f 4 g 3 ( h−−−− ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ −−−− ==== Ø Divisibilidad por 33 Y 99:

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99.

o

33

abcdefgh

==

=

=

1

10

1

10

1

10

1

33

g

f

e

d

c

b

a

o

=

==

=

o

33

g

f

10

e

d

10

c

b

10

a

+

++

+

+

++

+

+

+

++

+

++

+

+

++

+

++

+

+

=

==

=

Respectivamente: o

99

abcdefgh

==

=

=

1

10

1

10

1

10

1

99

g

f

e

d

c

b

a

o

=

==

=

o

99

g

f

10

e

d

10

c

b

10

a

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

++

+

+

=

=

==

7. RESTOS POTENCIALES:

Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) al ser divididos entre otro “m” (modulo). Potencias sucesivas Resultados en función de “m” Restos potenciales 0

N

1

N

2

N

3

N

4

N

1

m

o

+

++

+

1 o

r

m

++

+

+

2 o

r

m

+

++

+

3 o

r

m

+

++

+

4 o

r

m

+

++

+

1

1

r

2

r

3

r

4

r

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo. Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.

2. NÚMERO COMPUESTO:

Son números que admiten más de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.

3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:

1 CD

CD

CD_N ==== _compuestos++++ _primos++++

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.

NOTAS:

Ø Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma

6

1

o

±

±±

±

: lo contrario no siempre se cumple.

Ø Algunos números primos descubiertos por matemáticos son:

Lucas:

2

127

−

−−

−

1

que tiene 39 cifras

Ø Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos

Fermat:

2

2n

+

++

+

1

Ø Formulas del calculo de números primos:

41

n

n

2

₋

₋₋

₋

₊₊

₊

₊

valida únicamente para

n

∈

∈

∈

∈ Z

++++

y

n

≤

≤≤

≤

40

5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación:

Ej.: ¿El número 139 es primo?

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

ARITMÉTICA:

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos

diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.”

Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA” OJO:

No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que vimos en sistema de numeración.

vimos en sistema de numeración. vimos en sistema de numeración. vimos en sistema de numeración.

Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho número lo podemos expresar de la siguiente manera:

...

C

.

B

.

A

N

₌

₌₌

₌

α β λ

Donde: A, B, C;…; Factores primos

...

,

,

,

β

λ

α

; Exponentes

Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360.

5

.

3

.

2

360

=

==

=

3 2 7. DIVISORES DE UN NUMERO “N”

Ø Cantidad de divisores de un número:

Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

)....

1

)(

1

)(

1

(

)

N

(

CD

==

=

=

α

++

+

+

β

++

+

+

λ

+

++

+

Ø Suma de divisores de un número

...

1

C

1

C

.

1

B

1

B

.

1

A

1

A

)

N

(

SD

1 1 1

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

=

==

=

+ ++ + + ++ + + ++ + β λ α

Ø Producto de los divisores de un número:

) N ( CD

N

)

N

(

PD

=

==

=

Ø Suma de las inversas de los divisores de un

número:

N

)

N

(

SD

)

N

(

SID

=

==

=

8. INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER

Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea el número N descompuesto canónicamente

...

C

.

B

.

A

N

₌

₌₌

₌

α β λ













−

−−

−













−

−−

−













−

−−

−

=

==

=

C

1

1

.

B

1

1

.

A

1

1

.

N

)

N

(

Ψ

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:

Ø Es un divisor común de todos Ø Es el mayor posible

10. DETERMINACIÓN DEL MCD

Ø Por descomposición Canónica:

El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles. Ej.: Sea

A

=

==

=

2

2

.

3

2

.

5

y

B

=

==

=

2

3

.

3

.

5

2 Entonces

5

.

3

.

2

MCD

₌₌

₌

₌

2

Ø Por descomposición simultáneamente: El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18

Ø Algoritmo de Euclides o Divisiones sucesivas:

Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se fundamenta en la teoría de la división.

1

q

q

2

q

₃

q

₄

q

₅ 4

r

2

r

1

r

1

r

r

₂

r

₃ 5

r

4

r

3

r

}}}}

}}}}































+

++

+

=

==

=

+

++

+

=

==

=

+

++

+

=

==

=

⇒

⇒

⇒

⇒

=

==

=

1 1 2 2 1 4 4 3 2 4

r

q

.

B

A

r

q

.

r

B

r

q

.

r

r

r

)

B

;

A

(

MCD

11. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:

Ø Es un múltiplo de todos Ø Es el menor posible

12. DETERMINACIÓN DE MCM

Ø Por descomposición Canónica:

El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.

Ej.: Sea

A

==

=

=

2

2

.

3

2

.

5

y

B

=

==

=

2

3

.

3

.

5

2

Ø Por descomposición simultáneamente:

El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI.

Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30

13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:

Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCD(A,B)=1

Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCM(A,B)=A.B

Ø El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:

B

.

A

)

B

;

A

(

MCD

).

B

;

A

(

MCM

=

==

=

Ø Sea

A

=

=

==

K

α

y

B

==

=

=

K

β

Donde:

α y

β

son primos entre si (PESI). Entonces:

β

α.

.

K

)

B

;

A

(

MCM

K

)

B

;

A

(

MCD

=

==

=

=

==

=

Ø Sea

MCM

(

A

,

B

)

==

=

=

p

y

MCM

(

C

,

D

)

==

=

=

q

, entonces:

)

q

,

p

(

MCM

)

D

,

C

,

B

,

A

(

MCM

=

==

=

Ø Sea

MCD

(

A

,

B

)

=

==

=

p

y

MCD

(

C

,

D

)

==

=

=

q

, entonces:

)

q

,

p

(

MCD

)

D

,

C

,

B

,

A

(

MCD

=

==

=

Ø Si un conjunto de enteros positivos se reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir:

)] D ; C ( MCM ); B ; A ( MCM [ MCM ) D ; C ; B ; A ( MCM )) C ; B ( MCM ); B ; A ( MCM ( MCM ) C ; B ; A ( MCM )] D ; C ( MCD ); B ; A ( MCD [ MCD ) D ; C ; B ; A ( MCD )) C ; B ( MCD ); B ; A ( MCD ( MCD ) C ; B ; A ( MCD = == = = == = = == = = == = 14. CASOS ESPECIALES: Ø MCD(a;a+b)=MCD(a;b)

Ø Si a y b son primos entre si entonces

MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2 Ø MCD(a,b)=MCD(a±±±±b;m), Donde m=MCM(a,b) Ø MCD(a,b,a+b)= ₂

d

)

b

a

(

b

.

a

+

++

+

, Donde d=MCD(a,b) Ø

MCD

(

An

;

Bn

;

Cn

)

=

==

=

n

.

MCD

(

A

;

B

;

C

)

Ø

MCM

(

An

;

Bn

;

Cn

)

=

==

=

n

.

MCM

(

A

;

B

;

C

)

Ø

n

)

C

;

B

;

A

(

MCD

)

n

C

;

n

B

;

n

A

(

MCD

=

==

=

Ø

n

)

C

;

B

;

A

(

MCM

)

n

C

;

n

B

;

n

A

(

MCM

=

==

=

Ø

MCD

(

p

k

−

−−

−

1

;

p

h

−

−−

−

1

)

=

==

=

p

MCD(k;h)

−

−−

−

1

NÚMEROS FRACCION

NÚMEROS FRACCION

NÚMEROS FRACCION

NÚMEROS FRACCIONARIOS

ARIOS

ARIOS

ARIOS

ador

min

deno

numerador

b

a

f

=

==

=

=

==

=

1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar:

Ø Por comparación de sus términos:



Fracciones propias: Son aquellas cuyo

valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el denominador es decir:

1

b

a

<

<<

<

Ej.:

,

etc

.

13

7

,

7

2

,

5

3



Fracciones impropias: Son aquellas cuyo

valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el denominador, es decir:

1

b

a

>

>>

>

Ej.:

,

etc

.

13

15

,

7

9

,

3

4



Fracciones iguales a la unidad: Son

aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el denominador son iguales, es decir:

1

b

a

=

==

=

Ej.:

,

etc

.

13

13

,

9

9

,

4

4

Ø Por su denominador:



Fracciones ordinarias o comunes: Son