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Contenidos:
Números Enteros: Operatoria con algunas propiedades.
Actividades.
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CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
Para empezar a pensar:
En el siguiente cuadro se muestran las temperaturas máximas y mínimas registradas en nuestro país el 16 de agosto de 2005 (diario Clarín).
a) ¿Cuál es el significado de del signo delante de algunas temperaturas?
b) ¿En qué ciudad se registra la menor temperatura?
c) ¿En qué ciudad se registra la mayor temperatura?
d) Orden las temperaturas mínimas de menor a mayor.
e) Completá la siguiente recta con las temperaturas mínimas.
Malvinas
f) Nombra dos ciudades cuyas temperaturas fueron, en algún momento del d a, 0° C.
g) Nombra una ciudad en donde la temperatura del d a fue siempre sobre 0.
h) ¿Alguna ciudad tuvo todo el d a temperatura debajo de 0?
i) ¿Cuánto aumentará la temperatura en Comodoro Rivadavia para pasar de la mínima a la máxima?
-1 0 1
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Conjunto de Números Enteros
“Este conjunto está formado por números positivos, negativos y el cero.”
Se lo simboliza con la letra Z. Es decir que, en adelante, cuando veamos la letra Z, sabemos que hablamos de números enteros.
Recordá que los números enteros se simbolizan con la Z.
¿Para qué utilizamos los números enteros? Veamos algunos ejemplos:
1) Si efectuamos una compra de $150 nos puede suceder:
a) Que paguemos con $150, entonces el saldo es cero:
+150 - 150 = 0
b) que paguemos con $200, entonces nos devuelven $50; el saldo es positivo:
+200 - 150 = +50
c) que paguemos con $100, entonces debemos $50; el saldo es negativo:
+100 - 150 = - 50
De este ejemplo deducimos que el dinero que tenemos a nuestro favor es un número positivo, lo que debemos es negativo y si el resultado es cero decimos que es un número neutro: ni positivo, ni negativo.
2) Las temperaturas que son bajo 0°C son negativas. Ej.: -5°C; -1°C.
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Representación de Enteros sobre la Recta Numérica
El símbolo que parece un ocho acostado (∞) significa infinito.
Sobre la recta determinamos el punto 0 y del 0 hacia la derecha los números positivos (infinito +), hacia la izquierda del 0 los números negativos (infinito-).
El conjunto de números enteros no tiene ni principio ni fin, por eso decimos que es un conjunto infinito.
Para recordar: los números negativos siempre llevan el signo menos – adelante, los positivos pueden o no llevar el signo más + adelante y el cero no lleva ningún signo porque es neutro.
Valor Absoluto o Módulo de un Número Entero
Se llama valor absoluto o módulo de un número “a”, a la distancia desde el número “a” hasta el cero y se lo indica | a | (se lee: valor absoluto de a).
Por ejemplo:
|- 3 | (valor absoluto de -3)
Me pregunto ¿a qué distancia del 0 está el -3?
Está a 3 unidades o 3 lugares del 0, por lo tanto
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|-3| = 3
Habitualmente se dice que el valor absoluto es el N° sin el signo.
Ejemplos:
|+2| = 2 |-100| = 100
|-4| = 4 |+1580|= 1580
Números Enteros Opuestos o Simétricos
Dos números enteros son opuestos o simétricos cuando tienen igual valor absoluto y signos contrarios.
Ejemplos:
-1 opuesto de +1; -4 opuesto de +4; -6 opuesto de +6; +10 opuesto de 10.
Recordá: -a se lee “el opuesto de a”.
Igualdad y desigualdad de Números Enteros
Dos números enteros son iguales cuando tienen igual valor absoluto y el mismo signo.
Ejemplos:
a) +17 = +17 -25 = -25
“Todo número positivo es mayor que 0”.
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b) +10 > 0 +3 > 0 (El signo > significa mayor)
“Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo”.
c) +10 > - 23 +1 > - 19
“Todo número negativo es menor que 0”.
d) 20 < 0 - 3 < 0 (El signo < significa menor)
De los ejemplos anteriores podemos decir:
“Dados dos números enteros, es mayor el que está más a la derecha en la recta numérica.”
Te sugerimos repasar los conceptos sobre números enteros con el siguiente video de Angarmegia, Portal de Educación y Docencia:
7 Ejercicios
Constaté los resultados de los ejercicios en el Anexo Respuestas.
1) Indicá mediante un número entero:
a) Una deuda de $10.
b) 5 grados de temperatura.
c) El segundo subsuelo de un edificio.
d) 200 años antes de Cristo.
2) Coloca < > = según corresponda
+6 ... +2 +7 ... +7 0 ... +4 +7 ... 7 -10 ... 0 -20 ... 1
3) Pensá y completá:
a) El opuesto de 3 es ... y su valor absoluto es ...
b) Si a = - 4 entonces | a| = ... y - a = ...
4)Uní con flechas:
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Operaciones de Números Enteros
¡Vamos a jugar!
Un grupo de amigos juega distintos partidos de Chin- chón y anota los puntos obtenidos en las dos primeras manos. ¿Podrás completar las columnas de los totales?
Adición o Suma de Números Enteros
Para poder interpretar sin dificultad la suma de números enteros pensemos que los números positivos es dinero que tenemos a nuestro favor y los números negativos son deudas.
Veamos los siguientes ejemplos:
1) En la caja de ahorro de un banco tenemos depositados $110 y en nuestra casa tenemos $70, ¿Cuánto dinero tenemos en total?
(+110) + (+70) = +180 También lo expresamos 110 + 70 = 180
2) Si le debemos a un amigo $5 y a otro $8, para saber cuánto debemos en total sumamos todas las deudas. (las indicamos con números negativos).
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(-5) + (-8) = -13 Debemos $13. También lo indicamos -5 -8 = -13.
Visto estos ejemplos podemos decir: para sumar dos o más números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los números dados y el resultado tendrá el signo de los números sumados.
(Si se suman todos los números positivos el resultado es positivo, si se suman todos los negativos el resultado es negativo).
Ejercicios
5) Observá el ejemplo y completá:
a) Debo 8 y debo 10, entonces debo 18
(- 8) + (-10) = -18 ó - 8 - 10 = -18
b) debo 7 y debo 5, entonces ...
c) tengo 8 y tengo 10, entonces ...
d) ... (-10) + (-30) = ...
6) Resolver:
a) (+8) + (+11) = b) (+25) + (+17) = c) +486 + 4 + 100 = d) (-18) + (-12) = e) (-72) + (-2) + (-10)=
f) – 8 – 4 – 1 =
10 Otro ejemplo:
¿Cómo hacemos para sumar un número positivo y uno negativo?
(+20) + (-17) = 3 Nos da por resultado 3 porque si debemos $17 y pagamos con $20 nos devuelven $3.
En cambio, si de los $17 que debemos pagamos $10, quedamos debiendo $7.
(El resultado es negativo).
(+10) + (-17) = -7
Luego: Para sumar dos números enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre los dos números y el resultado tendrá el signo del número entero de mayor valor absoluto.
El cero es el elemento neutro de la suma.
Ejemplos:
(+15) + (-20) = - 5 (-30) + (+33) = 3 (+125) + (-100) = 25 (+230) + (-300) = -70
Cuando un número entero, positivo o negativo, le sumamos 0 el número no varía.
Ejemplos:
7 +0 = 7 10 +0 = 10 0 + 15 = 15 -3 + 0 = - 3 -27 + 0 = - 27
Si sumamos dos números enteros opuestos el resultado es 0.
Ejemplos:
5 + (-5) = 0 37 + (-37) = 0 -45 + 45 = 0
11 Ejercicios:
7) Completá:
a) Tengo 9 y debo 18, entonces ...
b) debo 30 y tengo 50, entonces ...
c) debo 7 y tengo 7, entonces ...
8) Resolvé:
a) (-22) + (+22) = b) 50 + (-60) = c) (-40) + (+90) = d) 0 +(- 4) = e) -30 - 10 - 20 = f) -40 + 50 = g) +70 - 80 = h) -10 + 40 = i) -7 - 24 - 38 =
Propiedades de la Adición
Propiedad ASOCIATIVA: En una suma de números enteros, si agrupamos, el resultado no varía.
Ejemplo:
3 + 5 +8 + 10 = 26
( 3 + 5 ) + ( 8 + 10 ) = 8 + 18 = 26 3 + ( 5 + 8 ) + 10 = 3 + 13 + 10 = 26
12 Propiedad CONMUTATIVA: Si cambiamos el orden de los sumandos el resultado no varía.
Ejemplo:
2 + 7 + 5 + 1 = 15 1 + 7 + 5 + 2 = 15
Propiedad CANCELATIVA: Cuando en un ejercicio tenemos dos números de igual valor absoluto y distinto signo, lo cancelamos (tachamos) y el resultado no varía.
Ejemplo:
4 + 5 - 4 + 8 = 13 4 + 5 - 4 + 8 = 5 + 8 = 13
Ahora vamos a ver cómo resolvemos ejercicios aplicando las propiedades de la suma, en este video de unprofesor.com
13 Ejercicios
9) Verificá los resultados cancelando. (Si luego de cancelar te da el mismo resultado, la operación fue correcta)
a) -5 + 8 - 3 + 4 - 3 + 5 = 6 b) 7 + 6 - 7 + 6 - 5 - 6 = 1
c) 10 - a + 15 + 3 + a = 28 (En este caso la letra se cancela como si fuera un número)
d) 3 - 5 + 8 - 3 + 1 - 7 + 5 - 1 = 1 e) 17 - 20 + x - 17 + 20 - x - 1 = - 1
10) Utilizá alguna propiedad de modo que los cálculos resulten más sencillos.
a) (- 8) + 9 + (- 9) + 8 =
b) (- 199) + (- 104) + (-1) + (-16)=
c) 83 + (-2) + 7 = d) 3 + 6 + 4 - 7 =
Sustracción, resta o diferencia de Números
La diferencia entre dos números enteros es otro número entero que se obtiene de sumarle al primer número el opuesto del segundo.
Ejemplos:
(+3) - (-4) = +3 + (+4) = 7 5 - (+2) = 5 + (-2) = 3 (-10) - (-3) = -10 + ( +3) = -7
Restar es sumar el opuesto
14 Más fácil:
(- 8) - (- 2) =
me pide el opuesto de - 2 - 8 + 2 = - 6
En palabras:
- 8 y el opuesto de - 2 - 8 + 2 = - 6
Veamos juntos cómo resolver algunos ejercicios en el video de “Raíz cuadrada de 64”
Ejercicios 11)
a) (-3) - (- 3) = b) -28 - (+5) = c) 34 - (- 6) =
15 d) -20 - (+5) =
e) -10 - (- 9) = f) 30 - (+32) =
Repasamos, entonces, la suma y la resta de números enteros con el siguiente video de julioprofe.net
Suma Algebraica de Números Enteros
Supresión de paréntesis (), corchetes [] y llaves {}
Cuando un ejercicio está formado por sumas y restas decimos que es una suma algebraica.
En una suma algebraica podemos agrupar los números dentro de paréntesis, corchetes y/o llaves para poder resolver sumas algebraicas como las siguientes:
a) 8 + (-5 - 4 + 8) - 3 =
b) +(3 - 7 + 8) - 4 + (-5 + 6 - 8) =
16 c) 7 - (-2 + 3 - 5) + 4 =
d) - (-4 +8 - 3 - 7) + 9 - (-2 + 1) =
Debemos saber las siguientes reglas:
“Al suprimir todo paréntesis, corchete o llave, precedido por el signo más (junto con el signo que le precede), no cambia el signo de los números que se
encuentran dentro de ellos.”
En el ejemplo:
a) 8 + (-5 - 4 + 8) - 3 = 8 - 5 - 4 + 8 - 3 = 4
b) + (3 - 7 + 8) - 4 + (- 5 + 6 - 8) = 3 - 7 + 8 - 4 - 5 + 6 - 8 = -7
“Al suprimir todo paréntesis corchete o llave precedido por el signo menos (junto con el signo que le precede) cambia el signo de todos los números que hay dentro de ellos”.
Ejemplos:
C) 7 - (- 2 + 3 5) + 4 = 7 + 2 - 3 + 5 + 4 = 15
d) - (-4 + 8 - 3 - 7) + 9 - (-2 + 1) = 4 - 8 + 3 + 7 + 9 + 2 - 1 = 16
Si en un ejercicio tenemos que suprimir paréntesis, corchetes y llaves, primero se suprimen los paréntesis, luego los corchetes y por último las llaves.
17 Ejemplo:
-{3 + [5 - (-2 + 1) - 3 ] + 4} =
Primer paso: suprimimos paréntesis, (copiamos todo hasta el primer paréntesis).
- {3 + [5 + 2 - 1 - 3] + 4} =
Segundo paso: suprimimos corchetes:
- {3 + 5 + 2 - 1 - 3 + 4} =
Tercer paso: suprimimos llaves:
3 - 5 - 2 + 1 + 3 - 4 = -10
PARA RECORDAR:
Cuando un número no tiene signo es positivo.
Cancelar siempre que sea posible.
Repasamos con este video del profesor Miguel del Pozo cómo suprimir los signos de agrupación en los ejercicios
18 Ejercicios
12) Resolvé suprimiendo paréntesis, corchete y llaves, cancelando cuando sea posible:
a) -4 + {5 - 2 - [-1 + 2 - (1 + 3 - 7)]} + 4 =
b) 10 - {-6 + 2 +[-1 - 4 - (-1 + 3 + 4)] - (-10)} + 6 = c) - 3 - {-4 + [-2 + 5 + (-6 + 7) + 9] - 8} + ( 5 - 1) = d) 23 - {[15 - 7 + (-17 + 11) - (-7 + 5)] + 23} - (4 - 3) =
Multiplicación de Números Enteros
El producto de dos o más números enteros es otro número entero que se obtiene multiplicando los valores absolutos de los números dados. El signo del resultado se obtiene aplicando las siguientes reglas:
Importante:
El producto de dos signos iguales es positivo y el producto de dos signos distintos es negativo.
Ejemplos:
(+3) . (-4) = -12 (-10) . (-10) = +100
19 (-4) . (+9) = -36
(+7) . (+6) = +42
Recordemos que cuando un número entero no tiene ningún signo adelante es positivo.
Ejercicios
13) Resolvé los siguientes productos:
a) (-2) . 3 . (-5) =
b) (-10) . (-1) . (-4) = c) 6 . (-3) . (-2) =
d) 3 . (-5) . (-3) =
e) (-2) . (-1) . (-6) . (-10) =
Algunas Propiedades del Producto
Propiedad asociativa: Si agrupamos de dos o más formas los factores el resultado no varía.
Ejemplo:
(-2) . 5 . (-10) . 1 = (-2) . [5 . ( 10)] . 1 = (-2) . (-50) . 1 = 100 (-2) . 5 . (-10) . 1 = [(-2) . 5] . [(-10) . 1] = (-10) . (-10) = 100
Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
(-5) . (-3) . (-2) = -30
20 (-3) . (-2) . (-5) = -30
(-5) . (-2) . (-3) = -30
RECORDEMOS:
"Términos" son los números que están separados por un signo + o un signo -.
"Factores" son los números que se multiplican. Cuando entre un número y una letra no hay ningún signo es producto de ese número por la letra.
Ejemplo:
3a = 3 . a (se lee 3 a) 5m = 5 . m (se lee 5 m)
Cuando entre dos paréntesis no existe ningún signo, el resultado de ellos se multiplica. Lo mismo sucede con los corchetes y llaves. Ejemplo:
(3 + 5) (4 + 2) = (3 + 5) . (4 + 2) = 8 . 6 = 48
División de Números Enteros
La división de dos números enteros es otro número entero que se obtiene de dividir los valores absolutos de los números dados. El signo se obtiene aplicando la siguiente regla:
Importante:
21 A signos iguales: resultado positivo (+).
A signos distintos: resultado negativo (-).
Ejemplos:
(-27) : (+3) = -9
RECORDÁ:
6 : 3 = 2 porque 2 . 3 = 6 0 : 4 = 0 porque 0 . 4 = 0
4 : 0 no se puede, porque ningún número por 0 da 4.
IMPORTANTE: el 0 no puede ser divisor.
El primer número se llama dividendo y el segundo número se llama divisor.
(+30) : (-2) = -15 (-18) : (-6) = 3 (+20) : (+5) = 4
Propiedad de la división de Números Enteros
RECORDAR: En la división de números enteros no se cumple la propiedad conmutativa, ni la asociativa.
22 Ejemplo:
a) 32 : 2
El resultado que se obtiene es distinto del que se obtiene cambiando el orden (2 : 32).
32 : 2 = 16 2 : 32 = 0,0625
b) (20 : 10 ) : 5 = 20 : (10 : 5) 2 : 5 = 0.4 20 : 2 = 10
Respetar el orden, NO asociar 20 : 10 : 5 = 0.4
Ejercicios
14) Resolvé:
a) 1 : (-1) = b) (- 4) : (- 2) =
c) (-16) : 4 = d) 21 : (-7) =
e) 35 : 5 =
23 Repasemos la multiplicación y división de los números enteros con este video de julioprofe.net
Operaciones combinando suma, resta, multiplicación y división de enteros
Para resolver estos ejercicios debemos recordar: suma algebraica, supresión de paréntesis, corchetes y llaves, producto, división de enteros y separación en términos.
a) (- 16 : 4) . 12 + (- 22) : (- 11) =
Para resolver este ejercicio procedemos de la siguiente manera:
Primero separamos en términos y luego resolvemos término por término.
24 Separan + y fuera de ( )
( - 16 : 4) . 12 + (- 22) : (- 11) = - 4 . 12 + 2 = - 48 + 2 = - 46
b) [( - 10) . 5] : [(- 25) : (- 5)] =
En este caso primero resolvemos lo que hay en cada corchete.
[- 50] : 5 = - 10
c) [(- 28) : 4 3] : [(- 1) + ( 4)] + 3 = [(- 28) : 4 3] : ( 5) + 3
[- 7 3] : ( 5) + 3 - 10 : - 5 + 3 2 + 3 5
Ejercicios 15) Resolver:
a) (- 3 - 9) : (- 3) + (9 - 2 . 5) . (- 2) . (- 2) =
b) (- 3 + 2) . (-5 - 1) + [(-10) : (-5)] . [(- 3) . 3] =
c) [3 - 5 : (- 1) + 0 . (-3)] : [4 - 2 . (- 5) - 10] =
25
Potenciación de Números Enteros
“La potencia de un número entero es otro número entero que se obtiene de multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente”.
Se multiplica a "n" veces por s misma.
a = base n = exponente
Regla de los signos:
Cuando la base es negativa y el exponente impar, el resultado es negativo.
(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8
Cuando la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo.
(-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = +16
Cuando la base es positiva y el exponente par o impar, el resultado es positivo.
(+3)3 = (+3) . (+3) . (+3) = +27 (+3)4 = (+3) . (+3) . (+3) . (+3) = +81
RECUERDA: ( - )PAR = +
26 Ejercicios
16) Calcular las siguientes potencias:
El paréntesis indica que está elevado a la potencia (el signo y el número).
a)
(-1)
4=
b)
(-5)
2=
c)
(-4)
3=
d)
(+5)
3=
e)
(+6)
2=
f)
(-9)
2=
g)
(-3)
3=
h)
(-2)
5=
i)
(+7)
2=
j)
(-10)
2=
k)
(- 10)
3=
Atención:
(-5)
2= (-5) .(-5) =25
Para recordar: “Todo número elevado a la 0 da por resultado 1”
Ejemplos:
(-5)
0= 1 (+5)
0= 1
Cuando el exponente es 1 no se escribe.
27 Ejemplos:
8
1= 8
Cuando el exponente es 2, decimos que el número está elevado al cuadrado;
cuando el exponente es 3, decimos que el número está elevado al cubo;
cuando el exponente es 4 decimos que el número está elevado a la cuarta, y así sucesivamente.
Radicación de Números Enteros
La raíz enésima de un número entero a, es otro número entero b, tal que elevado a la n, da por resultado a.
Ejemplos:
3 27 = −3
porque (-3) 3 = 27
Radicando negativo, índice impar, resultado negativo.
5 +32 = 2 porque 25 = 32
Radicando positivo, índice impar, resultado positivo.
28
4 81 = −3 porque (-3 )4 = 81
4 81 = 3 porque 34 = 81
Radicando par, índice par, resultado positivo.
4 −16
No tiene solución en números enteros (no hay ningún número entero que elevado a la cuarta dé por resultado (-16).
(-2)4 = +16 (+2)4 = +16
Ejercicios
17) Calcular las siguientes raíces
a)
9=
(Cuando el índice no se escribe es 2 y se dice raíz cuadrada)a) 3 64= (raíz cúbica, índice 3)
b) 3 −64 =
c) 3 −125 =
d) 100 =
29
Operaciones combinando Suma, Resta,
Multiplicación, División, Potencia y Radicación de Enteros
Ejercicios
18) Para resolver estos ejercicios debemos tener en cuenta los términos, los paréntesis, corchetes y llaves, e ir resolviendo según nos indican ellos.
Actividades Integradoras 19) Completar:
30 20) Marcá en la recta los números que cumplan que el valor absoluto es menor que 4. Nombrá, si es posible, todos los pares de opuestos.
21) En cada caso, determiná si es posible el valor de la letra:
22) Resolver:
31 Repasemos el orden que aplicamos para la resolución de las
operaciones combinadas con este video de Aprendo
