Aspectos de las Teorías de Campo en Espacios No-conmutativos

Aspectos de las Teor´ıas de Campo en Espacios No-conmutativos

Leonardo Quevedo

Universidad Sim´on Bol´ıvar Departamento de F´ısica

F´ısica de Altas Energ´ıas 06 Universidad Central de Venezuela Caracas, 12 de Diciembre del 2006

Contenido

1 Introducci´on

2 Fundamentos de No-Conmutatividad Cuantizaci´on de Weyl

Deformaciones Cu´anticas

3 Efectos No-conmutativos en Teor´ıas de Campo Simetr´ıas

Teor´ıa perturbativa Solitones/Instantones Efecto Hall Cu´antico

No-conmutatividad y Teor´ıa de Cuerdas 4 Supersimetr´ıa y No Conmutatividad

No-(anti)conmutatividad Un Origen Cuerdista

Breve Historia de la No-conmutatividad

Operadores en M Cu´antica [q, p] = i~ −→ Espacio de fase NC Cuantizaci´on de Weyl [Weyl 1931]

Deformaciones cu´anticas [BFFLS]

[x, x⁰] 6= 0 en Espacio-Tiempo propuesto para regularizar QFTs [Snyder 1947]

Abandonado: No compatible con Lorentz - No Local Matem´aticos −→ Geometr´ıa NC

Algebra de funciones sobre M se reemplaza por un algebra NC Teor´ıas Cu´anticas de Campo sobre espacios NC

Vuelve a la FAE

Escala de Planck =⇒ incertidumbre en Espacio-Tiempo NC del E-T emerge del esquema cuerdista

Aceptada como generalizaci´on geom´etrica de relevancia f´ısica.

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

Motivando la No-Conmutatividad del Espacio

Caracter´ısticas

Relaciones Incertidumbre Longitud Fundamental (~,lPl)

Regulariza

Suaviza interacciones puntuales

Nuevos Solitones Generaliza

Deformaci´on

(L´ımite Conmutativo) Nuevo parametro (Perturbaciones)

Aplicaciones

Espacio de fase QM Regularizaci´on de QFT’s Espacio-tiempo a escala de Planck

Teor´ıa de Cuerdas Gravedad Cu´antica Efecto Hall Cu´antico

Geometr´ıa de las Zonas de Brillouin

Matem´atica Pura Grupos Cu´anticos Geometr´ıa NC

El Marco Natural: Teor´ıa de Cuerdas

Entendiendo la Naturaleza del Espacio-Tiempo

Esquema de regularizaci´on de QG est´a relacionado a la NC Longitud Fundamental ls

Basado en la No-localidad ProduceNo-conmutatividad

Espacio-Tiempo Emerge de la Teor´ıa de Cuerdas

GR se recupera en el limite en el que la cuerda est´a inmersa en un background de campos menores en tama˜no que ls

Algunas configuraciones con campos-B de NS en el limite l²_sB 1 (efectos cuerd´ısticos relevantes) inducen

no-conmutatividad del Espacio-Tiempo

El Marco Natural: Teor´ıa de Cuerdas

Entendiendo la Naturaleza del Espacio-Tiempo

Esquema de regularizaci´on de QG est´a relacionado a la NC Longitud Fundamental ls

Basado en la No-localidad ProduceNo-conmutatividad

Espacio-Tiempo Emerge de la Teor´ıa de Cuerdas

GR se recupera en el limite en el que la cuerda est´a inmersa en un background de campos menores en tama˜no que ls

Algunas configuraciones con campos-B de NS en el limite l²_sB 1 (efectos cuerd´ısticos relevantes) inducen

no-conmutatividad del Espacio-Tiempo

Cuantizaci´on de Weyl y Non-conmutatividad

Espacio de Fase {q, p} = 1

Cuantizaci´on

Can´onica //Espacio de Hilbert [ˆq, ˆp] = i~

Espacio de Fase No-conmutativo

[q, p]_? = i~

Cuantizaci´on→L´ımite Cl´asico (Escala cu´antica ~)

Weyl: Mapa continuo entre observables cl´asicos y cu´anticos f(q, p) → ˆO_f(ˆq, ˆp) parametrizado por ~

Producto No-conmutativo de operadores cu´anticos se refleja en el ´algebra de funciones en el espacio fase ˆO_fOˆ_g→ f ? g

Cuantizaci´on de Weyl y Non-conmutatividad

Espacio de Fase {q, p} = 1 ^oo

?_{/o /o /o /o /o /o /o ///o}

/o/o/o/o/o/o/o/o/o Espacio de Hilbert [ˆq, ˆp] = i~

Espacio de Fase No-conmutativo

[q, p]_? = i~

Cuantizaci´on→L´ımite Cl´asico (Escala cu´antica ~)

Weyl: Mapa continuo entre observables cl´asicos y cu´anticos f(q, p) → ˆO_f(ˆq, ˆp) parametrizado por ~

Producto No-conmutativo de operadores cu´anticos se refleja en el ´algebra de funciones en el espacio fase ˆO_fOˆ_g→ f ? g

Cuantizaci´on de Weyl y Non-conmutatividad

Espacio de Fase {q, p} = 1

Deformaci´on

$$~→0

cc

Espacio de Hilbert [ˆq, ˆp] = i~

Espacio de Fase No-conmutativo

[q, p]_? = i~

Transformada de Weyl 66

Funci´on de Wigner

vv

Cuantizaci´on→L´ımite Cl´asico (Escala cu´antica ~)

Weyl: Mapa continuo entre observables cl´asicos y cu´anticos f(q, p) → ˆO_f(ˆq, ˆp) parametrizado por ~

Producto No-conmutativo de operadores cu´anticos se refleja en el ´algebra de funciones en el espacio fase ˆO_fOˆ_g→ f ? g

El Mapa de Weyl y el Producto de Moyal

En un Espacio Eucl´ıdeo d-dimensional

S´ımbolos f(x)

Transformada de Weyl: ˆOf(ˆx) =R d^dx f(x) ˆ∆(x)

))

∆(x) =ˆ

Z d^dk

(2π)^de^{ik·(ˆx−x)} Operadores Oˆ_f(ˆx)

Funci´on de Wigner: f (x) = Tr“ Oˆf∆(x)ˆ ”

gg

Si [ˆx^m, ˆxⁿ] = 0, Mapa de Weyl → delta de Dirac ˆ∆(x) = δ(ˆx− x) [ˆx^m, ˆxⁿ] = iλθ^mn=⇒ Espacio NC a Escala Cu´antica (Planck) λ No-conmutatividad de Operadores ˆOfOˆg= ˆOf?gse “retrae” a un

´algebra de funciones no-conmutativas con producto de Moyal f(x) ? g(x) = f (x) exp i

2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n

 g(x)

El Mapa de Weyl y el Producto de Moyal

En un Espacio Eucl´ıdeo d-dimensional

S´ımbolos f(x)

Transformada de Weyl: ˆOf(ˆx) =R d^dx f(x) ˆ∆(x)

))

∆(x) =ˆ

Z d^dk

(2π)^de^{ik·(ˆx−x)} Operadores Oˆ_f(ˆx)

Funci´on de Wigner: f (x) = Tr“ Oˆf∆(x)ˆ ”

gg

Si [ˆx^m, ˆxⁿ] = 0, Mapa de Weyl → delta de Dirac ˆ∆(x) = δ(ˆx− x) [ˆx^m, ˆxⁿ] = iλθ^mn=⇒ Espacio NC a Escala Cu´antica (Planck) λ No-conmutatividad de Operadores ˆOfOˆg= ˆOf?gse “retrae” a un

´algebra de funciones no-conmutativas con producto de Moyal f(x) ? g(x) = f (x) exp i

2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n

 g(x)

El Mapa de Weyl y el Producto de Moyal

En un Espacio Eucl´ıdeo d-dimensional

S´ımbolos f(x)

Transformada de Weyl: ˆOf(ˆx) =R d^dx f(x) ˆ∆(x)

))

∆(x) =ˆ

Z d^dk

(2π)^de^{ik·(ˆx−x)} Operadores Oˆ_f(ˆx)

Funci´on de Wigner: f (x) = Tr“ Oˆf∆(x)ˆ ”

gg

Si [ˆx^m, ˆxⁿ] = 0, Mapa de Weyl → delta de Dirac ˆ∆(x) = δ(ˆx− x) [ˆx^m, ˆxⁿ] = iλθ^mn=⇒ Espacio NC a Escala Cu´antica (Planck) λ No-conmutatividad de Operadores ˆOfOˆg= ˆOf?gse “retrae” a un

´algebra de funciones no-conmutativas con producto de Moyal f(x) ? g(x) = f (x) exp i

2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n

 g(x)

Deformaciones Cu´anticas y No-conmutatividad

En vez de {q, p} = 1 −→ [ˆA, ˆB] = i~

se deforma el ´algebra cl´asica −→ S´ımbolos f(q, p)g(q, p) −→ f (q, p) ? g(q, p) El l´ımite cl´asico debe recuperarse

1

i~[f , g]? −→ {f , g}

Corchete generalizado {f , g}P= fPg en t´erminos de Estructura de Poisson P =←−

∂mθ^mn−→

∂n

El Producto de Moyal es ´unico

Para cada variedad de Poisson plana, el producto ? de Moyal definido por f ? g = fe^Pges la ´unica deformaci´on asociativa que respeta el principio de correspondencia [BFFLS77]

Deformaciones Cu´anticas y No-conmutatividad

En vez de {q, p} = 1 −→ [ˆA, ˆB] = i~

se deforma el ´algebra cl´asica −→ S´ımbolos f(q, p)g(q, p) −→ f (q, p) ? g(q, p) El l´ımite cl´asico debe recuperarse

1

i~[f , g]? −→ {f , g}

Corchete generalizado {f , g}P= fPg en t´erminos de Estructura de Poisson P =←−

∂mθ^mn−→

∂n

El Producto de Moyal es ´unico

Para cada variedad de Poisson plana, el producto ? de Moyal definido por f ? g = fe^Pges la ´unica deformaci´on asociativa que respeta el principio de correspondencia [BFFLS77]

Deformaciones Cu´anticas y No-conmutatividad

En vez de {q, p} = 1 −→ [ˆA, ˆB] = i~

se deforma el ´algebra cl´asica −→ S´ımbolos f(q, p)g(q, p) −→ f (q, p) ? g(q, p) El l´ımite cl´asico debe recuperarse

1

i~[f , g]? −→ {f , g}

Corchete generalizado {f , g}P= fPg en t´erminos de Estructura de Poisson P =←−

∂mθ^mn−→

∂n

El Producto de Moyal es ´unico

Para cada variedad de Poisson plana, el producto ? de Moyal definido por f ? g = fe^Pges la ´unica deformaci´on asociativa que respeta el principio de correspondencia [BFFLS77]

Deformaciones Cu´anticas y No-conmutatividad

En vez de {q, p} = 1 −→ [ˆA, ˆB] = i~

se deforma el ´algebra cl´asica −→ S´ımbolos f(q, p)g(q, p) −→ f (q, p) ? g(q, p) El l´ımite cl´asico debe recuperarse

1

i~[f , g]? −→ {f , g}

Corchete generalizado {f , g}P= fPg en t´erminos de Estructura de Poisson P =←−

∂mθ^mn−→

∂n

El Producto de Moyal es ´unico

Para cada variedad de Poisson plana, el producto ? de Moyal definido por f ? g = fe^Pges la ´unica deformaci´on asociativa que respeta el principio de correspondencia [BFFLS77]

Simetr´ıa y deformaciones del ´ Algebra

¿C´omo afectan estas deformaciones las simetr´ıas de una teor´ıa?

−→ ´Algebra de las Simetr´ıas

[Lmn, Pr] = ηnrPm− ηmrPn [Pm, Pn] = 0 Efecto de ? en el ´algebra ←→ [P, generadores]

P= −i 2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n= −i 2λ←−

P_mθ^mn−→ P_n Preserva invariancia traslacional [P, Pn] = 0

Pero rompe simetr´ıa de Lorentz [P, Lmn] 6= 0 [Lmn, Lrs]_? = [Lmn, Lrs] + O(λ)

Mensaje: Deformaciones Rompen Simetr´ıas Cl´asicas Estructura depende del conmutador [P, generadores]

Simetr´ıa −→ Simetr´ıa Cu´antica

Simetr´ıa y deformaciones del ´ Algebra

¿C´omo afectan estas deformaciones las simetr´ıas de una teor´ıa?

−→ ´Algebra de las Simetr´ıas

[Lmn, Pr] = ηnrPm− ηmrPn [Pm, Pn] = 0 Efecto de ? en el ´algebra ←→ [P, generadores]

P= −i 2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n= −i 2λ←−

P_mθ^mn−→ P_n Preserva invariancia traslacional [P, Pn] = 0

Pero rompe simetr´ıa de Lorentz [P, Lmn] 6= 0 [Lmn, Lrs]_? = [Lmn, Lrs] + O(λ)

Mensaje: Deformaciones Rompen Simetr´ıas Cl´asicas Estructura depende del conmutador [P, generadores]

Simetr´ıa −→ Simetr´ıa Cu´antica

Simetr´ıa y deformaciones del ´ Algebra

¿C´omo afectan estas deformaciones las simetr´ıas de una teor´ıa?

−→ ´Algebra de las Simetr´ıas

[Lmn, Pr] = ηnrPm− ηmrPn [Pm, Pn] = 0 Efecto de ? en el ´algebra ←→ [P, generadores]

P= −i 2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n= −i 2λ←−

P_mθ^mn−→ P_n Preserva invariancia traslacional [P, Pn] = 0

Pero rompe simetr´ıa de Lorentz [P, Lmn] 6= 0 [Lmn, Lrs]_? = [Lmn, Lrs] + O(λ)

Mensaje: Deformaciones Rompen Simetr´ıas Cl´asicas Estructura depende del conmutador [P, generadores]

Simetr´ıa −→ Simetr´ıa Cu´antica

Simetr´ıa y deformaciones del ´ Algebra

¿C´omo afectan estas deformaciones las simetr´ıas de una teor´ıa?

−→ ´Algebra de las Simetr´ıas

[Lmn, Pr] = ηnrPm− ηmrPn [Pm, Pn] = 0 Efecto de ? en el ´algebra ←→ [P, generadores]

P= −i 2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n= −i 2λ←−

P_mθ^mn−→ P_n Preserva invariancia traslacional [P, Pn] = 0

Pero rompe simetr´ıa de Lorentz [P, Lmn] 6= 0 [Lmn, Lrs]_? = [Lmn, Lrs] + O(λ)

Mensaje: Deformaciones Rompen Simetr´ıas Cl´asicas Estructura depende del conmutador [P, generadores]

Simetr´ıa −→ Simetr´ıa Cu´antica

Simetr´ıa y deformaciones del ´ Algebra

¿C´omo afectan estas deformaciones las simetr´ıas de una teor´ıa?

−→ ´Algebra de las Simetr´ıas

[Lmn, Pr] = ηnrPm− ηmrPn [Pm, Pn] = 0 Efecto de ? en el ´algebra ←→ [P, generadores]

P= −i 2λ←−

∂mθ^mn−→

∂n= −i 2λ←−

P_mθ^mn−→ P_n Preserva invariancia traslacional [P, Pn] = 0

Pero rompe simetr´ıa de Lorentz [P, Lmn] 6= 0 [Lmn, Lrs]_? = [Lmn, Lrs] + O(λ)

Mensaje: Deformaciones Rompen Simetr´ıas Cl´asicas Estructura depende del conmutador [P, generadores]

Simetr´ıa −→ Simetr´ıa Cu´antica

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Sector Perturbativo

Generalizaci´on −→ ´Algebra de campos con producto ? Interacciones no-locales

(f ? g)(x) =

Z d^dy d^dz

π^dλ^d| det θ| f(y)g(z)e^{−2iλ(θ−1)mn(x−y)m(x−z)n} Configuraciones de campo “peque˜nas” l 

√

λ interact´uan a largo alcance ∼ λ/l instant´aneamente

Tama˜no m´ınimo efectivo de Gaussiana ∼√

λ: Regulariza

? entra en acciones en productos de mas de 2 campos:

Z

d^dx f₁(x) ? · · · ? fM(x) = Tr

Oˆf₁· · · ˆOf_M



Propagadores libres no deformados + Interacciones Deformadas Mezcla UV/IR

Λ²_eff= 1

1

Λ² + pm(θ²)^mnpn

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Sector Perturbativo

Generalizaci´on −→ ´Algebra de campos con producto ? Interacciones no-locales

(f ? g)(x) =

Z d^dy d^dz

π^dλ^d| det θ| f(y)g(z)e^{−2iλ(θ−1)mn(x−y)m(x−z)n} Configuraciones de campo “peque˜nas” l 

√

λ interact´uan a largo alcance ∼ λ/l instant´aneamente

Tama˜no m´ınimo efectivo de Gaussiana ∼√

λ: Regulariza

? entra en acciones en productos de mas de 2 campos:

Z

d^dx f₁(x) ? · · · ? fM(x) = Tr

Oˆf₁· · · ˆOf_M



Propagadores libres no deformados + Interacciones Deformadas Mezcla UV/IR

Λ²_eff= 1

1

Λ² + pm(θ²)^mnpn

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Sector Perturbativo

Generalizaci´on −→ ´Algebra de campos con producto ? Interacciones no-locales

(f ? g)(x) =

Z d^dy d^dz

π^dλ^d| det θ| f(y)g(z)e^{−2iλ(θ−1)mn(x−y)m(x−z)n} Configuraciones de campo “peque˜nas” l 

√

λ interact´uan a largo alcance ∼ λ/l instant´aneamente

Tama˜no m´ınimo efectivo de Gaussiana ∼√

λ: Regulariza

? entra en acciones en productos de mas de 2 campos:

Z

d^dx f₁(x) ? · · · ? fM(x) = Tr

Oˆf₁· · · ˆOf_M



Propagadores libres no deformados + Interacciones Deformadas Mezcla UV/IR

Λ²_eff= 1

1

Λ² + pm(θ²)^mnpn

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Sector Perturbativo

Generalizaci´on −→ ´Algebra de campos con producto ? Interacciones no-locales

(f ? g)(x) =

Z d^dy d^dz

π^dλ^d| det θ| f(y)g(z)e^{−2iλ(θ−1)mn(x−y)m(x−z)n} Configuraciones de campo “peque˜nas” l 

√

λ interact´uan a largo alcance ∼ λ/l instant´aneamente

Tama˜no m´ınimo efectivo de Gaussiana ∼√

λ: Regulariza

? entra en acciones en productos de mas de 2 campos:

Z

d^dx f₁(x) ? · · · ? fM(x) = Tr

Oˆf₁· · · ˆOf_M



Propagadores libres no deformados + Interacciones Deformadas Mezcla UV/IR

Λ²_eff= 1

1

Λ² + pm(θ²)^mnpn

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

La Base de Osciladores y Teor´ıas Matriciales

Para cada par de variables no-conmutantes [qα, p_α] = iθ_α a_α = q_α√+ ipα

2θα

, a^†_α= q_α√− ipα

2θα

Base Y

α

1

n_α!(a^†_α)^nα|0i Z

d^dx f(x) =Y

α

(2πθ_α) TrHOˆf

Una teor´ıa de campo no-conmutativa es como una teor´ıa matricial ( ˆφ ∈ MatN→∞)

S= Z

d^dx 1

2(∂φ∂φ) − V?(φ)



→Y

α

(2πθα) TrH

 1

2( c∂φ · c∂φ) − cV_?( ˆφ)



De hecho S= − 1

4g² Z

d^dxF_?²→ 1

4g²TrX

µν

hCˆ_µ, ˆC_ν i

− θ⁻¹_µν2

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Sector No-pertubativo

Teorema de Derrick

No hay solitones en una teor´ıa escalar en 2+1 dimensiones Veamos soluciones est´aticas en el caso NC

E= Z

d²x 1

2(∇φ · ∇φ) + 2πθV_?(φ)



θV_? grande −→ despreciamos gradiente

V polin´omica −→ Se absorbe una constante en el campo V_?(φ) = m²

2 φ ? φ + c₁φ ? φ ? φ + · · ·

V⁰(φ) = cφ(φ − λ₁) . . . (φ − λn) = 0 tiene soluci´on conmutativa constante φ = λio nula (puntos cr´ıticos del potencial)

Teor´ıas de Campo sobre espacios no-conmutativos

Sector No-pertubativo

El caso NC admite la presencia de un operador proyecci´on P² = P, φ = λiP es soluci´on: V⁰(φ) = cλiP. . . λi(1 − P) = 0 No es la ´unica: φ = λi(1 − P),P

iλiP_i, . . .

¿Qu´e representan estas soluciones?

Si φ = 0 es m´ınimo global, φ =P

iλiP_icon Pirango f´ınito −→

Energ´ıa finita Estan Localizadas

Mensaje: Teorema de Derrick no aplica

Hayinstantonesen una teor´ıa escalarno-conmutativaen 2+1 D

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Apariencia de los instantones

Funci´on de Wigner en coordenadas polares x + iy = re^iφ O=ˆ

∞

X

m,n=0

O_mn|mi hn| −→

∞

X

m,n=0

O_mn2e^−r2θ rm!

n!(−1)^m 2r² θ



n−m 2

e^iφ(n−m)L^n−m_m  2r² θ



Proyector rango 1: P = |0i h0| → 2e^r2θ Rango r: P =Pr

i,j=1

zⁱ ₁

hz |ziz^j 

−→ Estados Coherentes |zi = e^za†−¯za|0i K∼ O(θ⁻¹): Movimiento adiab´atico

Coordenadas m´oviles c = U(t)aU^†(t) U(t) = e^{α(a†)2− ¯αa2}e^{βa†− ¯βa}

EC Comprimidos |α, βti = U(t) |0i

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Apariencia de los instantones

Funci´on de Wigner en coordenadas polares x + iy = re^iφ O=ˆ

∞

X

m,n=0

O_mn|mi hn| −→

∞

X

m,n=0

O_mn2e^−r2θ rm!

n!(−1)^m 2r² θ



n−m 2

e^iφ(n−m)L^n−m_m  2r² θ



Proyector rango 1: P = |0i h0| → 2e^r2θ Rango r: P =Pr

i,j=1

zⁱ ₁

hz |ziz^j 

−→ Estados Coherentes |zi = e^za†−¯za|0i K∼ O(θ⁻¹): Movimiento adiab´atico

Coordenadas m´oviles c = U(t)aU^†(t) U(t) = e^{α(a†)2− ¯αa2}e^{βa†− ¯βa}

EC Comprimidos |α, βti = U(t) |0i

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Apariencia de los instantones

Funci´on de Wigner en coordenadas polares x + iy = re^iφ O=ˆ

∞

X

m,n=0

O_mn|mi hn| −→

∞

X

m,n=0

O_mn2e^−r2θ rm!

n!(−1)^m 2r² θ



n−m 2

e^iφ(n−m)L^n−m_m  2r² θ



Proyector rango 1: P = |0i h0| → 2e^r2θ Rango r: P =Pr

i,j=1

zⁱ ₁

hz |ziz^j 

−→ Estados Coherentes |zi = e^za†−¯za|0i K∼ O(θ⁻¹): Movimiento adiab´atico

Coordenadas m´oviles c = U(t)aU^†(t) U(t) = e^{α(a†)2− ¯αa2}e^{βa†− ¯βa}

EC Comprimidos |α, βti = U(t) |0i

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Apariencia de los instantones

Funci´on de Wigner en coordenadas polares x + iy = re^iφ O=ˆ

∞

X

m,n=0

O_mn|mi hn| −→

∞

X

m,n=0

O_mn2e^−r2θ rm!

n!(−1)^m 2r² θ



n−m 2

e^iφ(n−m)L^n−m_m  2r² θ



Proyector rango 1: P = |0i h0| → 2e^r2θ Rango r: P =Pr

i,j=1

zⁱ ₁

hz |ziz^j 

−→ Estados Coherentes |zi = e^za†−¯za|0i K∼ O(θ⁻¹): Movimiento adiab´atico

Coordenadas m´oviles c = U(t)aU^†(t) U(t) = e^{α(a†)2− ¯αa2}e^{βa†− ¯βa}

EC Comprimidos |α, βti = U(t) |0i

Teor´ıas de Campo sobre Espacios No-conmutativos

Algunos Casos Ejemplares

Instantones en teor´ıas de Yang-Mills en d = 4 + 0 ADHM NC: Nekrasov, Schwarz 1998

Twistors NC: Lechtenfeld, Popov 2002

Monopolos en teor´ıas de Yang-Mills-Higgs en d = 3 + 1 Gross, Nekrasov 2000

Twistors NC: Lechtenfeld, Popov 2003

Vortices en el modelo de Higgs Abeliano en d = 2 + 1 Gopakumar, Minwalla, Strominger 2000

No-conmutatividad y Efecto Hall Cu´antico

Cl´asico

σ_H= qρδ B Hamiltoniano de Landau

HL= (P − qA)² 2m = ~²

2mK² Quasimomentum K cumple

[K₁, K₂] = iqB

~

−→ oscilador arm´onico En= ~ωC(n + 1 2) En el l´ımite m −→ 0 las coordenadas en el plano cumplen relaciones no-conmutativas

[x, y] = iq B

No-conmutatividad y Efecto Hall Cu´antico

Gas de e⁻libres: % e⁻ conducci´on en un nivelL

ν = nδh Be

¡No se reproducen los plateaux!

Caso peri´odico P_F: T²de cuasimomenta → energ´ıa ≤ EF

Relaci´on de Chern-Kubo

σ_H= ie 2πh

Z

T²

d²KTr(PF[∂₁PF, ∂₂PF]) = e²

h Ch(PF)

¡Ch(PF) sobre una geometr´ıa no conmutativa reproduce los plateaux!

No-conmutatividad y Efecto Hall Cu´antico

Gas de e⁻libres: % e⁻ conducci´on en un nivelL

ν = nδh Be

¡No se reproducen los plateaux!

Caso peri´odico P_F: T²de cuasimomenta → energ´ıa ≤ EF

Relaci´on de Chern-Kubo

σ_H= ie 2πh

Z

T²

d²KTr(PF[∂₁PF, ∂₂PF]) = e²

h Ch(PF)

¡Ch(PF) sobre una geometr´ıa no conmutativa reproduce los plateaux!

No-conmutatividad y Efecto Hall Cu´antico

Gas de e⁻libres: % e⁻ conducci´on en un nivelL

ν = nδh Be

¡No se reproducen los plateaux!

Caso peri´odico P_F: T²de cuasimomenta → energ´ıa ≤ EF

Relaci´on de Chern-Kubo

σ_H= ie 2πh

Z

T²

d²KTr(PF[∂₁PF, ∂₂PF]) = e²

h Ch(PF)

¡Ch(PF) sobre una geometr´ıa no conmutativa reproduce los plateaux!

No-conmutatividad y Efecto Hall Cu´antico

Gas de e⁻libres: % e⁻ conducci´on en un nivelL

ν = nδh Be

¡No se reproducen los plateaux!

Caso peri´odico P_F: T²de cuasimomenta → energ´ıa ≤ EF

Relaci´on de Chern-Kubo

σ_H= ie 2πh

Z

T²

d²KTr(PF[∂₁PF, ∂₂PF]) = e²

h Ch(PF)

¡Ch(PF) sobre una geometr´ıa no conmutativa reproduce los plateaux!

No-conmutatividad y Teor´ıa de Cuerdas

Cuerdas abiertas atadas a Dp-branas en background producido por campo B de Neveu-Schwarz

S= 1 4πl²_s

Z

Σ

(gij∂axⁱ∂^ax^j− 2iπl²_sBijε^ab∂axⁱ∂bx^j) Σ → semiplano superior z = t + iy

Ecuaciones de movimiento coordenadas sobre la Dp-brana:

g_ij(∂ − ¯∂)x^j+ 2iπl²_sB_ij(∂ + ¯∂)x^j

z=¯z= 0,

Background grande l_s²B 1 (efectos cuerdistas) → Dirichlet hxⁱ(t)x^j(0)i = ₂ⁱθ^ijSigno(t), θ^ij= _B¹
ij

, i, j = 1, . . . , r Reemplazando ordenamiento temporal por normal →

comportamiento a corta distancia cumple con

[xⁱ(t), x^j(0)] = T xⁱ(t − 0)x^j(0) − xⁱ(t + 0)x^j(0)
= iθ^ij En general operadores normal ordenados satisfacen

t→0lim⁺: f (x(t)) : : g(x(0)) : = : f (x(0)) ? g(x(0)) :

No-conmutatividad y Teor´ıa de Cuerdas

Cuerdas abiertas atadas a Dp-branas en background producido por campo B de Neveu-Schwarz

S= 1 4πl²_s

Z

Σ

(gij∂axⁱ∂^ax^j− 2iπl²_sBijε^ab∂axⁱ∂bx^j) Σ → semiplano superior z = t + iy

Ecuaciones de movimiento coordenadas sobre la Dp-brana:

g_ij(∂ − ¯∂)x^j+ 2iπl²_sB_ij(∂ + ¯∂)x^j

z=¯z= 0,

Background grande l_s²B 1 (efectos cuerdistas) → Dirichlet hxⁱ(t)x^j(0)i = ₂ⁱθ^ijSigno(t), θ^ij= _B¹
ij

, i, j = 1, . . . , r Reemplazando ordenamiento temporal por normal →

comportamiento a corta distancia cumple con

[xⁱ(t), x^j(0)] = T xⁱ(t − 0)x^j(0) − xⁱ(t + 0)x^j(0)
= iθ^ij En general operadores normal ordenados satisfacen

t→0lim⁺: f (x(t)) : : g(x(0)) : = : f (x(0)) ? g(x(0)) :

No-conmutatividad y Teor´ıa de Cuerdas

Cuerdas abiertas atadas a Dp-branas en background producido por campo B de Neveu-Schwarz

S= 1 4πl²_s

Z

Σ

(gij∂axⁱ∂^ax^j− 2iπl²_sBijε^ab∂axⁱ∂bx^j) Σ → semiplano superior z = t + iy

Ecuaciones de movimiento coordenadas sobre la Dp-brana:

g_ij(∂ − ¯∂)x^j+ 2iπl²_sB_ij(∂ + ¯∂)x^j

z=¯z= 0,

Background grande l_s²B 1 (efectos cuerdistas) → Dirichlet hxⁱ(t)x^j(0)i = ₂ⁱθ^ijSigno(t), θ^ij= _B¹
ij

, i, j = 1, . . . , r Reemplazando ordenamiento temporal por normal →

comportamiento a corta distancia cumple con

[xⁱ(t), x^j(0)] = T xⁱ(t − 0)x^j(0) − xⁱ(t + 0)x^j(0)
= iθ^ij En general operadores normal ordenados satisfacen

t→0lim⁺: f (x(t)) : : g(x(0)) : = : f (x(0)) ? g(x(0)) :

No-conmutatividad y Teor´ıa de Cuerdas

Cuerdas abiertas atadas a Dp-branas en background producido por campo B de Neveu-Schwarz

S= 1 4πl²_s

Z

Σ

(gij∂axⁱ∂^ax^j− 2iπl²_sBijε^ab∂axⁱ∂bx^j) Σ → semiplano superior z = t + iy

Ecuaciones de movimiento coordenadas sobre la Dp-brana:

g_ij(∂ − ¯∂)x^j+ 2iπl²_sB_ij(∂ + ¯∂)x^j

z=¯z= 0,

Background grande l_s²B 1 (efectos cuerdistas) → Dirichlet hxⁱ(t)x^j(0)i = ₂ⁱθ^ijSigno(t), θ^ij= _B¹
ij

, i, j = 1, . . . , r Reemplazando ordenamiento temporal por normal →

comportamiento a corta distancia cumple con

[xⁱ(t), x^j(0)] = T xⁱ(t − 0)x^j(0) − xⁱ(t + 0)x^j(0)
= iθ^ij En general operadores normal ordenados satisfacen

t→0lim⁺: f (x(t)) : : g(x(0)) : = : f (x(0)) ? g(x(0)) :

No-(anti)conmutatividad del Superespacio

Una Generalizaci´on Natural

No-conmutatividad

[x, x⁰] 6= 0 ED



Supersimetr´ıa Superespacio X= (x, θ, ¯θ) {θ, θ⁰} = 0 GF



No-(anti)conmutatividad {θ, θ⁰} 6= 0

La Teor´ıa de Cuerdas en algunos backgounds produce NAC

Gravifot´on: {θ^α, θ^β} = C^αβ[Seiberg 2003, Ooguri-Vafa 2003]

Axi´on complejo: {θ^α_i , θ^β_j} = C0ε^αβεij[FILSZ 2004]

Nueva deformaci´on cu´antica de la supersimetr´ıa Twist-deformed Supersymmetry[Zupnik 2005]

Superespacio y No-(anti)conmutatividad

M⁴= P

L = (x^{α ˙α}) → M^4|4= SuP

L = (x^{α ˙α}, θ^α, ¯θ^α˙) Superespacio es donde la supersimetr´ıa es realizada geom´etricamenteen t´erminos de supercampos Φ(x, θ, ¯θ) Algebra de Lie Gradada → Par´ametros anticonmutantes´ {θ^α, θ^β} = 0

Apartarse de la anti-conmutatividad → {θ^α, θ^β} = C^αβ

Cuerdas en un Background de Gravifotones

Tipo IIB enR⁴× CY3-fold, en interacci´on con el gravifot´on [SB 2003]

L = 1 α⁰

−q_α∂θ˜ ^α− ˜q_α∂ ˜θ^α+ ¯d_α˙∂ ¯˜θ^α˙+ ˜¯d_α˙∂ ˜θ¯^α˙ + α⁰F^αβq_α˜q_β

D-brana en la frontera −→ coordenadas extendidas NAC hθ^α(τ )θ^β(τ⁰)i = (α⁰)²F^αβ

2 Signo(τ −τ⁰) =⇒ {θ^α, θ^β} ∝ F^αβ 6= 0 [Ooguiri, Vafa; Seiberg, Berkovits].

Teor´ıa Efectiva Baja Energ´ıa en la brana es NAC

α⁰ → 0 con C^αβ = α⁰²F^αβfijo −→ Teor´ıa de campos NAC con supersimetr´ıa parcialmente rota

S= S_SYM− i Z

d⁴x C^µνTr(F_µνψ ¯¯ψ) +1

4d⁴x C²Tr( ¯ψ ¯ψ)²

Cuerdas en un Background de Gravifotones

Tipo IIB enR⁴× CY3-fold, en interacci´on con el gravifot´on [SB 2003]

L = 1 α⁰

−q_α∂θ˜ ^α− ˜q_α∂ ˜θ^α+ ¯d_α˙∂ ¯˜θ^α˙+ ˜¯d_α˙∂ ˜θ¯^α˙ + α⁰F^αβq_α˜q_β

D-brana en la frontera −→ coordenadas extendidas NAC hθ^α(τ )θ^β(τ⁰)i = (α⁰)²F^αβ

2 Signo(τ −τ⁰) =⇒ {θ^α, θ^β} ∝ F^αβ 6= 0 [Ooguiri, Vafa; Seiberg, Berkovits].

Teor´ıa Efectiva Baja Energ´ıa en la brana es NAC

α⁰ → 0 con C^αβ = α⁰²F^αβfijo −→ Teor´ıa de campos NAC con supersimetr´ıa parcialmente rota

S= S_SYM− i Z

d⁴x C^µνTr(F_µνψ ¯¯ψ) +1

4d⁴x C²Tr( ¯ψ ¯ψ)²

Cuerdas en un Background de Gravifotones

Tipo IIB enR⁴× CY3-fold, en interacci´on con el gravifot´on [SB 2003]

L = 1 α⁰

−q_α∂θ˜ ^α− ˜q_α∂ ˜θ^α+ ¯d_α˙∂ ¯˜θ^α˙+ ˜¯d_α˙∂ ˜θ¯^α˙ + α⁰F^αβq_α˜q_β

D-brana en la frontera −→ coordenadas extendidas NAC hθ^α(τ )θ^β(τ⁰)i = (α⁰)²F^αβ

2 Signo(τ −τ⁰) =⇒ {θ^α, θ^β} ∝ F^αβ 6= 0 [Ooguiri, Vafa; Seiberg, Berkovits].

Teor´ıa Efectiva Baja Energ´ıa en la brana es NAC

α⁰ → 0 con C^αβ = α⁰²F^αβfijo −→ Teor´ıa de campos NAC con supersimetr´ıa parcialmente rota

S= S_SYM− i Z

d⁴x C^µνTr(F_µνψ ¯¯ψ) +1

4d⁴x C²Tr( ¯ψ ¯ψ)²

Approximaci´on V´ıa Deformaciones de SYM

No Strings Attached

Es posible obtener esta misma acci´on deformando SYM [Seiberg 2003]

P=←−

Q_αC^αβ−→ Q_β

Coordenadas quirales (y = x + iθσ ¯θ, θ, ¯θ): {θ^α, θ^β} = C^αβ, otros cero

{P, ¯Q_α˙} 6= 0 −→ Rompe simetr´ıa generada por ¯Q_α˙ −→ N = ¹₂ P³ = 0 −→ Moyal e^P= 1 + P + ¹₂P²es un polinomio:

¡Localidad!

Mensaje

Es muy atractivo deformar Teor´ıas de Campo de manera general, antes de tener claro si hay un background de cuerdas

Approximaci´on V´ıa Deformaciones de SYM

No Strings Attached

Es posible obtener esta misma acci´on deformando SYM [Seiberg 2003]

P=←−

Q_αC^αβ−→ Q_β

Coordenadas quirales (y = x + iθσ ¯θ, θ, ¯θ): {θ^α, θ^β} = C^αβ, otros cero

{P, ¯Q_α˙} 6= 0 −→ Rompe simetr´ıa generada por ¯Q_α˙ −→ N = ¹₂ P³ = 0 −→ Moyal e^P= 1 + P + ¹₂P²es un polinomio:

¡Localidad!

Mensaje

Es muy atractivo deformar Teor´ıas de Campo de manera general, antes de tener claro si hay un background de cuerdas

Approximaci´on V´ıa Deformaciones de SYM

No Strings Attached

Es posible obtener esta misma acci´on deformando SYM [Seiberg 2003]

P=←−

Q_αC^αβ−→ Q_β

Coordenadas quirales (y = x + iθσ ¯θ, θ, ¯θ): {θ^α, θ^β} = C^αβ, otros cero

{P, ¯Q_α˙} 6= 0 −→ Rompe simetr´ıa generada por ¯Q_α˙ −→ N = ¹₂ P³ = 0 −→ Moyal e^P= 1 + P + ¹₂P²es un polinomio:

¡Localidad!

Mensaje

Es muy atractivo deformar Teor´ıas de Campo de manera general, antes de tener claro si hay un background de cuerdas

Approximaci´on V´ıa Deformaciones de SYM

No Strings Attached

Es posible obtener esta misma acci´on deformando SYM [Seiberg 2003]

P=←−

Q_αC^αβ−→ Q_β

Coordenadas quirales (y = x + iθσ ¯θ, θ, ¯θ): {θ^α, θ^β} = C^αβ, otros cero

{P, ¯Q_α˙} 6= 0 −→ Rompe simetr´ıa generada por ¯Q_α˙ −→ N = ¹₂ P³ = 0 −→ Moyal e^P= 1 + P + ¹₂P²es un polinomio:

¡Localidad!

Mensaje

Es muy atractivo deformar Teor´ıas de Campo de manera general, antes de tener claro si hay un background de cuerdas

Resumen e Invitaci´on

No conmutatividad: nueva e interesante aproximaci´on a QFT’s Relacionada con ruptura de simetr´ıas

Extenso campo de aplicaci´on

No-localidad manejable (caso no supersim´etrico) Compatible con SUSY

φ y Mezcla UV/IR

S_φ4

? =

Z

d^dx 1

2∂φ · ∂φ + m²

2 φ²+g²

4!φ ? φ ? φ ? φ



Una particula irreducible hasta un loop (dos puntos)

Π(p) = p²+ m²+ 2g²Π⁽¹⁾_NP(0) + g²Π⁽¹⁾_NP(p) + O(g⁴).

Π⁽¹⁾_NP(p) = 1 6

Z d^dk (2π)^d

e^iθmnkmpn k²+ m² Regularizacion por cutoff de momentum resulta en Π⁽¹⁾_NP(p) = 1

96π²



Λ²_eff− m²lnΛ²_eff m²



+O(1), Λ²_eff= 1

1

Λ² + pm(θ²)^mnpn