Tema 1 Funciones de Varias Variables. L´ımites y Continuidad

Funciones de Varias Variables.

L´ımites y Continuidad

1.1 Introducci´ on al espacio IR ⁿ .

El objetivo de este tema es definir el concepto de l´ımite de una funci´on de varias variables.

Intuitivamente, se podr´ıa hacer as´ı: “Sea f : IR

−→ IR

,a ∈ IR

, b ∈ IR

decimos que

x→a

lim f (x) = b cuando basta tomar valores de x suficientemente pr´oximos al punto a para conseguir que f (x) est´e tan cerca de b como queramos”.

Necesitamos definir, pues, el concepto de proximidad en IR

.

Definici´ on 1.1 Definimos el conjunto IR

como el conjunto de las n-uplas de n´umeros reales, es decir

IR

≡ {(x

, x

, · · · , x

) / x

∈ IR}

IR se representa geom´etricamente como los puntos de una recta

0 1

1

IR

se representa como los puntos de un plano.

- 6

0

(a,b)

•

b

a X

Y

- - - -

IR

como los puntos del espacio.

- 6

¡¡

¡¡

¡ ª

0

(a,b,c)

•

c

b

a

Y Z

X

- - - - ·

··· ··· · - - - - · ··· ··· · - - - - ··· ··· ··

A partir de IR

es imposible representarlo geom´etricamente.

A cada punto de IR

se le asocia el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en dicho punto, llamado vector de posici´ on.

A la base formada por los vectores {(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 0, 1)}

se le llama base can´ onica.

Teorema 1.1 IR

con las operaciones suma de vectores y producto de vectores por escalares, tiene estructura de espacio vectorial. Dicho de otra forma

(IR

, +, ·

) es un e.v.

1.1.1 Producto escalar

Definici´ on 1.2 Se define el producto escalar de 2 vectores en IR

, ~a = (a

, a

, · · · , a

) y

~b = (b

, b

, · · · , b

) (respecto de la base can´onica) como

~a · ~b =

Xn

i=1

a

· b

Propiedades El producto escalar verifica las siguientes propiedades:

•

(

1 ~a · ~a ≥ 0

2 ~a · ~a = 0 ⇔ ~a = ~0

• (α · ~a) · ~b = α · (~a · ~b) = ~a · (α · ~b)

• ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c

• ~a · ~b = ~b · ~a

1.1.2 Norma eucl´ıdea

Es el equivalente al valor absoluto en IR.

Definici´ on 1.3 Se define la norma eucl´ıdea de un vector ~x ∈ IR

como k~xk = + √

~x · ~x = +

q

x

+ x

+ · · · + x

Propiedades La norma verifica las siguientes propiedades:

• |~x · ~y| ≤ k~xk · k~yk (Desigualdad de Cauchy-Swartz).

• k~x + ~yk ≤ k~xk + k~yk

• kα · ~xk = |α| · k~xk

• k~xk ≥ 0 , k~xk = 0 ⇔ ~x = ~0

Ahora podemos definir la distancia entre dos puntos como la norma de la diferencia de los vectores que los determinan.

Definici´ on 1.4 Dados dos puntos A y B de IR

determinados por los vectores de posici´on ~a y ~b , definimos la distancia entre ellos de la siguiente manera

d(A, B) = k~a − ~bk

1.2 Funciones de varias variables. Geometr´ıa de las funciones con valores reales.

Hasta ahora hemos estudiado, el curso anterior, las funciones reales de una variable real, es decir, las aplicaciones f : A ⊂ IR −→ B ⊂ IR.

En este cap´ıtulo estudiaremos funciones f : IR

−→ IR

, que en el caso n = m = 1 coinciden con las ya mencionadas funciones reales de una variable real.

Definici´ on 1.5 LLamamos funci´on vectorial de una variable real a una funci´on f : IR −→ IR

, m > 1

Definici´ on 1.6 Se llama campo escalar a una funci´on f : IR

−→ IR

Ejemplo La funci´on que a cada punto del espacio le asocia su temperatura es un campo escalar.

Definici´ on 1.7 Se llama campo vectorial a una funci´on f : IR

−→ IR

, m > 1 Ejemplo La funci´on que a cada punto del plano le asocia la velocidad del viento en ese punto.

La diferencia entre ambos campos es su conjunto imagen. Si ´este es num´erico (escalar), ser´a un campo escalar; en caso contrario ser´a un campo vectorial.

Tanto en un caso como en otro y, en general, si el dominio de definici´on de f es un subconjunto A ⊂ IR

, n > 1 , decimos que f es una funci´on de varias variables.

Notaci´ on Usaremos la notaci´on f : IR

−→IR

x −→ y donde x = (x

, x

, · · · , x

) y = (y

, y

, · · · , y

) = (f

(x), · · · , f

(x)) A f

i = 1, 2, · · · , n, se les llama componentes de f

Ejemplo 1 f : IR

−→ IR siendo f (x, y, z) = √

x

+ y

+ z

Ejemplo 2 g : IR

−→ IR

siendo g(x

, x

, x

, x

, x

, x

) = (x

x

x

x

x

x

,

x

+ x

)

Definici´ on 1.8 Sea f : U ⊂ IR

−→ IR. Definimos la gr´afica de f como el conjunto de

todos los puntos (x

, x

, · · · , x

, f (x

, x

, · · · , x

)) ∈ IR

para (x

, x

, · · · , x

) ∈ U.

Ejemplos: La gr´afica de la funci´on f : U ⊂ IR −→ IR es una curva en IR

y la de g : U ⊂ IR

−→ IR una superficie en IR

U x

y z

1.2.1 Conjuntos de nivel

Para conocer el comportamiento de la funci´on es importante visualizar su gr´afica. Una buena t´ecnica para representarla es a trav´es de los conjuntos de nivel.

Definici´ on 1.9 Sea f : U ⊂ IR

−→ IR y c ∈ IR. Entonces el conjunto de nivel del valor c se define como aquellos puntos x ∈ U para los cuales f (x) = c ; es decir, f es constante en todos esos puntos.

Si n = 2 hablamos de curva de nivel.

Si n = 3 hablamos de superficie de nivel.

Ejemplo 1 Curvas de nivel en mapas topogr´aficos:

Ejemplo 2 Hallar las curvas de nivel para la funci´on f : IR

−→IR

(x, y)−→x

+ y

Las curvas de nivel dadas por f (x, y) = c son circunferencias centradas en el origen y de radio √

c

x

y z

c=2 c=1

c=3

Ejemplo 3 Visualizar las superficies de nivel del campo escalar f : IR

−→IR

(x, y, z)−→x

+ y

+ z

Al hacer f (x, y, z) = cte. se obtienen superficies esf´ericas centradas en el origen y de radio √

c

Otra t´ecnica para representar campos escalares es la de representar las secciones que resultan de cortar la superficie por planos paralelos ZY o al ZX . Esto se consigue haciendo x = cte, y = cte, z = cte respectivamente.

Ejemplo 4 Representar el campo del ejemplo 2 mediante secciones.

a) Si hacemos x = cte. obtenemos z = c

+ y

es decir, par´abolas trasladadas verticalmente en c

unidades.

b) Si hacemos y = cte. se obtiene z = x

+ c

es decir, par´abolas trasladadas verticalmente en c

unidades.

Resulta pues un paraboloide parab´olico.

−1

−0.5 0

0.5 1

−1

−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2

1.3 L´ımite de funciones de varias variables. Propiedades

Vamos a dar varias definiciones equivalentes del l´ımite de una funci´on de varias variables.

Definici´ on 1.10 Sea f : U ⊂ IR

−→ IR

donde U es un conjunto abierto. Sea x

∈ U

, l ∈ IR

. Decimos que lim

f (x) = l cuando

a) Definici´on intuitiva, basta tomar valores de x suficientemente pr´oximos a x

para conseguir que f (x) est´e tan cerca de l como queramos.

b) para cualquier B(l, ²), podemos conseguir que f (x) ∈ B(l, ²) tomando x ∈ B(x

, δ) para un cierto δ.

c) ∀ ² > 0, ∃ δ / 0 < kx − x

k < δ ⇒ kf (x) − lk < ² N´otese que decir lim

x→x0

kf (x) − lk = 0 es lo mismo que decir lim

kx−x0k→0

kf (x) − lk = 0 y lo mismo que lim

kx−x0k→0

f (x) = l.

Teorema 1.2 Sea f : U ⊂ IR

−→ IR

y x

∈ U

. Entonces, si existe lim

x→x0

f (x) , dicho l´ımite es ´unico.

Teorema 1.3 Sean f, g : U ⊂ IR

−→ IR

x

∈ U

, λ ∈ IR, lim

x→x0

f (x) = b, lim

x→x0

g(x) = c . Entonces a) lim

x→x0

λ · f (x) = λ · b b) lim

x→x0

[f (x) + g(x)] = b + c c) lim

x→x0

f (x) · g(x) = b · c (estos ´ultimos productos son productos escalares) d) lim

x→x0

kf (x)k = kbk

e) Si f (x) = (f

(x), · · · , f

(x)) donde f

: U ⊂ IR

−→ IR son las funciones componentes de f , entonces

x→x

lim

f (x) = b ⇔ lim

x→x0

f

(x) = b

f) Si m = 1 lim

x→x0

f (x) · g(x) = b · c

g) Si m = 1 f (x) 6= 0 ∀ x ∈ U y b 6= 0 entonces lim

x→x0

1 f (x) = 1

b

Ejemplo Probar utilizando la definici´on

(x,y)→(0,0)

lim x

√ x

+ y

= 0

∀² > 0∃δ(²) > 0 tal que si k(x, y) − (0, 0)k < δ =⇒ |f (x, y) − 0| < ²

¯¯

¯¯

¯

x

√ x

+ y

¯¯

¯¯

¯

<

¯¯

¯¯

¯

x

+ y

√ x

+ y

¯¯

¯¯

¯

=

x

+ y

< δ

1.3.1 L´ımites direccionales

Definici´ on 1.11 Sea f : D ⊂ IR

−→ IR

, M ⊂ D, y a ∈ D

F r(D) . Decimos que f (x) tiene l´ımite l en a ∈ D

F r(D) seg´un el subconjunto M ⊂ D si lim

x→a x∈M

f (x) = l tomando valores x ∈ M.

A dicho l´ımite se le conoce como l´ımite direccional a trav´es de M.

Teorema 1.4 lim

x→a

f (x) existe si y s´olo si existen los l´ımites de f (x) en x = a seg´un cualquier subconjunto M , y adem´as deben coincidir.

1.3.2 C´ alculo de l´ımites direccionales

Consideremos f : IR

→ IR para tomarla como referencia en la explicaci´on, en la que veremos que el c´alculo de l´ımites dobles difiere del c´alculo de l´ımites en IR

I) ÃL´ımites direccionales a trav´es de rectas que pasan por (x

, y

)

Queremos calcular el valor al que se acerca f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (x

, y

),

movi´endose a lo largo de la rectas x = x

e y = y

+ m(x − x

), ∀m ∈ IR.

As´ı:

(x,y)→(x0,y0)

lim

x=x0

f (x, y) = lim

y→y0

f (x

, y)

´o lim

(x,y)→(x0,y0)

y=y0+m(x−x0)

f (x, y) = lim

x→x0

f (x, y

+ m(x − x

)) Es en realidad un l´ımite unidimensional.

Una vez calculados estos l´ımites, pueden darse dos posibilidades:

a) No todos los l´ımites a trav´es de rectas tienen el mismo valor (el l´ımite depende de m). En este caso, conclu´ımos que no puede existir el l´ımite doble, ya que f (x, y) es oscilante en las cercan´ıas de (x

, y

).

b) Todos los l´ımites a trav´es de rectas tienen el mismo valor l. En este caso, conclu´ımos que, de existir, el l´ımite doble, debe valer tambi´en l (habr´ıa que demostrarlo).

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1 Calcular lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

+ y

Las rectas que pasan por el origen son de ecuaci´on y = mx, y los l´ımites a trav´es de rectas son:

lim

(x,y)→(0,0)

y=mx

xy

x

+ y

= lim

x→0

f (x, mx) = lim

x→0

x

m

x

+ m

x

= lim

x→0

xm

1 + m

x

=

= 0

Por tanto, en este ejemplo se da la igualdad de todos los l´ımites a trav´es de rectas y = mx y como conclusi´on, tendr´ıamos que, de existir el l´ımite doble valdr´ıa cero.

Sin embargo, en este caso, no existe el l´ımite doble en el origen. Para demostrarlo, necesitamos considerar un nuevo tipo de l´ımite unidimensional: el l´ımite a trav´es de una curva. Antes de dar la definici´on precisa, vamos a acabar nuestro ejemplo.

¿Hacia qu´e valor se aproxima f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (0, 0), movi´endose a lo largo de la par´abola x = y

?. Bastar´a calcular el siguiente l´ımite de f (x, y) a trav´es de la par´abola x = y

:

(x,y)→(0,0)

lim xy

x

+ y

= (x = y

) = lim

y→0

f (y

, y) = lim

y→0

y

y

+ y

= 1 2

Esto nos muestra que nuestra funci´on es oscilante en las proximidades de (0, 0): de

hecho, toma el valor constante

sobre la curva x = y

; pero al acercarse (x, y) al

origen por una recta y = mx se aproxima a cero. Por tanto, conclu´ımos que no

existe el l´ımite doble, ya que de existir, los l´ımites a trav´es de cualquier subconjunto M deben coincidir.

II) ÃL´ımites direccionales a trav´es de curvas que pasan por (x

, y

)

Supongamos que una curva en el plano OXY pasa por el punto (x

, y

) y tiene por ecuaciones param´etricas:





x = x(t)

y = y(t), t ∈ [a, b]

Sea t

∈ [a, b] tal que (x

, y

) = (x(t

), y(t

)). El l´ımite a trav´es de la curva se define por

(x,y)→(x

lim

f (x, y) = (x = x(t), y = y(t)) = lim

t→t0

f (x(t), y(t)) Las curvas que utilizaremos para el estudio de los l´ımites dobles son:

a) Par´abolas que pasan por (x

, y

), de la forma y−y

= m(x−x

)

o x−x

= m(y − y

)

b) Curvas que pasan por (x

, y

), de la forma y − y

= m(x − x

)

o x − x

= m(y − y

)

, α ∈ IR

Observaci´ on El hecho de que existan todos los l´ımites direccionales y que coinci- dan, no garantizan la existencia del l´ımite doble.

Es evidente que cuando existe el l´ımite doble de una funci´on, tambi´en existen los direccionales y tienen el mismo valor que el doble. Pero no conviene olvidar que, como muestra el ejemplo anterior, aunque coincidan todos los l´ımites a trav´es de las rectas que pasan por el punto (x

, y

), nada puede asegurarse sobre la existencia del doble. Pasaremos ahora a indicar, qu´e debe hacerse en estos casos.

III) Si todos los l´ımites direccionales que hemos intentado calcular, tienen el mismo valor l, no podemos asegurar a´un que existe el l´ımite doble, pero s´ı podemos estar seguros de que, en caso de existir, su valor debe ser l. Por tanto debemos proceder a calcular la diferencia | f (x, y) − l |, tratando de comprobar que se hace peque˜na para (x, y) cercano a (x

, y

). Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2 Calcular lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

+ y

.

Calculemos los l´ımites a trav´es de rectas que pasan por el origen: y = mx.

(x,y)→(0,0)

lim

y=mx

xy

x

+ y

= lim

x→0

mx

x

+ m

x

= lim

x→0

mx

1 + m

= 0

La igualdad de los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx nos permite afirmar que el l´ımite doble de existir, debe valer cero. Evalu´emos la diferencia

| f (x, y) − 0 |= | x | y

| y |

x

+ y

≤ | x | y

| y |

y

=| x || y |

Tenemos que 0 ≤| f (x, y) − 0 |≤| x || y |. La regla de Sandwich nos asegura que f (x, y) tiende a 0.

IV) L´ımites por polares.

Para el c´alculo del l´ımite de una funci´on f (x, y) cuando (x, y) tiende a (x

, y

) es conveniente, algunas veces, aplicar cambio a coordenadas polares.

x = x

+ r cos(α), y = y

+ r sen(α).

Si al expresar f (x, y) en coordenadas polares obtenemos:

f (x, y) = F (r)G(r, α) siendo G acotada y verificando F que lim

r→0

F (r) = 0, entonces lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0, pues se tiene

0 ≤| f (x, y) − 0 |≤ c | F (r) |

para cualesquiera r y α (c > 0 es una constante tal que | G(r, α) |≤ c) Ejemplo 3: Calcular lim

(x,y)→(0,0)

x

x

+ y

Expresemos f (x, y) en polares:

f (rcosα, rsenα) = r

cos

α

r

(cos

α + sen

α) = rcos

α = F (r)G(α).

G est´a acotada por 1 y lim

r→0

F (r) = 0. Por tanto, lim

(x,y)→(0,0)

x

x

+ y

= 0

1.4 Continuidad de funciones de varias variables.

Propiedades

Definici´ on 1.12 Sea f : U ⊂ IR

−→ IR

donde U es un conjunto abierto. Sea x

∈ U . Decimos que f es continua en x = x

si lim

x→x0

f (x) = f (x

).

1.4.1 Propiedades

Teorema 1.5 Sean f, g : U ⊂ IR

−→ IR

, x

∈ U, λ ∈ IR dos funciones continuas en el punto x = x

. Entonces:

• λ · f (x), f (x) + g(x), f (x) · g(x) (producto escalar), kf k son continuas en x = x

• si f (x) = (f

(x), f

(x), · · · , f

(x)) , entonces

f es continua ⇔ f

es continua ∀ i = 1, 2, · · · , n

• Si m = 1 f (x) · g(x) y 1

f (x) si f (x

) 6= 0, f (x) 6= 0 ∀ x ∈ U son continuas

• La funci´on identidad es continua en todo IR

• Sean f, g dos funciones tales que la funci´on f ◦ g est´a definida en a siendo (f ◦ g)(x) = f [g(x)] . Entonces, si g es continua en a y f es continua en g(a) , la funci´on compuesta f ◦ g es continua en a.

Consecuencias

I Los campos escalares proyecciones f : IR

−→ IR con f (x) = x

son continuas por ser las componentes de la funci´on identidad.

II Un campo escalar definido por un polinomio de n variables es continuo en todo IR

(como , por ejemplo, f (x, y, z) = x

y + 3x

y

z − 5xz

) ya que no es m´as que sumas y productos de campos escalares proyecciones.

III Todo campo escalar definido como cociente de polinomios es continuo, siempre que

el denominador no se anule.