Algunas aplicaciones del
cálculo vectorial a la
mecánica de los fluidos
Alvaro Díaz - IMFIA ([email protected])
Fuentes utilizadas
• Fascículos de los cursos de Elementos de
Mecánica de los Fluidos y de Mecánica de los
Fluidos, redactados por el Prof. Julio Borghi
• Fluid Mechanics (P. Kundu e I.Cohen, 2005)
• Atmosphere-Ocean Dynamics (A. Gill, 1982)
• The Bjerknes’ Circulation Theorem (A Historical
Perspective (A. Thorpe, H. Volkert y M.
Ziemianski (Bulletin of the American
Meteorogical Society, 2003)
• Invisible in the storm (The role of Mathematics in
understanding weather) (I. Roulstone y J.
• Salvo mención en contrario supondremos
que todos los campos son
lisos
(o sea C
1
).
• En general, los campos que consideramos
dependen del espacio y del tiempo.
Muchas veces consideraremos un instante
fijo
t, y omitiremos escribir el tiempo,
anotando, p. ej. v(P) en vez de v(P,t).
Notaciones
• Gradiente de un campo escalar φ:
grad(φ) = ∇φ
• Divergencia de un campo vectorial v:
div(v) = ∇.v
• Rotor (o rotacional) de un campo vectorial v:
rot(v) = ∇∧v
Interpretación física de la divergencia, en
particular para el campo de velocidades.
Sea una región cuya frontera cerrada es S y
consideremos el flujo del campo de velocidades v a través de S:
(∇.v)
(P) > 0 ( < 0 ), expresa que, en una región
suficientemente próxima a P, el fluido se está
expandiendo
(
comprimiendo
).
Y se puede demostrar que:
Si
∇.v
= 0 en todo una región (campo de velocidades
solenoidal), decimos que el movimiento es
incompresible
.
(La región puede deformarse pero sin cambiar el volumen.
Ese es el comportamiento típico de los
líquidos
, con un
excelente grado de aproximación.)
Teorema de la divergencia o de Gauss.
Interpretación física para el campo de
velocidades.
La conocida igualdad indica que el flujo del campo de velocidades a través de la frontera cerrada se puede calcular como una integral en el volumen.
Ejemplo con un conducto donde circula
fluido incompresible
La tubería tiene sección circular; la velocidad es paralela al
eje y es la misma para todas las partículas que están en
una misma recta paralela al eje.
Hay muchos problemas en los que la geometría
sugiere fuertemente el uso de coordenadas distintas de
las cartesianas.
Movimiento de un fluido entre dos cilindros coaxiales
que giran
Movimiento de un fluido entre dos esferas que se
inflan o desinflan
Etc.
¿Cómo se calcula la divergencia en otros
sistemas de coordenadas?
Se puede demostrar que la
divergencia, y también el
gradiente
y el
rotor
,
son invariantes respecto del
sistema de coordenadas
.
Por eso, las expresiones de esos operadores en distintos
sistemas de coordenadas son diferentes.
Ej, en coordenadas cilíndricas:
Y en esféricas:
U(r,θ,φ) = U
r(r,θ,φ) e
r+ U
θ(r,θ,φ) e
θ+ U
φ(r,θ,φ) e
φEjemplo: U(P) = k.(P-O)
k constante 0; O es un punto fijo
¿Qué movimiento es?
Hallar la divergencia en cartesianas y en esféricas.
Análogamente ocurre con el gradiente y el rotor.
Incluso en algunos casos, es conveniente usar al
mismo tiempo dos sistemas de coordenadas:
Superposición de los campos de velocidades de un
movimiento uniforme de velocidad: -v
oe1 (v
o> 0) y del de
una fuente puntual plana ubicada en O.
La divergencia aparece también en la
ecuación puntual de balance de masa:
donde ρ(P,t) es la densidad en el punto P e
instante t.
Notar que la divergencia y la derivada de la
densidad respecto al tiempo tienen signos
opuestos. ¿Cuál es la interpretación física de
ésto?
Una consecuencia del teorema de la divergencia.
Ecuación de Euler-Cauchy
para un fluido perfecto
(sin fricción interna)
Para el caso de un fluido perfecto, la 1ª ecuación de balance mecánico se escribe: (∀ D ⊂ H(t))
la cual, aplicando una fórmula anterior
se convierte en:
Como esta ecuación vale para toda región D, y siendo el integrando continuo en H(t), este debe ser nulo en todo punto de H(t). Llegamos entonces a la ecuación puntual de Euler-Cauchy:
(no es un fluido real, sino un modelo del fluido; las tensiones de contacto son normales a la superficie frontera).
El rotor y su interpretación física para el
campo de velocidades
A mediados del siglo XIX, Stokes consideró el estudio, en
un instante fijo t, del
movimiento relativo
del fluido
respecto al de la partícula que ocupa la posición P.
Si tomamos P’ en un entorno de P, se puede demostrar
que:
v(P',t) – v(P,t) = W(P' – P) + D(P' – P) + o(P' – P)
,
siendo W(P,t) una transformación lineal (o tensor)
antisimétrica, D(P,t) un tensor simétrico, y o es un
infinitésimo de orden superior a |P’ – P|.
La suma W(P' – P) + D(P' – P) se llama
campo local de
velocidades
, y es una aproximación del movimiento
Como la matriz de W es antisimétrica, la misma puede escribirse en la forma: Consideremos el campo vectorial dado por: P' → W(P' – P).
Se tiene entonces, para el campo vectorial en estudio, la siguiente representación:
P' → W(P' – P) = Ω∧(P' – P)
Esto permite interpretar este campo vectorial como el campo de velocidades de un movimiento rígido debido a una rotación alrededor de P con velocidad angular:
Ω = Ω(P,t).
Este campo vectorial se denomina campo de velocidades de rotación en (P,t); Ω(P,t) se llama velocidad angular de rotación local en (P,t); y el tensor: W = W(P,t), se denomina tensor de velocidades de rotación en (P,t).
Fijado un sistema ortonormal directo de coordenadas cartesianas, de
base (O,e
1,e
2,e
3), se puede probar que:
Entonces tenemos:
Es decir que:
Ω(P,t) = ½(∇∧v)(P,t) = ½(rot v)(P,t)
Entoces podemos interpretar
el rotor del campo de
velocidades en (P,t)
como
el doble de la velocidad
angular Ω del movimiento rígido de rotación local.
El rotor:
(∇∧v)
recibe a veces el nombre de
vorticidad
.
En el caso que (∇∧v)(P) = 0 (o sea W = 0) para todo P
en un conjunto abierto, se dice que el movimiento es
irrotacional
(o de
deformación pura
, ya que el
movimiento local no tiene componente rígida).
En ese caso, tendremos que:
El
teorema de Stokes (o del rotor)
vincula
el rotor con la circulación en una curva
cerrada:
• (S es una superficie acotada, parametrizada y lisa, de vector unitario normal y orientado n, cuyo borde es una curva lisa C , orientada en sentido positivo de acuerdo a la orientación de n; v es un campo vectorial C1 en un abierto que contiene a S∪ C.)
• Si S es plana y v está en S, se puede interpretar la proyección del rotor en
un punto según la normal al plano como el cociente entre la circulación en
una curva cerrada que rodea al punto y el área de la superficie limitada por la
curva, cuando dicha área tiende a 0.
dA
).
(
ds
v
n
v.t
S
C
Ejemplos: 1) Movimiento de corte simple
El campo de velocidades en cartesianas es:
v = kx
2e
1(k>0, dato)
Es un movimiento estacionario, globalmente rectilíneo, en el que cada partícula describe un movimiento uniforme con trayectoria paralela a la recta (O,e1). Es inmediato comprobar que el movimiento es
incompresible.
∧ = −k e3 Por otra parte, tenemos que:
por lo que en cada punto, hay velocidad angular de rotación local no nula:
Ω = ½(∇∧v) = (–k/2) e3 (constante para cualquier punto)
Se puede calcular directamente la circulación del
campo de velocidades en una curva cerrada
elegida adecuadamente y se puede vincular el
resultado con el teorema de Stokes
Ejemplos: 2) Vórtice o torbellino
El campo de velocidades en un sistema cilíndrico de base (O,er,eθ,ez) está dado por:
v = (k/r) e
θ , ( k > 0, dato).Las trayectorias son circunferencias centradas sobre (O,ez). Es fácil verificar que es incompresible.
Además:
= 0
Se trata entonces de un movimiento globalmente circular pero sin velocidad angular de rotación local, o sea irrotacional en cada punto del dominio. Es un movimiento de deformación pura.
Nuevamente, se puede calcular directamente la
circulación del campo de velocidades en una
curva cerrada elegida adecuadamente y se
puede vincular el resultado con el teorema de
Stokes
Algunos resultados para cuerpos continuos o
para fluidos vinculados a la circulación y al
rotor
Teorema del transporte de la circulación
Sea C (t) una curva material cerrada y orientada, (curva material = curva
constituida por las mismas partículas en todo instante) en un cuerpo continuo cualquiera.
Los dos siguientes resultados son válidos
para
fluidos perfectos incompresibles o
compresibles barotrópicos.
Es
incompresible
si ρ(P,t) = cte. ( => .v = 0)
Es
barotrópico
si es ρ = ρ(p)
Teorema de Kelvin
Dado un movimiento cualquiera de un
fluido perfecto, barotrópico o
incompresible
, bajo la acción de una fuerza de masa que proviene de un
potencial, la
circulación
del campo de velocidades en cualquier curva
material cerrada y orientada permanece
constante en el tiempo
.
(Se puede pensar que la fuerza de masa es p. ej. el peso.)
Teorema de Lagrange
Con las mismas hipótesis de Kelvin:
Si el movimiento del fluido es irrotacional ((∇∧v)(P,t0)= 0) para todo P en un abierto, en un instante t0, entonces es irrotacional en cualquier instante.
Movimiento estacionario, incompresible e
irrotacional de un fluido perfecto alrededor de
un cilindro (en ausencia de fuerzas de masa)
1) Movimiento sin circulación
El cálculo de la fuerza que ejerce el fluido sobre el cilindro da F = 0.
Esta es la paradoja de D’Alembert; (en fluidos reales aparece una fuerza
en la dirección del movimiento.)
En fluidos reales hay fricción interna y adherencia al cilindro (no previstos por la teoría del fluido perfecto) que produce tensiones tangenciales.
Además, el movimiento hallado representa razonablemente bien el movimiento en la zona frontal, pero no en la posterior, donde aparecen abundantes torbellinos.
2) Movimiento con circulación ≠ 0
Ahora es:
siendo v(r,) la velocidad obtenidaen 1) (mov. sin circulación)Ahora el cálculo de la fuerza que ejerce el fluido sobre el cilindro da:
F = – ρ
0 v
0e
2 (en la figura es hacia arriba)En la práctica, se obtienen movimientos con circulación
cuando se considera un cilindro rotatorio rodeado por una corriente de fluido.
En la zona posterior del cilindro, aparece un desprendimiento de torbellinos que giran en sentido contrario al cilindro. Se instala un movimiento estacionario con circulación no nula con el sentido de la rotación del cilindro. Es posible detectar asimismo una fuerza sobre el cilindro que, además de tener componente según la dirección de la velocidad, tiene componente normal a ésta.
Teorema de la sustentación de
Kutta-Zhukhovsky (o Joukowski) (1902 y 1906)
El resultado para el cilindro circular en el movimiento con
circulación
F = – ρ
0 v
0e2
se extiende a cualquier cuerpo cilíndrico y ha sido esencial para
el desarrollo de la aerodinámica.
En fluidos reales, el desarrollo de circulación alrededor de formas adecuadas (perfil de ala de avión) se debe a la presencia de viscosidad. Sin embargo, la magnitud de la circulación es independiente de la viscosidad; sí depende de vo y de la forma y posición del cuerpo.
En este caso aparece la fuerza de sustentación (lift) y de arrastre (drag).
Aplicación a fluidos geofísicos
Si el fluido es perfecto, pero no es incompresible ni barotrópico
(p. ej. es un gas ideal, (p = ρ RT)) no vale el teorema de Kelvin.
Aplicando el transporte de la circulación, la ecuación de
Euler-Cauchy, y el teorema de Stokes, se puede demostrar que:
S 2.
n
dA
ρ
p
ρ
dt
dΓ
(el vector del integrando se llama vector baroclínico)Este resultado, que incluye al teorema de Kelvin como caso particular,
se
conoce como
Teorema de la circulación de Bjerknes
(1898), quien lo aplicó
a varios fenómenos de fluidos, algunos en la atmósféricos.
Brisa marina
A la izquierda está el mar, y a la derecha la costa.
Las líneas punteadas son isóbaras horizontales; las llenas son isocoras (de igual densidad), que toman esa forma debido al mayor calentamiento matutino de la tierra que del mar, por su menor calor específico.
(Los vectores dibujados son: - ρ y - p)
Otro ejemplo de Bjerknes
El fluido ínterior tiene menor densidad que el exterior, lo cual induce una circulación que provoca el ascenso de la masa interior, en concordancia con el Principio de Arquímedes.
