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ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Francisco Javier Pérez González
I
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´Indice general
Prólogo XVI
Guías de lectura XX
1. Axiomas deR. Principio de inducción 1
1.1. Introducción . . . 1
1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . 1
1.2. Axiomas de los números reales . . . 4
1.2.1. Axiomas algebraicos . . . 4
1.2.2. Axiomas de orden . . . 5
1.2.2.1. Relación de orden . . . 5
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . 6
1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas . . . 7
1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa . . . 8
1.2.4. Ejercicios propuestos . . . 10
1.2.5. Ejercicios resueltos . . . 12
1.3. Principio de inducción matemática . . . 17
1.3.1. Ejercicios propuestos . . . 21
1.3.2. Ejercicios resueltos . . . 24
1.4. Complementos . . . 26
Índice general III
1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama . . . 27
1.4.1.2. Medimos con números racionales . . . 28
1.4.2. Hacer matemáticas . . . 29
1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . 30
1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32
2. Funciones elementales 33 2.1. Funciones reales . . . 33
2.1.1. Operaciones con funciones . . . 35
2.1.2. Intervalos . . . 36
2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . 39
2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . 39
2.2.2. Raíces de un número real . . . 39
2.2.3. Potencias racionales . . . 40
2.2.4. Logaritmos . . . 40
2.2.5. Exponenciales . . . 41
2.2.5.1. Interés compuesto . . . 41
2.2.5.2. Crecimiento demográfico . . . 42
2.2.6. Función potencia de exponente reala . . . 42
2.2.7. Funciones trigonométricas . . . 43
2.2.7.1. Medida de ángulos . . . 43
2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . 44
2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . 45
2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46
2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . 46
2.2.8. Las funciones hiperbólicas . . . 48
2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas . . . 49
2.2.9. Ejercicios propuestos . . . 51
2.2.10. Ejercicios resueltos . . . 54
2.3. Sobre el concepto de función . . . 59
2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos . . . 61
2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo . . . 63
Índice general IV
3.1. Un poco de historia . . . 64
3.2. Operaciones básicas con números complejos . . . 65
3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo . . . 66
3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo . . . 66
3.2.3. Comentarios a la definición usual iDp 1 . . . 67
3.2.4. No hay un orden enC compatible con la estructura algebraica . . . 68
3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . 68
3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . 70
3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal . . . 72
3.3.2.1. Fórmula de De Moivre . . . 73
3.3.3. Raíces de un número complejo . . . 74
3.3.3.1. Notación de las raíces complejas . . . 75
3.3.3.2. La igualdad pn zpn w D pn zw . . . 76
3.3.4. Ejercicios propuestos . . . 77
3.3.5. Ejercicios resueltos . . . 80
3.4. Funciones elementales complejas . . . 91
3.4.1. La función exponencial . . . 91
3.4.2. Logaritmos complejos . . . 92
3.4.3. Potencias complejas . . . 94
3.4.4. Ejercicios propuestos . . . 94
3.4.5. Ejercicios resueltos . . . 95
3.5. Aplicaciones de los números complejos . . . 97
3.5.1. Movimiento armónico simple . . . 97
3.5.2. Circuitos eléctricos . . . 99
3.5.3. Procesamiento digital de señales . . . 101
4. Funciones Continuas y límite funcional 102 4.1. Introducción . . . 102
4.2. Continuidad . . . 103
4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . 104
4.2.2. Propiedades locales . . . 106
4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . 108
4.3.1. La propiedad del supremo . . . 109
Índice general V
4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . 112
4.3.3.1. Continuidad y monotonía . . . 114
4.3.4. Ejercicios propuestos . . . 116
4.3.5. Ejercicios resueltos . . . 119
4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . 128
4.4.1. Ejercicios propuestos . . . 132
4.4.2. Ejercicios resueltos . . . 133
4.5. Límite funcional . . . 133
4.5.1. Límites laterales de una función en un punto . . . 134
4.5.2. Límites infinitos . . . 135
4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . 135
4.5.2.2. Límites en infinito . . . 136
4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . 136
4.6. Álgebra de límites . . . 137
4.6.1. Límites y discontinuidades de funciones monótonas . . . 139
4.6.2. Comportamientos asintóticos de las funciones elementales . . . 140
4.6.2.1. Límites de exponenciales y logaritmos . . . 140
4.7. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . 141
4.7.1. Ejercicios propuestos . . . 142
4.7.2. Ejercicios resueltos . . . 144
5. Números y límites. El infinito matemático 150 5.1. Introducción . . . 150
5.2. Evolución del concepto de número . . . 151
5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia . . . 151
5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo . . . 153
5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico . . . 157
5.2.4. El triunfo de Pitágoras . . . 160
5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . 162
5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos . . . 164
5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos . . . 165
5.2.5. Ejercicios propuestos . . . 165
5.3. Evolución del concepto de límite funcional . . . 165
Índice general VI
5.3.2. La metafísica del Cálculo en D’Alembert y Lagrange . . . . 167
5.3.3. El premio de la Academia de Berlín de 1784 . . . 169
5.3.4. Cauchy y su Cours D’Analyse de 1821 . . . 171
5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . 175
5.3.6. Weierstrass nos dio los" ı . . . 176
5.3.7. Ejercicios propuestos . . . 178
5.4. Breve historia del infinito . . . 178
5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas . . . 178
5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea . . . 178
5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita . . . 180
5.4.1.3. La rueda de Aristóteles . . . 183
5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . 184
5.4.2.1. El infinito en la Escolástica . . . 184
5.4.2.2. Galileo y el infinito . . . 184
5.4.2.3. El Cálculo y el infinito . . . 187
5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos . . . . 188
5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . 193
5.4.4. Ejercicios propuestos . . . 199
6. Derivadas 201 6.1. Introducción . . . 201
6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . 202
6.2.1. Tangente a una curva . . . 202
6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea . . . 202
6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205
6.2.3. Derivadas laterales . . . 206
6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación . . . 206
6.2.5. Ejercicios propuestos . . . 210
6.2.6. Ejercicios resueltos . . . 213
6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . 219
6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia logarítmica . . . 219
6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas . . . 221
Índice general VII
6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . 222
6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . 225
6.3.2. Reglas de L’Hôpital . . . 229
6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . 232
6.4.1. Notación de Landau . . . 234
6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . 235
6.5. Técnicas para calcular límites de funciones . . . 237
6.5.1. Límites que debes saberte de memoria . . . 238
6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital . . . 241
6.5.3. Sobre el uso de la notación lKım x!a . . . 242
6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . 243
6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas . . . 246
6.7.1. Ejercicios propuestos . . . 248
6.7.2. Ejercicios resueltos . . . 261
6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada . . . 305
6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII . . . 306
6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos . . . 307
6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat . . . 307
6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat . . . 308
6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 311
6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow . . . 312
6.8.3. Los inventores del Cálculo . . . 314
6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones . . . 314
6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias . . . 319
6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial . . . 322
7. Sucesiones 325 7.1. Introducción . . . 325
7.2. Sucesiones de números reales . . . 327
7.2.1. Sucesiones convergentes . . . 327
7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden deR . . . 330
7.2.3. Sucesiones monótonas . . . 331
7.2.3.1. El número e . . . 333
Índice general VIII
7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . 335
7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud deR . . . 338
7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión . . . 339
7.2.8. Ejercicios propuestos . . . 340
7.2.9. Ejercicios resueltos . . . 345
7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . 360
7.3.1. Sucesiones y límite funcional . . . 363
7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes . . . 365
7.3.3. Sucesiones de potencias . . . 366
7.3.4. Ejercicios propuestos . . . 367
7.3.5. Ejercicios resueltos . . . 370
7.4. Sucesiones de números complejos . . . 379
7.4.1. Definición de la exponencial compleja . . . 380
7.4.2. Ejercicios propuestos . . . 381
7.4.3. Ejercicios resueltos . . . 381
7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382
7.6. Continuidad uniforme . . . 384
8. Integral de Riemann 386 8.1. Introducción . . . 386
8.2. Aproximaciones al área . . . 388
8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral . . . 391
8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . 397
8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . 398
8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . 400
8.3. Integrales impropias de Riemann . . . 402
8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . 404
8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . 406
8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . 409
8.5.1. Ejercicios propuestos . . . 410
8.5.2. Ejercicios resueltos . . . 414
8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas . . . 427
8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué? . . . 427
Índice general IX
8.6.3. Primitivas inmediatas . . . 428
8.6.4. Integración por partes . . . 430
8.6.4.1. Integración por recurrencia . . . 431
8.6.5. Ejercicios propuestos . . . 435
8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable . . . 436
8.6.7. Ejercicios propuestos . . . 437
8.6.8. Integración de funciones racionales . . . 438
8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados . . . 438
8.6.8.2. Método de Hermite . . . 439
8.6.9. Ejercicios propuestos . . . 442
8.6.10. Integración por racionalización . . . 442
8.6.10.1. Integración de funciones del tipoR.senx;cosx/. . . 443
8.6.10.2. Integrales del tipow R x; ŒL.x/r; ŒL.x/s; : : :dx . . . 445
8.6.10.3. Integrales binomias . . . 446
8.6.10.4. Integrales del tipo w R.ex/dx . . . 446
8.6.10.5. Integración de funciones del tipoR.x;pax2CbxCc/ . . 447
8.6.11. Ejercicios propuestos . . . 450
8.6.12. Ejercicios resueltos . . . 451
8.7. Aplicaciones de la integral . . . 463
8.7.1. Cálculo de áreas planas . . . 463
8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . 464
8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . 465
8.7.2. Ejercicios propuestos . . . 467
8.7.3. Ejercicios resueltos . . . 469
8.7.4. Curvas en el plano . . . 474
8.7.4.1. Área encerrada por una curva . . . 476
8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares . . . 476
8.7.5. Ejercicios propuestos . . . 478
8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . 478
8.7.7. Ejercicios propuestos . . . 479
8.7.8. Volúmenes de sólidos . . . 480
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución . . . 481
Índice general X
8.7.10. Ejercicios propuestos . . . 484
8.7.11. Área de una superficie de revolución . . . 485
8.7.12. Ejercicios propuestos . . . 486
8.7.13. Ejercicios resueltos . . . 487
8.8. Evolución de la idea de integral . . . 499
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas . . . 499
8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes . . . 500
8.8.1.2. El Método de Arquímedes . . . . 503
8.8.1.3. Área de una espiral . . . 504
8.8.2. La integración antes del Cálculo . . . 506
8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . 506
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . 507
8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat . . . 508
8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis . . . 509
8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . 512
8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . 513
8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton . . . 513
8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514
9. Series numéricas 518 9.1. Conceptos básicos . . . 518
9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . 522
9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes . . . 525
9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . 526
9.1.4. Ejercicios propuestos . . . 531
9.1.5. Ejercicios resueltos . . . 531
9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . 533
9.2.1. Ejercicios propuestos . . . 542
9.2.2. Ejercicios resueltos . . . 544
9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . 556
9.3.1. Ejercicios propuestos . . . 560
9.3.2. Ejercicios resueltos . . . 560
9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . 563
Índice general XI
9.4.2. Ejercicios resueltos . . . 567
9.5. Expresión de un número real en baseb . . . 570
9.6. Series de números complejos . . . 575
9.6.1. Ejercicios propuestos . . . 576
9.6.2. Ejercicios resueltos . . . 576
9.7. Cálculo elemental der0C1 senxxdx y deP1nD1n12 . . . 578
10. Sucesiones y series de funciones 581 10.1. Introducción . . . 581
10.2. Conceptos básicos . . . 583
10.2.1. Convergencia puntual . . . 584
10.2.2. Convergencia Uniforme . . . 586
10.2.3. Series de funciones . . . 590
10.3. Series de potencias . . . 598
10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . 599
10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia . . . 600
10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . 604
10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series . . . 611
10.4.1.1. La función exponencial . . . 611
10.4.1.2. Las funciones trigonométricas . . . 612
10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass . . . 614
10.5.1. Ejercicios propuestos . . . 617
10.5.2. Ejercicios resueltos . . . 627
10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . 659
´Indice de figuras
1.1. El pentagrama pitagórico . . . 27
2.1. La funciónf .x/Dx3 4x2CxC6 . . . 38
2.2. Función logaritmo de basea>1 . . . 40
2.3. Función exponencial de basea>1. . . 41
2.4. La circunferencia unidad . . . 44
2.5. La función seno . . . 45
2.6. La función seno enŒ 2;2 . . . 46
2.7. La función arcoseno . . . 46
2.8. La función coseno enŒ0; . . . 47
2.9. La función arcocoseno . . . 47
2.10. La función tangente en 2;2Œ . . . 48
2.11. La función arcotangente . . . 48
2.12. La función seno hiperbólico . . . 49
2.13. La función coseno hiperbólico . . . 49
2.14. La función tangente hiperbólica . . . 49
2.15. La función argumento seno hiperbólico . . . 50
2.16. La función argumento coseno hiperbólico . . . 50
2.17. La función argumento tangente hiperbólica . . . 50
2.18. Dirichlet . . . 59
Índice de figuras XIII
2.20. John Napier . . . 62
3.1. Representación de un número complejo . . . 68
3.2. Suma de números complejos . . . 69
3.3. Forma polar de un número complejo . . . 71
3.4. Argumento principal . . . 72
3.5. Raíces novenas de la unidad . . . 75
3.6. Igualdad del paralelogramo . . . 85
3.7. Área de un triángulo . . . 91
3.8. Movimiento circular . . . 97
3.9. Composición de movimientos armónicos . . . 98
3.10. Circuito RLC . . . 99
4.1. Función parte entera . . . 107
4.2. La funciónxE.1=x/ . . . 121
4.3. Visualización de la demostración del teorema de Weierstrass . . . 130
4.4. La funciónf .x/Dsen.1=x/ . . . 147
5.1. Euclides . . . 152
5.2. al-Jwarizmi . . . 153
5.3. Fibonacci . . . 153
5.4. Tartaglia . . . 154
5.5. Viéte . . . 155
5.6. Fermat . . . 155
5.7. Descartes . . . 155
5.8. Dedekind . . . 162
5.9. D’Alembert . . . 167
5.10. Cauchy . . . 171
5.11. Bolzano . . . 175
5.12. Weierstrass . . . 176
5.13. Rueda de Aristóteles . . . 183
5.14. Exágonos de Galileo . . . 185
5.15. Paradoja circunferencia-punto . . . 186
5.16. Cantor . . . 190
Índice de figuras XIV
5.18. Unión numerable . . . 197
6.1. Secante . . . 202
6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada. . . 205
6.3. Depósito cónico . . . 214
6.4. Cruce de barcos . . . 215
6.5. Extremos relativos . . . 222
6.6. Teorema de Rolle . . . 223
6.7. Teorema del valor medio . . . 225
6.8. Regla de L’Hôpital . . . 230
6.9. Función cóncava . . . 246
6.10. Función convexa . . . 246
6.11. Cálculo de la subtangente . . . 309
6.12. Cálculo de la tangente . . . 311
6.13. Tangente a la cicloide . . . 312
6.14. Triángulo diferencial . . . 313
6.15. Newton . . . 314
6.16. Leibniz . . . 319
6.17. Triángulo característico . . . 321
6.18. Aproximación de una cuadratura . . . 322
7.1. Puntos de sol y de sombra . . . 336
8.1. Conjunto ordenadoG.f;a;b/de una función . . . 388
8.2. Partes positiva y negativa de una función . . . 389
8.3. Aproximación por sumas de Riemann . . . 390
8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores . . . 391
8.5. Función monótona con infinitas discontinuidades . . . 396
8.6. Logaritmo de 2 . . . 400
8.7. Aproximación al área de una región de tipo I . . . 464
8.8. Ejemplo de región de tipo I . . . 465
8.9. Aproximación al área de una región de tipo II . . . 466
8.10. Ejemplo de región de tipo II . . . 467
8.11. Simétrica de la figura8.8 . . . 467
Índice de figuras XV
8.13. Cardioide . . . 475
8.14. Astroide . . . 475
8.15. Espiral de Arquímedes . . . 475
8.16. Una curva de Lissajoux . . . 476
8.17. Una curva cerrada . . . 476
8.18. Aproximación por sectores circulares . . . 477
8.19. Rosa de 8 pétalos . . . 478
8.20. Aproximación por poligonales . . . 479
8.21. Cálculo del volumen por secciones . . . 480
8.22. Método de los discos . . . 482
8.23. Método de las láminas o tubos . . . 484
8.24. Superficie de revolución . . . 485
8.25. Área de una región limitada por dos elipses . . . 489
8.26. Cuadratura de un rectángulo . . . 499
8.27. Cuadratura de un segmento de parábola . . . 501
8.28. El Método de Arquímedes . . . 503
8.29. Cuadratura de una espiral . . . 505
8.30. Cuadratura de la cicloide . . . 507
8.31. Cuadratura de la hipérbola de FermatyDx 2 . . . 508
8.32. Comparando indivisibles . . . 510
8.33. Teorema Fundamental . . . 512
8.34.zDz.x/D áreaOPB . . . 513
8.35. Áreas complementarias . . . 515
10.1. ¿Esp2D1? . . . 583
10.2. Convergencia puntual . . . 584
10.3. Interpretación gráfica de la convergencia uniforme . . . 587
Pr ´ologo
Este libro está escrito pensando en un estudiante real que también es, en algunos aspectos, un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quizá recién llegado, que cursa estudios en alguna ingeniería o licenciatura científico – técnica y debe enfrentarse a una difícil asignatura de cálculo diferencial e integral. Debe ser difícil, porque son muy pocos quienes logran aprobarla en un sólo año y es muy alto el porcentaje de abandono. Con este libro quiero ayudarle en sus estudios de Cálculo o Análisis Matemático, no solamente para que logre una buena calificación sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprenda a disfrutarlos.
Se trata, digo, de un estudiante real porque llega a la Universidad con importantes carencias de las que él puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable. Es muy posible que nunca haya visto una demostración matemática, que no sepa distinguir entre hipótesis y tesis, que no entienda el significado de que las matemáticas son una ciencia deductiva. Tiene poca agilidad en los cálculos con las operaciones básicas y comete frecuentes errores al in-tentar simplificarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con dificultad porque tiene que ir pensando cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular algunas primitivas muy sencillas. Está acostumbrado a realizar ejercicios muy elementales en los que se debe aplicar de forma mecánica una regla recién aprendida. No está acostumbrado a relacionar conceptos y clasifica sus conocimientos en áreas disjuntas: cálculo, álgebra, probabilidad: : :
Pero estas carencias, con ser graves, no son las peores porque son específicas de una ma-teria y podrían solucionarse con facilidad si no vinieran acompañadas por otras mucho más perjudiciales porque afectan a todo el proceso de aprendizaje. Me refiero a la falta de hábitos de estudio, a la pobreza y muy deficiente uso del lenguaje hablado y escrito con la consiguiente dificultad para pensar y expresarse correctamente, a la poca práctica de la lectura comprensi-va, a la escasa capacidad de concentración, al poco valor que se da a la memorización de lo estudiado.
Prólogo XVII
gregarismo unánime que el pensamiento crítico e independiente, la autocomplacencia que la exigencia: : :La conclusión es que no son buenos tiempos para el estudio. Además, los jóvenes están permanente solicitados por todo tipo de reclamos publicitarios, adulados hasta la desver-güenza por políticos y pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene a decir que no son responsables de sus actos: si suspenden, les dicen que es porque el profesor no ha sabido motivarlos para que estudien; si después de un botellón de fin de semana, o de una fiesta de la primavera o de un día de la cruz, las calles amanecen convertidas en un albañal por la suciedad acumulada durante la noche, el argumente apropiado para disculpar tan incívico comportamiento es el de un supuesto derecho a la diversión. Estos políticos y pedagogos pare-cen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jóvenes vivan en una permanente niñez, acreedora de todos los derechos pero sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, la bazofia, mezquindad, zafiedad y mal gusto de algunos programas de televisión contribuyen de forma notable a difundir el mensaje de que todo vale: puedes vender tus entrañas en uno de esos programas o demostrar tu absoluta ignorancia sin temor a hacer el ridículo porque así lo hacen la mayoría de quienes participan en ellos. ¡Qué añoranza de aquellos programas en los que el saber ocupaba lugar!
El estudiante al que me dirijo es real porque es víctima de este sistema y también, puede que sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez es más difícil conjugar juventud y lucidez. Pero también es un estudiante ideal porque valora el estudio, quiere prepararse para ejercer eficazmente una profesión y ser útil a los demás y tiene ganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente aprobar y no tienes curiosidad ni estás interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro no es lo que buscas. Pero si no es así, confío en que las páginas que siguen sean útiles para que progreses adecuadamente en tus estudios de cálculo, porque lo único que se necesita para ello es, además del interés y las ganas de aprender, una capacidad básica lógico – deductiva que sin duda tienes.
El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a un acuerdo general tácito de lo que debe constituir un curso básico de Cálculo de funciones de una variable. La novedad, si la hay, habrá que buscarla en el estilo, en la exposición, en la gran cantidad de ejemplos y de ejercicios, en la minuciosa presentación de los conceptos y de sus relaciones. Comentaré seguidamente algunos de estos aspectos.
Prólogo XVIII
Este libro está escrito un poco igual que se explica en clase delante de la pizarra, me he puesto en el lugar de un hipotético estudiante medio algo despistado y me hago eco de sus presumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas dudas, responder a las pre-guntas y aclarar las confusiones. Confío en que los muchos años que he dedicado a la docencia en el primer curso de distintas licenciaturas e ingenierías me hayan permitido saber ponerme en tu lugar y cumplir este empeño con decoro. Por todo eso creo que este libro te permitirá estudiar por ti mismo y te ayudará a comprender de forma correcta los conceptos principales del Cálculo.
Este libro incluye una colección de ejercicios muchísimo más amplia que lo que suele ser usual en un libro de texto. De hecho este libro es también un libro de problemas de Cálculo y, se me disculpará la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de ejercicios de Cálculo que incluyan una colección tan variada de ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejercicios no triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de ejercicios de Cálculo dan muchas veces la impresión de que la teoría solamente sirve para proporcionar un conjunto de recetas que después hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qué se elige una receta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la receta funcione.
Mi intención ha sido escribir un libro de Cálculo que sea útil tanto para el futuro matemático como para el futuro ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a sus intereses y necesidades. Para ambos será de gran utilidad la extensa colección de ejercicios y de ejemplos, pero uno habrá de prestar mayor atención a los fundamentos teóricos y a las demostraciones y otro a las técnicas de cálculo y de resolución de diversos tipos de ejercicios. Al final de este prólogo propongo dos posibles guías de lectura.
Digamos algo sobre las demostraciones. Claro está que razonar y demostrar son aspectos fundamentales de las matemáticas, pero sé que el valor que las demostraciones tienen para los estudiantes es muy relativo. El empeño en demostrarlo todo puede ser contraproducente y constituir un freno en el progreso de muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes son las que contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser extensas, deben ser elegantes y demostrar resultados importantes que se van a usar con frecuencia. Cuan-do empecé este libro mi intención era incluir muy pocas demostraciones, al final, para lograr la autonomía del texto he incluido muchas más de lo que inicialmente pensaba. Mi deseo era equilibrar un desarrollo intuitivo con uno lógico deductivo, confío en no haberme desviado mu-cho de este objetivo. Toda ayuda a la intuición me parece loable, en este sentido, siempre que lo he creído conveniente, no he dudado en incluir una figura para facilitar la comprensión de una definición o de una demostración. Pero también quiero decir respecto de algunas demostracio-nes que pueden parecer muy complicadas (como los teoremas4.13y4.29de los que también doy versiones más sencillas7.54y7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que no se debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea complicado, los detalles son importantes, en matemáticas no todo vale.
Prólogo XIX
originales, y su posible valor está en la particular ordenación y exposición que he llevado a cabo. Mi propósito al escribirlas ha sido presentar la génesis de los conceptos matemáticos en su contexto, su titubeante y confusa evolución, las discrepancias sobre el significado de los mismos... En una palabra, proporcionar al estudiante una visión de la matemática viva.
Con frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemáticas son algo cerrado y acabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de una fría perfección que se transmi-ten dogmáticamente de generación en generación y donde no hay lugar para la sorpresa ni la pasión. Nada más lejos de la realidad. La historia de las matemáticas demuestra que el queha-cer matemático, la creación matemática, está muy lejos de esa fría perfección formal lógico – deductiva, que la intuición, la inducción, los procedimientos heurísticos son quizá más im-portantes para el avance de las matemáticas que el razonamiento deductivo. La historia de las matemáticas muestra cómo los conceptos nacen para responder a problemas concretos de cada época, cómo esos mismos conceptos llevan a reformular posteriormente los problemas des-de perspectivas más generales, en un avance que no siempre es una línea recta, con intentos fallidos, con controversias y desacuerdos.
La historia pone también muy claramente de manifiesto que las matemáticas son un saber acumulativo. Esto tiene una particular importancia para el aprendizaje, quiere decir que para estudiar y avanzar en matemáticas la memoria es mucho más importante de lo que usualmente se cree. La efímera memoria de los estudiantes que llegan a la Universidad, que con frecuencia han olvidado lo que alguna vez aprendieron de matemáticas, es una de las grandes dificultades que debemos afrontar los profesores.
Un aspecto notable del libro es la atención que dedico a los persistentes errores en matemá-ticas que suelen tener casi todos los estudiantes al llegar a la Universidad. Confío en que mis observaciones al respecto sean útiles no sólo para los estudiantes sino también para los pro-fesores de matemáticas de las Enseñanzas Medias. También expongo algunas opiniones muy críticas con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la Universidad, esto afecta muy especialmente al estudio de los números complejos y de las funciones elementales complejas y de las series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy en cuenta.
Guías de lectura XX
Guías de lectura
El Capítulo 5 y los diversos complementos de contenido histórico solamente debes leerlos si te gustan. La única forma de saber si te gustan es que empieces a leerlos, y si cuando lleves dos páginas sigues interesado en la lectura seguramente llegarás hasta el final.
Los capítulos 1 y 2 deben ser leídos con detenimiento. No hay en ellos demostraciones que merezcan ese nombre. En el Capítulo 1 se dan definiciones básicas cuyo conocimiento es imprescindible para leer todo lo demás. En el Capítulo 2 se define el importantísimo concepto de función y se estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones elementales. El conocimiento de dichas funciones es absolutamente necesario para leer el resto del libro y realizar ejercicios.
Para estudiantes orientados hacia ingenierías cuyo interés por las matemáticas es de tipo instrumental
El Capítulo 3 está dedicado a los números complejos y a las funciones complejas elemen-tales. Solamente tú puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides omitirlo puedes hacerlo con tranquilidad.
El Capítulo 4 está dedicado a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lími-te funcional. Son conceptos de importancia lími-teórica y necesarios para hacer ejercicios. Debes estudiar y entender las definiciones y resultados pero no es necesario que leas las demostra-ciones. El concepto de extremo superior tiene interés desde un punto de vista formativo, para que comprendas que se precisa alguna herramienta que permita probar ciertas afirmaciones de apariencia evidente (o no tan evidente). Muchos libros de Cálculo orientados hacia la ingenie-ría omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un futuro ingeniero, pero es bueno que sepas de su existencia y tengas una idea de su utilidad y lo que significa.
El Capítulo 6 estudia las derivadas y sus aplicaciones. Creo que debes leerlo todo incluidas las demostraciones de los resultados principales porque son cortas y fáciles de entender, con la excepción, quizás, de las demostraciones de las Reglas de L’Hôpital, no porque sean difíciles sino porque son algo largas. Pero debes leer la explicación de por qué dichas reglas funcionan. Son muy útiles y mi impresión es que se usan como un recurso casi mágico, sin entender bien lo que se está haciendo. La sección en la que se explican técnicas para calcular límites de funciones debes leerla hasta que memorices los límites básicos que allí se indican y entiendas bien los procedimientos que se exponen.
Guías de lectura XXI
con tranquilidad.
El Capítulo 8 es muy extenso, en él se estudia la integral de Riemann que es la integral usual del Cálculo, las integrales impropias, el cálculo de primitivas y las aplicaciones del cálculo integral. Con la excepción de las demostraciones del Teorema Fundamental del Cálculo y de la Regla de Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura entender bien la definición de integral y sus propiedades así como el significado del Teorema Fundamental del Cálculo. Todo el tiempo que dediques, y tendrás que dedicar muchas horas, a practicar las técnicas de cálculo de primitivas será ampliamente recompensado. Calcular primitivas es algo que hay que hacer con muchísima frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes que calcular una primitiva.
El Capítulo 9 está dedicado al estudio de las series numéricas. Es importante que aprendas y comprendas bien las definiciones principales. Hay muchísima confusión en este tema y los libros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostraciones de este capítulo puedes omitirlas salvo las de los criterios de convergencia para series de términos positivos que son cortas y fáciles de entender. Las técnicas para sumar algunos tipos de serie debes estudiarlas, así como el criterio de Leibniz para las series alternadas. El apartado dedicado a la expresión de un número real en una baseb2Zmerece que lo leas, aunque solamente sea un poco por encima, para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso de los decimales infinitos con infinitas cifras que no se repiten.
El Capítulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series de fun-ciones. El concepto de convergencia puntual es muy sencillo, no lo es tanto el de convergencia uniforme y puede que un ingeniero no necesite estudiarlo con detenimiento. Es bueno que se-pas para qué sirve y que muchas operaciones que consisten en permutar el límite funcional con la integración o con la derivación requieren para su plena justificación un tipo de convergencia mejor que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con detalle, omitiendo quizás algunas demostraciones. Su estudio es importante y muy útil a efectos de cálculo. Los desarro-llos en serie de potencias de las funciones elementales, y la definición por series de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas debes estudiarlos bien. Lo que dice el teorema de aproximación de Weierstrass es muy fácil de entender, pero puedes omitir su demostración.
La parte más importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realización de ejercicios. He incluido una extensa colección de ejercicios resueltos que te servirá de ayu-da para aprender a resolver ejercicios tú solo. Siempre debes intentar resolver algunos de los ejercicios propuestos empezando por los que te parezcan más fáciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende más de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la idea para resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios que propongo tiene un grado medio de dificultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difíciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecueninteligen-cia los más difíciles están resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teoría y comprender los conceptos e ideas básicas, así como el significado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.
Para estudiantes de matemáticas y física
Todo lo dicho arriba se mantiene con algunos añadidos:
Guías de lectura XXII
complejos están muy confusamente expuestos en gran número de textos y las funciones com-plejas elementales son definidas con frecuencia de una forma poco correcta.
En el Capítulo 4 debes estudiar y comprender bien las definiciones de extremo superior e inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas de que sabes usarlas con soltura. La diferencia entre un curso de Cálculo y uno de Análisis Matemático está en los conceptos de supremo e ínfimo. Los libros de Análisis Matemático siempre los incluyen, los de Cálculo casi nunca. No es preciso, al menos en una primera lectura, que estudies la demostración del teo-rema de valores máximos y mínimos de Weierstrass, en el Capítulo 7 hay otra demostración alternativa de dicho teorema que es mucho más fácil. Debes estudiar y comprender la demos-tración del teorema de Bolzano y sus consecuencias, así como las relaciones entre monotonía e inyectividad.
Para el Capítulo 6 te doy los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura debes estudiar la demostración de las reglas de L’Hôpital.
El Capítulo 7 estudia las sucesiones numéricas. Mantengo los mismos consejos de arri-ba pero, además, en una segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultados principales, especialmente el teorema de completitud de R. Por supuesto, debes estudiar la continuidad uniforme.
Para el Capítulo 8 mantengo los mismos consejos de arriba con el añadido de que estudies las demostraciones de integrabilidad de funciones continuas y de funciones monótonas.
En el Capítulo 9 puedes omitir la demostración de la segunda parte del teorema9.14pero debes entender lo que se afirma en el mismo. Lo demás debes estudiarlo todo. El tema de las series es muy importante para matemáticos y físicos.
El Capítulo 10 es de estudio obligado para matemáticos y físicos. La convergencia uniforme es tu primer encuentro con algunos conceptos que serán ampliamente generalizados en otros cursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la comprensión de sus sutilezas estará bien empleado. Todos los teoremas de este Capítulo tiene demostraciones sencillas y cortas que debes estudiar. El teorema de aproximación de Weierstrass es también uno de esos resultados cuya generalización se estudia en cursos más avanzados, debes entender bien lo que dice y no está de más que leas la demostración. Por lo demás, mantengo los consejos dados arriba.
Cap´ıtulo
1
Axiomas de
R
. Principio de inducci ´on
Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres. L. Kronecker
1.1.
Introducción
Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo de todo eso. En principio, pare-cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base común, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar en este Capítulo. Me estoy refiriendo a los números reales que repre-sentamos porR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que se pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos. También puedes extraer raíces de números reales positivos y elevar un número real positivo a otro número real. Lo que quizás no sepas es que todo lo que puedes hacer con los números reales es consecuencia de unas pocas propiedades que dichos números tienen que, además, son muy elementales. En este Capítulo estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo lo que sigue; constituyen los “axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a decírtelo todo, voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más adelante cuando su necesidad sea manifiesta (si echas algo en falta, ve alCapítulo 4).
1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.
Al terminar este apartado, entenderás el significado de la frase deBertrand Russellque fue uno de los más grandes matemáticos y filósofos del siglo XX.
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2
Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apro-piado. Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un problema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para que sientas lo que quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone que x;yson números reales.
1. Prueba que0 xD0.
2. Prueba que. x/yD xy.
3. Prueba que six¤0entoncesx2>0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu reacción ¿que demuestre que0 xD0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones lo más frecuente es “quedarse colgado” con la “mente en blanco” sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en unas propiedades de los números – axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo0 xD0es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario, lema, proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.
Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general de dicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminar y se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícita a los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse con tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados. Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible.
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3
Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usua-les. Me limitaré a la más importante: la implicación lógica. Los teoremas matemáticos tienen casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis. Entremos en detalles. La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por ejemplo, “la imagen def es un intervalo”. Representemos porHla hipótesis y porT la tesis. Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hi-pótesisH. No es ni verdadera ni falsa. Para queHsea verdadera o falsa debemos particularizar la funciónf.
Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticas las hipótesis son
verdade-~
ras.
Ahora te preguntarás, siH no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir queH implica T
o, equivalentemente, queT se deduce o es consecuencia deH? La respuesta es: “H implica
T” quiere decir que siempre queH sea verdadera tambiénT es verdadera. Observa que no estamos afirmando (no tiene sentido) queHoT sean verdaderas sino que cuandoH es verda-dera también lo esT. Con más precisión, demostrar queH implicaT consiste en probar que la proposiciónH÷T es cierta. Teniendo en cuenta que la proposiciónH÷T es la disyunción lógica (noH)_T, resulta que siHes falsa entoncesH÷T es verdadera (por eso se dice que de una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y siH es verdadera entonces para que
H÷T sea verdadera tiene que ocurrir queT sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que
Hes verdadera y queH÷T es verdadera, deducimos queT es verdadera.
Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles de demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son rela-tivas, condicionales.
También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russell del principio: en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha frase queda por aclarar.
Axiomas de los números reales 4
1.2.
Axiomas de los números reales
1.2.1. Axiomas algebraicos
Como ya sabes, se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales1;2;3; : : :. El conjunto de todos ellos se representa porN. Los números enteros: : : ; 2; 1;0;1;2; : : :. cuyo conjunto se representa porZ.
Los números racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2Z;q 2 N, cuyo conjunto representamos porQ.
También conoces otros números comop2,, o el número e que no son números racionales y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, “números irracionales”. Pues bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa porR.
Es claro queN ZQR.
Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del númerop2es que su cuadrado es igual a21.
Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propie-dades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números realesx;yse escribexCy, representándose el producto porxy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.
P1 Propiedades asociativas. Para todosx;y;zenR:
.xCy/CzDxC.yCz/I .xy/zDx.yz/
P2 Propiedades conmutativas. Para todosx;yenR:
xCyDyCxI x yDyx
P3 Elementos neutros. Hay dos números reales distintos que representamos por 0 y 1
tales que para todo x2Rse verifica que:
0CxDx 1xDx
P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada número real x hay un número real llamado opuesto de x, que representamos por x, tal que xC. x/D0:
Para cada número real x distinto de0,x¤0, hay un número real llamado inverso de x, que representamos por x 1, tal que xx 1D1:
1La secciónNúmeros y medida de magnitudestrata de la aparición de los números irracionales y su relación
Axiomas de orden 5
P5 Propiedad distributiva. .xCy/zDxzCy zpara todosx;y;zenR.
Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas pueden probarse cosas tan familiares como que0xD0, o que. x/yD .xy/. Vamos a hacerlo.
1.1 Proposición. Se verifican las siguientes igualdades
0xD0; . x/yD x y; . x/. y/Dxy:
Demostración. Probaremos primero que0x D0. Por P5 .0C0/xD0 xC0 x. Como con-secuencia de P3 es0C0D0. Obtenemos así que 0 xD0 xC0 x. Usando P4, sumamos el opuesto de0 xa ambos lados de la igualdad0 xD0 xC0 xy, usando también P1 (la propiedad asociativa), obtenemos que0 xD0.
Probaremos ahora que. x/yD .xy/. Tenemos quexyC. x/yD.xC. x//yD0 yD0. Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdadxyC. x/yD0nos dice, por
P4, que. x/yes el opuesto dexy. Eso es justamente lo que queríamos probar.
Finalmente, la igualdad. x/. y/Dxyes consecuencia inmediata de la anterior. 2
El símbolo x debe leerse siempre “el opuesto dex” y no “menosx”. La razón es que
~
la palabra “menos” remite a una idea de orden (si hay “menos” es porque hay “más”) y el significado de xes puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la que ni siquiera hemos hablado aún. ¡No cometas el error de pensar que xes negativo!
Notación. Suele escribirse x y en vez de xC. y/. También, supuesto y¤0, se escribe
x=y o xy en vez de x y 1.
1.2.2. Axiomas de orden
Los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen llamarse propiedades de orden. Como sabes, los números suelen representarse como puntos de una recta en la que se fija un origen, el0, de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha de0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa porRC. Las propiedades básicas del orden son las siguientes.
P6 Ley de tricotomía. Para cada número real x se verifica una sola de las siguientes tres afirmaciones:xD0,x es positivo, xes positivo.
P7 Estabilidad deRC. La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
1.2.2.1. Relación de orden
Observa que en P6 se dice, en particular, que el0no es positivo, ¡el0es el0! Por otra parte, six es un número positivo, entonces como xC. x/D0 y el0no es positivo, concluimos, por P7, que x no es positivo. Los elementos del conjunto R D f x W x 2 RCg, es decir, los opuestos de los números positivos, se llaman números negativos. Observa que si z2R
Desigualdades y valor absoluto 6
1.2 Definición. Para x;y 2Rescribimos x<y (léasex es menor quey) o y >x (léasey es mayor quex) para indicar que y x 2RC, y escribimos x6y o y>x para indicar que
y x 2RC[ f0g.
Notación. En adelante usaremos las notaciones:RCoDRC[f0g,RoDR [f0gyRDRnf0g.
1.3 Proposición. Para todox¤0se verifica quex2>0. En particular,1>0.
Demostración. Probaremos que six ¤0entoncesx2 > 0. En efecto, six ¤0entonces, por
P6, o bienxes positivo o bien xes positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de (1.1), es x2Dx xD. x/. x/, concluimos quex2 es positivo. En particular, tenemos que
12D1>0. ¡Acabamos de probar que1>0!. 2
Tenemos ahora dos tipos de propiedades enR, las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 y
P7. En la siguiente sección estudiamos cómo se relacionan entre sí.
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto
Las propiedades del orden de los números reales son las que nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante co-mo saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos que proceder en cada caso particular.
En el siguiente resultado ¡el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedades principales del orden deR. Son las que deberás usar para trabajar con desigualdades.
1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x;y;z números reales.
1. x6y e y6z implican que x6z.
2. x6y e y6x implican que xDy.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x <y,xDy, o y <x:
4. x<y implica que xCz<yCz.
5. x<y , z>0 implican que xz<y z.
6. x<y , z<0 implican que xz>y z.
Desigualdades y valor absoluto 7
8. z>0 implica que 1 z >0:
9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < y implica que 1
y < 1 x:
Todas estas propiedades son fáciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si
x < y se tiene que y x > 0. Si ahora es z > 0, también será z.y x/ > 0, es decir,
zy zx > 0o, sea, zx < zy. Lo único que hemos usado aquí ha sido la definición de los símbolos “<” y “>” y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para que compruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.
1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas
La forma en que están escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy a decirte por qué y para eso voy a tratar aquí un defecto en el que solemos caer al leer o estudiar matemáticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecánica, y por ello no es fácil de evitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para ponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al final de esta sección te propongo que pruebes que la igualdad
1
x C
1
y D
1
xCy (1.1)
nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas cuándo es cierta la igualdad
1
xCy2 C
1
z D
1
xCy2Cz (1.2)
Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). ¿Si? ¿No? ¡Son la misma igualdad! Y, aquí es a dónde yo quería llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque estás leyendo los símbolos y no los conceptos, es porque ¡estás leyendo las letras! Claro, me dirás, las letras están para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y no quedarse en la superficie de los símbolos. Los símbolos proporcionan mucha comodidad para expresar las ideas matemáticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado, los símbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad (1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”. Por tanto, la igualdad (1.2) jamás puede darse pues es la misma igualdad (1.1) en la que se ha sustituidox porxCy2 ey porz. Pero tantox como xCy2
son números reales cualesquiera e igual ocurre conz ey. ¿Te das cuenta del problema? No es igual retener la idea de que “1 dividido porxmás 1 dividido porynunca es igual a 1 dividido porx Cy” que asimilar que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”. En el primer caso los símbolosxey tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultan el concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrás reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma cosa.
Desigualdades y valor absoluto 8
Seaf WŒa;b!Rcontinua y verificando quef .a/f .b/ <0. Entonces hay algún
c2a;bŒtal quef .c/D0.
Demasiadas letrasf,a,b,c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultar el resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: “toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de dicho intervalo”. Los teoremas deben enunciarse así, a ser posible sin símbolos. Yo procuro hacerlo siempre que el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagas tú. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: “una desigualdad se conserva al multiplicarla por un número positivo”.
1.5 Estrategia. Traduce los símbolos en conceptos. Cuando leas matemáticas presta atención
~
a los conceptos y no retengas símbolos concretos.
1.6 Definición. Se dice que un conjunto no vacío de números reales, A R, tiene máximo si hay un númeroM 2Aque es el mayor de todos los elementos deA, es decir,x6M para todox 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M DmaxK A. Se dice que un conjunto no vacío de números reales,AR, tiene mínimo si hay un númerom2Aque es el menor de todos los elementos deA, es decir,m6xpara todox 2A. Cuando esto ocurre, escribimosmDmKınA.
Valor absoluto
El valor absoluto de un númerox2Rse define como el número:
jxj D
x si x>0
x si x60
Para trabajar con valores absolutos es útil recordar la siguiente definición.
1.7 Definición. 2. Para cada número z2RCo, representamos porpzal único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual az.
1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa
Acabamos de definir la función “raíz cuadrada”. Ahora te propongo un juego: voy a ha-certe una pregunta que tú vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se te ocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor depx2. Por experiencia sé que la mayoría
de las veces la respuesta es x. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la definición anterior y responde ahora de forma meditada. Confío en que ya tengas la respuesta correcta que es jxj. En efecto, se tiene quejxj2Dx2y, además,jxj>0, por tantojxj Dpx2.
Sé por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un número real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que pue-de tomar los dos valores y, en este caso, pue-deben pensar que px2D fx; xg. Cosas más
ra-ras se han visto. Toda esta “magia” lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es sabido que la distancia euclídea entre dos puntos .a;b/ y .c;d/ del plano viene dada por
p
Desigualdades y valor absoluto 9
.1;3/esp.1 1/2C.2 3/2Dp. 1/2D 1. ¿Una distancia negativa? No, la raíz
cuadra-da no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a ducuadra-das: la raíz cuadracuadra-da de un número positivo es también un número positivo.
¿Sabes de dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando en la escuela se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado
ax2CbxCcD0cuyas soluciones son los números
b˙pb2 4ac
2a (1.3)
Ahí está el problema: en el confuso símbolo˙delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la elección del sigoC, y otro negativo que corresponde a la elección del signo en la expresión (1.3). Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Verás, cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado ax2CbxCcD0 (¿realmente se aprende?) se obtienen las soluciones
bCpb2 4ac
2a ;
b pb2 4ac
2a
Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las soluciones obtenidas en la expresión única (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribirCp3¿acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un número positivo y parece totalmente improcedente escribirC7. Entonces, ¿por qué escribir Cp3? Respuesta, porque
p
3es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que puedes creer y no solamente entre estudiantes. Confío en que te haya quedado claro sin lugar a dudas quepx2D jxjy que
la raíz cuadrada no es una función caprichosa.
La utilidad de la raíz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguiente estrategia de procedimiento.
1.8 Estrategia. a) Para probar que dos números positivos son iguales es suficiente probar que sus cuadrados son iguales.
b) Para probar una desigualdad entre dos número positivos es suficiente probar dicha de-sigualdad para sus cuadrados.
El enunciado anterior está hecho como a mi me gusta: con palabras y sin símbolos. Ponien-do símbolos, lo que se dice en el enunciaPonien-do es que:
Dados a;b2RCo para probar que aDb es suficiente probar que a2Db2y para
~
probar que a<b es suficiente probar que a2 <b2.
Todo lo dicho es consecuencia de queb2 a2D.b a/.bCa/y se tiene quebCa>0.
Geométricamente,jxjrepresenta la distancia dexal origen,0, en la recta real. De manera más general:
jx yj Ddistancia entrexey
Ejercicios propuestos 10
1.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x;y2Rse verifica que:
i) jxj6y es equivalente a y6x6y.
ii) jx yj D jxjjyj.
iii) jxCyj6jxj C jyj y la igualdad se da si, y sólo si,xy>0 desigualdad triangular.
iv) jjxj jyjj6jx yj y la igualdad se da si, y sólo si,xy>0.
Demostración. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de valor
absoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).
ii) Tenemos quejxyj2D.xy/2Dx2y2D jxj2jyj2D.jxjjyj/2.
iii) Tenemos que
jxCyj2D.xCy/2Dx2C2xyCy2Djxj2C2xyCjyj26jxj2C2jxyjCjyj2D.jxjCjyj/2
La igualdad se da si, y sólo si,xyD jxyj, es decir,xy>0.
iv) Tenemos que
jjxj jyjj2Dx2 2jxyj Cy26x2 2xyCy2D.x y/2D jx yj2
La igualdad se da si, y sólo si,xyD jxyj, es decir,xy>0. 2
Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te fijes en las letras sino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla “el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos”. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:
i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.
ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si, todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.
1.2.4. Ejercicios propuestos
1. ¿Sabes por qué no se puede dividir por0?
2. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra quep2no es racional.
Ejercicios propuestos 11
4. Seax un número real. Estudia si cada una de las desigualdades
x2<x y x3<x2
es consecuencia de la otra.
5. Calcula para qué valores de x se verifican las desigualdades siguientes.
i) 2x 3
xC2 < 1
3 ii)
1
x C
1
1 x >0
iii) x2 5xC9>x iv) x3.x 2/.xC3/2<0
v) x2 .aCb/xCab<0 vi) 3.x a/a2<x3 a3<3.x a/x2
6. Prueba las siguientes desigualdades:
a) 0<xCy x y <1 siempre que 0<x<1; 0<y <1:
b) 1
x C
1
aCb x <
1
aC
1
b siempre que 0<a<x <b:
7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivosa>0yb>0se verifica que
a
2.aCb/pb < 1
p
b
1
p
aCb
8. Calcula para qué valores de x se verifican las siguientes desigualdades.
i) jx 5j<jxC1j ii) jx 1jjxC2j D3
iii) jx2 xj>1 iv) jx yCzj D jxj jz yj
v) jx 1j C jxC1j<1 vi) jxCyCzj D jxCyj C jzj
vii) jxj jyj D jx yj viii) jxC1j<jxC3j
9. Supuesto que s t <
u v <
x
y donde t; v;y 2 RC, prueba que s t <
sCuCx
tCvCy < x y.
Generaliza este resultado.
10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la
igualdad.
a) 2x y6x2Cy2:
b) 4x y6.xCy/2:
c) x2Cx yCy2>0:
d) .a2CaC1/.b2CbC1/.c2CcC1/>27abc donde a>0;b>0;c >0.
Sugerencia. Para probar a) considérese .x y/2. Las demás desigualdades pueden de-ducirse de a).
