Integracion_por_partes (2)

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(1)Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. I.. INTEGRACIÓN POR PARTES. Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes. Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. Sean u=u(x) y v=v(x). Entonces. duv = udv + vdu o. udv = uv − vdu Al integrar ambos miembros de esta ecuación obtenemos. ∫ udv=. uv − ∫ vdu. (1.1). Como se puede ver la Integración por partes es la contraparte de la regla del producto de la diferenciación, ya que el integrando en cuestión es el producto de dos funciones (por lo general). En resumen éste es el procedimiento: Para aplicar la fórmula (1.1) en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a u y la otra, junto con dx a dv. Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes. (a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable. (b) La ∫ vdu no debe de ser más complicada que ∫ udv Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar. Tan claro como el agua, ¿verdad? Vas a aprender la técnica muy rápido si utilizas el acrónimo LIATE y el método del ejemplo de abajo: Para seleccionar la función u, sólo tienes que ir hacia abajo en la lista del acrónimo, la primera función de la lista que coincida con una de tu integrando es la función u. El acrónimo que te ayudará a escoger tu función u es el siguiente: Logarítmica (como Lnx) Inversa trigonométrica (como arcsenx) Algebraica (como x3, o 2x+10 ) Trigonométrica (como sen2x) Exponencial (como 72x, o e2x) Calcular la integral. ∫x. 2. ln xdx. Tu primer reto en la integración por partes es decidir cuál es la función, (de tu integrando original), que desempeñará el papel de la u en la fórmula. He aquí cómo se hace Dr. José Luis Díaz Gómez.

(2) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. El integrando contiene una función logarítmica (la primera en LIATE) así que lnx es tu función u, el resto x2dx automáticamente es dv. Así pues tienes los términos son: = u ln= x, dv x 2 dx Pero la integral por partes contiene cuatro términos, te faltan los siguientes: du, y v. Estos los encuentras diferenciando u, e integrando dv, es decir: 1 dx x. Si u ln= = x entonces du Si = dv x 2 dx entonces = v. 1 3 x Esto significa que v se encuentra 3. dv ∫ x = dx ∫= 2. integrando dv. Ahora, ya tenemos los cuatro elementos que aparecen en la fórmula de integración por partes (1.1), sustituyendo estos valores ella entonces 1 1 1  uv − ∫ vdu = ln xdx = (ln x)  x 3  − ∫ x 3 dx 3 x 3  3 x ln x 1 2 − ∫ x dx = 3 3 3 x ln x 1 1 3 − x + C , de donde = 3 33 x 3 ln x x 3 2 x xdx = − +C ln ∫ 3 9. ∫x. 2. Problemas resueltos. Ejemplo1. Calcular. ∫x e. 3 x2. dx. ∫ x xe dx . Por LIATE hacemos 1 2 x, = y v ∫= ) dv ∫ e xdx = e (2 xdx = 2∫. Primero reescribimos la integral así: 2 = u x= , y dv xe x ; de donde = du 2. 2. x2. x2. x2. 1 x2 e 2. Bueno ya tenemos los elementos de la integral por partes. 2 = u x= dv e x xdx 2. = du 2= xdx v. 1 x2 e 2. Por tanto aplicando la fórmula (1.1) se tiene. ∫x e. 3 x2. dx=. pero la última integral 1 2 x2 1 x2 2 1 2 x2 x e − ∫ xe x dx= = x e − e +C ya se calculó es (v) 2 2 2. Ejemplo 2. Calcular. ∫ x(senx)dx Dr. José Luis Díaz Gómez.

(3) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. Usando LIATE hacemos = u x= , y dv ( senx)dx ; de donde du = dx, y v =. ∫ dv = ∫ (senx)dx =. − cos x. Aplicando la integración por partes obtenemos x(− cos x) − ∫ (− cos x)dx = − x cos x + ∫ (cos x) dx = − x cos x + sex + C ∫ x(senx)dx =. Ejemplo 3. Calcular. ∫ ln( x. 2. + 4)dx. Hacemos u = ln( x 2 + 4), y dv = dx ; por tanto diferenciado e integrando tenemos u, y 1 2 xdx v. du , v ∫= = d (= x 2 + 4) = dx x 2 x +4 x2 + 4 Por tanto 2 dx x ln( x 2 + 4) − ∫ ( x) ∫ ln( x + 4)=. Ahora calculamos la integral. 2 xdx 2 x 2 dx 2 x x = + − ln( 4) ∫ x2 + 4 x2 + 4. 2 x 2 dx ∫ x 2 + 4 . Recordar que. ∫u. 2. du 1 u = arctan 2 +a a a. 2 x 2 dx 2x2 6 6  dx 1 x  = 2− 2 = 2 ∫ dx − 6 ∫ 2 = 2 x − 6 arctan 2− 2  dx = 2 ∫ x2 + 4 = ∫ x +4 x +4 x +4 x +4 2 2  De donde. ∫ ln( x. 2. x x + 4)= dx x ln( x 2 + 4) −(2 x − 6 arctan ) += C x ln( x 2 + 4) − 2 x + 3arctan + C 2 2. Ejemplo 4.. ∫x. x + 2dx x + 2dx ; tendremos du = dx , para obtener v hacemos lo. Haciendo = u x, y dv =. 1. siguiente: v = ∫. ∫x. x + 2dx=. ∫ x x + 2dx=. ( x + 2) 2 x + 2dx = ∫ ( x + 2) dx = 1 +1 2 1 2. +1. 3 2 = ( x + 2) 2 . Por lo tanto 3. 3 +1 2. 2 2 2 2 ( x + 2) x( x + 2) − ∫ ( x + 2) dx= x( x + 2) − 3 3 3 3 3 +1 2 3 2. 3 2. 3 2. + C . De donde. 3 5 2 10 x( x + 2) 2 − ( x + 2) 2 + C 3 6. Ejemplo 5. Calcular. ∫ xe. 2x. dx. Dr. José Luis Díaz Gómez.

(4) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. Haciendo = u x= , y dv e 2 x , encontramos = u 2= x, du 2dx 1 u 1 2x 2x u du = du x= , y v ∫ e= dx = ∫ e= e= du e . Aplicando la du ∫ 2 2 2 dx = 2 fórmula de integral por partes obtenemos e2 x e2 x xe 2 x 1 2 x xe 2 x 1 e 2 x xe 2 x e 2 x −∫ dx= − ∫ e dx= − + C= − +C 2 2 2 2 2 2 2 2 4. 2x ∫ xe dx= x. Ejemplo 6.. ∫x. 2. cos 3 xdx . En este ejemplo se aplica la integral por partes dos. veces. 2 Hacemos = u x= , y dv cos 3 xdx , por tanto = u 3= x, du 3dx du 1 1 = du 2= xdx, y v ∫ cos = 3 xdx cos u = cos udu sen3 x . Por la du = ∫ = ∫ 3 3 3 dx = 3 integral por partes tenemos, 1 x 2 sen3 x 2 2 2 1 x cos 3 xdx x sen 3 x sen 3 x (2 xdx ) = − = − ∫ xsen3xdx (1.2) ∫ ∫3 3 3 3. Observa que en la integral. ∫ xsen3xdx , ha bajado el exponente de la x (de 2 a 1), lo. cual sugiere volver a integrar por partes así que, hacemos aquí = u x= , y dv senxdx , y en consecuencia = u 3= x du 3dx du 1 1 cos 3 x du = dx, y v= ∫ sen3 xdx =du = senu = senudu = (− cos 3 x) = − ∫ ∫ 3 3 3 3 dx = 3 de donde x cos 3 x 1  cos 3 x   cos 3 x  − − ∫ cos 3 xdx − ∫−  dx = 3   3  3 3 x cos 3 x 1 1 x cos 3 x 1 =− − (− sen3x) = − + sen3x 3 3 3 3 9. ∫ xsen3xdx =x  −. Sustituyendo este último resultado en (1.2) tenemos. x 2 se3 x 2 2 xse3 x 2  x cos 3 x 1  − ∫ xsen3xdx = − − + sen3x  3 3 3 3 3 9 . 2 = ∫ x cos 3xdx. =. x 2 sen3x 2 x cos 3x 2sen3x + − +C 3 9 27. Ejemplo 7. Calcular. ∫ x e dx 3 x. Dr. José Luis Díaz Gómez.

(5) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. 3 El acrónimo LIATE nos sugiere tomar = u x= , y dv e x , y por lo tanto. = du 3 x 2 dx= ,yv. e dx ∫= x. e x , así que aplicando la formula de integral por partes. obtenemos x e − ∫ e (3 x dx) = x e − 3∫ x e dx (1.3) ∫ x e dx = 3 x. 3 x. x. 2. 3 x. 2 x. Observa que hemos mejorado nuestra situación, el exponente de la x bajó de 3 a 2, lo cual nos sugiere aplicar de nuevo la integral por partes a la última integral, así que hagámoslo 2 u x= , dv e x = 2 x x 2 e x − ∫ e x (2 xdx) = x 2 e x − 2 ∫ xe x dx = ∫ x e dx = x x du 2 xdx= , v ∫= e dx e =. Si reemplazamos éste último resultado en la ecuación (1.3) tenemos. ∫ x e dx =x e − ∫ e (2 x dx) =x e 3 x. 3 x. ∫ x e dx =x e 3 x. 3 x. x. 2. 3 x. {. }. − 3∫ x 2 e x dx) = x3e x − 3 x 2 e x − 2 ∫ xe x dx. − 3∫ x 2 e x dx =x3e x − 3 x 2 e x + 6 ∫ xe x dx (1.4). Observa que en la última integral de la derecha el exponente de la x ahora bajó de 2 a 1, así que aplicamos de nuevo la integración por partes.. u x= dv e x , = x xe x − ∫ e x dx = xe x − e x = ∫ xe dx = x x , v ∫= du dx= e dx e = Bueno parece que ya terminamos, observa que en la última integral ya no apareció la x. Solo falta reemplazar el último resultado en la ecuación (1.4) y finalizamos.. ∫ x e dx =x e 3 x. ∫ x e dx = 3 x. 3 x. − 3 x 2 e x + 6 ∫ xe x dx =x 3e x − 3 x 2 e x + 6 { xe x − e x } + C . Por tanto. x3e x − 3 x 2 e x + 6 xe x − 6e x + C. Ejemplo 8. Calcular. ∫ arcsenxdx. Hacemos las sustituciones = u arcsenx = , dv dx y tenemos, dx = du dx, = v ∫= dx x 2 1− x. = ∫ arcsenxdx. xarcsenx − ∫. xdx 1 − x2. Y ahora. Dr. José Luis Díaz Gómez.

(6) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. ∫. u= 1 − x 2 , du = −2 xdx 1 −  xdx du  2 2 = (1 − x ) xdx = = xu du − 2 x  ∫ ∫ 2 dx = −   1− x 2x −. 1 2. 1 1 1 u2 = − = −u 2 = − 1 − x2 2 1 2. = xarcsenx − (− ∫ arcsenxdx Ejemplo 9. Calcular ∫ x arctan xdx . Por lo tanto. 2 1 − x= ) + C xarcsenx + 1 − x 2 + C. De acuerdo con el acrónimo LIATE = tomamos u arc = tan x, dv xdx , así entonces = du. dx , y= v 1 + x2. xdx ∫=. 1 2 x . Por lo tanto la integral por partes es 2. 1 2 1 2 dx x 2 arctan x 1 x2 x arctan xdx (arctan x ) x x dx (1.5) = − = − ∫ ∫ 2 1 + x2 2 2 2 ∫ 1 + x2 Ahora lo único que tenemos que hacer es calcular la integral. x2 ∫ 1 + x 2 dx. x2 x2 1 1  dx  = 1− = dx = dx − ∫ = x − arctan x 1 − 2 2 2  ∫ 1 + x 2 dx = ∫ ∫ 1+ x 1+ x 1 + x2  1+ x  En conclusión reemplazando el último resultado en (1.5) obtenemos = xdx ∫ x arctan. x 2 arctan x 1 x 2 arctan x x − { x − arctan= x} + C − + arctan x + C 2 2 2 2. Ejemplo 10. Calcular. ∫ sen xdx 2. 2 = = integrar separamos ∫ sen xdx Para. ∫ ( senx)( senx)dx. = u senx = , dv senxdx Así aplicando la integral por partes du = cos xdx, v = ∫ senxdx = − cos x. ∫ sen xdx =senx(− cos x) − ∫ (− cos x)(cos xdx) =−senx cos+ ∫ cos 2. Ahora nuestro problema es calcular la integral. ∫ cos. 2. 2. xdx (1.6). xdx , sin embargo recordemos. que cos 2 x = 1 − sen 2 x , así que 2 2 2 x − ∫ sen 2 xdx , es decir ∫ cos xdx = ∫ (1 − sen x)dx = ∫ dx − ∫ sen xdx =. ∫ cos. 2. xdx = x − ∫ sen 2 xdx , reemplacemos esta última ecuación en (1.6). Dr. José Luis Díaz Gómez.

(7) Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora. − senx cos + ∫ cos ∫ sen xdx = 2. 2. xdx = − senx cos x + x − ∫ sen 2 xdx , observa que el último. término está restando, así que lo pasamos sumando al inicio de la ecuación y tenemos − senx cos x + x , sumamos y ∫ sen xdx + ∫ sen xdx = 2. 2. 2 ∫= sen 2 xdx senx cos x + x , de donde el 2 pasa dividiendo. ∫ sen xdx = 2. senx cos x + x x senx cos x +C = + +C 2 2 2. Ejemplo 11. Calcular ∫ sec3 xdx Como en el ejemplo anterior separamos sec3 x = sec 2 x sec x . Por tanto 3 2 ∫ sec x =∫ sec x sec xdx . La parte más complicada del integrando que resulta fácil de integrar porque conocemos una fórmula es sec2x, por tanto tomamos. = u sec = x, dv sec 2 xdx sec 2 xdx tan x ∫=. = du sec x tan= xdx, v. ∫ sec. 3. Aplicando la integral por partes se tiene. xdx = sec x tan x − ∫ tan x(sec x tan xdx) = sec x tan x − ∫ sec x tan 2 xdx (1.7). Así que sólo nos queda resolver la integral ∫ sec x tan 2 xdx . Manos a la obra. ∫ sec x tan. 2. xdx =. =. ∫ sec x(sec x − 1)dx x − sec x)dx = ∫ sec xdx − ∫ sec xdx. tan 2= x sec 2 x −= 1. ∫ (sec. 3. 2. 3. Este último resultado lo reemplazamos en la ecuación (1.7). ∫ sec ∫ sec. 3. 3. xdx =sec x tan x − ∫ sec x tan 2 xdx =sec x tan x −. {∫ sec. 3. }. xdx − ∫ sec xdx de donde. xdx = sec x tan x − ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx = sec x tan x − ∫ sec3 xdx + ln sec x + tan x ,. observa que. ∫ sec. 3. xdx está restando, así que lo pasamos sumando al primer. término y tenemos. ∫ sec. 3. xdx + ∫ sec3 xdx= sec x tan x + ln sec x + tan x , sumando. 2 ∫ sec3 xdx= sec x tan x + ln sec x + tan x y finalmente 3 xdx ∫ sec=. sec x tan x + ln sec x + tan x sec x tan x ln sec x + tan x = +C + +C 2 2 2. Dr. José Luis Díaz Gómez.

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