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C u r s o :

Matemática

Material N° 40

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 40 UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

DATOS Y AZAR

RANGO

Rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR o TÍPICA

Es una medida de dispersión y nos indica cuánto tienden a alejarse los datos del promedio aritmético.

Para calcular la desviación estándar (



) se utiliza la siguiente fórmula:

Para datos no agrupados

Para datos agrupados en tablas de frecuencia

OBSERVACIÓN:

Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno de ellos, en lugar de xi.

PROPIEDADES

Seaxuna variable aleatoria y kun número real 1)  (x) 0

2)  (k) = 0

3)  (x + k) =(x) 4)  (kx) = k· (x)



= (x x) + (x x) + ... + (x x)1 2 2 2 n 2

n

  



= 1 1 2 2 2 2 n n 2

1 2 3 n

f · (x x) +f · (x x) + ... + f · (x x) f + f + f + ... + f

  

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EJEMPLOS

1. El rango en el conjunto de datos {3, 7, 8, 11, 1, 10, 15, 20, 21, 22, 24, 23} es

A) 12 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) La desviación estándar es un número real no negativo.

II) La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser positiva o negativa.

III) El rango es una medida de dispersión que puede ser negativa.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

3. Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿cuál(es) de la siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) El promedio es 6. II) El total de datos es 5.

III) La desviación estándar es 12,8 .

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Edad (años) Nº de niños

[0 – 4[ [4 – 8[ [8 – 12[

(3)

4. En una familia las edades de sus hijos son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si todos aumentaran un año, entonces la media sería 5 unidades mayor. II) La muestra es amodal.

III) La desviación estándar es de 10,8 años.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

5. Se tiene un conjunto de 4 números enteros cuya desviación estándar es p. Si a cada valor se agregan 3 unidades. Entonces, la nueva desviación estándar es

A) p + 3 B) 4p C) p D) p + 12 E) 12p

6. Al analizar los puntajes de los 4 controles realizados por Juan y Pedro, se obtuvieron los siguientes resultados:

De acuerdo con esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Juan tiene puntajes más cercanos a su promedio.

II) Ambos han obtenido los mismos puntajes en los controles.

III) Existe un error en el cálculo de las desviaciones estándar de Pedro o de Juan, porque ambos tienen el mismo promedio.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I , II y III

Juan Pedro

Promedio 613 613

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VARIANZA

Es otra medida de dispersión que corresponde al cuadrado de la desviación estándar.

Para datos agrupados en tablas de frecuencia

OBSERVACIÓN:

1. El valor de la varianza es siempre un número no negativo

2. Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno de ellos, en lugar de xi.

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

Sea x una variable aleatoria y k un número real

1) Var (x) 0

2) Var (k) = 0

3) Var (x + k) = Var (x)

4) Var (kx) = k2_{· Var(x)}

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La varianza puede ser igual a la desviación estándar.

II) Si sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza no cambia.

III) La varianza es la raíz cuadrada de la desviación estándar.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

Var(x) =2 ₌(x x) + (x x) + ... + (x x)1 2 2 2 n 2

n

  

Var(x) = 2₌ 1 1 2 2 2 2 n n 2

1 2 3 n

f (x x) + f (x x) + ... + f (x x) f + f + f + ... + f

  

(5)

2. Se tienen cuatro números x, y, z, wcuya varianza es , entonces la varianza de kx, ky, kz, kw, conkun número natural, es

A) 4k B) k4_ C) k2_ D) k E) 4(k + )

3. Sea una desviación estándar , tal que 0 <  < 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones son siempreverdadera(s)?

I) La varianza es mayor que la desviación estándar. II) La media aritmética es cero.

III) La mediana es cero.

A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

4. De acuerdo a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) A + B = 3

II) La desviación estándar es 2 . III) La varianza es 2.

A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

5. En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5. Si a cada elemento de la muestra se agregan 10 unidades, entonces, la nueva desviación estándar y varianza son, respectivamente

Desv. Est. Varianza A) 101,5 102,25

B) 101,5 12,25

C) 11,5 12,25

D) 1,5 102,25

E) 1,5 2,25

xi (x_i– x )2

4 B

5 1

6 0

7 A

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VARIABLES ALEATORIAS

Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.

OBSERVACIÓN:Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X ; Y ; Z ;…

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)

Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita numerable de valores.

Ejemplos: Suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las preguntas correctas en una prueba, números de hijos de una familia etc.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)

Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en los números reales.

Ejemplos: peso de los alumnos de un curso, tiempo de funcionamiento de un dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una familia, etc.

EJEMPLO:

Se define la variable aleatoria X como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio que tiene tres hijos. La tabla muestra los posibles resultados, representando con ma las hijas y conva los hijos, y los valores de la variable X:

EJEMPLO

1. Se lanza dos veces un dado y se define la variable aleatoria X,como el valor absoluto de la diferencia de los puntos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) X es una variable aleatoria discreta.

II) El recorrido de la variable tiene 6 elementos.

III) El conjunto de valores posibles de variable aleatoria X son {0,1,2,3,4,5}.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Resultados posibles Valores de X

(m,m,m) 0

(v,m,m);(m,v,m);(m,m,v) 1 (v,v,m);(v,m,v);(m,v,v) 2

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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la aplicación que asocia a cada valor de xide la variable su probabilidad pi.

Se denota porf(x) = P(X = xi) PROPIEDADES

1. 0 f(xi) 1

2. f(x1) + f(x2) + … + f(xn) = 1

EJEMPLO

Definida la variable X como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio que con tres hijos. La tabla muestra la probabilidad para los diferentes valores de X:

EJEMPLO

1. Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar dos cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos azules obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores de la variable aleatoria son {0, 1, 2}

II) El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es cuatro.

III) P(1) = 4 7

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I , II y III

Resultados Valores de X f(xi) = P(X = xi)

(m,m,m) 0 1/8

(v,m,m);(m,v,m);(m,m,v) 1 3/8

(v,v,m);(v,m,v);(m,v,v) 2 3/8

(v,v,v) 3 1/8

f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) = 1 1_{+ + + = 1}3 3 1

8 8 8 8

0 1 2 3

f(x)

Valores v.a. 1

8

Función de probabilidad

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2. Una bolsa contiene 3 pañuelos de seda en buen estado y 2 pañuelos con algunas fallas. Se extraen dos pañuelos sin devolución. Se define la variable aleatoria X de la siguiente forma

-1, si son dos con fallas.

X = 0, si uno es bueno y el otro con fallas. 1, si son dos en buen estado.

¿Cuál de las alternativas corresponde a la función de probabilidad de la variable aleatoria?

A) B) C) D) E)

3. En una urna hay 4 fichas marcadas con el número 2; 4 fichas con el 0 y 4 fichas con el -2. El experimento consiste en sacar dos fichas sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el producto de los números que tienen las fichas que se sacan.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Los posibles valores de variable aleatoria X son {4, 0, -4}. II) P(x = -4) > P(x = 4)

III) P(x = 0) = 8 33

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I , II y III

4. La tabla adjunta, muestra la función de probabilidades de una variable aleatoria X

Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) P(20 x < 40) = 0,85 II) P(x 5) = 0

III) P(x 30) = 1 – P(x 30)

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

X 10 20 30 40

P(X = xi) 0,15 0,45 0,3 0,1 xi P(xi)

-1 3₅

0 ₁₀3

1 ₁₀1

xi P(xi)

-1 ₁₀3

0 ₅3

1 ₁₀1

xi P(xi)

-1 ₁₀1

0 3₅

1 ₁₀3

xi P(xi)

-1 ₁₀1

0 ₁₀3

1 3₅

xi P(xi)

-1 ₁₀3

0 ₁₀1

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad acumulada, es decirF(x) = P(Xx).

PROPIEDADES

1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0 F(x) 1 2. Si a < b, entonces P(a < x b) = F (b) – F (a)

3. P(X > a) = 1 – P(X a) = 1 – F(a)

OBSERVACIONES

EJEMPLO

Para la variable X definida como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio que tiene tres hijos, la siguiente tabla muestra la función probabilidad para los diferentes valores de X:

Valores de X p(xi) = P(X = xi)

0 1₈

1 3

8

2 3₈

3 1₈

Función de distribución

F(x)

Valores v.a. discreta 1

En el caso de variable aleatoria discreta la función de distribución de probabilidad es una función escalonada.

En el caso de variable aleatoria continua la función de distribución de probabilidad es una funcióncontínua.

Función de distribución F(x)

Valores v.a. contínua

F(x) = P(X x) =

1 si x 0

8 

1_{+ = si x 1}3 4

8 8 8 

4_{+ = si x 2}3 7

8 8 8 

7_{+ = 1 si x 3}1

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EJEMPLOS

1. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) El valor de m = 0,26. II) P(x 1) = 0,74

III) P(x 0) = 1 – P(x = -1)

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

2. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W:

¿Cuál es el gráfico de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria W?

A) B) C)

D) E)

X -1 0 1 2 3

P(X = xi) 0,04 0,22 0,38 m 0,10

W 1 2 3 4

P(W = wi) 0,1 0,3 0,2 0,4

1 2 3 4 v.a. 0,4

0,3 0,2 0,1

-1 2 3 4 v.a. 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2

-1 2 3 4 v.a. 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2

-1 2 3 4 v.a. 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2

-1 2 3 4 v.a. 1,0

(11)

-3. Si la función de distribución de una variable aleatoria X está dada en la tabla adjunta, entonces, el valor de P(X 3) es

A) 0,30 B) 0,45 C) 0,50 D) 0,95 E) 1,00

4. Se define la función de distribución de la variable aleatoria X como: f(x) = 1 – 1

x donde x 1, entonces P(2 < x4) es

A) 3 8 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 2 E) 3 4

X 1 2 3 4 5

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DISTRIBUCIÓN NORMAL

Para variables aleatorias continuas X, la función de probabilidad es denominada Función de densidad de probabilidad, es una función continua y la probabilidad de que la variable esté comprendida en el intervalo a, b está dada por el área bajo la curva de la función entre los puntos a y b.

La distribución más importante dentro de las distribuciones continuas es la distribución normal.

Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.

CARACTERÍSTICAS

1. El área bajo la curva es igual a la unidad

2. Es simétrica con respecto a x = , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra de 0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media y un 50% de observar un dato menor a la media.

3. Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al eje de las X sin llegar a tocarlo.

4. La media, moda y mediana coinciden.

5. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. El gráfico de la función de densidad de una variable

aleatoria con distribución normal es similar al mostrado en la figura, es decir tiene una forma conocida como Campana de Gauss, y es simétrico con respecto a la media, . Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media () y la desviación estándar (), y se denota X ~ N(;).

x y

a b

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INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si una población tiene media  y desviación estándar , se tiene que

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

La distribución normal estándar o tipificada, es aquella que tiene media 0 y desviación estándar 1. Se denota por X ~ N(0;1)

Características:

1. 2.P(X x1)

3.P(Xx1) = 1 – P (Xx1) 4.P(X -x1) = P(X x1)

 x1 

 __{= 0} 

f(x)

 x1   -x1 x1 

En el intervalo _     3 , 3 _

el área encerrada es 0,9973 es decir,99,73% del total.

– 2 + 2 – 3 + 3

–  +

En el intervalo _     2 , 2 _

el área encerrada es 0,9544 es decir, 95,44%del total. En el intervalo _     , _

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Para calcular la probabilidad en distribuciones normales , cuando los límites de la variable sean distintos de la media más o menos desviaciones estándar, se deben usar tablas que presentan las áreas bajo las curvas y que permiten determinar la probabilidad en ese intervalo.

Para una variable aleatoria continua X con distribución normal estándar N(0,1), calcular la probabilidad de que tome un valor menor o igual a 1,87

Solución: Determinar P (X1,87)

Según tabla: Gráficamente: P(X 1,87) = 0,96926

Para una variable aleatoria X con distribución normal N(,) ,los datos se pueden estandarizar o normalizar utilizando una variable aleatoria Z = X  

 con distribución normal N(0 , 1). Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z, utilizando las tablas de distribución tipificada, es decir:

x P(X x) = P Z

σ  

 

 _  _

 

Sea la variable aleatoria X con distribución N(23, 5), calcular la probabilidad de que tome un valor

a) mayor a 30 b) entre 24 y 26.

Solución: a) P(X > 30) = 1 – P (X 30) = 1 – P Z 30 23

5 

 _ 

 

 

= 1 – P(Z 1,4) (Tabla pág, 19) = 1 – 0,91924

= 0,08076

x 0,07

1,8 0,96926

 _1,87 

P(X > 30) = 1 – P(X 30)

23 30

P(Z > 1,4) = 1 – P(Z1,4)

 

 _1,4 

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b) P(24 < X < 26) = P(X < 26) – P(X < 24)

= P Z < 26 23 P Z < 24 23

5 5

 

  _  

   

   

= P (Z < 0,6) – P(Z < 0,2) = 0,72575 – 0,57926 = 0,14649

EJEMPLOS

1. La longitudes, en cm, de los palillos que fabrica una empresa, tiene una distribución N(10 ;0,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un palillo mida menos de 10 cm?

A) 1 B) 0,7 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,3

2. En una distribución normal estándar si P(X a) = m; entonces P(X > a) =

A) -m B) m C) m – 1 D) 1 – m

E) no se puede determinar.

3. Si X~N(0,1) , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) La probabilidad P(X < 0) es 50%. II) P(X > 2,1) = 1 – P(X < 2,1). III) P(X = 0,5) = 0.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

 _{23 24 26} 

P(24 < X < 26)

 0,2 0,6 

(16)

4. En una distribución normal N(90,15), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) P(90 < x < 105) = 0,3413 II) P(60 < x < 90 ) = 0,4772 III) P(105 < x < 120) = 0,1359

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I , II y III

E) Ninguna de ellas

5. En una distribución normal estándar X ~ N(0,1), ¿Cuál de las alternativas es la correcta?

A) P( x2) = 0,9773 B) P( x-2) = 0,9773 C) P( x2) = 0,0228 D) P( x-2) = 0,9773 E) P(-2 x2) = 0,0456

6. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuye en forma normal con media 1.020 horas y desviación estándar 51 horas. ¿Cuál es la probabilidad en porcentaje de que dure más de 1.173 horas?

A) 0,27% B) 2,7 % C) 0,027% D) 0,135% E) 13,5%

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de probabilidad normal con la misma media y diferentes desviaciones estándar?

A) B) C)

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RESPUESTAS

Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6 7

2 y 3 E A E E C A

4 y 5 D C E C E

6 C

7 y 8 D C C A

10 y 11 E B C C

(18)

TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(01)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

DMCAMA-40