FUNCIONES RECURSIVAS. exp(x,y) = x y. x y = x x... x,

FUNCIONES RECURSIVAS exp(x,y) = xy. Dónde: x0 = 1, x1 = x, x2 = x•x, • • • xy = x•x•...•x, y veces xy+1 = x•x• ... •x•x = x•xy y+1 veces

Primera y última ecuaciones: 1) x0 = 1,

2) xy+1 = x•xy,

son suficientes para evaluar toda la función. (eq. 2) 53=52+1 =5•52 (x=5 y y=2),

(eq. 2) 52=51+1 =5•51 (x=5 y y=1), (eq. 2) 51=50+1 =5•50 (x=5 y y=0), (eq. 1) 50=1

Recusión = Descomponer una función en sus componentes básicos.

Recursión = Reducir una función a sus funciones constitutivas.

Recursión = Eliminar una función a favor de sus funciones constitutivas.

Ejemplo:

53 = 5•5•5•1 = 1 + 1 + . . . + 1 125 “1”s

Reduce Reduce

Exp Producto Suma

Recursión: Re-Escribir una expresión Expresiones más simples.

FUNCIÓN SUCESOR

Recordemos que la “SUMA” no es una operación fundamental: Puede descomponerse en “Quitar y Poner”.

Definamos como básico:

número cero ‘0’

función sucesor ‘S’ (1 argumento) s: 0 0 1 1 2 2 3 • • • • • • n n+1 tomando en cuenta ‘+’ y ‘s’ : x + 0 = x x + s(y) = s(x+y) Recordar:

RELACION ENTRE FUNCIONES “+” y “S” + x+y y• • • s • x• x+s(y) •s • • • s(y) + x + s(y) = s(x + y)

La ley de la conservación de las CANICAS:

x canicas y canicas s(y)canicas x+s(y)

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ x = 3 y = 4 s(y) = 5 x + s(y) = 8 x+s(y) s(x + y) @ @ @ @ @ @ @ @ = @ @ @ @ @ @ @ @

Ejemplo Evaluar 2 + 3 : s(s(0))) + s(s(s(0))) (eq. 1) x + 0 = x (eq. 2) x + s(y) = s(x + y) x = s(s(0)) = ss0 y = s(s(s(0))) = sss0 s(y) = s(s(s(s(0)))) = ssss0 (eq. 2) ss0 + sss0 = s(ss0 + ss0) más simple que (eq.2) ss0 + ss0 = s (ss0 + so) (eq. 2) ss0 + s0 = s (ss0 + 0) (eq. 1) ss0 + 0 = ss0 Reescribimos Top-Down: ss0 + sss0 = s(ss0 + ss0) Recordar ss0 + ss0 = s(ss0 + s0) ⇒ s(s(ss0 + s0)) ⇒ s(s(s(ss0 + 0))) ⇒ s(s(s(ss0 ))) ⇒ sssss0 ss0 + sss0 = sssss0

Hemos establecido claramente que toda expresión puede ser reducida eliminando los símbolos de las

funciones compuestas en favor de las funciones simples, tan solo conociendo la 1a. y la última ecuación de la reducción.

Ejemplo: En ss0 + sss0 sssss0

eliminando reescribiendo 1a. x + 0 = 0

última x + s(y) = s(x + y)

Generalizando: ¿Podemos evaluar todas las funciones de esta forma?

CLASE DE FUNCIONES RECURSIVAS PRIMITIVAS

1) Funciones Básicas (Unidades Atómicas) 2) Operaciones de Construcción:

• Composición

• Recursión Primitiva

3) Nada pertenece a la clase si no es una función primitiva o construída por medio de composición o recursión.

Conjunto Básico de Funciones Recursivas Primitivas 1) Función Cero “z” : z(x) = 0

2) Función Sucesor “s” : s(0) = 1, s(1) = 2 ... 3) Funciones Identidad Varias: n

id1 1_{(x) = x} id1 2_{(x,y) = x, id} 2 2_{(x,y) = y} id1 3 (x,y,z) = x, id2 3 (x,y,z) = y, id3 3 (x,y,z) = z Proyecciones: y •(x,y) id1 2

(x,y) = proyx (x,y) = x

id2

2_{(x,y) = proy}

y (x,y) = y •

x

Para un espacio de orden n: idi

n

( x1, ..., xi, ... xn ) = xi

Las funciones identidad varias pueden ser ordenadas id, id1 2_{, id} 2 2_{, id} 1 3_{, id} 2 3_{, id} 3 3 _...

Construcción de Funciones Composición: (Cn) g f • • x• •g(x) •f(g(x)) • h f (g(x)) = h(x)

Sea F es el conjunto de todas las funciones, definamos la función aridad de una función “a”

a: F N

dónde si f ∈ F , a(f) = r dónde r es el número de elementos (componentes) de los argumentos de f.

Composición: Considere: A: N x N, B: N x N y C:N Considere Funciones: h:N x N N g1, g2, g3:N x N N y f: N x N x N N P1 f g1 0 1 g2 P2 2 . g3 . . P3 n h

h(x,y) = f(g1(x,y), g2(x,y), g3(x,y))

y

a(h) = a(gi) a(f) = número de g´s

Generalizando:

h(x1, ..., xn) = f(g1(x1, ... xn), ..., gn (x1, ..., xn))

Abreviando:

Ejemplos de Composición 1) f = s g = id3 3 h(x1, x2, x3) = s(id3 3_(x 1, x2, x3)) = x3 + 1 h = Cn

[

s, id3 3

]

2) Calcula h(x) = x + 2 f = s g = s h(x) = s(s(x)) = Cn

[

s, s

]

(x) h = Cn

[

s, s

]

nombre argumento de función 3) Calcula h(x) = x + 3 f = s g = Cn

[

s, s

]

h(x) = s(Cn

[

s, s

]

(x))

h = Cn

[

s, Cn

[

s, s

]]

Construcción de funciones Recursión Primitiva: (Pr) Ecuación Inicial: h(x, o) = f(x) h x Ÿ Ÿ o Ÿ Ÿ f

Última Ecuación: h(x, s(y)) = g (x, y, h(x, y)) h • x Ÿ •h(x, y) h y Ÿ • s(y)Ÿ • g • Ciclo de Recursión h = Pr

[

f, g

]

Otra forma de ver la recursividad: _•h h(x,s(y))=g(x,y,h(x,y)) g • (x,s(y)) h(x,y) h (x,y) h • h(x,s(0))=g(x,y,h(x,0)) g _• (x,s(0)) h h(x,0)=f(x) (x,0) x • f

Ejemplos de recursión primitiva Suma: Sum(x,0) = x Sum(x,s(y)) = s(sum(x,y)) (Pr ) h (x,0) = f(x) h(x,s(y)) = g(x,y,h(x,y)

n = sum: El problema es construir “sum” para lo cual hay que encontrar las funciones “f” y “g” 1) f = id1 1 ê f(x) = x; “condición inicial” 2) sum(x,s(y)) = s(id3 3 ( -, -, sum(x,y))) g = Cn

[

s, id3 3

]

sum = Pr

[

id1 1

,

Cn[s, id3 3

]]

“SUM”

o• 2 sum •x sum(x, o) = id(x) = x

1 h x• • id f = id x + s(y) = s(x + y) sum • x Ÿ •x + y sum y Ÿ • s(y)=y+1Ÿ • x + s(y) 1 2 C n s , i d

[

₃3

]

• número de argumento ₃ g = Cn[s,id3 3

]

= s(id3 3 ( _, _, sum(x,y)))

prod 1) prod (x, 0) = 0 prod 0• 2 • •0 1 x• z • f = z función cero z(0) =0, z(1) =0, ... 2) prod (x,s(y)) = x + prod(x,y)

prod • x Ÿ • x •• y prod y Ÿ • s(y) = y+1Ÿ • x••(y + 1) 1 sum(x,x••y) 2 • 3 g = Cn[sum, id1 3_{, id} 3 3

]

prod = Pr [z, Cn [sum, id1 3_{, id} 3 3

]]

Exp: Xy 1) x0 = 1 2) xy+1 = x•_xy 1) Exp (x,0) = 1 0• Exp •1 • x• • f(x) =1 f = Cn[s,z

]

⇒ f(x) = s(z(x)) 2) exp • x Ÿ • xy exp y Ÿ •

s(y) = y+1Ÿ • xy+1

prod(x,xy) • g = Cn[prod, id1 3_{, id} 3 3

]

Exp = Pr[Cn[s, z

]

, Cn[prod, id1 3_{, id} 3 3

]]

Super Exponenciación x x y veces x Sup (x,y) = x Sup (x,0) = 1 Sup (x, y + 1) = xsup (x, y) 1) Sup (x, 0) = 1 0• sup •1 f(x) = 1 • x• • f f = Cn[s,z

]

f(x) = s(z(x))

2) Sup(x, y +1) = xsup(x,y) sup • x Ÿ • sup(x,y) sup y Ÿ • s(y) Ÿ • sup(x,s(y) • Exp(x,sup(x,y)) g = Cn[Exp, id1 3_{, id} 3 3

]

Sup = Pr[Cn[s, z

]

, Cn[Exp, id1 3_{, id} 3 3

]]

Fact

1) 0! = 1 fact(0) = 1

2) s(y)! = s(y)•y! fact(s(y)) = s(y)•fact(y) fact

•

0• •1 •

f = s(0) el único argumento de f es cero fact • y Ÿ fact • y! • s(y) Ÿ •s(y)! • prod(s(id1 2_{), id} 2 2₎ g = Cn[prod, Cn[s, id1 2

]

_{, id} 2 2

]

fact = Pr [s(0), Cn[prod, Cn[s, id1 2

]

_{, id} 2 2

]]

Formato (eliminando argumento “x”) h = fact h(0) = f(0) dónde f = s

Formato General de Pr h(x1, ..., xn,0) = f(x1, ..., xn) h(x1, ..., xn,s(y)) = g(x1, ... xn, y, h(x1, ... xn, y)) 1) h • x1• • . . xn• • 0 • f a(h) = n+1 n 0 a(f) = n 2) h • x1• • h(x1,...,xn,y) . . xn• y• • h(x1,...,xn,s(y)) • h s(y) •

g

•

Funciones Recursivas son Abacus A R Si x ∈ R entonces x ∈ A x ⊆ A ∀x R(x) A(x)

La Historia Hasta Ahora

u h T

A

Método para comprobar que R ⊆ A

a) Establecer programas Abacus para las funciones recursivas básicas 1) z(x) = 0 2) s(x) = x + 1 3) id1 1 _{, id} 1 2_{, id} 2 2_{, ...}

b) Establecer programa Abacus que implementa: 1) Composición

2) Recursión Método:

Dada una función recursiva primitiva sustituir cada término constituyente por su programa abacus respectivo.

PROGRAMAS ABACUS DE FUNCIONES BÁSICAS

Formato de argumentos y valor de la función R1 R2 . . . Rn Rn+1

n argumentos valor de la función 1) Los registros R1 ... Rn no se modifican.

2) Al inicio [Rm

]

= 0 para todo m > n.

3) Al final [R_n+1

]

= valor función

1) Función z z(1) = 0, z(2) = 0 ... z(n) = 0

El programa que no hace nada para evaluar z(x) = 0.

Al inicio y al final

[1

]

= x

PROGRAMAS ABACUS DE FUNCIONES BÁSICAS 2) s(x) = s+1 Inicialmente [1

]

= x [2

]

= 0 al final: [2

]

= s(x) [1

]

+ [2

]

2 copia el contenido de R1 a R2 2+ incrementa en 1 el cont. de R2 3) idm n Inicialmente [1

]

= x₁, . . . , [n

]

= x_n y [n + 1

]

= 0 Finalmente [n + 1

]

= x_m, 1 ≤ m ≤ n [m

]

+[n + 1

]

n + 1 copia el cont. de R_m a R_{n + 1}

COMPOSICION DE FUNCIONES 1) Composición: h = Cn[f, g1, . . . gm

]

n = a(h) = a(gi) 1 ≤ i ≤ m

dados m + 1 programas

f(ŠŠ1‹‹, ..., ŠŠm‹‹) m + 1 g1(ŠŠ1‹‹, ..., ŠŠn‹‹) n + 1 . . . gm (ŠŠ1‹‹, ..., ŠŠn‹‹) n + 1

Queremos construir un solo programa:

f(g1 (ŠŠ1‹‹, ..., ŠŠn‹‹), ..., gm (ŠŠ1‹‹, ..., ŠŠn‹‹)) n + 1

1) Considere que el programa buscado tiene n argumentos.

2) Considere que un valor intermedio será necesario para almacenar el valor de cada g

3) Considere que los argumentos se encuentran inicial y finalmente en el formato estándard

4) La composición requiere de n + m registros no usados por ninguno de los m + 1 programas

Composición n = 3, m = 4 (1) g1 ([1]], [2]], [3]]) P1 g2 ([1]], [2]], [3]]) P2 [1]] [2]] [3]] [1]] [2]] [3]] es posible paralelizar •• •• g1 g2 P1 P2 2) Vacia n registros posible [1]] q1 -m e paralelizar [2]] q2 [3]] q3 +n s[n]] = 0 [m]] + [n]] n [m]] = 0 3) Calcula f([P1]], [P2]]) [P1]] + [1]] 1 [1]] [2]] Es posible [P2]] + [2]] 2 paralelizar • f [3

]

4) Finaliza: (1) [3]] 4 (Es posible (2) [q1]] 1, [q2]] 2, [q3]] 3 paralelizar)

Programa abacus para recursión primitiva h • x• 0• • •• f h x• • • h(x, y) h y • • •h(x,s(y)) s(y) • • g h = Pr[f, g

]

Dados: f([x

]

)

2 g([1

]

, [2

]

, [3

]

) 4 Obtener: h ([1

]

, [2

]

) 3 Inicialmente: [1

]

= x, [2

]

= y [3

]

= [4

]

= ... = 0

¿Cómo Funciona la Recursión? h • x• 0• • •• f h x• • • h(x, y) h y • • •h(x,s(y)) s(y) • • g

Computo de h: x, y p=y, y=0 f(x) = h(x,0) si p = 0 h(x, 0) = f(x) no g(x, 0, h(x, 0)) = h(x, 1) g(x,1,h(x,1)) = h(x, 2) y = y + 1 etc p = p - 1 p veces si no h(x, y ) p = 0

Inicialmente [1

]

= x, [2

]

= y, [3

]

= 0 Programa 6.2 vaciar [2

]

en P p = y, y = 0 Programa 6.2 f([1

]

) 2 f(x) = h(x,0) Registro 2 Programa 6.2 vacia [2

]

en 3 h(x, 0) R3 e p- termina g([1

]

,[2

]

,[3

]

) 4 g(x,y,h(x,y)) = h(x,s(y)) R4

2+ y = y + 1 (para 2o. Argumento)

3- vacia R3

e

vacia R4 en R3 h(x,s(y))anterior h(x,y)actual

MINIMIZACION Abacus ≥≥ PR funciones recursivas miniminización Funciones -básicas recursivas - Composición primitivas - Recursivas Primitivas

Hay mas programas Abacus que funciones recursivas primitivas Minimización h • x1• •y . . . • xn• f y• •0

la y más pequeña para la cual f(x1,...,xn,y) = 0

h(x1, ..., xn) =

indefinido si no existe y tal que f(x1,...,xn,y) = 0

Considere Mn[sum

]

Sum Pr[id1

1

, Cn[s, id3 3

]]

Número de argumentos de sum = 2

h = Mn[f

]

si f = sum

f(x,y) = sum(x,y) = 0 si y sólo si x = y = 0 h = Mn[sum

]

(0) = 0 dado sum(0, 0) = 0

Mn[sum

]

0• •0 1• 2• 3• . . . etc.

Mn[Prod

]

prod(x, y) = x • y prod(x, y) = 0 si x = 0 & y = 0 o x ≠ 0 & y = 0 o x = 0 & y ≠ 0 Mn[prod

]

(x) = 0 (x•0 = 0) h = Mn[prod

]

0• •0 1• 2• 3• . . .

En general

Mn[f

]

(x1,...,xn) = y

Si f(x1,...,xn,y) = 0

& f(x1,...,xn, t) es definida y positiva

para t < y Ejemplo f(0) = N f(1) = 0 y = 1 pero no existe t f(t) 0• •0 t • 1• Mn[f

]

no está definida

Abacus para Mn

y si f(x1,...,xn, y) = 0 cuando

Mn[f

]

(x1, ..., xn) exista f(x1,...,xn,t) & ∀∀t, t<y

Si no existe y Mn[f

]

(x1,...,xn) =

φ

* Minimización de funciones totales y pariciales Abacus de Mn, para n = 1, (a(f) =2)

f([1

]

, [2

]

) = ? Mn[f

]

R3 Inicialmente: [1

]

= x [2

]

= 0 [3

]

= 0 Secuencia: f(x,0) 3 f([1

]

,[2

]

) 3 f(x,1) 3 ≠ 0 f(x,2) 3 3- 3- 2+ f(x,y) = 0 [2

]

= y e e Mn[f

]

(x) = [2

]