La Integral Indefinida
La Integral Indefinida
Ver ´onica Brice ˜no V.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada.
Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
La Integral Indefinida
Definici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada. Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funci ´on F : [a, b] → R definida por:
F (x ) =
Z x
a
f (t)dt
Proposici ´on
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada, entonces F es continua.
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Teorema Fundamental del Calculo
Teorema
Sea f : [a, b] → R una funci ´on riemann integrable y acotada,
entonces F es derivable y F0(x ) = f (x ).
Si adem ´as, f es continua en xoentonces F es diferenciable en
xo. T.F.C. Z x a f (t)dt 0 =f (x ) . En resumen,
f riemann integrable ⇒ F continua f continua ⇒ F diferenciable
Ejemplos
Resolver: 1 Calcular: Z x 0 3 p 1 + t5dt 0 2 Sea f (x ) =Rx 1 x 3arc tg(t2)dt. Calcular f00(1).Ejemplos
Resolver: 1 Calcular: Z x 0 3 p 1 + t5dt 0 2 Sea f (x ) =Rx 1 x 3arc tg(t2)dt. Calcular f00(1).Proposici ´on
Proposici ´on
Sea f continua; g y h derivables en [a, b]. Entonces se cumple: Z g(x ) a f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) Z g(x ) h(x ) f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) − f (h(x ))h0(x ) Demostrar...
Proposici ´on
Proposici ´on
Sea f continua; g y h derivables en [a, b]. Entonces se cumple: Z g(x ) a f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) Z g(x ) h(x ) f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) − f (h(x ))h0(x ) Demostrar...
Proposici ´on
Proposici ´on
Sea f continua; g y h derivables en [a, b]. Entonces se cumple: Z g(x ) a f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) Z g(x ) h(x ) f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) − f (h(x ))h0(x ) Demostrar...
Proposici ´on
Proposici ´on
Sea f continua; g y h derivables en [a, b]. Entonces se cumple: Z g(x ) a f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) Z g(x ) h(x ) f (t)dt !0 =f (g(x ))g0(x ) − f (h(x ))h0(x ) Demostrar...
Ejemplos
Resolver: 1 Sea F (x ) =Rx 2 0 sen3(t)dt. Calcular F 0(x ) 2 Calcular Z cos x x3 sen(t2)dt 0 3 Sea x3+2x =Rx 3 0 f (t)dt. Calcular f (3).Ejemplos
Resolver: 1 Sea F (x ) =Rx 2 0 sen3(t)dt. Calcular F 0(x ) 2 Calcular Z cos x x3 sen(t2)dt 0 3 Sea x3+2x =Rx 3 0 f (t)dt. Calcular f (3).Ejemplos
Resolver: 1 Sea F (x ) =Rx 2 0 sen3(t)dt. Calcular F 0(x ) 2 Calcular Z cos x x3 sen(t2)dt 0 3 Sea x3+2x =Rx 3 0 f (t)dt. Calcular f (3).Teorema
Regla de Barrows
Sea f : [a, b] → R continua y F una primitiva de f en [a, b]. Entonces se cumple:
Z b
a
Teorema
Regla de Barrows
Sea f : [a, b] → R continua y F una primitiva de f en [a, b]. Entonces se cumple:
Z b
a
f (x )dx = F (b) − F (a)
Teorema
Regla de Barrows
Sea f : [a, b] → R continua y F una primitiva de f en [a, b].
Entonces se cumple:
Z b
a
Teorema
Regla de Barrows
Sea f : [a, b] → R continua y F una primitiva de f en [a, b]. Entonces se cumple:
Z b
a
f (x )dx = F (b) − F (a)
Procedimiento
Resolver:Rb a f (x )dx : 1 Obtener la primitiva F (x ). Esto es,R f (x)dx = F (x) + C. 2 Calcular: Z b a f (x )dx = F (b) − F (a)Procedimiento
Resolver:Rb a f (x )dx : 1 Obtener la primitiva F (x ). Esto es,R f (x)dx = F (x) + C. 2 Calcular: Z b a f (x )dx = F (b) − F (a)Ejemplos
Calcular: 1 R4 0 √ 2x + 1dx 2 R2 0 dx x2−2x+2 3 R π 2 0 sen(2x ) 1+sen2(x )dx 4 R2 0 |2x − 1|dxEjemplos
Calcular: 1 R4 0 √ 2x + 1dx 2 R2 0 dx x2−2x+2 3 R π 2 0 sen(2x ) 1+sen2(x )dx 4 R2 0 |2x − 1|dxEjemplos
Calcular: 1 R4 0 √ 2x + 1dx 2 R2 0 dx x2−2x+2 3 R π 2 0 sen(2x ) 1+sen2(x )dx 4 R2 0 |2x − 1|dxEjemplos
Calcular: 1 R4 0 √ 2x + 1dx 2 R2 0 dx x2−2x+2 3 R π 2 0 sen(2x ) 1+sen2(x )dx 4 R2 0 |2x − 1|dxTeorema
Sustituci ´on de Integrales Definidas
Sea f : [a, b] → R continua y ϕ : [c, d] → [a, b] con derivada continua talque ϕ(c) = a y ϕ(d ) = b. Entonces se cumple:
Z d c f (ϕ(x ))ϕ0(x )dx = Z b a f (u)du
Teorema
Sustituci ´on de Integrales Definidas
Sea f : [a, b] → R continua y ϕ : [c, d] → [a, b] con derivada continua talque ϕ(c) = a y ϕ(d ) = b. Entonces se cumple:
Z d c f (ϕ(x ))ϕ0(x )dx = Z b a f (u)du
Teorema
Sustituci ´on de Integrales Definidas
Sea f : [a, b] → R continua y ϕ : [c, d] → [a, b] con derivada continua talque ϕ(c) = a y ϕ(d ) = b. Entonces se cumple: Z d c f (ϕ(x ))ϕ0(x )dx = Z b a f (u)du
Teorema
Sustituci ´on de Integrales Definidas
Sea f : [a, b] → R continua y ϕ : [c, d] → [a, b] con derivada continua talque ϕ(c) = a y ϕ(d ) = b. Entonces se cumple:
Z d c f (ϕ(x ))ϕ0(x )dx = Z b a f (u)du
Procedimiento
Resolver:Rb
a f (x )dx :
1 Usar sustituci ´on:
determinar u y du
2 Evaluar u(a) y u(b)
3 Calcular: Z b a f (x )dx = Z u(b) u(a) f (u)du
Procedimiento
Resolver:Rb
a f (x )dx :
1 Usar sustituci ´on:
determinar u y du
2 Evaluar u(a) y u(b)
3 Calcular: Z b a f (x )dx = Z u(b) u(a) f (u)du
Procedimiento
Resolver:Rb
a f (x )dx :
1 Usar sustituci ´on:
determinar u y du
2 Evaluar u(a) y u(b)
3 Calcular: Z b a f (x )dx = Z u(b) u(a) f (u)du
Ejemplos
Calcular: 1 R2 0 xex 2 dx 2 R1 0 dx x2+4x +5 3 Re 1 sen(ln x ) x dx 4 R √ 2 2 0 dx √ 1−x2Ejemplos
Calcular: 1 R2 0 xex 2 dx 2 R1 0 dx x2+4x +5 3 Re 1 sen(ln x ) x dx 4 R √ 2 2 0 dx √ 1−x2Ejemplos
Calcular: 1 R2 0 xex 2 dx 2 R1 0 dx x2+4x +5 3 Re 1 sen(ln x ) x dx 4 R √ 2 2 0 dx √ 1−x2Ejemplos
Calcular: 1 R2 0 xex 2 dx 2 R1 0 dx x2+4x +5 3 Re 1 sen(ln x ) x dx 4 R √ 2 2 0 dx √ 1−x2Teorema
Integraci ´on por Partes
Sea f : [a, b] → R diferenciable, tal que f0 y g0son integrables
en [a, b]. Entonces se cumple: Z b a f (x )g0(x )dx = f (x )g(x )|ba− Z b a f0(x )g(x )dx
Teorema
Integraci ´on por Partes
Sea f : [a, b] → R diferenciable, tal que f0 y g0son integrables
en [a, b]. Entonces se cumple: Z b a f (x )g0(x )dx = f (x )g(x )|ba− Z b a f0(x )g(x )dx
Teorema
Integraci ´on por Partes
Sea f : [a, b] → R diferenciable, tal que f0 y g0son integrables
en [a, b]. Entonces se cumple: Z b a f (x )g0(x )dx = f (x )g(x )|ba− Z b a f0(x )g(x )dx
Teorema
Integraci ´on por Partes
Sea f : [a, b] → R diferenciable, tal que f0 y g0son integrables
en [a, b]. Entonces se cumple: Z b a f (x )g0(x )dx = f (x )g(x )|ba− Z b a f0(x )g(x )dx
Ejemplos
Calcular: 1 R4 2 log xdx 2 Rπ 2 0 sen √ x dx 3 Rπ 0 x 2cos xdxEjemplos
Calcular: 1 R4 2 log xdx 2 Rπ 2 0 sen √ x dx 3 Rπ 0 x 2cos xdxEjemplos
Calcular: 1 R4 2 log xdx 2 Rπ 2 0 sen √ x dx 3 Rπ 0 x 2cos xdxEjercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
Ejercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
0(x ) + f00(x )] sen xdx
Ejercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
Ejercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
0(x ) + f00(x )] sen xdx
Ejercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
Ejercicios Propuestos
Calcular:
1 Sea f una funci ´on con primera derivada continua en [0, 1]
tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:R01f2(2x )f0(2x )dx
2 Sabiendo queR1 0 ln(x +1) x2+1 dx = π 8ln 2. Calcular: R1 0 arc tg(x ) x +1 dx
3 Sea f : [−a, a] → R funci ´on continua, a ∈ R. Mostrar que:
a) f impar:Ra −af (x )dx = 0 b) f par:Ra −af (x )dx = 2 Ra 0 f (x )dx 4 Calcular:Rπ −πcos(2x ) sen(5x )dx
5 Suponer que f : [0, a] → R tiene segunda derivada
continua. Demostrar que: Ra
0(a − x )f
00(x )dx = f (a) − f (0) − af0(0)
6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada
continua en [−π, π].
Calcular:Rπ
−π[f (x ) + f
0(x ) + f00(x )] sen xdx
