Se denomina estado dinámico de una partícula el que queda determinado por su masa, posición y veloci - dad.
Si se conoce en un instante dado el estado dinámico de una partícula, es decir, si se conoce:
su masa, m, su posición, r(t) su velocidad, v(t)
y la forma en que varía con el tiempo la fuerza resultante ΣF(t) que actúa sobre la misma, su movimiento queda totalmente determinado.
En efecto: conociendo la fuerza resultante ΣF(t) y la masa de la partícula, se puede calcular la aceleración en cada instante por medio de la segunda ley de Newton:
11.1 Estado dinámico de una partícula
a
(t) = ΣF
(t) m y, a partir de la aceleración se puede calcular dv, ya que
y de aquí,
y, por tanto, se puede calcular la velocidad en el instante t+dt, ya que,
y, a su vez, como
despejando dr
y, por tanto, se puede calcular el vector de posición en el instante t+dt
De forma que, conociendo ΣF(t), queda determinado el estado dinámico de la partícula en cualquier ins- tante si se conocen, como ya se ha indicado anteriormente, la masa m de la partícula, su posición r(t) y su velocidad v(t).
Esta forma de especificar el movimiento de la partícula, deduciendo cuál es su estado dinámico en el ins- tante t+dt a partir del estado dinámico en el instante t, tiene carácter diferencial, y las ecuaciones que deter- minan dicho movimiento son ecuaciones diferenciales.
A partir de dichas ecuaciones, por integración, se obtienen las leyes que rigen su movimiento.
Hay otras formas de describir la situación de una partícula, que informan parcialmente del estado dinámi- co de la misma cuando no se dispone de la información necesaria para seguir el proceso de integración descri- to anteriormente, o bien cuando no interesa la solución completa del mismo.
Algunas de las variables dinámicas que suministran información parcial acerca del estado dinámico de una partícula son: su momento lineal, su momento angular y su energía.
dv
= a
(t)dt = ΣF
(t) m dt
a (t) =dv
(t) dt
v
(t +dt) = v (t)+dv
= v
(t)+ ΣF
(t) m dt
v
(t) =dr dt dr
= v
(t)dt
r
(t +dt) = r (t)+dr
= r
(t)+v (t)dt
11.2 Momento lineal
El momento lineal de una partícula de masa m, y velocidad v, es por definición:
p
= mv
[11.1]
Es, por tanto, un vector de igual dirección y sentido que v y cuyo módulo se obtiene multiplicando el módu- lo de v por la masa m de la partícula.
Veamos qué tipo de información nos puede suministrar esta magnitud vectorial.
Al estudiar la segunda ley de Newton vimos que podía ser expresada en la forma:
ΣF
= d dt(mv
) = mdv dt+ v dm
dt
Y si se toman solamente los dos primeros miembros de las igualdades anteriores,
ΣF
= d dt(mv
) =d p
dt
Por consiguiente, si se conoce la fuerza resultante ΣF, la ecuación anterior permite calcular p(t+dt) a par- tir de p(t) ya que,
p
(t +dt) = p
(t)+dp
y de la relación [11.2]
d p
= ΣF
dt y, sustituyendo en [11.3], da,
p
(t +dt) = p
(t)+dp
= p
(t)+ ΣF
dt pero no podemos conocer r(t+dt).
Esto es lo que se quiere dar a entender cuando se dice que esta magnitud proporciona información parcial acerca del estado dinámico de la partícula.
[11.2]
[11.4]
[11.3]
11.3 Teorema de conservación del momento lineal A partir de
ΣF
= d dt(mv
) =d p
dt se deduce que, si ΣF = 0, entonces,
d p
dt = 0
y, por tanto,
p
= cte
Es decir:
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es nula, su momento lineal es constante durante el movi- miento.
El enunciado anterior corresponde al llamado teorema de conservación del momento lineal, que, en el caso de una partícula, es una consecuencia inmediata de la segunda ley de Newton
Conviene puntualizar, al igual que se hizo con las leyes de Newton, ciertos aspectos importantes en la inter- pretación de dicho teorema de conservación.
En primer lugar, debe quedar claro que la constancia del vector p implica que su módulo, dirección y sen- tido son constantes mientras se cumpla la condición ΣF = 0.
Puede suceder que, en determinadas condiciones mecánicas, la condición se cumpla solamente durante un cierto intervalo de tiempo. En ese caso, el vector p se conservará constante durante dicho intervalo de tiem- po. En otras palabras:
Para poder afirmar que el momento lineal p es constante durante un determinado intervalo de tiempo, es nece- sario saber que en cada dt, es decir, en cada instante de dicho intervalo, se cumple la condición ΣF = 0
Cuando se conocen las condiciones en las que se encuentra un sistema en cada dt, como se ha indicado anteriormente, se dice que se dispone de información diferencial.
Otro aspecto importante a tener en cuenta, es que a partir de la relación vectorial:
ΣF
= d dt(mv
) =d p
dt
se pueden obtener tres ecuaciones correspondientes a las tres componentes sobre los ejes de coordenadas X, Y, Z, que supondremos pertenecientes a un sistema inercial de referencia:
ΣFx
=d px dt , ΣFy
=d py
dt , ΣFz
=d pz dt
Conviene discutir la conservación del momento lineal de esta forma porque puede ocurrir, por ejemplo, que un sistema material se encuentre en las siguientes condiciones:
ΣFx
= 0
, ΣFy
≠ 0
, ΣFz
≠ 0
con lo cual, evidentemente, ΣF ≠ 0, y por lo tanto, no se conserva el momento lineal.
Sin embargo, la discusión debe enfocarse de otra manera. Puesto que:
ΣFx
= 0
, d px dt = 0
y, por tanto, p
x = Ct
e y como
y asimismo, puesto que ΣFy
≠ 0
, d py dt ≠ 0
se deduce que, p
y ≠ Ct
e
ΣFz
≠ 0
, d pz dt ≠ 0
se deduce que, p
z ≠ Ct
e
De modo que, como px≠cte. y px≠cte., el momento lineal total p no es constante, lo que concuerda, natu- ralmente, con la conclusión hecha anteriormente.
Ahora bien, puede ocurrir que la constancia de px sea suficiente para resolver el problema y este aspecto puede pasar desapercibido si se discute la conservación del momento lineal a partir de la ecuación:
ΣF
=dp
dt 11.4 Impulso de una fuerza
Llamaremos, por definición, impulso lineal elemental de una fuerza F a: Fdt.
Por tanto, Fdt es un vector de igual dirección y sentido que F, y su módulo es el producto del módulo de F por dt.
A partir de ahora debe entenderse que F, para simplificar la notación, representa lo mismo que ΣF, es decir, la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema.
Entre esta magnitud vectorial, Fdt, y el momento lineal p, existe la relación [11.4],
ΣF
dt = dp
Se puede afirmar, pues, que:
El efecto producido por el impulso lineal elemental de una fuerza F durante un intervalo de tiempo elemental dt, es una variación infinitesimal, o elemental, dp, del momento lineal del sistema sobre el cual actúa la fuerza resul- tante F.
Si se considera un intervalo de tiempo finito, Δt = tf – ti, se denomina impulso lineal finito de una fuerza F, a la expresión,
F
ti dt
tf
∫
Veamos cuál es su significado y qué relación existe entre esta magnitud y el momento lineal.
A partir de la definición anterior, y teniendo en cuenta que Fdt = dp, se tiene,
F
ti dt
tf
∫
= t d p= p(tf)−i tf
∫
p(ti) = ΔpDe manera que:
El efecto producido sobre un sistema por el impulso lineal finito de una fuerza F durante el intervalo de tiempo, Δt = tf– ti, es una variación finita Δp = p(tf) – p(ti) de su momento lineal.
Debe tenerse en cuenta que la integral,
F
ti dt
tf
∫
representa el efecto global que produce sobre el sistema la acción de la fuerza resultante F durante el interva- lo de tiempo Δt. Por tanto, la integral da cuenta únicamente de la variación global de p, es decir, del incre- mento Δp que experimenta el momento lineal, pero no nos suministra información acerca de cómo varía p en cada instante, o lo que es igual, en cada dt.
Debe entenderse, por otra parte, que, en la expresión del momento lineal finito, la integral representa una suma vectorial y se debe tener en cuenta que una integral no suma, en general, vectores como si fueran núme- ros, es decir, escalares, salvo que todos los vectores sean de igual dirección.
Si la dirección del vector F varía conforme transcurre el tiempo, se debe descomponer dicho vector en sus tres componentes cartesianas, e integrar por separado cada una de dichas componentes. Para ello, se escoge un convenio de signos para cada eje con objeto de atribuir signos opuestos a las componentes de sentido con- trario sobre cada eje.
De este modo, cada integral se convierte en una suma algebráica de componentes a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas:
Fx
ti dt
tf
∫
= dpx
= px
(tf)−
ti tf
∫
px(ti) = Δpx Fyti dt
tf
∫
= dpy
= py
(tf)−
ti tf
∫
py(ti) = Δpy Fzti dt
tf
∫
= dpz
= pz
(tf)−
ti tf
∫
pz(ti) = Δpz Si se verifica que:F
ti dt
tf
∫
= 0se deduce de la relación [10.5] que:
p
(tf)− p
(ti) = Δp
= 0
es decir,
p
(tf) = p
(ti) lo cual no significa que p haya permanecido constante.
De modo que la condición F
ti dt
tf
∫
= 0 no implica la conservación del momento lineal p.Únicamente puede afirmarse que:
pero no se puede asegurar nada acerca de la constancia de p.
Para ello necesitaríamos saber qué sucede en cada dt, es decir, en cada instante, y la integral del impul- so únicamente nos informa del efecto global producido durante el intervalo de tiempo Δt = tf – ti.
El impulso finito de una fuerza, [11.5], es particularmente útil en el estudio de lo que, en el lenguaje colo- quial se denomina un golpe o una percusión.
En la mayor parte de los casos es imposible conocer la fuerza que actúa sobre una partícula durante el breve intervalo de tiempo que dura un golpe o una percusión. Se supone que las fuerzas de este tipo, deno- minadas fuerzas percusivas, son muy intensas, a juzgar por los efectos que producen, pero no se conocen con suficiente detalle.
Puesto que el tiempo durante el cual actúan tales fuerzas es extraordinariamente pequeño, el desplazamien- to de la partícula es despreciable.
p
(tf) = p
(ti)
[11.5]
F
ti dt
tf
∫
= t d p= p(tf)−i tf
∫
p(ti) = mv(tf)− mv
(ti) = mΔv
De forma que, si en el instante ti, inmediatamente antes del golpe o percusión, las variables dinámicas de la partícula son: su masa m, su vector de posición r y su velocidad v, en el instante tf, inmediatamente des- pués del golpe, las variables dinámicas serán, m, r y v+Δv.
En estas condiciones:
Y de aquí se deduce que, si se conoce la masa de la partícula y el impulso finito de la fuerza F, aunque ésta no sea conocida, se puede calcular la variación que experimenta la velocidad de la partícula.
O viceversa: Si se conoce la masa de la partícula y la variación de su velocidad, se puede calcular el impul- so de la fuerza F, si bien dicha fuerza no se puede llegar a conocer, a menos que se suponga constante, en cuyo caso:
F
ti dt
tf
∫
= F ti dt tf∫
= F(tf −ti) = FΔtque, comparada con la relación anterior, da:
F
Δt = mΔv
y de aquí,
F
= mv (tf)−v
(ti) tf −ti
