Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Álgebra
Laboratorio Nº 7
Geometría Analítica
Contenido:
• Cónicas: Circunferencia, Parábola, Elipse e Hipérbola.
• Puntos de interés de cónicas: Centro, focos, vértices, excentricidad, asíntotas.
• Intersección de cónicas.
Para realizar este Laboratorio con Class Pad, el estudiante debe conocer Principal, Gráficos & Tablas y Cónicas del menú de la calculadora gráfica, íconos ya utilizados en Laboratorios anteriores.
Actividad 1: Probar, usando calculadora, que las rectas que no pasan por el origen, formadas por la intersección de la circunferencia x2+ y2 =4 con la hipérbola xy=1, son paralelas o perpendiculares entre si.
Para realizar esta actividad, procederemos a 1. Despejar y de x2+ y2 =4 y de xy=1. 2. Mover las funciones obtenidas.
3. Hallar las intersecciones.
4. Dibujar segmento.
5. Pegar la recta obtenida.
6. Dibujar esta recta.
1. Despejar y de 4x2+ y2 = y de xy=1. 2. Mover las funciones obtenidas.
3. Hallar las intersecciones.
1 2
3
Tocamos
Marcamos cada función Arrastramos cada función
Puntos de intersección:
A(-1.931852, -0.517638) , B(-0.517638, -1.931852), C(0.517638, 1.931852) y D(1.931852, 0.517638).
4. Dibujar segmento.
Análisis – Esbozo - Línea
5. Pegar la recta obtenida.
6. Dibujar esta recta.
4
5 6
7. Repetir pasos 4, 5 y 6.
Actividad 2: Calcular los ángulos bajo los cuales se cortan la elipse 4x2 + y9 2 =13 y la circunferencia 2x2 + y2 = .
En primer lugar despejamos y de las ecuaciones dadas, después graficamos y buscamos los puntos de intersección:
7 El resultado esperado después de la operación 7, se muestra en la figura.
Observe que las ecuaciones de las rectas que aparecen en la parte inferior, cumplen con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
A continuación determinamos las rectas tangentes:
Llevamos estas rectas a Geometría y luego, medimos el ángulo formado por dos trazos, contenidos por las rectas. De esta forma, obtenemos el ángulo que forman las dos rectas.
En forma análoga se determinan los otros ángulos.
Actividad 3: Demostrar que las cónicas 9x2 + y16 2 =144 y 3x2 − y4 2 =12 son cofocales y que se cortan ortogonalmente.
Graficamos las dos cónicas y allí observamos que tienen los mismos focos (son cofocales).
Para probar que son ortogonales en los puntos de intersección, primero determinamos puntos de intersección y luego las rectas tangentes.
Pegamos las rectas tangentes en Geometría y trazamos dos segmentos que estén contenidos en las rectas.
Seleccionamos estos segmentos y medimos el ángulo que forman.
Actividad 4: Determinar la naturaleza de las siguientes cónicas. En cada caso, indicar centro, focos, vértices, excentricidad, directriz(es), simetrías y dibujar su gráfica.
(a) 36x2 −18y2 +36x+24y−35=0 (b) 03x2 +y2−6x−6y+9=
(c) y=(x+2)(x−3)
(d) 25x2 +120xy+144y2 +86x−233y+270=0 (e) x2 −2xy+y2 +3x−y+4=0
Aproximadamente, el ángulo que forman los dos segmentos, y las rectas que los contienen, es de 90°.
Análogamente, se determina la ortogonalidad en los otros.
(a) 36x2 −18y2 +36x+24y−35=0 (Hipérbola)
Centro Foco 1 Foco 2
Vértice 1 Vértice 2 Excentricidad
Asíntotas:
(b) 3x2 +y2 −6x−6y+9=0 (Elipse)
Centro Vértice Vértice
Foco 1 Foco 2 Excentricidad
(c) y=(x+2)(x−3) (Parábola)
Foco Vértice Directriz
Simetría Longitud lado recto Excentricidad
(d) 25x2 +120xy+144y2 +86x−233y+270=0
¡Cuidado! Pueden existir diferencias en el resultado que se obtiene al usar el simulador, la calculadora ClassPad 300 Plus o la calculadora ClassPad 300.
(e) x2 −2xy+y2 +3x−y+4=0 (Parábola)
Foco Vértice Directriz
Simetría Longitud lado recto Excentricidad
