El problema de Cauchy para la ecuación de Boltzmann no lineal

Texto completo

(1)EL PROBLEMA DE CAUCHY PARA LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN NO LINEAL. DAVID JOSÉ SANTOS MARTÍNEZ. Trabajo de Grado para optar al tı́tulo de Magı́ster en Matemáticas.. DIRECTOR Dr. RAFAEL GALEANO ANDRADE. UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CARTAGENA DE INDIAS D.T. Y C. COLOMBIA 2018.

(2) EL PROBLEMA DE CAUCHY PARA LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN NO LINEAL. DAVID JOSÉ SANTOS MARTÍNEZ. UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CARTAGENA DE INDIAS D.T. Y C. COLOMBIA 2018.

(3) Nota de aceptación. Firma del Presidente del Jurado. Firma del Jurado. Firma del Jurado.

(4) DEDICATORIA. Éste trabajo está dedicado a Jehová mi Dios, el Todopoderoso el Creador de todas las cosas el Gran Matemático que con su infinita sabidurı́a fundó el maravilloso mundo en el que vivimos, que nos dá la vida, salud y felicidad, la gloria y alabanza sea para Él..

(5) AGRADECIMIENTOS. Agradezco a mi esposa Elvira por su gran apoyo incansable en la realización de éste gran proyecto en mi vida; a mis hijas Vanesa y Marı́a que son mis tesoros; a mis padres Noé y Miriam por todo lo que me dieron. Especial agradecimiento al profesor Rafael Galeano por su paciente acompañamiento al darme la luz de un gran maestro y a todos mis profesores que son mis modelos para ser cada vez mejor. También agradecimiento especial a la profesora Ana Magnolia Marı́n por su apoyo y orientación. Agradezco mucho la ayuda y colaboración de mi compañero Julio Cisneros..

(6) RESUMEN. Exponemos los conceptos básicos más importantes que necesitamos para alcanzar los objetivos propuestos. Retomamos textualmente el trabajo hecho por R. Glassey en su libro The Cauchy Problem in Kinetic Theory en su capı́tulo 2, en el cual el autor plantea el problema de Cauchy para la Ecuación de Boltzmann no Lineal encontrando solución única en el espacio de las funciones continuas tales que multiplicadas por la función de prueba eβ(|x|. 2 +|v|2 ). son acotadas; lo hace definiendo un operador que,. al ser contractivo, demustra la existencia de un único punto fijo en dicho espacio, el cual es la solución del Problema de Cauchy. Seguidamente definimos la suma de dos operadores: uno contractivo y otro continuo y compacto con dominio en el espacio de las funciones integrables tales que multiplicadas por la función de prueba eβ(|x|. 2 +|v|2 ). son acotadas. R. Glassey encuentra un operador contractivo que tiene punto fijo, el cual es solución única del Problema de Cauchy para la Ecuación de Boltzmann no lineal; nuestro trabajo consiste en estudiar la existencia de un operador que sea la suma de uno contractivo y otro continuo y compacto, el cual tiene solución en el espacio antes descrito, por el Teorema de Punto Fijo de Krasnolseskii..

(7) Índice general. Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. I. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. I. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II. 1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 2. Objetivo del Trabajo de Grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1. Objetivo general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 3. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 4.. La Solución a través de un operador contractivo . . . . . . . . . . . . . .. 11. 4.1. El problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann. . . . . . . . .. 11. 4.2. Problema del Punto Fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto . . . .. 26. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 5..

(8) 1. INTRODUCCIÓN. El estudio de las Ecuaciones Diferenciales y el Análisis Funcional cobra mucho interés en la comunidad matemática actual. Particularmente la Ecuación de Boltzmann ha acaparado la atención de una buena parte de la comunidad cientı́fica por sus múltiples aplicaciones, toda vez que describe el choque que ocurre entre partı́culas o elementos, esto según el contexto de aplicación; es por esta razón que la teorı́a cinética de los gases y la economı́a, entre otras ciencias, la emplean para realizar sus respectivos estudios.. Estamos interesados en abordar el Problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann no lineal y queremos encontrarle solución vı́a Teorema de Punto Fijo de Krasnoselskii; con esta meta expuesta, buscaremos su solución en el espacio X de las funciones L1 que multiplicadas por una función de prueba apropiada son acotadas. Después el problema se debe transformar en un problema de punto fijo para conseguir una solución débil. Seguidamente queremos encontrar dos operadores definidos en este espacio X, uno que sea continuo y compacto y otro que sea contractivo los cuales sumaremos de tal forma que garantice la existencia de alguna solución. A este espacio de funciones X lo dotaremos de una norma de tal manera que sea un espacio de Banach. Ası́ las cosas aplicaremos el Teorema de Punto Fijo de Krasnolseskii el cual garantiza la existencia de por lo menos una solución local en X.. Por otro lado en el capı́tulo 3, abordaremos los conceptos básicos apropiados para nuestro propósito, en el cual recurriremos entre otros, al Principio de Contracción de Banach el cual exige un operador contractivo, que mapea el espacio X sobre el mismo espacio, para garantizar existencia de solución y particularmente unicidad de la misma. También el Teorema de Schauder que por su parte exige un operador continuo y compacto para garantizar existencia de por lo menos una solución al problema de punto fijo planteado..

(9) 1. Introducción. 2. El capı́tulo 4, se basará completamente en el capı́tulo dos del libro The Cauchy Problem in Kinetic Theory de Robert Glassey, en el cual el autor encuentra un operador contractivo para el problema de punto fijo correspondiente al Problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann no lineal pasando seguidamente a aplicar el principio de Contracción de Banach garantizando la existencia y unicidad de solución la cual es solución débil al Problema de Cauchy.. Por último, en el capı́tulo 5, encontraremos un operador que consta de la suma de dos operadores, uno contractivo y el otro continuo y compacto definido en el espacio de funciones antes descrito y le aplicaremos el Teorema de Punto Fijo de Krasnoselskii para encontrar una solución generalizada la cual es solución al Problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann, para consiguir de esta manera el objetivo general propuesto..

(10) 2. OBJETIVO DEL TRABAJO DE GRADO.. 2.1 Objetivo general. Encontrar una solución débil vı́a Teorema del punto fijo de Krasnoselskii con debilitamiento en el dato inicial f0 (x, v) del Problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann no lineal a través de un operador consistente en la suma de uno contractivo y otro continuo y compacto definido en el espacio de Banach de las funciones integrables tales que, multiplicadas por una función de prueba apropiada son acotadas, dotado de la norma del supremo. El operador suma con valores en los reales..

(11) 3. PRELIMINARES. En todo nuestro trabajo consideraremos el siguiente espacio: Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida de Lebesgue donde Ω = [0, ∞) × R3 × R3 . En éste capı́tulo hacemos una contextualización de la teorı́a que vamos a emplear en toda la consideración enmarcada en los resultados ampliamente conocidos del Análisis Funcional y las Ecuaciones Diferenciales; recordamos algunas demostraciones, las cuales transcribimos y otras por ser más elaboradas simplemente hacemos la remisión para mayor ilustración.Ver [6] Definición 3.1 (Espacio Normado). Un espacio normado X, es un espacio vectorial en el cual se ha definido una norma. Una norma ( · ) es a su vez un funcional definido sobre el espacio X tal que, para todo x, y ∈ X y α ∈ R se cumple i). x ≥0. ii). x = 0 si y sólo si x = 0. iii). αx = |α| · x. iv). x+y ≤ x + y. Si (X, k · k) es un espacio completo, entonces decimos que es un espacio de Banach. Sabemos que la norma define una métrica en un espacio normado; esto es, si x, y ∈ X entonces d(x, y) = x − y , donde d(x, y) es la distancia de x a y. También, cuando tenemos un mapeo continuo entre dos espacios métricos, conseguimos que la imagen de un espacio compacto es un espacio compacto; dicho de otro modo, la compacidad es un invariante topológico. Más precisamente, consideremos el siguiente teorema: Teorema 3.1. Sea T : X → Y un mapeo continuo, para (X, d) y (Y, d’) espacios métricos. Si M ⊂ X es compacto entonces T (M ) es compacto..

(12) 3. Preliminares. 5. Prueba. Basta verificar que toda sucesión en T (M ) posee una subsucesión convergente en T (M ). En efecto, sea (yn ) una sucesión en T (M ); entonces para todo n, yn = T (xn ) donde xn ∈ M , para todo n; ası́ tenemos una sucesión (xn ) en M ; como M es compacto, (xn ) tiene una subsucesión (xnk ) convergente en M . Como T es continua tenemos que T (xnk ) es una subsucesión de (yn ) que converge en T (M ), por lo que T (M ) es compacto.. Definición 3.2 (Operador lineal acotado). Sean X , Y espacios normados, y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde D(T ) es el dominio del operador T en X. El operador T se dice que es acotado si si existe un número real c > 0 tal que, T (x). Y. ≤c x. X. para todo x ∈ D(T ). De ésta desigualdad vemos que T mapea conjuntos acotados en su dominio de definición en conjuntos acotados de su rango. La norma del operador T , T , la definimos como: T = sup. T (x) , donde x ∈ D(T ) − {0}. x. Como ejemplos de operadores lineales tenemos, para X, Y espacios normados, los siguientes: Ejemplo 3.1 (Operador Identidad). I : X → X, definido como I(x) = x, x ∈ X. I = sup. I(x) x = sup = sup 1 = 1, x 6= 0. x x. Ejemplo 3.2 (Operador Cero). 0 : X → Y definido como 0(x) = 0; 0 = 0, x ∈ X. Estos dos operadores anteriores son acotados..

(13) 3. Preliminares. 6. Ejemplo 3.3 (Operador Diferenciación). Si X es el espacio de polinomios defid nidos sobre [0, 1]; el operador T : X → X definido como T x(t) = x(t). Se conoce dt como Operador Diferenciación. Este operador no es acotado con la norma del máximo, x = máx |x(t)|. t∈[0,1]. En efecto, si xn (t) = tn (n ∈ N), entonces xn = 1. T xn d También T x(t) = x(t) = ntn−1 . T xn = n, xn = 1 y = n (x ∈ [0, 1]). dt xn Como n es arbitrario, encontramos que el operador lineal diferenciación no es acotado. Ejemplo 3.4 (Operador Integración). Podemos definir un operador integral T : C[0, 1] → C[0, 1] por Z T x(t) =. 1. k(t, τ )x(τ )dτ 0. donde k es una función dada, llamada kernel de T la cual es continua sobre [0, 1] × [0, 1] en el plano tτ , en consecuencia k es acotada, ası́ |k(t, τ )| ≤ k0 para todo (t, τ ) ∈ [0, 1] × [0, 1], k0 es un real. Ası́ |x(t)| ≤ máx |x(t)| = x , t ∈ [0, 1]. y. t∈[0,1]. Z t∈[0,1]. esto es,. 1. Z k(t, τ )x(τ )dτ ≤ máx. T x = máx 0. t∈[0,1] 0. 1. |k(t, τ )| |x(τ )| dτ ≤ k0 x. T x ≤ k0 x , ası́ T es acotado y sabemos que es lineal, (t ∈ [0, 1]).. Definición 3.3 (Operador Lineal Compacto). Sean X, Y espacios normados, T : X → Y se dice que es un operador lineal compacto si es lineal y si para todo M ∈ X acotado, T (M ) es compacto de Y . Si dicho operador es acotado se tiene que es continuo. Una caracterización de la compacidad de operador lineal compacto serı́a: T : X → Y es un operador lineal compacto si y solo sı́ T (B), es compacto, donde B es la bola unidad cerrada de X para X, Y espacios normados. Definición 3.4. Sean X, Y espacios lineales normados. un mapeo F : X → Y es llamado compacto si F (X) está contenido en un compacto de Y . Un mapeo compacto F : X → Y es llamado finito dimensional si F (X) está contenido en un subespacio lineal finito dimensional de Y ..

(14) 3. Preliminares. 7. Definición 3.5 (Mapeo Lipschitziano). Sea (X, · ) un espacio normado; un mapeo T : X → X se dice Lipschitziano si existe α ∈ R+ ∪ {0} tal que (T (x) − T (y) ≤ α x − y para todo x, y ∈ X. Se sigue de inmediato la continuidad de T si es Lipschitziano. El menor valor de α que cumple ésta desigualdad se conoce como constante Lipschitziana de T y la notamos por L. Si L < 1 decimos que T es una contracción y si L = 1 el mapeo se dice que no es expansivo. Para notación definimos T n (x) inductivamente como T 0 (x) = x, T (T n (x)) = T n+1 (x), n = 0, 1, 2, ... donde x ∈ X. Definición 3.6 (Punto Fijo). Un elemento u ∈ X se dice que es punto fijo de un operador T : X → X, si T u = u Teorema 3.2 (Principio de Contracción de Banach PCB). Sea (X,. · ). espacio de Banach, T : X → X una contracción, entonces existe un único u ∈ X tal que para todo x ∈ X lı́m T n (x) = u. n→∞. con T n (x) − u ≤. Ln x − T (x) 1−L. para L constante Lipschitziana de T . Prueba. Sea x ∈ X. Veamos que {T n (x)}∞ n=1 es una sucesión de Cauchy. En efecto, T n (x) − T n+1 (x) ≤ L T n−1 (x) − T n (x) ≤ · · · ≤ Ln x − T (x) . Para m > n tenemos por desigualdad triangular que T n (x) − T m (x) ≤ T n (x) − T n+1 (x) + T n+1 (x) − T n+2 (x) + · · · + T m−1 (x) − T m (x) ≤ Ln x − T (x) + · · · + Lm−1 x − T (x) ≤ Ln x − T (x) [1 + L + L2 + · · · + Lm−n−1 ] ≤ Ln x − T (x) [1 + L + L2 + · · · + Lm−n−1 + · · · ] =. Ln x − T (x) 1−L.

(15) 3. Preliminares. 8. Ası́ {T n (x)}∞ n=1 es una sucesión de Cauchy en X el cual es completo, por tanto existe u ∈ X tal que lı́m T n (x) = u. n→∞. Como T es continua tenemos que u = lı́m T n+1 (x) = lı́m T (T n (x)) = T ( lı́m T n (x)) = T (u) n→∞. n→∞. n→∞. De esta manera u es un punto fijo de T . Si m → ∞ tenemos Ln x − T (x) 1−L Seguidamente si x y y son puntos fijos del mapeo T tenemos que T n (x) − u ≤. x − y = T (x) − T (y) ≤ L x − y Ası́ x − y = 0. Lo que nos muestra la unicidad del punto fijo de dicho mapeo. Observación: Si (X, · ) es un espacio de Banach, y T : X → X es una contracción, entonces cualquier bola cerrada en el espacio también es completa, ya que cualquier sucesión de Cauchy en dicha bola cerrada es también una sucesión de Cauchy en todo X y al ser éste completo existe el lı́mite de la sucesión en X, y como la bola es cerrada, contiene todos sus puntos adherentes por lo que la sucesión converge en dicha bola cerrada. Es claro que bajo la hipótesis del Principio de Contracción de Banach, el operador tiene un único punto fijo en cualquier bola cerrada en donde esté definida, y en consecuencia en todo el espacio. Teorema 3.3. Si X es espacio métrico compacto y T : X → X tal que T (x) − T (y) < x − y , con x, y ∈ X, x 6= y. Entonces T tiene un único punto fijo en X. Prueba. La aplicación x 7−→ T (x) − x es contı́nua en X ; como X es compacto ésta aplicación alcanza mı́nimo valor en un punto x0 ∈ X, por lo que x0 es un punto fijo de T , ya que de otra forma tendrı́amos que T (T (x0 )) − T (x0 ) < T (x0 ) − x0 ,. lo cual es una contradicción.. Para la unicidad, supongamos que T (x) = x y T (y) = y, x 6= y. Entonces T (x) − T (y) < x − y , luego x − y < x − y lo cual es absurdo, por lo que x = y. De esta manera se tiene la prueba..

(16) 3. Preliminares. 9. Teorema 3.4. Sean x0 ∈ X, r > 0 y B = B(x0 , r) =. n x∈X :. x0 − x < r. o. y. (X, · ) un espacio de Banach. T : B → X una contracción tal que T (x0 ) − x0 < (1 − L)r entonces existe un único u ∈ B tal que T (u) = u. Prueba. Sea r0 ∈ [0, r) tal que T (x0 ) − x0. ≤ (1 − L)r0 , y sea x ∈ B(x0 , r0 ).. Entonces T (x) − x0 ≤ T (x) − T (x0 ) + T (x0 ) − x0 ≤ L x − x0 + (1 − L)r0 ya que T es contractiva. Como x ∈ B(x0 , r0 ), x − x0 ≤ r0 , ası́ L x − x0 + (1 − L)r0 ≤ Lr0 + r0 − Lr0 = r0 , en consecuencia T (x) − x0 ≤ r0 , entonces T (x) ∈ B(x0 , r0 ), esto significa que T : B(x0 , r0 ) → B(x0 , r0 ) y como B(x0 , r0 ) ⊂ X, B(x0 , r0 ) es completa y por el P CB existe un único u ∈ B(x0 , r0 ) tal que T (u) = u. Y como B(x0 , r0 ) ⊂ B(x0 , r) tenemos el resultado deseado.. Teorema 3.5 (Teorema de Schauder). Sea M convexo no vacı́o de un espacio normado X y T un mapeo continuo de M en un compacto N ⊂ M T :M →N Entonces T tiene un punto fijo en su dominio. Prueba. Ver Agarwal, Fixed Point Theory and Aplications, pág 38. Ver [1].. Definición 3.7. Sea F ⊂ L1 (Ω). F es equiintegrable si.

(17) 3. Preliminares. 10. i) F es acotado en L1 (Ω). Z |f |dµ < ε para todo f ∈ F y todo. ii) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que A ⊂ Ω medible con m(A) < δ.. A. Z |f |dµ < ε para todo. iii) Para todo ε > 0 existe ω ∈ Σ con m(ω) < ∞ tal que Ω\ω. f ∈F. Teorema 3.6 (Teorema de Dunford-Pettis). Sea F ⊂ L1 (Ω) acotado. Entonces F tiene clausura compacta en la topologı́a débil σ(L1 , L∞ ) si y sólo si F es equiintegrable. Prueba. Ver Brezis, Functional Analysis Sobolev Spaces on Partial Diferential Equations.Ver [4]. Teorema 3.7 (Teorema del Punto Fijo de Krasnoselskii). Sea M un subconjunto cerrado convexo no vacı́o de un espacio de Banach X. Supongamos que T y A mapean a M en X tal que: i) para todo x, y ∈ M,. T x + Ay ∈ M ,. ii) el operador A es compacto y continuo y iii) el operador T es una contracción, Entonces existe y ∈ M tal que T y + Ay = y Prueba. Ver H. Bas, J.F.C. Kingman Fixed piont theorems pág 31.Ver [3].

(18) 4. LA SOLUCIÓN A TRAVÉS DE UN OPERADOR CONTRACTIVO. 4.1 El problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann Objetivo: Resolver el Problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann, encontrando una función f de medida de Lebesgue, f : R+ × R3 × R3 → R+ que satisface el problema de Cauchy de la Ecuación de Boltzmann:   ∂f (t, x, v) + v · ∇ f (t, x, v) = Q(f, f ) x ∂t  f (0, x, v) = f (x, v) 0. (4.1). La Ecuación de Boltzmann describe en el contexto de la Teorı́a Cinética de los Gases, la evolución de la función distribución de un gas en un espacio de fases, en el cual se consideran choques indeformables binarios entre moléculas del gas. Abreviaremos f (t, x, v) = f (v), f (t, x, u) = f (u), ... El operador no lineal Q(f, f )(v) en (4.1) está definido como: Z Z h i Q(f, f )(v) = σ w · (v − u) f (v 0 )f (u0 ) − f (v)f (u) dw du R3. 2 S+. el cual podemos reexpresar ası́ Q(f, f )(v) = Qg (f, f ) − Ql (f, f ), donde Z Z Qg (f, f )(v) = σ w · (v − u)f (v 0 )f (u0 ) dw du R3. 2 S+. y Z. Z w · (v − u)f (v)f (u) dw du. Ql (f, f )(v) = σ R3. 2 S+. donde σ ∈ R es la constante de proporcionalidad del área de la esfera; también 2 = {w ∈ S 2 : w · (v − u) ≥ 0}. definimos el subconjunto de la esfera S+. Es claro que Q : Ω → R+ y Q ∈ L1 (Ω). Supondremos que v + u = v 0 + u0 , |v|2 + |u|2 = |v 0 |2 + |u0 |2 , donde v, u, v 0 , u0 , x ∈ R3 Para w ∈ S 2 tenemos:.

(19) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 12. u0 = u + w · (v − u)w y v 0 = v − w · (v − u)w De tal manera que v + u = v 0 + u0 ∂f (v) En (4.1) + v · ∇x f (v) es el operador transporte y f (0, x, v) = f0 (x, v) es el ∂t dato inicial del problema de Cauchy. Lema 4.1. Veamos que Z. Z. Z w · (v − u)f (u)dwdu = π. |v − u|f (u)du. 2 S+. R3. R3. . Ası́ mismo. Z. Z. Z. 0. |v − u|f (u0 )du.. w · (v − u)f (u )dwdu = π R3. 2 S+. R3. 2 = {w ∈ S 2 : w · (v − u) ≥ 0} Prueba. Sea S+. También tenemos w · (v − u) = |w||v − u|cosθ, donde θ es el ángulo entre w y (v − u). Como |w| = 1 y |v − u|cosθ ≥ 0 tenemos que cosθ ≥ 0 , razón por la que,si dA = rdrdθ, conseguimos Z Z Z w · (v − u)f (u)dwdu = R3. 2 S+. hZ Z. R3. i f (u)|v − u|cosθrdrdθ du A. Z f (u)|v − u|. =. hZ. R3. f (u)|v − u|. hZ. R3. Z f (u)|v − u|. =. cosθ. −π/2 π/2. Z =. π/2. R3. Z. π 2. π/2. hZ. ii dr dθdu. 0. h cosθ r. −π/2 h Z π/2. π/2 ii 0. dθdu. i cosθdθ du. −π/2 π/2. i π = du 2 R3 −π/2 Z h π −π i π = |v − u|f (u) sen( ) − sen( ) du 2 R3 2 2 Z h π π i = |v − u|f (u) 2sen( ) du 2 R3 2 Z =π |v − u|f (u)du h |v − u|f (u) senθ. R3. De forma parecida conseguimos Z Z Z 0 w · (v − u)f (u )dwdu = π R3. 2 S+. R3. |v − u|f (u0 )du..

(20) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. Con lo que tenemos Z Z Z w · (v − u)f (v)f (u)dwdu = π 2 S+. R3. 13. |v − u|f (v)f (u)du.. R3. y también Z. Z. 0. Z. 0. |v − u|f (v 0 )f (u0 )du.. w · (v − u)f (v )f (u )dwdu = π R3. 2 S+. R3. Por lo que inmediatamente conseguimos Z Z h i Q(f, f )(v) = σ w · (v − u) f (v 0 )f (u0 ) − f (v)f (u) dudw R3. Z =π. 2 S+. h i |v − u| f (v 0 )f (u0 ) − f (v)f (u) du.. R3. Como la ecuación es no lineal, escribimos (4.1) como un problema de punto fijo; para esto definimos el espacio, para β > 0 un escalar fijo y Ω = [0, ∞) × R3 × R3 ,. n o 2 2 X := f ∈ L1 (Ω) : ∃ c > 0, |f (t, x, v)|eβ(|x| +|v| ) ≤ c El espacio X 6= ∅ ya que f (t, x, v) = 0 f ∈ X.. Ahora definamos sobre X una norma. Sea f. X. = f. y. f = sup |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). .. (t,x,v). Esto está bien definido puesto que si f ∈ X, entonces |f (t, x, v)|eβ(|x| luego existe el sup |f (t, x, v)|e. β(|x|2 +|v|2 ). .. (t,x,v). Afirmación: f. X. = f es una norma.. En efecto, si f = 0, entonces sup |f (t, x, v)|eβ(|x| (t,x,v). con lo que |f (t, x, v)| ≡ 0, ya que si |f (t, x, v)| > 0 tendrı́amos que |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). >0. 2 +|v|2 ). = 0,. 2 +|v|2 ). ≤ c,.

(21) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 14. de lo que f > 0; de esta manera tendrı́amos una contradicción con la hipótesis. También, si f (t, x, v) ≡ 0, entonces es claro que f ≡ 0. Ahora sea α ∈ R, entonces tenemos que αf = sup |αf (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). = |α| sup |f (t, x, v)|eβ(|x|. t,x,v. 2 +|v|2 ). = |α| f .. t,x,v. Para verificar la desigualdad triangular, sean f, g ∈ X, entonces f + g = sup |f (t, x, v) + g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ,. (t,x,v). como |f (t, x, v) + g(t, x, v)| ≤ |f (t, x, v)| + |g(t, x, v)|, tenemos que |f (t, x, v) + g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). + |g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). por lo tanto sup |f (t, x, v)+g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). i h 2 2 2 2 ≤ sup |f (t, x, v)|eβ(|x| +|v| ) + |g(t, x, v)|eβ(|x| +|v| ) (t,x,v). ≤ sup |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). + sup |g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). Por lo que sup |f (t, x, v) + g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). ≤ sup |f (t, x, v)|eβ(|x| (t,x,v). ası́. f +g. X. ≤ f. X. + g. 2 +|v|2 ). + sup |g(t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). X. Lema 4.2. (X, k · k) es un espacio de Banach. Prueba. Sea {fn } una sucesión de Cauchy en X, n ∈ N. Esto es, para todo ε > 0 dado, existe N ∈ N tal que para todo n, m > N , fn − fm ≤ ε. Ası́, si n, m > N , entonces fn − fm = sup |fn (t, x, v) − fm (t, x, v)|eβ(|x| (t,x,v). 2 +|v|2 ). ≤ ε..

(22) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. Luego, |fn (t, x, v) − fm (t, x, v)| ≤ εe−β(|x0 |. 2 +|v. 0|. 2). 15. , para todo (t, x, v) ∈ Ω, siempre. que n, m > N Ası́ para (t0 , x0 , v0 ) fijo en Ω = [0, ∞) × R3 × R3 tenemos que |fn (t0 , x0 , v0 ) − fm (t0 , x0 , v0 )| ≤ εe−β(|x| con lo que existe un único f (t0 , x0 , v0 ) ∈ R tal que Ası́, para cada (t, x, v) ∈ Ω. 2 +|v|2 ). n, m > N. lı́m fn (t0 , x0 , v0 ) = f (t0 , x0 , v0 ).. n→∞. existe un único f (t, x, v) ∈ R. de tal manera que. tenemos una función definida puntualmente en el dominio, de modo que lı́m fn (t, x, v) = f (t, x, v).. n→∞. Veamos ahora que f = f (t, x, v) ∈ X. En efecto, si m → ∞, en sup |fn (t, x, v) − fm (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ ε, para n sufi-. (t,x,v). cientemente grande tenemos que sup |fn (t, x, v) − f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ ε,. (t,x,v). entonces |fn (t, x, v) − f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ ε, para n suficientemente grande.. Pero, para todo n ∈ N, fn (t, x, v) ∈ X, tenemos que |fn (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ C.. Ası́ tenemos: |f (t, x, v)| = |f (t, x, v)−fn (t, x, v)+fn (t, x, v)| ≤ |f (t, x, v)−fn (t, x, v)|+|fn (t, x, v)|, ası́ |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ |f (t, x, v) − fn (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). + |fn (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ ε + C = C0 . Esto es, |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ C0 .. Además, si m → ∞, en sup |fn (t, x, v) − fm (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ ε, para n suficien-. (t,x,v). temente grande; conseguimos que fn (t, x, v) − f (t, x, v) ≤ ε de lo que podemos concluir que {fn } → f uniformemente; como fn ∈ X para todo n y |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ C0 , conseguimos que f ∈ L1 (Ω),. por lo tanto f ∈ X y también f ∈ L1 (Ω). Hemos conseguido mostrar que el espacio X con la norma definida es de Banach..

(23) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. Lema 4.3. Veamos que Z. ∞. e. −β|x+τ (v−u)|2. −1. r. dτ ≤ |v − u|. 0. 16. π β. Prueba. Si v = u, el resultado es trivial, puesto que r Z Z ∞ Z ∞ π −β|x|2 −β|x|2 −β|x+τ (v−u)|2 e dx ≤ e dx ≤ e dτ = β R 0 0 . En el caso v 6= u, tenemos Z ∞ Z −β|x+τ (v−u)|2 e dτ = 0. ∞. . −β |x|2 +2τ x·(v−u)+τ 2 |v−u|2. e. 0. = e−β|x|. 2. Z 0. = e−β|x|. 2. Z. ∞. e−β. ∞. . . dτ . τ 2 |v−u|2 +2τ x·(v−u). . dτ. |v−u|. −β τ 2 |v−u|2 +2τ x·(v−u) |v−u|. . e. dτ.. 0. Hacemos s = τ |v−u| y η =. (v − u) , entonces |η| = 1, ds = |v−u|dτ y s2 = τ 2 |v−u|2 . |v − u|. Ahora, sustituyendo. −1 −β|x|2. |v − u|. Z. ∞. e. e. 0. . −β s2 +2sx·η+(x·η)2 −(x·η)2. . Z. ∞. 2 2 e−β (s+(x·η)) −(x·η) ds 0 Z ∞ 2 2 2 = |v − u|−1 eβ (x·η)) −|x| e−β s+(x·η) ds −1 −β|x|2. ds = |v − u|. e. 0. Sea ξ = s + (x · η), entonces dξ = ds. Como |η| = 1 y como también se cumple que (x · η)2 − |x|2 = −|x × η|2 , tenemos al sustituir Z ∞ Z ∞ 2 −βξ 2 −1 −β|x×η|2 −1 β (x·η)2 −|x|2 e−βξ dξ |v − u| e e dξ = |v − u| e 0 Z0 ∞ 2 2 ≤ |v − u|−1 e−β|x×η| e−βξ dξ −∞ r Z π −1 −βξ 2 −1 ≤ |v − u| e dξ = |v − u| β R. 4.2 Problema del Punto Fijo Definición 4.1. Sea f (t, x, v) ∈ X. Definimos f # (t, x, v) = f (t, x + tv, v), de donde f # : Ω → R+ ..

(24) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 17. Definición 4.2. Entenderemos por una solución clásica de (4.1), aquellas f ∈ L1 (Ω) y que satisfacen (4.1) clásicamente. Definición 4.3. Entenderemos por una solución en el sentido de L1 (Ω), aquellas f ∈ L1 (Ω) y que satisfacen (4.1) en L1 (Ω).. Ahora, sea f ∈ X, entonces tenemos que d # f (t, x, v) dt ∂ dt ∂ d ∂ d = f (t, x + vt, v) + f (t, x + vt, v) (x + vt) + f (t, x + vt, v) v ∂t dt ∂(x + vt) dt ∂v dt ∂ # = f (t, x, v) + v · ∇x f # (t, x, v) ∂t = Q# (f, f )(t, x, v). De esta manera tenemos que: d # f (t, x, v) = Q# (f, f )(t, x, v) dt Integrando en [0, t] obtenemos Z. #. f (t, x, v) = f0 (x, v) +. t. Q# (f, f )dτ,. para f ∈ X.. 0. Por tanto definimos el operador #. Z. F (f (t, x, v)) = f0 (x, v) +. t. Q# (f, f )dτ.. (4.2). 0. Lema 4.4. Supongamos que f0 (x, v) ∈ X. El operador definido en (4.2) satisface i) F(f # ) ∈ X, si f # ∈ X, es decir F : X → X ii) F es una contracción. 2 = A. Prueba. Sea f0 (x, v) ∈ X y f # ∈ X. Sea R3 × S+. Por definición el operador colisión ZZ Q(f, f )(t, x, v) = σ w · (v − u) f (t, x, v 0 )f (t, x, u0 ) − f (t, x, v)f (t, x, u) dw du A.

(25) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 18. Por lo que tenemos aplicando Lema 4.1 ZZ h i # Q (f, f )(t, x, v) = σ w · (v − u) f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) dw du ZA h i = πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) du R3. Z. |Q (f, f )| ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) + f # (t, x, v)f # (t, x, u) du 3 R Z h i |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) + f # (t, x, v)f # (t, x, u) du ≤ πσ #. R3. Z. h i |Q (f, f )| ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) + f # (t, x, v) f # (t, x, u) du R3 Z h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| |f # (t, x, v 0 )|eβ(|x+t(v−v )| +|v | ) e−β(|x+t(v−v )| +|v | ) ≤ πσ #. R3 0. |f # (t, x, u0 )|eβ(|x+t(v−u )| + |f # (t, x, v)|eβ(|x|. #. 2 +|v|2 ). e−β(|x|. 2 +|v|2 ). 2 +|u0 |2 ). 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 ). |f # (t, x, u)|eβ(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 ). e−β(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 ). i du. Z. h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| f # e−β(|x+t(v−v )| +|v | ) f # e−β(|x+t(v−u )| +|u | ) R3 i 2 2 2 2 + f # e−β(|x| +|v| ) f # e−β(|x+t(v−u)| +|u| ) du Z h 0 2 0 2 0 2 0 2 2 ≤ πσ |v − u| f # e−β(|x+t(v−v )| +|v | +|x+t(v−u )| +|u | ) R3 i 2 2 2 2 2 + f # e−β(|x| +|v| )+|x+t(v−u)| +|u| ) du. |Q (f, f )| ≤ πσ. |Q# (f, f )| ≤ πσ f #. ≤ πσ f #. #. |Q (f, f )| ≤ πσ f. h 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(|x+tv| −2(x+tv)tv +t |v | +|x+tv| −2(x+tv)tu +t |u | +|v | +|u | ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|x+t(v−u)| +|v| +|u| ) du Z h 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 |v − u| e−β(2|x+tv| −2(x+tv)t(v +u )+t (|v | +|u | )+|v | +|u | ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|v| +|x+t(v−u)| +|u| ) du. # 2. ≤ πσ f #. Z. Z. h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(|x+t(v−v )| +|v | +|x+t(v−u )| +|u | ) 3 R i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|v| )+|x+t(v−u)| +|u| ) du Z h 0 2 0 2 0 2 0 2 2 |v − u| e−β(|(x+tv)−tv )| +|(x+tv)−tu )| +|v | +|u | ) 3 R i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|x+t(v−u)| +|v| +|u| ) du. 2.

(26) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. |Q# (f, f )| ≤ πσ f #. ≤ πσ f #. 19. Z. h 2 2 2 2 2 2 |v − u| e−β(2|x+tv| −2(x+tv)t(v+u)+t (|v| +|u| )+|v| +|u| ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|v| +|x+t(v−u)| +|u| ) du Z h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |v − u| e−β(|x+tv| −2(x+tv)tv+t |v| +|x+tv| −2(x+tv)tu+t |u| +|v| +|u| ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|v| +|x+t(v−u)| +|u| ) du 2. #. |Q (f, f )| ≤ πσ f. ≤ πσ f #. #. |Q (f, f )| ≤ 2πσ f. Z. h 2 2 2 2 |v − u| e−β(|(x+tv)−tv)| +|(x+tv)−tu)| +|v| +|u| ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|v| +|x+t(v−u)| +|u| ) du Z h 2 2 2 2 2 |v − u| e−β(|x| +|x+t(v−u)| +|v| +|u| ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x| +|x+t(v−u)| +|v| +|u| ) du. # 2. # 2. Z. 2 2 2 2 |v − u|e−β [|x| +|v| ]−β [|x+t(v−u)| +|u| ] du Z 2 2 2 −β [|x|2 +|v|2 ] e |v − u|e−β [|x+t(v−u)| ] e−β|u| du. R3. ≤ 2πσ f #. R3. Integrando en [0, t] conseguimos: Z t |Q# (f, f )(t, x, v)|dτ 0. ≤ 2πσ f. # 2 −β [|x|2 +|v|2 ]. t #. |Q (f, f )(t, x, v)|dτ ≤ 2πσ f. 0. ≤ 2πσ f #. r. Z π −β [|x|2 +|v|2 ] 2 e e−β|u| du β R3 r r 3 π π −β [|x|2 +|v|2 ] 2 e β β. # 2. 0. Z. . e. R3. Z. −β [|x+τ (v−u)|2 ]. 2. dτ e−β|u| du R3 0 Z ∞ Z 2 2 −β [|x|2 +|v|2 ] −β [|x+τ (v−u)|2 ] e |v − u| e dτ e−β|u| du |v − u|. e. ≤ 2πσ f #. t. Z. Z. t. 2π. |Q# (f, f )(t, x, v)|dτ ≤ 2σ f #. 3. β2. 0. e−β [|x|. 2 +|v|2. Por todo esto hacemos: F f # (t, x, v) = f0 (x, v) +. t. Z. Q# (f, f )dτ. 0. #. t. Z. Q# (f, f )dτ |. |F f (t, x, v)| = |f0 (x, v) + 0. Z ≤ |f0 (x, v)| + 0. t. |Q# (f, f )|dτ. ].

(27) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. |F f # (t, x, v)| ≤ |f0 (x, v)|eβ [|x|. 2 +|v|2. ] e−β [|x|2 +|v|2 ] +. 20. t. Z. |Q# (f, f )|dτ. 0 |x|2 +|v|2. ≤ f0 e−β [. ] + 2σ f. # 2π. 3. β2. e−β [|x|. 2 +|v|2. ]. Por tanto conseguimos que: |F f # (t, x, v)|eβ [|x|. 2 +|v|2. ] ≤ f + 2σ f # 0. 2π. 3. β2. Esto nos muestra que si f # ∈ X y f0 ∈ X, entonces F f # ∈ X. Esto es F : X → X. Ahora, considerando la bola cerrada en X XR = {f ∈ X : kf k ≤ R, R > 0} En particular si R es lo suficientemente pequeño, ésto es, R ≤ f0 ≤. R 2. y. 3 +2σ βπ2 R. ≤. 1 2,. β2 4σπ 3. tenemos que ,. por lo que. |F f # (t, x, v)|eβ [|x|. 2 +|v|2. ] ≤ f + 2σ f # 0. 2π. 3. β2. ≤ f0 + 2σR2. π3 β2. Y seguidamente, sup |F f # |eβ [|x| (t,x,v). 2 +|v|2. 3 ] ≤ R + 2σR π R ≤ R + R = R 2 β2 2 2. de lo que Ff# ≤ R de lo que observamos que F f # ∈ XR , siempre que f0 ≤. R 2. 3. y +2σ βπ2 R ≤. Para mostrar la segunda parte; tomemos f # , g # ∈ X, entonces: Z t # # # # |F (f ) − F (g )| = |F (f − g )| = [Q# (f, f ) − Q# (g, g)]dτ 0. 1 2.

(28) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. De esta manera hacemos: Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h i |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) = πσ R3 Z h i − πσ |v − u| g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v)g # (t, x, u) du 3 Z R h = πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) R3. i + g # (t, x, v)g # (t, x, u) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) du Z |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) ≤ πσ R3 #. + g (t, x, v)g # (t, x, u) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) du. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) R3 i # + g (t, x, v)g # (t, x, u) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) du Z h ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − f # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) R3 #. + f (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) + g # (t, x, v)g # (t, x, u) i − g # (t, x, v)f # (t, x, u) + g # (t, x, v)f # (t, x, u) − f # (t, x, v)f # (t, x, u) du. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, u0 ) + g # (t, x, u0 ) R3. f # (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ) + g # (t, x, v) g # (t, x, u) − f # (t, x, u) i + f # (t, x, u) g # (t, x, v) − f # (t, x, v) du Z h ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, u0 ) + g # (t, x, u0 ) R3. f (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ) + g # (t, x, v) g # (t, x, u) − f # (t, x, u) i + f # (t, x, u) g # (t, x, v) − f # (t, x, v) du #. 21.

(29) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 22. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h |v − u| f # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, u0 ) + g # (t, x, u0 ) ≤ πσ R3. f (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ) + g # (t, x, v) g # (t, x, u) − f # (t, x, u) i + f # (t, x, u) g # (t, x, v) − f # (t, x, v) du #. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h 0 2 0 2 0 2 0 2 ≤ πσ |v − u| f # (t, x, v 0 ) eβ(|x+t(v−v )| +|v | ) e−β(|x+t(v−v )| +|v | ) R3 0. (f # − g # )(t, x, u0 ) eβ(|x+t(v−u )| 0. + g # (t, x, u0 ) eβ(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 ) 0. (f # − g # )(t, x, v 0 ) eβ(|x+t(v−v )| + g # (t, x, v) eβ(|x|. 2 +|v|2 ). 2 +|u0 |2 ). e−β(|x|. 0. e−β(|x+t(v−u )| 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|v 0 |2 ). 2 +|v|2 ). 2 +|u0 |2 ). 2 +|u0 |2 ) 0. e−β(|x+t(v−v )|. 2 +|v 0 |2 ). (g # − f # )(t, x, u) eβ(|x+t(v−u)| 2. 2 +|u|2 ). 2. + f # (t, x, u) eβ(|x+t(v−u)| +|u| ) e−β(|x+t(v−u)| i 2 2 2 2 (g # − f # )(t, x, v) eβ(|x| +|v| ) e−β(|x| +|v| ) du. e−β(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 ). 2 +|u|2 ). Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z h 0 2 0 2 0 2 0 2 ≤ πσ |v − u| f # e−β(|x+t(v−v )| +|v | ) f # − g # e−β(|x+t(v−u )| +|u | ) + g. R3 #. 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 ). g # − f # e−β(|x+t(v−u)|. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g + g. #. e. 0. f # − g # e−β(|x+t(v−v )|. 2 +|u|2 ). + f # e−β(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 ). + g # e−β(|x|. 2 +|v|2 ). g # − f # e−β(|x|. 2 +|v|2 ). h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| f # e−β(|x+t(v−v )| +|v | +|x+t(v−u )| +|u | ). R3 −β(|x+t(v−u0 )|2 +|u0 |2 +|x+t(v−v 0 )|2 +|v 0 |2 ). + f # e−β(|x+t(v−u)|. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g. 2 +|v 0 |2 ). 2 +|u|2 +|x|2 +|v|2 ). i. + g # e−β(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 +|x|2 +|v|2 ). du. h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(|x+t(v−v )| +|v | +|x+t(v−u )| +|u | ) R3 i −β(|x+t(v−u)|2 +|u|2 +|x|2 +|v|2 ) +e f # + g# du. f # + g#. . i. du.

(30) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g. 23. h 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(|(x+tv)−tv )| +|v | +|(x+tv)−tu )| +|u | ) R3 i −β(|x+t(v−u)|2 +|u|2 +|x|2 +|v|2 ) du f # + g# +e. f # + g#. . Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g f # + g#. h 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(|x+tv| −2(x+tv)tv +t |v | +|x+tv| −2(x+tv)tu +t |u | +|v | +|u | ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x+t(v−u)| +|u| +|x| +|v| ) f # + g # du. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g f # + g#. h 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| e−β(2|x+tv| −2(x+tv)t(v +u )+t (|v | +|u | )+|u | +|v | ) R3 i 2 2 2 2 + e−β(|x+t(v−u)| +|u| +|x| +|v| ) f # + g # du. Aplicando las leyes v + u = v 0 + u0 y |u|2 + |v|2 = |u0 |2 + |v 0 |2 , conseguimos:. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g f # + g#. h 2 2 2 2 2 2 |v − u| e−β(2|x+tv| −2(x+tv)t(v+u)+t (|v| +|u| )+|u| +|v| ) 3 R i 2 2 2 2 + e−β(|x+t(v−u)| +|u| +|x| +|v| ) f # + g # du. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g f # + g#. h 2 2 2 2 2 2 2 2 |v − u| e−β(|x+tv| −2(x+tv)tv+t |v| +|x+tv| −2(x+tv)tu+t |u| +|v| +|u| ) 3 R i 2 2 2 2 du + e−β|x+t(v−u)| e−β|u| e−β(|x| +|v| ) f # + g #. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z ≤ πσ f # − g #. h 2 2 2 2 |v − u| e−β(|x+tv−tv| +|v| +|x+tv−tu)| +|u| ) 3 R i −β|x+t(v−u)|2 −β|u|2 −β(|x|2 +|v|2 ) +e e e f # + g# du. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z ≤ πσ f # − g #. f # + g#. h 2 2 2 2 |v − u| e−β(|x| +|v| +|x+t(v−u)| +|u| ) f # + g # R3 i 2 2 2 2 + e−β|x+t(v−u)| e−β|u| e−β(|x| +|v| ) f # + g # du. .

(31) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. 24. Q# (f, f ) − Q# (g, g) Z # # ≤ πσ f − g. h 2 2 2 2 |v − u| e−β|x+t(v−u)| e−β|u| e−β(|x| +|v| ) R3 i −β|x+t(v−u)|2 −β|u|2 −β(|x|2 +|v|2 ) du f # + g# +e e e. f # + g#. . Q# (f, f ) − Q# (g, g) ≤ πσe−β(|x|. 2 +|v|2 ). f # − g#. f # + g#. . Z. 2. 2. |v − u|2e−β|x+t(v−u)| e−β|u| du. R3. Integrando de ambos lados y aplicando el Lema 4.3 tenemos: Z t Q# (f, f ) − Q# (g, g) dτ 0 Z t Z 2 2 2 2 |v − u| e−β|x+τ (v−u)| dτ e−β|u| du f # + g# ≤ 2πσe−β(|x| +|v| ) f # − g # 3 Z0 ∞ ZR 2 2 2 −β|x+τ (v−u)|2 # # # # −β(|x| +|v| ) |v − u| e dτ e−β|u| du + g f f −g ≤ 2πσe R3. Z. 0. t. Q# (f, f ) − Q# (g, g) dτ. 0 −β(|x|2 +|v|2 ). ≤ 2πσe. ≤ 2πσe−β(|x| ≤2. 2 +|v|2 ). f. #. −g. #. f # − g#. f. #. + g. #. f # + g#. . r. π β. Z. 2. e−β|u| du. R3. r r π π3 β β . π 3 σ −β(|x|2 +|v|2 ) # # f # + g# f − g e β2. Por lo tanto tenemos: π3σ # 2 2 F f # − g # eβ(|x| +|v| ) ≤ 2 2 f + g# f # − g# β En consecuencia conseguimos finalmente: F f # − g#) ≤ 2. π3σ # # f + g f # − g# β2. Ahora, sea XR = {f ∈ X : kf k ≤ R F f # − g#. . ≤2. R > 0};. si f # , g # ∈ XR ,. tenemos que:. π3σ # π3σ # # # f + g f − g ≤ 4 R f # − g# β2 β2. β2 π3σ , entonces 4 R<1 4π 3 σ β2 con lo que demostramos que F es una contracción siempre que R sea lo suficienteSi R es lo suficientemente pequeño, esto es mente pequeño.. R<.

(32) 4.. La Solución a través de un operador contractivo. Teorema 4.1. Sea XR = {f ∈ X : kf k ≤ R. R > 0} El operador Z. #. 25. t. F(f (t, x, v)) = f0 (x, v) +. Q# (f, f )dτ. 0. descrito en (4.2), tiene un único punto fijo en XR . Prueba. El espacio normado (X, k · kX ) es un espacio de Banach, en consecuencia la bola cerrada XR también es completa como subespacio; el operador F es una contracción tal que F : XR → XR . Banach, existe un único. f#. ∈ XR. Entonces por el Principio de Contracción de tal que. F f # = f #.. Conclusión: Al finalizar este capı́tulo hemos conseguido una única solución. El Teorema de Punto Fijo de Banach ó Principio de Contracción de Banach, garantiza la existencia y unicidad de la solución de nuestro problema; esto es existe un único f # ∈ XR tal que F f # = f # , es decir una única solución local.Ver [2].

(33) 5. LA SUMA DE UN OPERADOR CONTRACTIVO CON UNO CONTINUO Y COMPACTO. Ahora, queremos encontrar dos operadores definidos en el espacio de funciones X, en ese orden de ideas procedemos primeramente a plantear el problema de Cauchy. El problema de Cauchy para la ecuación de Boltzmann no lineal es:   ∂f (t, x, v) + v · ∇ f (t, x, v) = Q(f, f ) x ∂t  f (0, x, v) = f (x, v) 0. (5.1). Queremos encontrar una función f , de medida de Lebesgue tal que: f : R+ × R3 × R3 → R+ satisfaga dicho problema en el siguiente espacio.. n o 2 2 X := f ∈ L1 (Ω) : ∃ c > 0, |f (t, x, v)|eβ(|x| +|v| ) ≤ c Para β > 0, Ω = [0, ∞) × R3 × R3 . Espacio dotado con norma kf kX = sup |f (t, x, v)|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). (t,x,v). .. Sabemos que (X, k · k) es un espacio de Banach.. Abreviemos las notaciones f (t, x, v) = f (v), f (t, x, u) = f (u), .... El operador Q4 (f, g) está definido de la siguiente manera Z Z 1 ω·(v−u) f (v 0 )g(u0 ) + f (u0 )g(v 0 ) − f (u)g(v) − f (v)g(u) dωdu Q4 (f, g)(t, x, v) = σ 2 R3 S+2 (5.2).

(34) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 27. El operador colisión Q(f, f ) está definido de la siguiente manera Z Z Q(f, f )(t, x, v) = σ ω · (u − v) f (v 0 )f (u0 ) − f (v)f (u) dωdu. (5.3). R3. Z. 2 S+. Z. Q(f, f )(t, x, v) = σ. 0. Z. 0. Z. ω·(u−v)f (v )f (u )dωdu−σ R3. 2 S+. ω·(u−v)f (v)f (u)dωdu R3. 2 S+. (5.4) Es decir, Q(f, f ) = Qg (f, f ) − Ql (f, f ). (5.5). Donde σ es una constante proporcional al área de la esfera. Observemos que Q4 (f, f ) = Q(f, f ) Aquı́ 2 S+ = ω ∈ S2 : ω · u ≤ ω · v S 2 = ω ∈ R3 : kωk = 1 Consideraremos que v 0 + u0 = v + u y que |v 0 |2 + |u0 |2 = |v|2 + |u|2 se cumplen. Definimos f # (t, x, v) = f (t, x + vt, v); por cálculos directos encontramos que Q# (f, f ) = Q(f # , f # ) ası́:. d # f (t, x, v) = Q# (f, f )(t, x, v), dt y si integramos con respecto a t; Z t # f (t, x, v) = f0 (x, v) + Q# (f, f )dτ 0. Z. #. Por tanto definimos el operador F f (t, x, v) = f0 (x, v) +. t. Q# (f, f )dτ . Tenemos. 0. que F : X → X.. Definamos los operadores A y T sobre el espacio X de la siguiente manera  Z t  #  Q#  Af (t, x, v) = − l (f, f )dτ 0 Z t    T f # (t, x, v) = f0 (x, v) + Q# g (f, f )dτ.. (5.6). 0. Obsérvese que F f # = Af # + T f # . Lema 5.1. Los operadores A y T cumplen que A : X → X y T : X → X..

(35) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. Prueba. Tomemos f # ∈ X, de lo que conseguimos Z Z t Q# (f, f )dτ ≤ Af # (t, x, v) = − l. t. Q# l (f, f ) dτ. 0. 0. 28. Z Z ω · (v − u)f (t, x, v)f (t, x, u)dωdu. Por definición Ql (f, f ) = σ Q# l (f, f ). por lo que. 2 R3 ×S+. Z Z. ω · (v − u)f # (t, x, v)f # (t, x, u)dωdu. =σ 2 R3 ×S+. Integrando en S2+ y por Lema 4.1 conseguimos que Z # # |v − u|f # (t, x, u)du Ql (f, f ) = σπf (t, x, v) R3. Q# l (f, f ). Z. #. ≤ σπ f (t, x, v). |v − u| f # (t, x, u) du. R3 β(|x|2 +|v|2 ) −β(|x|2 +|v|2 ). e ≤ σπ f # (t, x, v) e Z 2 2 2 2 |v − u| f # (t, x, u) eβ(|x+t(v−u)| +|u| ) e−β(|x+t(v−u)| +|u| ) du R3 Z 2 2 2 2 ≤ σπkf # ke−β(|x| +|v| ) |v − u|kf # ke−β(|x+t(v−u)| +|u| ) du 3 R Z 2 2 # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ σπkf k e |v − u|e−β(|x+t(v−u)| +|u| ) du R3. Ahora, integrando en [0, t] conseguimos Z. t. 0. Z. t. 0. Z. t. 0. |Q# l (f, f )|dτ. # 2. −β(|x|2 +|v|2 ). Z. Z |v−u|. ≤ σπkf k e. R3. t. −β(|x+t(v−u)|2 ). e. . 2. dτ e−β|u| du. 0. Z ∞ 2 2 |v − u| e−β(|x+t(v−u)| ) dτ e−β|u| du 3 ZR r 0 π −β|u|2 2 2 e du ≤ σπkf # k2 e−β(|x| +|v| ) β R3 r r 3 π π # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ σπkf k e β β. # 2 −β(|x| Q# l (f, f ) dτ ≤ σπkf k e. Q# l (f, f ) dτ ≤. 2 +|v|2 ). Z. π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) kf k e β2. Ası́ Af # (t, x, v) eβ(|x| Esto significa que A : X → X.. 2 +|v|2 ). ≤. π3σ # 2 kf k β2.

(36) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 29. Similarmente, para el operador T tenemos; si f # ∈ X y f0 ∈ X: Z t # Q# T f (t, x, v) ≤ f0 (x, v) + g (f, f )dτ 0. Z Z Por definición: Qg (f, f ) = σ Q# g (f, f ) Q# g (f, f ). ω · (v − u)f (t, x, v 0 )f (t, x, u0 )dωdu por lo que 2 R3 ×S+. Z Z. ω · (v − u)f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 )dωdu. =σ. Z Z. 2 R3 ×S+. ω · (v − u) f # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) dωdu. ≤σ 2 R3 ×S+. Z Z. 0. ω · (v − u) f # (t, x, v 0 ) eβ(|x+t(v−v )|. ≤σ. 2 +|v 0 |2 ). 0. e−β(|x+t(v−v )|. 2 +|v 0 |2 ). 2 R3 ×S+ 0. f # (t, x, u0 ) eβ(|x+t(v−u )| Z Z. 2 +|u0 |2 ). 0. ω · (v − u) kf # ke−β(|x+t(v−v )|. ≤σ. 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|v 0 |2 ). 2 +|u0 |2 ). dωdu 0. kf # ke−β(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. Z Z. 0. ω · (v − u) kf # k2 e−β(|x+t(v−v )|. ≤σ. 2 +|v 0 |2 +|x+t(v−u0 )|2 +|u0 |2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. Z Z. 0. ω · (v − u) kf # k2 e−β(|(x+tv)−tv )|. ≤σ. 2 +|v 0 |2 +|(x+tv)−tu0 )|2 +|u0 |2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. Q# g (f, f ). Z Z ≤σ. ω · (v − u) kf # k2. 2 R3 ×S+ 2. 0. 0 2. 2. e−β(|x+tv| −2(x+tv)tv +t |v | +|x+tv| Z Z ≤σ ω · (v − u) kf # k2. 2 −2(x+tv)tu0 +t2 |u0 |2 +|v 0 |2 +|u0 |2 ). dωdu. 2 R3 ×S+ 2. 0. 0. e−β(|x+tv| −2(x+tv)t(v +u )+|x+tv| Z Z ≤σ ω · (v − u) kf # k2. 2 +t2 (|v 0 |2 +|u0 |2 )+|v 0 |2 +|u0 |2 ). dωdu. 2 R3 ×S+ 2. e−β(|x+tv| −2(x+tv)t(v+u)+|x+tv| Z Z ≤σ ω · (v − u) kf # k2. 2 +t2 (|v|2 +|u|2 )+|v|2 +|u|2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. e−β(|x+tv| Q# g (f, f ). Z Z. 2 −2(x+tv)tv+t2 |v|2 +|x+tv|2 −2(x+tv)tu+t2 |u|2 +|v|2 +|u|2 ). ω · (v − u) kf # k2 e−β(|(x+tv)−tv)|. ≤σ. dωdu. 2 +|v|2 +|(x+tv)−tu)|2 +|u|2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. Z Z. ω · (v − u) kf # k2 e−β(|x|. ≤σ. 2 +|v|2 +|x+t(v−u)|2 +|u|2 ). dωdu. 2 R3 ×S+. # 2 −β(|x|2 +|v|2 ). Z Z. 2. 2. ω · (v − u) e−β(|x+t(v−u)| ) e−β|u| dωdu. ≤ σkf k e. 2 R3 ×S+.

(37) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 30. Ahora, integrando en [0, t] y considerando que [0, t] ⊂ [0, ∞], tenemos: Z. t. Q# g (f, f ) dτ. 0 # 2 −β(|x|2 +|v|2 ). Z tZ Z. 2. 2 R3 ×S+. 0. ≤ σkf # k2 e−β(|x|. 2 +|v|2 ). ∞Z. Z. Z. 2 +|v|2 ). 2. 2. ω · (v − u) e−β(|x+τ (v−u)| ) e−β|u| dωdudτ 2 R3 ×S+. 0. ≤ πσkf # k2 e−β(|x|. 2. ω · (v − u) e−β(|x+τ (v−u)| ) e−β|u| dωdudτ. ≤ σkf k e. Z. ∞Z. 2. 2. v − u e−β(|x+τ (v−u)| ) e−β|u| dudτ. R3. 0. t. Z. Q# g (f, f ) dτ. 0 # 2 −β(|x|2 +|v|2 ). Z. Z. ≤ πσkf k e. ∞. −β(|x+τ (v−u)|2 ). v−u e 0 Z r π −β|u|2 # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ πσkf k e e du β R3 r r 3 π π # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ πσkf k e β β. 2 dτ e−β|u| dudτ. R3. ≤. π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) kf k e β2. Ası́ conseguimos: t. Z. #. Q# g (f, f )(t, x, v) dτ. T f (t, x, v) ≤ f0 (x, v) + 0. ≤ f0 (x, v) eβ(|x| ≤ kf0 ke−β(|x|. 2 +|v|2 ). 2 +|v|2 ). +. e−β(|x|. 2 +|v|2 ). +. π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) kf k e β2. π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) kf k e β2. Por lo que finalmente conseguimos: T f # (t, x, v) eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤ kf0 k +. π3σ # 2 kf k β2. De tal manera que T : X → X.. Por otro lado, definamos la bola cerrada de radio R en X: XR = {f ∈ X : kf k ≤ R, R > 0} para demostrar los siguientes lemas..

(38) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 31. Lema 5.2. Sea T : XR → X un operador definido por Z t # # Q# Tf (t, x, v) = f0 (x, v) + g (f, f )(t, x, v)dτ, con f ∈ XR . 0. Entonces T es una contracción. Prueba. Sean f # , g # , f0 ∈ XR , entonces T (f # − g # )(t, x, v) = T f # (t, x, v) − T g # (t, x, v) Z t # = Qg (f, f )(t, x, v) − Q# g (g, g)(t, x, v) dτ 0 Z t # ≤ Q# g (f, f )(t, x, v) − Qg (g, g)(t, x, v) dτ 0. Pero # Q# g (f, f ) − Qg (g, g) Z n o = πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) du 3 ZR n = πσ |v − u| f # (t, x, v 0 )f # (t, x, u0 ) − f # (t, x, u0 )g # (t, x, v 0 ) R3. o + f # (t, x, u0 )g # (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 )g # (t, x, u0 ) du Z. n |v − u| f # (t, x, u0 ) f # (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ). = πσ R3. o + g # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, u0 ) du. Q# g (f, f ). −. Q# g (g, g). Z. n |v − u| f # (t, x, u0 ) f # (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ) R3 # o # 0 0 # 0 + g (t, x, v ) f (t, x, u ) − g (t, x, u ) du Z n ≤ πσ |v − u| f # (t, x, u0 ) f # (t, x, v 0 ) − g # (t, x, v 0 ) R3 o + g # (t, x, v 0 ) f # (t, x, u0 ) − g # (t, x, u0 ) du. ≤ πσ. # Q# g (f, f ) − Qg (g, g) Z n 0 2 0 2 0 2 0 2 ≤ πσ |v − u| |f # (t, x, u0 )|eβ(|x+t(v−u )| +|u | ) e−β(|x+t(v−u )| +|u | ) R3 0. |(f # − g # )(t, x, v 0 )|eβ(|x+t(v−v )| 0. + |g # (t, x, v 0 )|eβ(|x+t(v−v )|. 2 +|v 0 |2 ). 2 +|v 0 |2 ) 0. |(f # − g # )(t, x, u0 )|eβ(|x+t(v−u )|. 0. e−β(|x+t(v−v )| 0. e−β(|x+t(v−v )|. 2 +|u0 |2 ). 2 +|v 0 |2 ). 2 +|v 0 |2 ) 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 ). o du.

(39) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 32. # Q# g (f, f ) − Qg (g, g) Z n 0 2 0 2 0 2 0 2 |v − u| kf # ke−β(|x+t(v−u )| +|u | ) kf # − g # ke−β(|x+t(v−v )| +|v | ) ≤ πσ R3 o 0 2 0 2 0 2 0 2 + kg # ke−β(|x+t(v−v )| +|v | ) kf # − g # ke−β(|x+t(v−u )| +|u | ) du. # Q# g (f, f ) − Qg (g, g) ≤ πσ. Z. n |v − u| kf # k + kg # k. R3 0. e−β(|x+t(v−u )|. 2 +|u0 |2 )+|x+t(v−v 0 )|2 +|v 0 |2 ). o kf # − g # k du. Aplicando las leyes v + u = v 0 + u0 y |v 0 |2 + |u0 |2 = |v|2 + |u|2 y procediendo como anteriormente lo hicimos, conseguimos # Q# g (f, f ) − Qg (g, g). ≤ πσkf. #. #. Z. n o 2 2 2 2 |v − u| kf # k + kg # k e−β(|x+t(v−u)| +|u| )+|x| +|v| ) du. −g k R3. Luego tenemos: Z t n o # # # # −β(|x|2 +|v|2 ) # Q# g (f, f ) − Qg (g, g) dτ ≤ πσkf − g k kf k + kg k e 0 Z ∞ Z 2 −β(|x+τ (v−u)|2 ) |v − u| e dτ e−β|u| du R3. 0. t. Z. # Q# g (f, f )−Qg (g, g) dτ. 0. Z. t. 0. Z n o # # −β(|x|2 +|v|2 ) − g k kf k + kg k e. r. π −β|u|2 e du β R3 r r 3 n o π π # # # # −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ πσkf − g k kf k + kg k e β β n o π3σ # 2 2 # kf − g # k kf # k + kg # k e−β(|x| +|v| ) Q# g (f, f ) − Qg (g, g) dτ ≤ β2 ≤ πσkf. #. #. Esto es T (f # − g # ) eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤. o π3σ n # # kf k + kg k kf # − g # k β2. Con lo que finalmente conseguimos: T (f # − g # ) ≤. o π3σ n # # kf k + kg k kf # − g # k β2. Como f # , g # ∈ XR se tiene que kf # k y kg # k son menores o iguales que R. Por lo tanto. o π3σ n # π3σ # kf k + kg k ≤ 2 R β2 β2. β2 2π 3 σR , tenemos que < 1. 2π 3 σ β2 Luego, el operador T es una contracción, como se querı́a demostrar. Si R es lo suficientemente pequeño, esto es, R <.

(40) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 33. Lema 5.3. Sea A : XR → X el operador definido por Z t # Q# Af # = l (f, f )dτ, con f ∈ XR . 0. Entonces A es un operador compacto y continuo. Prueba. Para demostrar la continuidad del operador A: Sean f # , g # ∈ X, entonces |A(f # − g # )(t, x, v)| = |Af # (t, x, v) − Ag # (t, x, v)| Z th i # = Q# (f, f )(t, x, v) − Q (g, g)(t, x, v) dτ l l 0 Z t # Q# ≤ l (f, f )(t, x, v) − Ql (g, g)(t, x, v) dτ 0. Seguidamente, tenemos: # |Q# l (f, f ) − Ql (g, g)| = πσ. Z. n o |v − u| f # (t, x, v)f # (t, x, u) − g # (t, x, v)g # (t, x, u) du 3. ZR. n |v − u| f # (t, x, v)f # (t, x, u) − f # (t, x, u)g # (t, x, v). = πσ R3. o + f # (t, x, u)g # (t, x, v) − g # (t, x, v)g # (t, x, u) du Z. n |v − u| f # (t, x, u) f # (t, x, v) − g # (t, x, v). = πσ R3. o + g # (t, x, v) f # (t, x, u) − g # (t, x, u) du. |Q# l (f, f ). −. Q# l (g, g)|. Z. |v − u| f # (t, x, u) f # (t, x, v) − g # (t, x, v). ≤ πσ R3. o + g # (t, x, v) f # (t, x, u) − g # (t, x, u) du Z ≤ πσ. |v − u|. n. f # (t, x, u) f # (t, x, v) − g # (t, x, v). R3. + g # (t, x, v) f # (t, x, u) − g # (t, x, u) |Q# l (f, f ). −. Q# l (g, g)|. Z ≤ πσ. n 2 2 2 2 |v − u| |f # (t, x, u)|eβ(|x+t(v−u)| +|u| ) e−β(|x+t(v−u)| +|u| ). R3 #. |(f. o du. − g # )(t, x, v)|eβ(|x+t(v−v)|. + |g # (t, x, v)|eβ(|x+t(v−v)|. 2 +|v|2 ). 2 +|v|2 ). |(f # − g # )(t, x, u)|eβ(|x+t(v−u)|. e−β(|x+t(v−v)|. e−β(|x+t(v−v)|. 2 +|u|2 ). 2 +|v|2 ). 2 +|v|2 ). e−β(|x+t(v−u)|. 2 +|u|2 ). o du.

(41) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. # |Q# l (f, f ) − Ql (g, g)| ≤ πσ. 34. Z. n 2 2 2 2 |v − u| kf # ke−β(|x+t(v−u)| +|u| ) kf # − g # ke−β(|x| +|v| ) R3 o 2 2 2 2 + kg # ke−β(|x| +|v| ) kf # − g # ke−β(|x+t(v−u)| +|u| ) du. # |Q# l (f, f )−Ql (g, g)|. ≤ πσkf. #. #. Z. n o 2 2 2 2 |v − u| kf # k + kg # k e−β(|x+t(v−u)| +|u| )+|x| +|v| ) du. −g k R3. De manera que tenemos: Z t # |Q# l (f, f ) − Ql (g, g)|dτ 0. Z ∞ Z n o 2 −β(|x+τ (v−u)|2 ) # # −β(|x|2 +|v|2 ) |v − u| e dτ e−β|u| du ≤ πσkf − g k kf k + kg k e 3 0 ZR r n o π 2 2 2 ≤ πσkf # − g # k kf # k + kg # k e−β(|x| +|v| ) e−β|u| du β R3 r r 3 n o π π # # # # −β(|x|2 +|v|2 ) ≤ πσkf − g k kf k + kg k e β β n o 3 π σ 2 2 ≤ 2 kf # − g # k kf # k + kg # k e−β(|x| +|v| ) β #. #. Esto es, |A(f # − g # )|eβ(|x|. 2 +|v|2 ). ≤. o π3σ n # # kf k + kg k kf # − g # k β2. Con lo que en consecuencia conseguimos: kA(f. #. o π3σ n # # − g )k ≤ 2 kf k + kg k kf # − g # k β #. Luego, el operador A es continuo sobre X, como se querı́a mostrar. Para demostrar la compacidad del operador, procedemos: Sea E ⊂ Σ medible, tal que m(E) < δ y f # ∈ XR . Tenemos: Z. #. Z Z. |Af |dµ ≤ E. E. 0. Ahora, dado ε > 0 existe 0 < δ ≤ Z E. |Af # |dµ ≤. t. |Q# l (f, f )|dτ dµ ≤ ε π3 σ 2 R β2. π3σ # 2 kf k m(E). β2. , conseguimos:. π3σ # 2 π3σ π3σ kf k m(E) ≤ 2 R2 m(E) ≤ 2 R2 ≤ 2 β β β. ε π3 σ 2 R β2. =ε.

(42) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 35. Por otra parte, elegimos un conjunto cerrado F con Ω − F = G tal que m(Ω − F ) < ε . Luego tenemos que π3 σR2 β2 Z. t. Z Z. #. |Q# l (f, f )|dτ. |Af |dµ ≤ G. G. 0 π3σ. Z ≤. β2. G. dµ ≤ G. π3σ. R2 dµ ≤. π3σ # 2 kf k dµ β2. Z. R2 m(G). β2. π3σ ε ≤ 2 R2 π 3 σ =ε 2 β 2 R β. Por último el conjunto Xf = Af # : f # ∈ XR , Xf ⊂ X es acotado toda vez que A es un operador continuo y claramente XR es acotado.. En conclusión el operador A es compacto en la topologı́a débil σ(L1 , L∞ ).. Por otra parte, tomemos f # , g # , f0 ∈ XR . También sea R tal que. 2σπ 3 R 1 ≤ y β2 2. hacemos: Tf. #. + Ag. #. Z = f0 (x, v) +. t. Q# g (f, f )dτ. Z. 0. |T f # + Ag # | = f0 (x, v) +. 0. t. Z. Q# g (f, f )dτ −. Z. Q# g (f, f )dτ +. Z. 0. ≤ f0 (x, v) + 0. Z ≤ |f0 (x, v)| +. |Q# g (f, f )|dτ +. R 2. 3. y 2 πβ 2σ R ≤. 1 2. sup |T f # + Ag # |eβ(|x| (t,x,v). Q# l (g, g)dτ. Z +. t. |Q# l (g, g)|dτ. π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) π 3 σ # 2 −β(|x|2 +|v|2 ) kf k e + 2 kg k e β2 β. |T f # + Ag # |eβ(|x| Ahora, si kf0 k ≤. t. 0. 2 +|v|2 ). Q# l (g, g)dτ. Q# l (g, g)dτ. 0 t. 0. ≤ kf0 ke−β(|x|. t. 0 t. Z. t. −. 2 +|v|2 ). ≤ kf0 k + 2. π3σ 2 R β2. tenemos: 2 +|v|2 ). ≤. R π 3 σR R R +2 2 R≤ + =R 2 β 2 2. kT f # + Ag # k ≤ R. Por lo que T f # + Ag # ∈ XR . Esto muestra que si f # , g # y f0 ∈XR entonces T f # + Ag # ∈ XR ; además por.

(43) 5.. La suma de un operador contractivo con uno continuo y compacto. 36. Lema 5.2 el operador T es una contracción y por Lema 5.3 el operador A es un operador compacto y continuo; por consiguiente por el Teorema de Punto Fijo de Krasnoselskii,ver [7], existe y # ∈ XR tal que F y # = T y # + Ay # = y # De tal forma que podemos afirmar que existe y # ∈ XR tal que F y # = T y # + Ay # = y # Z t Z t # = y0 (x, v) + Qg (y, y)dτ − Q# l (y, y)dτ 0 0 Z t Q# (y, y)dτ = y0 (x, v) + 0. De esta manera hemos encontrado que el problema débil a través de un operador que formulado como la suma de uno compacto y continuo con otro contractivo tiene punto fijo, es decir tiene solución en un espacio de Banach.Ver [5]. Ahora en la ecuación y # = F y # = T y # + Ay # = y0 (x, v) +. Z. t. Q# (y, y)dτ. 0. derivamos con respecto a t y conseguimos d # y (t, x, v) = Q# (y, y)(t, x, v) dt De manera que conseguimos que d # d y (t, x, v) = y(t, x + tv, v) dt dt ∂ = y # (t, x, v) + v · ∇x f (t, x, v) ∂t = Q# (y, y)(t, x, v) Por tanto, el problema de Cauchy para la Ecuación de Boltzmann no lineal tiene solución a través del Teorema de Punto Fijo de Krasnoselskii; sin embargo no podemos garantizar por éste método que la solución encontrada sea única. Para verificar esta unicidad tendrı́amos que abordar dicho problema usando otras estrategias las cuales serı́a interesante abordar para futuros trabajos..

(44) CONCLUSIONES. Por todo lo anteriormente expuesto, el Problema de Cauchy para la Ecuación de Boltzmann no Lineal, si lo expresamos como un problema de punto fijo, tiene solución en el espacio normado de funciones integrables que multiplicadas por una función de prueba apropiada son acotadas. En ese orden de ideas, se define un operador sobre dicho espacio normado, que resulta ser contractivo, para el cual el Principio de Contracción de Banach garantiza existencia y unicidad de solución sobre una bola cerrada del espacio normado, es decir una solución local. Asimismo, si se define un operador consistente en la suma de dos mapeos, uno contractivo y otro que sea continuo y compacto con dominio sobre una bola cerrada del espacio normado, entonces, por el Teorema de punto Fijo de Krasnoselskii, existe solución local en dicha bola, pero no se puede garantizar la unicidad de la solución. Es interesante seguir investigando acerca de la unicidad de la solución en próximos trabajos, pero para hacerlo se precisa imponer nuevas hipótesis..

(45) Bibliografı́a. [1] Agarwal, R. P., Meehan, M., & O’Regan, D. Fixed Point Theory and Applications. (Vol. 141). Cambridge University Press. [2] Glassey, R. T. The Cauchy Problem in Kinetic Theory. SIAM. [3] H. Bas, J.F.C. Kingman . Fixed Point Theorems. [4] Brezis, Haim. Functional Analysis Sovolev Spaces on Partial Differential Equations.. SPRINGER. [5] Kanwal, R. P. (2000). Generalized Functions: Theory and Technique. Applications of Mathematics-Phaha, 45(4), 320-320. [6] Kreyszig, E. (1989). Introductory functional analysis with applications. (Vol. 81). New York: wiley. [7] T. A. Burton.(1997). A Fixed-Point Theorem of Krasnoselskii. PERGAMON..

(46)

(47)

(48)