Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Física y Matemáticas
“Análisis y Modelos de Reemplazo”
TESIS
Que para obtener el título de
Licenciado en Física y Matemáticas
Presenta:
Minerva Estévez Salgado
Director de Tesis:
Dr. Rubén Téllez Sánchez
México, D. F. Abril 2004
INTRODUCCION
Antecedentes y Problemática
Una decisión que con frecuencia deben tomar tanto las empresas de negocios y organizaciones gubernamentales, como los individuos, es si debe retirarse del uso un activo existente, continuar en servicio o ser reemplazado con un activo nuevo. A medida que aumentan las presiones de la competencia mundial, se requiere mejor calidad en bienes y servicios, tiempos de respuesta más cortos y otros cambios; este tipo de decisiones suele tomarse cotidianamente. De esta manera, el problema de reemplazo, como normalmente se le denomina, requiere de cuidadosos estudios de ingeniería económica que proporcionen la información necesaria para tomar decisiones sólidas a fin de mejorar la eficiencia de operación y la competitividad de una empresa.
La producción en masa aparece como el método más económico para satisfacer los deseos humanos. Sin embargo, este tipo de producción exige el empleo de grandes cantidades de activos de capital que se consumen en el proceso, se vuelven inadecuados, se tornan obsoletos o, en alguna forma, llegan a ser candidatos para ser reemplazados. La falta que se cometa al no mejorar continuamente estos activos puede llegar a generar pérdidas serias en la eficiencia operativa. Un programa sólido de análisis de reemplazo puede afectar positivamente el éxito financiero de una empresa.
Cuando se están tomando decisiones sobre reemplazo se tienen dos cursos de acción a la disposición. La primera posibilidad es mantener el activo que ya se posee por un período adicional de tiempo. La otra alternativa requiere retirar de manera inmediata el activo existente que es subsecuentemente reemplazado por otro.
El término reemplazo es tan amplio que casi todo el campo de la ingeniería económica le corresponde. El término se utiliza con las implicaciones más amplias. Por ejemplo, reemplazo no significa que se duplique el equipo al final de su vida; tampoco implica una sustitución igual por igual y no es necesario ningún parecido entre el equipo actual y el que lo reemplaza. El reemplazo en este sentido tiene lugar incluso si un proceso manual es superado por una máquina o si un grupo de máquinas son desplazadas por una máquina grande.
Esto puede entenderse mejor, si se observa que reemplazo es sinónimo de desplazamiento. Así pues, reemplazo significa que el proceso utilizado en la actualidad será desplazado por otro más económico. Desde este punto de vista, se puede reemplazar una política financiera, una operación empresarial íntegra, una fábrica ó un proceso de fabricación, una máquina o una operación manual.
Al tomar en consideración el reemplazo, debe observarse que una proposición para hacer algo, como la de fabricar un producto, puede reemplazar a una política o práctica existente de no fabricarlo. En cada situación puede haber muchas alternativas, pero una de ellas será siempre la de no hacer nada, la de mantener el estado de las cosas. La pregunta sobre si se debe reemplazar una política de no hacer nada con otra positiva, está atrás de todas las comparaciones. Incluso una comparación de dos máquinas, aunque en sí no constituye un problema de reemplazo, existe sólo debido a una decisión anterior de reemplazar lo existente con una proposición de aumento de ingresos que requiere una de esas máquinas nuevas. Por tanto, todo problema de inversión en equipo es también un problema de reemplazo o, cuando menos, parte de una situación más amplia de reemplazo.
Objetivos
El objetivo desarrollado a lo largo del trabajo, es desarrollar diversos métodos para la predicción del cálculo de la vida económica de un activo; así como determinar el momento adecuado para su reemplazo, ya sea por un activo más moderno o por un activo idéntico al que se está utilizando, considerando la mejor política económica para la empresa.
Justificación
La relevancia del trabajo que se presenta consiste en crear un material ó instrumento de consulta para cualquier persona interesada en la Ingeniería Económica; más particularmente, en el estudio del Análisis de Reemplazo de un activo. Dicho trabajo presenta una amplia variedad de Métodos de Análisis de Reemplazo, debido a que existen diversas variantes durante un Análisis de Reemplazo; sirviendo éste como una referencia al problema que se tiene presente.
Hipótesis
Los Modelos del Análisis de Reemplazo mejoran y facilitan una adecuada toma de decisión para las alternativas del Reemplazo. Los modelos a desarrollar deben presentar resultados en forma de gráficas y tablas, de tal manera que las decisiones a tomar puedan ser fácilmente evaluadas.
Presentación
La tesis está organizada como sigue: el Capítulo 1 se refiere a los factores en los que se debe basar un reemplazo, así como las causas que originan el estudio de reemplazo.
En el Capítulo 2, se estudian las condiciones para determinar la vida económica de servicio de un activo, es decir, calcular el período de vida útil que minimiza el costo anual equivalente.
En el Capítulo 3, se describen diferentes estrategias para el análisis, considerando los problemas de decisión de reemplazo donde el defensor y el retador pueden tener la misma vida útil ó vidas desiguales, para lo cual se emplean modelos determinísticos.
Finalmente, en el Capítulo 4, se desarrolla un modelo probabilístico, que permite determinar las decisiones de reemplazo minimizando el costo esperado.
INDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN 1
INDICE GENERAL 3
INDICE DE FIGURAS 5
INDICE DE TABLAS 6
Capítulo 1. Generalidades del Análisis de Reemplazo
Introducción 7
1.1 El reemplazo debe basarse en factores económicos 7 1.2 Causas que originan la necesidad de una estimación de reemplazo 8
a) Reemplazo por insuficiencia 9
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo 11
c) Reemplazo por eficiencia decreciente 12
d) Reemplazo por antigüedad (obsolescencia) 14
e) Reemplazo por una combinación de factores 15
1.3 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
a) Horizonte de planeación 15
b) La tecnología 15
c) Comportamiento de los ingresos y los gastos 16
d) Disponibilidad de capital 16
e) Inflación 16
Capítulo 2. Modelos determinísticos para calcular la vida económica de servicio
Introducción 17
2.1 Vida económica de servicio de un activo 19
Ejemplo 2.1. Vida útil restante del defensor 19
a) Método de flujo de efectivo generalizado 21
b) Método tabular 24
Ejemplo 2.2. Vida económica de servicio del retador 26
c) Modelo matemático 29
d) Programación dinámica 32
2.2 Costos de Operación y Mantenimiento (O&M) 35
a) Costos de mantenimiento esporádicos 35
b) Costos constantes de mantenimiento 36
c) Costos de mantenimiento constantemente crecientes 37
Capítulo 3. Modelos determinísticos del Analísis de Reemplazo
Introducción 39
3.1 Suposiciones requeridas y esquema de decisión 39
3.2 Valor de mercado actual y costos hundidos 40
3.3 Ganancias (pérdidas) al desechar el defensor 42
3.4 Estrategias básicas de Reemplazo 43
a) Estrategia de flujo de efectivo 43
b) Estrategia de costo de oportunidad 47
3.5 Análisis de Reemplazo en el caso de vidas desiguales 48
b) Análisis basado en un periodo de estudio de 15 años, sin tener en
cuenta el valor no utilizado 50
c) Análisis basado en un periodo de estudio de 5 años 50 d) Decisiones de Reemplazo con base en el "Método de valor anual
Equivalente" 51
e) Decisiones de Reemplazo con base en el "Método de valor actual" 57
3.6 Consideraciones del cambio tecnológico 64
3.7 Reemplazo de artículos que son deteriorados 64
3.8 Costos relevantes en las consideraciones teóricas del reemplazo 65
3.9 Ecuación de costos 66
3.10 Uso de la Ecuación de costos 70
Capítulo 4. Modelos probabilísticos del Análisis de Reemplazo Introducción 74
4.1 Reemplazo de artículos que fallan después de un periodo de uso 74
4.2 Curva de Mortalidad 75
• Vida económica 77
• Probabilidad condicional de falla 77
4.3 Proceso de reemplazo 79
a) Método I : Tasa de Reemplazo 79
b) Método II: Tasa de Reemplazo 81
4.4 Costo de Reemplazo 84
4.5 Ecuaciones de costos 85
4.6 Minimización de costos 86
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 93
APÉNDICE 94
BIBLIOGRAFÍA 98
INDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 .- Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo
análisis 18
Figura 2.2 .- Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de
permanencia 18
Figura 2.3 .- Flujos de efectivo del defensor cuando se conserva durante 1, 2, 3, 4 y 5
años(Ejemplo 2.1) 23
Figura 2.4 .- Vida útil restante (Ejemplo 2.1) 23
Figura 2.5 .- Conversión de un número infinito de ciclos de reemplazo a flujos de
costo anual equivalente infinitos (Ejemplo 2.2) 29 Figura 2.6 .- Red de Programación dinámica (Ejemplo 2.4) 34 Figura 2.7 .- Diagrama de solución óptima de Programación dinámica
(Ejemplo 2.4) 35
Figura 2.8 .- Vida económica de un activo 38
Figura 3.1 .- Tipos de esquemas típicos de decisión de reemplazo 40 Figura 3.2 .- Costo hundido relacionado con el desecho de un activo (Ejemplo 3.1) 42 Figura 3.3 .- Percepciones netas por la venta del defensor (Ejemplo 3.2) 43 Figura 3.4 .- Comparaciones entre el defensor y el retador con base en el método de
flujo de efectivo (Ejemplo 3.3) 46
Figura 3.5 .- Flujo de efectivo incremental (retador - defensor) basado en el método de
flujo de efectivo (Ejemplo 3.3) 46
Figura 3.6 .- Comparación del defensor y el retador con base en el método de costo de
oportunidad (Ejemplo 3.4) 47 Figura 3.7 .- Secuencia de reemplazo con retadores futuros idénticos y horizonte de
planificación infinito (Ejemplo 3.5) 52 Figura 3.8 .- Procedimiento de análisis para un periodo de planificación infinito 53 Figura 3.9 .- Costos marginales de operación del defensor durante un año más
(Ejemplo 3.6) 57
Figura 3.10. - Análisis de valor actual con horizonte de planificación infinito
(Ejemplo 3.7) 62
Figura 3.11. - Algunos patrones de reemplazo posibles con el horizonte de planificación
finito (Ejemplo 3.8) 63 Figura 3.12. - Relación de la suma de los costos discontinuos contra la suma de los
factores discontinuos 69 Figura 4.1 .- Número de sobrevivientes después de t periodos de tiempo (Datos de la
Tabla 4.1) 77 Figura 4.2 .- Probabilidad de falla en el periodo de tiempo t, de un bulbo instalado al
inicio del primer periodo (Datos de la Tabla 4.1) 78 Figura 4.3 .- Probabilidad condicional de falla en el periodo t
(Datos de la Tabla 4.1) 78
Figura 4.4 .- Fallas en cada periodo t de 100 000 bulbos de luz originales contra el
total de fallas en cada periodo t (Datos de las Tablas 4.1 y 4.2) 81 Figura 4.5 .- Gráfica de los costos totales para el reemplazo del grupo contra el periodo
de reemplazos (Datos de la Tabla 4.3) 89 Figura 4.6 .- Política de reemplazo óptimo para cualquier valor
(Datos de la Tabla 4.4) 92
Figura A.1.- Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro 94
INDICE DE TABLAS
Tabla 1.1.- Costos de mantenimiento de una planta química 12
Tabla 1.2.- Costos de los componentes de un transportador 13
Tabla 2.1.- Pronósticos de costos de capital y operativos: defensor (Ejemplo 2.1) 20
Tabla 2.2.- Cálculo del flujo de efectivo generalizado después de impuestos de la conserva- ción del defensor durante 1, 2, 3, 4 y 5 años más (Ejemplo 2.1) 22
Tabla 2.3.- Cálculo tabular de la vida económica (Ejemplo 2.1) 25
Tabla 2.4.- Pronósticos de costos operativos y de capital: retador (Ejemplo 2.2) 27
Tabla 2.5.- Cálculo tabular de la vida económica del retador (Ejemplo 2.2) 28
Tabla 2.6.- Flujos de efectivo para diferentes periodos de permanencia con el activo 31 Tabla 2.7.- Costo anual equivalente para diferentes periodos de permanencia con el activo 32 Tabla 2.8.- Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento esporádicos 36 Tabla 2.9.- Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento constante- mente crecientes 37
Tabla 3.1.- Hoja de cálculo para análisis de reemplazo (Ejemplo 3.3) 45
Tabla 3.2.- Análisis basado en un periodo de estudio seleccionado 49
Tabla 3.3.- Vida de servicio económica: defensor (Ejemplo 3.6) 55
Tabla 3.4.- Cálculo de vida de servicio económica del retador (Ejemplo 3.6) 56
Tabla 3.5.- Cálculo tabular de la vida económica del retador (Ejemplo 3.7) 60
Tabla 3.6.- Cálculo tabular de la vida económica del defensor (Ejemplo 3.7) 61
Tabla 3.7.- Dos comportamientos de costos 65
Tabla 3.8.- Gastos anuales para el reemplazo de máquinas 65
Tabla 3.9.- Costos de reemplazos (A= 50, r = 0.05) 70
Tabla 4.1.- Características de un bulbo de luz: población original de 100 000 unidades 76 Tabla 4.2.- Total de fallas (reemplazos) en cada periodo t 80
Tabla 4.3.- Promedio de costos para reemplazos de grupos (Datos de la Tabla4.2) 88 Tabla 4.4.- Optimizando valores de t por promedio de costos 89
Tabla 4.5.- Costos para t, K(t), K(t)/t 92
Tabla A.1.- Desarrollo del factor que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura 94 Tabla A.2.- Tabla de factores para interés compuesto discreto 97
CAPITULO 1
Generalidades del Análisis de Reemplazo
Introducción
La formulación de un plan de reemplazo juega un papel muy importante en la determinación de la tecnología básica y del progreso económico de una empresa. Un reemplazo apresurado o indebido origina en la empresa una disminución en su capital y por lo tanto una disminución en la posibilidad de dinero para emprender proyectos de inversión más rentables. Por otra parte, un reemplazo retardado origina excesivos costos de operación y mantenimiento para la empresa. Es por estas razones que toda empresa debe establecer una política eficiente de reemplazo para cada uno de los activos que utiliza. No hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las empresas competidoras que sí han establecido políticas efectivas y económicas de reemplazo.
Con el fin de facilitar el estudio de los principios del análisis de reemplazo, es necesario introducir dos términos importantes de uso común.
• Defensor: activo viejo existente y que se está analizando para ser reemplazado eventualmente.
• Retador o desafiante: activo propuesto para reemplazar al defensor.
Debido a que las características económicas de un defensor y un retador son generalmente disímiles, se requiere especial atención cuando se están comparando estas dos opciones. Una característica obvia de las alternativas de reemplazo es que la duración y magnitud de los flujos de efectivo de los activos existentes y los nuevos son muy diferentes. Los activos nuevos tienen por lo general unos costos de capital altos y unos costos de operación bajos. Entonces, puede esperarse que los costos de capital de un activo que va a ser reemplazado sean bajos y decrecientes, mientras que los costos de operación sean generalmente altos y crecientes.
Además, el remanente de vida de un activo que está siendo considerado para reemplazarlo es corto por lo general y su futuro puede estimarse con relativa certeza. Se tiene la ventaja de que una decisión de no realizar ningún reemplazo ahora puede ser hecha en cualquier momento futuro.
Entonces, se puede tomar una decisión sobre la base del costo que el activo actual tendrá el año inmediatamente siguiente y, de no hacerse el reemplazo, existe la posibilidad de tomar una nueva decisión sobre la base del costo un año más tarde y así sucesivamente.
1.1 El reemplazo debe basarse en factores económicos.
Cuando el éxito de un proyecto económico depende de las utilidades, el reemplazo debe basarse sobre la economía de la operación futura. Aunque las instalaciones de producción son y deben ser consideradas como un medio para alcanzar un fin, es decir, una producción al menor costo posible, se tiene amplia evidencia de que en el análisis relacionado con el reemplazo de activos entran también a menudo otros motivos diferentes a los puramente económicos.
La idea de que el reemplazo debe tener lugar cuando sea más económico y no cuando el activo esté ya inservible es contraria al concepto fundamental de ahorro que posee la mayor parte
puedan aparecer como progresistas. El reemplazo de equipo requiere un cambio de entusiasmo.
Cuando una persona empieza a pensar sobre una propuesta para equipo nuevo, debe generar de ordinario un gran entusiasmo para contrarrestar la inercia que obstaculiza el camino hacia su aceptación. El entusiasmo puede tenerse que transferir más tarde a un reemplazo. Esto es difícil de hacer, particularmente si uno debe confesar que fue excesivamente entusiasta acerca del equipo originalmente propuesto.
Parte de la renuencia a reemplazar unidades físicamente satisfactorias, pero económicamente débiles, tiene sus raíces en el hecho de que la importancia de una decisión de reemplazar es mucho mayor que la de continuar con lo viejo. Una decisión de remplazar representa un compromiso que se extienda a todo lo largo de la vida del equipo nuevo. Pero una decisión de continuar con el equipo viejo sólo representa generalmente diferir una decisión de reemplazo;
decisión que puede revisarse en cualquier momento del tiempo, cuando la situación parezca ser más clara. Pero además, una decisión de continuar con el equipo antiguo que tenga como consecuencia una pérdida, conducirá por lo general a una censura menos drástica que una decisión de reemplazo con un nuevo equipo y con una pérdida igual.
La economía de desechar una unidad de equipo funcionalmente productiva radica en la conservación del esfuerzo, energía, materiales y tiempo que resulta de su reemplazo. La utilidad remanente no usada aún de una unidad vieja se sacrifica a favor de las economías potenciales del reemplazo. Considérese, a manera de ejemplo, un techo deteriorado. Aún un techo que tenga muchas goteras tendrá alguna utilidad como protección contra las inclemencias del tiempo y, además, puede tener parte de buena calidad. La utilidad remanente podría haberse utilizado con la ayuda de una reparación continua. Pero el exceso de mano de obra y materiales requeridos para hacer una serie de pequeñas reparaciones en comparación con la mano de obra y los materiales necesarios para un reemplazo total, puede exceder la utilidad remanente en el techo. De ser así, la mano de obra y los materiales pueden conservarse como resultado de una decisión de reemplazar el techo.
Cuando se adquiere una unidad nueva de equipo, se puede incurrir en una serie adicional de gastos para poner la unidad en operación, además del precio de compra. Tales costos pueden comprender transporte, empaque, construcción de cimientos, conexiones especiales en los sistemas eléctrico y de distribución de agua, raíces de protección y servicios de personal requeridos durante un periodo de verificación o de ajuste. Los gastos en tales elementos, son costos iniciales y desde todo punto de vista práctico representan una inversión en la unidad de equipo que se esté considerando. Por esta razón, todos los elementos de costo iniciales necesarios para tener una unidad de equipo en operación deben ser considerados como parte de la inversión original.
Cuando una unidad de equipo se reemplaza, su retiro puede originar también gastos de consideración. Algunos de los elementos más frecuentemente incluidos en el retiro son el desmantelaminento, la remoción de cimientos, el transporte, el cambio de las conexiones eléctricas y de agua y el reemplazo de los pisos y de otros elementos estructurales. La suma de tales costos debe deducirse de la cantidad recibida por la venta de la unidad vieja con el fin de encontrar su valor de salvamento o rescate neto. Es claro que esto puede hacer que el valor de salvamento se torne en una cantidad negativa. Cuando el valor de salvamento neto de un activo es menor que cero, es matemáticamente correcto tratarlo como una cantidad negativa en los cálculos de la depreciación.
1.2 Causas que originan la necesidad de un estudio de reemplazo.
Las causas principales que llevan el reemplazo de un activo se pueden clasificar como:
insuficiencia e ineptitud, mantenimiento excesivo, eficiencia decreciente y antigüedad. Cualquiera de las causas anteriores puede indicar la necesidad de un estudio de reemplazo; sin embargo, por lo general son dos o más causas las que indican la urgencia de tal estudio.
a) Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico que tiene una capacidad inadecuada de prestar los servicios requeridos es un candidato lógico para reemplazo. Por ejemplo, una máquina barrenadora empleada casi exclusivamente para pulir y lustrar poleas tiene una capacidad máxima para manejar poleas con un diámetro hasta de 54 pulgadas. En el momento de la adquisición de la máquina, la polea de mayor tamaño estuvo siempre por debajo de la capacidad de la máquina, pero en el momento actual se han empezado a recibir ordenes hasta de un diámetro de 72 pulgadas y todo indica que irán en aumento.
Las ordenes recibidas por poleas entre 54 y 72 pulgadas se subcontratan con otra organización.
Esta práctica no sólo es costosa sino que ocasiona retrasos que van en detrimento del buen nombre de la empresa. El factor que debe considerarse para el reemplazo en este ejemplo, es precisamente la insuficiencia. Aunque la máquina actual es eficiente a la fecha y está en excelentes condiciones físicas, la consideración de su reemplazo está siendo forzada por la necesidad de contar con una máquina de mayor capacidad. Cuando el equipo es insuficiente, se tiene generalmente a la mano una unidad utilizable que a menudo está en excelentes condiciones.
Frecuentemente, como en el caso que se ha venido mencionando, la mayor capacidad requerida puede satisfacerse únicamente adquiriendo una máquina que tenga esa capacidad.
En muchos casos, como es la situación con bombas, motores, generadores y ventiladores, el aumento deseado en la capacidad puede satisfacerse adquiriendo una unidad que suplemente la máquina actual. Esta alternativa debe probar naturalmente que es más deseable que la adquisición de una unidad nueva de la capacidad necesaria.
El método para comparar alternativas cuando la insuficiencia es el principal factor, se ilustrará en el siguiente ejemplo. Un año después de haber adquirido un motor de 10 HP para mover un transportador de banda en una mina de carbón, se decidió doblar la longitud de la banda. La nueva banda requiere 20 HP. La potencia requerida puede suministrarse bien, ya sea agregando un segundo motor de 10 HP o reemplazando el actual por uno de 20HP.
El costo del motor actual instalado es de $420 y tiene una eficiencia de 88% con carga total. Se puede adquirir ahora un motor idéntico al anterior e instalarlo todo por $440. Un motor de 20 HP con una eficiencia del 90% tiene un costo de adquisición e instalación de $780. El motor actual de 10 HP será aceptado por $270 como parte de pago del motor de 20 HP. Los costos actuales por kilovatio-hora son de $0.03 y se espera que el sistema de transporte esté en operación 2 000 horas anuales.
Los costos de mantenimiento y operación, excepto por corriente eléctrica se estiman, para cada uno de los motores HP, en $35 anuales y en $50 también anuales. Los impuestos y los seguros se calculan en 1% del precio de compra. La tasa de interés será del 6% con un valor residual (valor de salvamento) en ese momento del 20% de su costo original. El motor actual se considerará con una vida total de 11 años, una aproximación que generará desde el punto de vista práctico errores muy pequeños en el análisis. Probablemente todos los motores resistirán el período de servicio que tendrán en la actividad que se está considerando.
La alternativa A supone la compra de un motor de 20 HP por $780 y el retiro del motor actual por $270. El costo actual para esta alternativa se calcula como sigue:
Recuperación de capital con retorno, ($780 - $156) (A /P, 6%, 10)1 + $156(0.06) $ 94.16
0.90 efic. HP kw-hr
Costos de operación y mantenimiento $ 50.00
Impuestos y seguros, $780 x 0.01 $ 7.80 Costo total anual equivalente $1,146.63
La alternativa B implica la adquisición de un motor adicional de 10 HP por $440. El costo anual para esta alternativa se calcula como sigue:
Motor actual de 10 HP
Recuperación de capital con retorno, ($270 - $84) (A /P,6%,10) + $84(0.06) $ 30.32 Costo de la corriente, 10 x 0.746 x $0.03 x 2,000 $ 508.64 0.88
Costos de operación y mantenimiento $ 35.00 Impuestos y seguros, $420 x 0.01 $ 4.20
Motor nuevo de 10 HP
Recuperación de capital con retorno, ($440 - $88) (A /P,6%,10) + $88(0.06) $ 53.12 Costo de la corriente, 10 x 0.746 x $0.03 x 2,000 $ 508.64
0.88
Costos de operación y mantenimiento $ 35.00 Impuestos y seguros, $440 x 0.01 $ 4.40 Costo total anual equivalente $ 1,179.32
Sobre la base del análisis anterior, la ventaja de reemplazar el motor de 10 HP en vez de suplementarlo, es equivalente a $1,179 menos $1,147, es decir, $32 por año. Debido a la decisión incorrecta de adquirir un motor de 10 HP hace un año se incurrió en una pérdida igual a $420 menos $270. Esta pérdida ha sido revelada y no causada por el presente análisis. Debido a que los análisis de ingeniería económica tienen que ver con el futuro, este costo incurrido (amortizado) no debe entrar en el análisis.
El valor de comercialización, $270, fue tomado como el valor presente del motor original de 10 HP porque si éste fuera reemplazado serían recibidos $270. Entonces, su valor es un elemento necesario en el análisis comparativo. Los cargos anuales por impuestos y seguros se calcularon sobre el costo original porque estos cargos se calculan, generalmente, sobre el valor en libros;
pero por simplicidad no se hizo ninguna reducción en estos ítems como debería hacerse debido a la disminución esperada en el valor en libros.
La alternativa de complementar el motor actual, requerirá una inversión de $270 más $440 de un motor nuevo de 10 HP; es decir, una inversión total de $710. La segunda alternativa puede llevarse a cabo con una inversión de $780.
El hecho de que puedan obtenerse $270 de capital por la venta de un activo y que pueda aplicarse al precio de compra del motor de 20 HP, no reduce el desembolso necesario para adquirir el motor o, lo que es lo mismo, la cantidad invertida en él. En consecuencia, el análisis anterior revela que una inversión adicional de $780 - $710 = $70 resultará en un retorno del 6%
sobre la inversión adicional más $30 anuales.
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo todas las partes de una máquina. La experiencia ha probado que es económico reparar muchas clases de activos con el fin de mantenerlos y extender su utilidad. Algunas reparaciones son de naturaleza corriente y menores en extensión; otras son periódicas y extensas.
Una reparación periódica y extensa no se contempla, generalmente, sino hasta que se convierte en una necesidad para extender la vida de la unidad en cuestión. Generalmente, por ejemplo, un motor no se repara en su totalidad sino hasta que falla al prestar un servicio aceptable o cuando se cree que esa falla es inminente. En consecuencia, el costo de una reparación periódica extensa puede considerarse como un desembolso para adquirir un servicio adicional extendiendo la vida de una unidad de equipo. Este punto de vista es válido aún cuando se tenga un programa de mantenimiento preventivo.
Antes de hacer un gasto por reparaciones mayores para extender la vida de servicio de una máquina o estructura, se debe hacer un análisis cuidadoso para determinar si el servicio requerido puede ser prestado más económicamente por otras alternativas.
En este contexto considérese la situación siguiente. La carretera principal que conduce a una refinería de petróleo tiene seis décimos de milla de longitud por 20 pies de ancho; es de concreto y está necesitando urgentemente que se le repare para continuar en servicio. El departamento de mantenimiento de la refinería estima que las reparaciones extenderían la vida de la carretera en 3 años y que podrá hacerse por $15 000. Un contratista ha hecho la oferta de reemplazar la carretera actual por una clase especial de pavimento que se estima tendrá una vida de 20 años y un costo de $65 000.
Los costos actuales de mantenimiento con el pavi mento reparado se estiman en $1 200 anuales en promedio y los de la nueva carretera en $200, también anuales y en promedio. Los demás factores se consideran iguales y, por consiguiente, despreciables. La tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA) de la compañía es igual al 12%. El valor residual (valor de salvamento) actual es cero en caso de ser reemplazado. La comparación de costos anuales para las dos alternativas se presenta a continuación:
Reparar el pavimento para extender su vida 3 años
Recuperación de capital con retorno, $15 000 (A/P, 12%, 3) $6 246 Costo promedio anual de reparaciones $1 200 Total $7 446
Reemplazar un pavimento con vida estimada de 20 años
Recuperación de capital con retorno, $65 000 (A/P, 12%, 20) $8 704 Costo promedio anual de reparaciones $ 200
Ventaja anual de reparación sobre reemplazar $1 458 En algunas clases de equipo las reparaciones aumentan su vida. El mantenimiento puede ser muy bajo al comienzo, pero aumenta a una tasa progresiva. Consecuentemente, se alcanza un punto en el tiempo en el cual es más económico reemplazar que seguir manteniendo. Para ilustrar la economía de esta situación considérese el siguiente ejemplo.
Se instaló una tubería en una planta química con un costo de $32 000.El sistema se deterioró, como consecuencia de la corrosión, hasta que fue reemplazado al final de seis años. El valor residual del sistema se consideró despreciable. Los registros de mantenimiento muestran que estos costos fueron en el pasado como aparece en la columna B de la Tabla 1.1
Tabla 1.1 Costos de mantenimiento de una planta química.
A B C D E
Año Costos de mantenimiento
por año
Suma de los costos de mantenimiento al
finalizar el año ∑B
Costo de n años de servicio,
$32 000 + C
Costo promedio anual de servicio al finalizar el año,
D ÷ A
1 1 260 1 260 33 260 33 260
2 3 570 4 830 36 830 18 415
3 6 480 11 310 43 310 14 437
4 9 840 21 150 53 150 13 287
5 14 230 35 380 67 380 13 476
6 19 820 55 200 87 200 14 533
Puede notarse que el costo anual de mantenimiento aumenta con el transcurso del tiempo. Esto es típico en muchas clases de equipo y puede llegar a ser la causa principal de reemplazo. Los gastos totales por reparaciones al final de cualquiera de los años aparecen en la Columna C. La suma de los costos de mantenimiento dada en la Columna C y el costo original del equipo es igual al costo de prestar el servicio el número de años designados en la Columna A.
El sistema de tubería podría haberse retirado al final de cualquier año. La Columna E da el costo promedio anual del servicio que hubiera resultado de haber retirado el sistema al final de cualquier año. Entonces, si el sistema hubiera sido retirado al finalizar el primer año, el costo de un año de servicio hubiera sido igual a $33 260; si se hubiera retirado al finalizar el segundo año, los 2 años de servicio hubieran tenido un costo de $36 830, como aparece en la Columna D, y el costo promedio anual hubiera sido de $18 415.
El menor costo promedio anual $13 287, se presenta para una vida de 4 años. Si se hubiera considerado el interés y se hubiera empleado el costo anual equivalente, las cantidades de la Columna E hubieran sido ligeramente mayores. Pero el patrón general hubiera sido casi el mismo.
Aunque el menor costo anual en el ejemplo anterior se presenta para 4 años de vida, no se sigue de allí necesariamente que las mayores economías se hubieran obtenido al desechar el sistema después de 4 años de servicio. La economía de reemplazo depende de un número de factores adicionales tales como la necesidad por los servicios del sistema de tubería en el futuro, cambios en los niveles de los costos de mantenimiento y de las características y el costo de un reemplazo.
Una decisión de reemplazar el equipo debe basarse en un análisis de costos potenciales con el equipo actual y con el posible reemplazo.
c) Reemplazo por eficiencia decreciente
Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de su vida, y este rendimiento va disminuyendo con el uso y la edad. Por ejemplo, un motor de gasolina alcanza generalmente su rendimiento máximo después de un cierto período de ajuste; posteriormente, su rendimiento disminuye a medida que se deterioran cilindros, pistones, anillos, carburador ó el sistema de encendido.
Cuando la pérdida en eficiencia se debe a un mal funcionamiento de sólo unas pocas partes de toda la máquina, es económico a menudo reemplazarles periódicamente y en esta forma mantener el buen nivel de eficiencia durante un período largo de la vida del equipo.
Hay un cierto tipo de instalaciones cuya eficiencia declina con el uso y la edad, pero no se pueden reparar. Los tubos para conducción de agua caliente, por ejemplo, se llenan generalmente de óxido; a medida que su diámetro interno decrece, aumenta la cantidad de energía requerida para forzar el movimiento de una cantidad determinada de agua a través del tubo. La eficiencia de las tuberías como conductores de fluidos o gas, declina a menudo por el aumento en pérdidas debido a corrosión interna o externa. Cuando no es económico reestablecer la eficiencia con mantenimiento, debe reemplazarse la totalidad del sistema por intervalos sobre la base de un análisis económico. Considérese el siguiente ejemplo. Los componentes de un transportador están sujetos a un deterioro que reduce la capacidad del transportador de acuerdo a los datos de la Tabla 1.2
Tabla 1.2 Costos de los componentes de un transportador.
A B C D E F G H
Año, número
Eficiencia al comenzar
el año
Eficiencia promedio durante el
año
Horas anuales
de operación 1 200 ÷ C
Costo anual de operación excluyendo
el reemplazo
de los cangilones
D x $6.40
Suma de los costos
de operación al finalizar el año,
∑E
Costo promedio anual del servicio al finalizar el
año, ($960 + F)
÷ A
Costo anual equivalente del servicio al finalizar el año para
el 7% de interés 1 1.00 0.97 1 237 7 917 7 917 8 877 8 973 2 0.94 0.91 1 319 8 442 16 359 8 659 8 701 3 0.88 0.86 1 395 8 928 25 287 8 749 8 773 4 0.84 0.82 1 463 9 363 34 650 8 903 8 904
5 0.80
A medida que la capacidad de cangilón va siendo menor, es necesario trabajar el transportador por períodos más largos de tiempo con lo cual se aumentan los costos de operación. Cuando los cangilones están nuevos, la cantidad anual de material deseada puede manejarse en 1 200 horas de operación. Las horas de operación requeridas para diferentes niveles de eficiencia se muestran en la Columna D. Los costos anuales de operación son de $6.40 por hora, los cuales aparecen en la Columna E. El costo promedio anual que aparece en la Columna G está basado en un costo de reemplazo de $960 por los componentes de un transportador.
El ejemplo anterior es típico en muchas clases de equipo cuya eficiencia disminuye progresivamente cuando no es posible detenerla con mantenimiento. En el ejemplo, el menor costo
Aunque en el ejemplo, el menor costo de operación ocurre para una vida de 2 años, no es una evidencia concluyente de que sea el resultado de una política de reemplazar los componentes a intervalos de 2 años, a menos que el reemplazo duplique en costo inicial y en los costos subsecuentes aquellos que están siendo reemplazados. Pero la determinación de la vida económica para una unidad de equipo y la consideración casual del reemplazo subsecuente es, a menudo, suficiente y, desde el punto de vista práctico, lo más lejos a que puede llegarse en muchas situaciones.
Supóngase que se está considerando reemplazar un transportador existente por uno nuevo que tiene las características de operación que se muestran en la Tabla 1.2. La vida económica del transportador viejo es de un año, su valor residual es despreciable y el costo estimado de operación para el año inmediatamente siguiente es de $8 900 con aumentos anticipados en los gastos futuros de operación. Se ve en la Columna H que la vida económica del transportador nuevo es de 2 años para una tasa de interés del 7%. En consecuencia, debe seleccionarse el transportador nuevo ya que se obtendrá una economía equivalente de por lo menos $199($8 900 -
$8 701) por año si el transportador nuevo se retiene durante el período de su vida óptima. Aún en el caso de que el nuevo transportador se retuviera por un período más largo al de su vida económica, dígamos 4 años, se tiene aún una ventaja al reemplazar el viejo, ya que se espera que sus costos de operación anuales aumenten en el futuro.
d) Reemplazo por antigüedad (obsolescencia)
La obsolescencia surge como el resultado del mejoramiento continuo de los activos, es decir, en el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ventajosas que las de los activos actualmente utilizados. Con frecuencia, el mejoramiento tecnológico es tan rápido que resulta económico reemplazar un activo en buenas condiciones. Por consiguiente, la obsolescencia se caracteriza por cambios externos al activo, y es utilizada como una razón para justificar el reemplazo, cuando éste se considere necesario y conveniente.
Como una ilustración del análisis que implica el reemplazo debido a la obsolescencia, considérese el siguiente ejemplo. Un empresario produce un acople que tiene dos partes. Cada parte es producida por un torno de torre adquirido hace 13 años por $6 300 incluyendo allí los costos de instalación. Se propone como reemplazo del viejo, un nuevo torno cuyo costo, una vez instalado, será de $15 000. Los tiempos de producción por 100 conjuntos de partes con la máquina nueva y la vieja son los siguientes:
Parte Máquina actual Máquina nueva Conector. . . 2.92 horas 2.39 horas Manguillo. . . 1.84 horas 1.45 horas Total . . . 4.76 horas 3.84 horas
La empresa tiene unas ventas para los acoples que llegan en promedio a 40 000 unidades anuales que se espera continúen aproximadamente al mismo nivel. Los operadores de las máquinas tienen un salario de $8.50 por hora. La máquina nueva y la vieja necesitan un espacio igual en las instalaciones, pero siendo que la máquina nueva será utilizada menos horas, no parece que merezca considerarse la diferencia en costo. También se considera cierto lo anterior en relación con los artículos de administración general. El interés es igual al 12%. El vendedor de la máquina nueva ha encontrado un pequeño taller que estaría interesado en adquirir la vieja por $1 200. El comprador potencial estima la vida de la nueva máquina en 10 años con un valor residual, en ese momento, igual al 10% del costo de la máquina instalada $15 000. Se estima que el torno viejo está adecuado físicamente para trabajar 2 años más y tener un valor residual en ese momento igual a $250.
El costo anual equivalente de operación si el torno actual se retiene es de:
Recuperación del capital con ganancia, ($1 200 - $250) (A/P, 12%, 2) + $250(0.12) $ 592 Mano de obra directa, (4.76 ÷ 100) (40,000) ($8.50) $16 184 Total $16 776 El costo anual equivalente de la operación si se compra el torno nuevo, es de:
Recuperación del capital con retorno, ($15 000 - $1 500) (A/P, 12%, 10) + $250(0.12) $2 570 Mano de obra directa, (3.84 ÷ 100) (40 000) ($8.50) $13 056 Total $15 626
El monto anual a favor de la máquina nueva es de $1 150 pero debe notarse que ésta será usada (3.84 ÷ 100) × 40 000 = 1 536 horas anuales. No se tiene en cuenta el hecho de que la máquina nueva tiene una disponibilidad de muchas horas más por año; la capacidad no utilizada no tiene ningún valor hasta que sea utilizada en realidad. Sin embargo, debido a que la capacidad adicional tiene un valor potencial y puede mirarse como una seguridad para la insuficiencia, debe considerarse como un irreducible en favor de la máquina nueva.
e) Reemplazo por una combinación de factores
En la mayoría de los casos es una combinación de factores, más que una sola causa, lo que conduce al reemplazo. A medida que aumenta la edad del equipo, es de esperar que disminuya su eficiencia y rendimiento, mientras aumenta el mantenimiento requerido. Además, entre más antiguo sea un equipo, más modernos y ventajosos serán los equipos disponibles en el mercado.
Independientemente de la causa o combinación de causas que llevan a un estudio de reemplazo, el análisis y la decisión deben estar basadas en estimativos de lo que ocurrirá en el futuro. El pasado no debe tener importancia en este análisis; es decir, es irrelevante.
1.3 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cuales la decisión a la que se llega con tal estudio, no produce los resultados deseados. A continuación se explican brevemente algunos de estos factores.
a) Horizonte de planeación
El horizonte de planeación en un estudio de reemplazo es el lapso de tiempo futuro que se considera en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito es usado cuando es difícil o imposible predecir cuándo la actividad bajo consideración será terminada. Sin embargo, es importante señalar que tal suposición no es muy adecuada, puesto que es muy difícil predecir las ventajas tecnológicas que tendrán los equipos en un futuro distante, con respecto a los equipos actualmente utilizados. Además, los flujos de efectivo en un futuro muy distante es muy probable que se comporten de manera muy diferente a los actuales. Por otra parte, sobre todo cuando la duración del proyecto es predecible, es más realista y se recomienda basar el estudio en un horizonte de planeación finito.
b) La tecnología
Es muy importante en un análisis de reemplazo, sobre todo para ciertos tipos de equipos,
más realista esperar alguna obsolescencia del equipo viejo con respecto a los nuevos equipos disponibles. El ejemplo prototipo para esta situación son las computadoras, las cuales continuamente se están mejorando a un ritmo bastante acelerado, es decir, nuevas computadoras con mayor capacidad de Hardware y Software originan que las computadoras que se usan actualmente estén en amplia desventaja. En tales situaciones, vale la pena analizar si la reducción en tiempo y el aumento de eficiencia de la nueva computadora justifican reemplazar a la actual.
c) Comportamiento de los ingresos y los gastos
Es práctica común asumir que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo largo del horizonte de planeación es constante, o bien, en algunas ocasiones se estima que tienen un comportamiento lineal ascendente o descendente. Sin embargo, es muy importante señalar que cuando se ha detectado un cierto patrón de comportamiento en los gastos o se vislumbra cómo la inflación va afectar a los ingresos y gastos, tales consideraciones deben ser incluidas en el estudio de reemplazo.
d) Disponibilidad de capital
Es necesario dentro de un análisis de reemplazo considerar la disponibilidad de capital de la compañía, puesto que es obvio que las fuentes de financiamiento que la empresa utiliza para emprender sus proyectos de inversión (utilidad que genera, capital social y capacidad de endeudamiento) no son ilimitadas. No tomar en cuenta estas consideraciones puede originar que un reemplazo, que ya ha sido justificado, no se pueda emprender por falta de fondos.
e) Inflación
Otro factor muy importante que se debe considerar en un estudio de reemplazo es la inflación.
En épocas inflacionarias el acceso a pasivos de largo plazo es muy limitado, puesto que la inflación al ser mayor que el rendimiento que ofrecen las instituciones bancarias en los diferentes tipos de inversión (cuenta de ahorros, certificados, bonos financieros, etc.), disminuye la captación por parte de éstas. Al disminuir la oferta de préstamos hipotecarios de largo plazo, las empresas tienen que crecer al ritmo de crecimiento de sus utilidades generadas. Esto significa que en situaciones inflacionarias las decisiones de inversión, en este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas cuidadosamente, ya que una mala decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de capital de períodos futuros.
CAPITULO 2
Modelos Determinísticos para calcular la Vida Económica de Servicio
Introducción
Es probable que haya visto un automóvil de 50 años atrás aún en servicio. Casi cualquier cosa se puede mantener en operación durante largo tiempo, siempre y cuando reciba las reparaciones y el mantenimiento apropiados. Si podemos mantener un automóvil en operación durante un periodo casi indefinido, ¿por qué no vemos entonces más automóviles viejos en la calle? Puede haber varias razones. Algunas personas se cansan de manejar el mismo vehículo; otras quieren conservar el automóvil tanto tiempo como dure, pero se dan cuenta de que los costos de reparación y mantenimiento serán excesivos.
Los costos de operación y mantenimiento de un activo aumentan con su edad y en la ingeniería económica nos interesa saber cuál es su vida de servicio práctica, más que su vida física restante.
En los análisis presentados a continuación definimos la vida de servicio económica como el periodo de vida útil que minimiza el costo anual equivalente de un activo.
Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben considerar la inversión inicial, los costos inherentes del activo (operación y mantenimiento) y los costos relativos a modelos mejorados. Los costos más difíciles a evaluar de los tres anteriormente mencionados son sin duda los costos relativos a modelos mejorados, puesto que es muy difícil predecir con exactitud sobre todo para tiempos futuros muy distantes, el grado de mejoramiento tecnológico que sufrirá un activo. Sin embargo, este costo es muy importante considerarlo en estudios de reemplazo de activos sujetos a obsolescencias muy aceleradas. Por otra parte, hay que tener presente que los costos anteriores son costos de oportunidad (lo que se deja de ahorrar [ganar] por no tener el mejor activo disponible en el mercado) y por lo tanto no constituyen un desembolso real para la compañía.
En la Figura 2.1 se muestra en forma gráfica el comportamiento teórico de los costos inherentes y relativos de un activo. Como se puede apreciar, los costos inherentes del activo siguen una tendencia ascendente, lo cual se debe principalmente al mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad de un activo origina. Por otra parte, en dicha figura también se muestran los costos que se tendrían en cada uno de los años si se dispusiera del mejor activo que en ese momento existe en el mercado; así mismo puede observarse que estos costos disminuyen con el tiempo, dependiendo del grado de obsolescencia del activo en cuestión. Finalmente, se puede apreciar que los costos relativos (costos de oportunidad) crecen con la edad del activo; es decir, entre más viejo sea un activo, mayor será la cantidad que se deja de ahorrar (ganar) por no disponer del mejor activo que actualmente exista en el mercado.
Por otra parte, en la Figura 2.2, se muestra el comportamiento del costo anual equivalente de los costos inherentes y relativos del activo. También, se muestra la curva del costo total a partir de la cual se obtiene el periodo óptimo de reemplazo (N*).
Costos del activo mejorado
Figura 2.1 Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo análisis.
Figura 2.2 Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de permanencia.
Costos relativos
Tiempo
Costo total anual equivalente
Costo anual equivalente de los costos inherentes y relativos del activo
Costo anual equivalente de la inversión
Tiempo N*
Costos de operación y mantenimiento
2.1 Vida económica de servicio de un activo
Veamos el cálculo de la vida económica de servicio de un activo, a través de los siguientes métodos: (a) Método de flujo de efectivo generalizado, (b) Método tabular, (c) Modelo matemático, y (d) Programación dinámica. En el ejemplo siguiente se explica el procedimiento computacional para obtener la vida de servicio económica, utilizando los dos primeros métodos mencionados anteriormente.
Ejemplo 2.1 Vida útil restante del defensor
Una compañía considera el reemplazo de un vehículo montacargas con capacidad de 450 Kilogramos, el cual se adquirió hace 3 años a un costo de $15 000 pesos. Originalmente se esperaba que este montacargas diesel tuviera una vida útil de 8 años y valor residual de cero al final de dicho periodo. El montacargas se deprecia con el método lineal durante 5 años y su valor en libros actual es de $6 000 pesos. El montacargas no ha sido confiable y con frecuencia está fuera de servicio, en espera de reparaciones. Los gastos de mantenimiento del montacargas han aumentado constantemente y en la actualidad ascienden a unos $3 000 pesos anuales. El montacargas puede venderse por $6 000 pesos ó si se conserva, requerirá de inmediato una reparación general de $1 500 pesos para mantenerlo en operación. Esta reparación general no extenderá la vida de servicio estimada originalmente ni aumentará el valor del montacargas. Los costos operativos anuales actualizados, el costo de reparación del montacargas y los valores de mercado en los 5 años siguientes se han estimado como sigue:
n Operación y mantenimiento Depreciación Reparación del motor Valor de mercado
-3 0
-2 $3 000
-1 $3 000
0 $3 000 $1 500 $6 000
1 $3 000 $3 000 $4 000
2 $3 500 $3 000 $3 000
3 $3 800 0 $1 500
4 $4 500 0 $1 000
5 $4 800 0 $5 000 0
El área sombreada representa la información irrelevante (costos hundidos, exceptuando el historial del calendario de depreciación). Se espera un aumento notable en los costos de operación y mantenimiento en el quinto año debido a otra reparación general necesaria para mantener el montacargas en operación. La tasa marginal de impuestos de la compañía es del 40%
y su TREMA (Taza de recuperación mínima atractiva) es el 15%. Calcule la vida útil restante de este vehículo montacargas.
Solución
Para determinar la vida útil restante, primero se listan las ganancias o pérdidas que ocurrirán si se desecha el montacargas al final de cada año. Al hacer esto, es necesario calcular los valores en libros al término de cada año, suponiendo que es posible desechar el activo en ese momento. El cálculo del valor en libros se ilustra en la Tabla 2.1.
Usaremos dos métodos para encontrar la vida económica de servicio de un activo: (a) Método de flujo de efectivo generalizado y (b) Método tabular.
a) Método de flujo de efectivo generalizado
Necesitamos estimar los valores residuales netos y los costos operativos durante la vida de servicio del activo. Estos valores forman la base para identificar los flujos de efectivo después de impuestos relevantes al término de un periodo operativo.
Si la compañía conserva el montacargas, de hecho ha decidido repararlo e invertir el valor de mercado actual (después de impuestos) de la máquina en esa alternativa. Aunque no hay una transacción física de flujo de efectivo, la empresa está reteniendo de la inversión el valor de mercado del montacargas (costo de oportunidad).
Si se conserva el montacargas un año más, los flujos de efectivo después de impuestos relevantes se determinan usando el método de flujo de efectivo generalizado. Para el caso en el cual se conserva el defensor durante 1 hasta 5 años, la Tabla 2.2 resume los flujos de efectivo usando el método de flujo de efectivo generalizado.
El valor anual equivalente, si la empresa conserva el montacargas 1 año es:
AE (15%) = [- 6 900+ 3 000(P/F, 15%, 1)2] (A/P, 15%, 1)3 = - 4 935
Si la empresa conserva el montacargas 2 años más, el valor anual equivalente sería:
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1)+ 900(P/F, 15%, 2)] (A/P, 15%, 2) = - 4 146
Si la empresa conserva de 3 hasta 5 años más el defensor, los valores anuales equivalentes son:
• Para n = 3 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) - 1380(P/F, 15%, 3)]
(A/P, 15%, 3) = - 3 946
• Para n = 4 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) – 2 280(P/F, 15%, 3) -2 100(P/F, 15%, 4)] (A/P, 15%, 4) = - 3 784
• Para n = 5 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) – 2 280(P/F, 15%, 3) - 2 700(P/F, 15%, 4) – 5 880(P/F, 15%, 5)] (A/P, 15%, 5) = - 4 197 Los Flujos de efectivo de la Tabla 2.2 se calculan de la siguiente manera:
Inversión
+ (Tasa de impuestos)(depreciación) - (1- tasa de impuestos)(O & M) + Percepciones netas por la venta Flujo de efectivo neto
En la Figura 2.3 se presentan los flujos de efectivo relevantes si se usa el montacargas más de 2 años.
2 Ver Apéndice
3 Ver Apéndice. En los casos posteriores, consulte el apéndice.
Tabla 2.2 Cálculo de flujo de efectivo generalizado después de impuestos de la conservación del defensor durante 1, 2, 3, 4 y 5 años más (Ejemplo 2.1)
Percepciones
netas por la Flujo de
Años ( n ) Inversión (0.4)(Deprec) (-0.6)(O&M) venta efectivo neto
n=1
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 3600 3000
n=2
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 1800 900
n=3
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 900 -1380
n=4
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 -2280
4 0 -2700 600 -2100
n=5
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 -2280
4 0 -2700 -2700
5 0 -5880 0 -5880
Figura 2.3 Flujos de efectivo del defensor cuando se conserva durante 1, 2, 3, 4 o 5 años (Ejemplo 2.1)
Si se vendiera el montacargas después de 4 años, tendría un costo anual mínimo de 3 508 pesos y es la vida más favorable para fines de comparación. Por tanto, la vida económica restante del montacargas es de 4 años (véase la Figura 2.4)
Figura 2.4 Vida útil restante (Ejemplo 2.1)
b) Método tabular.
El método tabular consiste en separar en dos partes los elementos de costo anuales: una relacionada con la recuperación de capital del activo y la otra con la operación de éste. Al calcular el costo de recuperación de capital hay que determinar los valores residuales después de impuestos al final de cada periodo de retención, como se muestra en la Tabla 2.1. Después se calculan los costos anuales equivalentes del activo en determinado año de operación:
Costos anuales equivalentes = costo de recuperación de + costos operativos anuales totales capital equivalentes
En la Tabla 2.3 se ilustra el método tabular para determinar la vida económica del activo.
Podemos ver que, conforme envejece el activo, aumentan los costos de operación y mantenimiento. Al mismo tiempo, el costo de recuperación de capital disminuye con el uso prolongado del activo. La combinación de la disminución en los costos de recuperación de capital y el aumento en los costos anuales de operación y mantenimiento, da como resultado que el costo anual equivalente total asuma una forma similar a la que se ilustra en la Figura 2.4, lo cual indica que la vida económica del activo es de 4 años.
Igual que en el caso del defensor, debemos considerar de manera explícita cuánto tiempo debe conservarse el retador una vez que se pone en servicio. Por ejemplo, en el caso de una empresa de alquiler de camiones que compra con frecuencia una flotilla de camiones idénticos, tal vez decida llegar a una política de decisión acerca de cuánto tiempo conservar cada vehículo antes de reemplazarlo. Una vez calculado este periodo, la empresa podría escalonar el calendario de compras y reemplazo de camiones para distribuir los gastos anuales de capital por la compra de camiones. En el caso de un retador con ingresos desconocidos o irrelevantes, podemos calcular su vida económica en base a sus costos operativos y valores residuales, año con año. Esto se demuestra en el Ejemplo 2.2.
Ejemplo 2.2 Vida de servicio económica del retador
Como retador del equipo descrito en el Ejemplo 2.1 considere un nuevo vehículo montacargas eléctrico que cuesta $18 000 pesos; sus costos operativos son de $1 000 pesos en el primer año y valor residual de $10 000 pesos al término del mismo. En los años restantes, los costos operativos aumentan un 15% anual con respecto a los del año anterior. En forma similar, el valor residual disminuye un 25% cada año, con respecto al del año anterior. El vehículo montacargas tiene una vida operativa de 7 años, con costo de reparación general de $3 000 pesos cada quinto año de servicio y otra reparación general de $4 500 pesos en el séptimo año. De acuerdo con el método lineal, las siguientes provisiones de depreciación anual son: $3 600, $3 600, $3 600, $3 600, $3 600, 0 y 0. La tasa marginal de impuestos de la empresa es del 40% y su TREMA es del 15%.
Encuentre la vida de servicio económica de esta máquina nueva.
Solución
Podemos proyectar los costos operativos esperados y el valor residual a lo largo de los próximos 7 años, como se ilustra en la Tabla 2.4. Con estas cifras estamos listos para generar las entradas después de impuestos. Los cálculos para los dos primeros años operativos son los siguientes:
• n = 1 :
AE (15%) = {- 18 000+ [- 0.6 (1 000) + 0.4 (3 600) + 11 760] (P/F, 15%, 1)} (A/P, 15%, 1) = - 8 100
• n = 2 :
AE (15%) = {- 18 000 + [- 0.6 (1 000) + 0.4 (3 600)] (P/F, 15%, 1) + [- 0.6 (1 150) + 0.4 (3 600) + 8 820] (P/F, 15%, 2)} (A/P, 15%, 2) = - 6 172
Podemos calcular en forma similar los costos anuales equivalentes de los años subsecuentes, como se ilustra en la Tabla 2.5. La vida de servicio económica de la máquina nueva al parecer es de 6 años con AE (15%) = - $4 381, lo que indica que, aunque se requiere una reparación general costosa en el quinto año de servicio, es más económico conservar el equipo durante 6 años.
La razón para determinar la vida económica de un activo nuevo es que al ir reemplazando perpetuamente de acuerdo con la vida económica, se obtiene el flujo infinito mínimo de costo anual equivalente; este concepto se ilustra en la Figura 2.5. Por supuesto, debemos contemplar un largo periodo de servicio para el activo. Sin duda, en este tipo de vida influyen en gran medida las provisiones fiscales por depreciación.
Figura 2.5 Conversión de un número infinito de ciclos de reemplazo a flujos de costo anual equivalentes infinitos ( Ejemplo 2.2)
A continuación se presenta un modelo matemático que nos permite determinar la vida económica de un activo.
c) Modelo matemático
El modelo matemático propuesto a continuación, es una función del costo equivalente anual; el cual se busca minimizar para un periodo óptimo de tiempo N. La función del costo anual equivalente se obtiene primero calculando el valor presente de la inversión, a través de los costos inherentes y relativos, del valor residual, descontando la parte de depreciación y del valor residual afectado por la tasa de impuestos. Una vez obtenido el valor presente se anualiza, es decir, se multiplica por el factor de conversión (A/P, i %, N)
( ) ( ) ( )
( ) ( A P i N )
i
t B F F i
t C C t P D
Mín
N N N NN
j
j Ij Rj
j
/ , %,
1 1
1
1
+
− + −
+
−
− + −
− ∑
=
donde:
P = inversión inicial en el activo.
D j = depreciación del activo en el año j.
t = tasa de impuestos.
C I j = costos inherentes del activo en el año j.
C R j = costos relativos del activo en el año j.
F N = valor residual del activo al final del año N.
B N = valor en libros del activo al final del año N.
N = periodo óptimo de tiempo a permanecer con el activo.
i = TREMA
Se probarán diferentes valores de N hasta encontrar aquel que minimiza el costo total anual equivalente. Con el propósito de ilustrar una aplicación de este modelo matemático, observemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.3 Cálculo de la vida de servicio económica mediante un modelo matemático.
Suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar el actualmente utilizado. El costo del equipo se estima en $50 000 pesos y los valores residuales, valores en libros, costos inherentes y costos relativos, para los diferentes años de vida del activo, se han estimado como sigue
Final del año Valor en libros Valor realizable Costos inherentes Costos Relativos
1 $40 000 $36 000 $ 5 000 $ 0
2 $30 000 $28 000 $ 6 000 $2 000
3 $20 000 $24 000 $ 7 000 $2 500
4 $10 000 $16 000 $ 9 000 $4 000
5 0 $ 2 000 $11 000 $6 000
Considere que la tasa de impuestos es de 50% y que esta misma tasa se aplica para gravar ganancias o pérdidas extraordinarias de capital; por último, la empresa utiliza una TREMA de 20%
para evaluar sus proyectos de inversión.
Solución
Calculemos los flujos de efectivo después de impuestos para los diferentes periodos de permanencia con el activo, los cuales se muestran en la Tabla 2.6. Debe ser notado en esta tabla que en la cantidad gravable sólo se incluyen los costos inherentes y la depreciación. Los costos de oportunidad por ser no-desembolsables no se pueden considerar como deducibles.
Tabla 2.6 Flujos de efectivo para diferentes periodos de permanencia con el activo
Flujo de efectivo antes
Flujo de efectivo después Año
De
impuestos Depreciación
Cantidad gravable
Ahorro en impuestos
de
impuestos Permanecer un año con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
1 36 000 38 000
Permanecer dos años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
2 28 000 29 000
Permanecer tres años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
3 24 000 22 000
Permanecer cuatro años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
4 -13 000 -10 000 -19 000 9 500 -3 500
4 16 000 13 000
Permanecer cinco años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
4 -13 000 -10 000 -19 000 9 500 -3 500
5 -17 000 -10 000 -21 000 10 500 -6 500
5 2 000 1 000
A partir de la Tabla 2.6 se obtiene la Tabla 2.7, en la cual se trata de mostrar principalmente el costo anual equivalente que se tendría si se permanece con el activo 1, 2, 3, 4 ó 5 años. En esta tabla se puede apreciar que el costo anual equivalente es mínimo para un periodo de 4 años. Esto significa que el periodo óptimo de reemplazo del activo es de 4 años.
En este ejemplo, se supuso que los costos relativos son conocidos; sin embargo, por ser costos de oportunidad, son muy difíciles de evaluar en la práctica.
Tabla 2.7. Costo anual equivalente para diferentes periodos de permanencia con el activo
Costos Valores VP si se Factor de
totales realizables permanece anualidad Costo después de después de n años con equivalente anual Año impuestos impuestos el activo (A /P, i%, N) equivalente
0 -50 000
1 2 500 38 000 -16 250 1.2 -19 500
2 0 29 000 -27 778 0.6546 -18 183
3 -1 000 22 000 -35 764 0.4747 -16 977
4 -3 500 13 000 -43 914 0.3863 -16 964
5 -6 500 1 000 -52 394 0.3344 -17 521
Por consiguiente, si en un problema específico no es posible determinar los costos relativos, con considerar los costos inherentes es suficiente.
Por último, veamos un modelo de programación dinámica, para determinar la edad más económica de un activo.
d) Programación dinámica
Supongamos que estamos estudiando el problema del reemplazo de un activo a lo largo de n años. Al principio de cada año, decidimos si debemos dejar el activo en servicio durante un año más o reemplazarlo por uno nuevo. Denotemos por r(t) y c(t) la utilidad anual y el costo de operación de un activo de un año t de edad respectivamente. Además, supongamos que s(t) es el valor residual del activo que ha estado en servicio durante t años y el costo de adquirir un activo nuevo en cualquier año es I. Los elementos del modelo de Programación dinámica son:
1. La etapa i está representada por el año i, i =1,2,..., n.
2. Las alternativas en la etapa (año) i son que el activo se conserve o se reemplace al principio del año i.
3. El estado en la etapa i es la edad del activo al principio del año i.
Si definimos
f i (t) = ingreso neto máximo por los años i, i+1, ... , y n dado que el activo tiene t años de edad al principio del año i.
Por lo tanto, la ecuación recursiva se deriva como
r(t) – c(t) + f i+1 (t+1), si se CONSERVA f i (t) = máx
r(0) – s(t) – I – c(0) + f i+1 (1), si se REEMPLAZA
