[5] J. P. S. Lemos and P. S. Letelier.Phys. Rev D,49, 5135 (1994). [6] J. P. S. Lemos and P. S. Letelier.Int. J. Mod. Phys. D,5, 53 (1995). [7] O. Semerák.Class. Quantum Grav.,21, 2203 (2004).
[8] G. A. González, A. C. Gutiérrez-Piñeres and V. Viña-Cervantes. “Relativistic static thin dust disks with an inner edge: An infinite family of new exact solu-tions”,arXiv: 0811.3869v1 (2008).
[9] G. A. González, A. C. Gutiérrez-Piñeres and V. Viña-Cervantes.AIP Conf. Proc., 1122, 284-287 (2009).
[10] F. J. Ernst.Phys. Rev.,167, 1175 (1968). [11] F. J. Ernst.Phys. Rev.,168, 1415 (1968).
[12] H. Stephani, D. Kramer, M. MacCallum, C. Hoenselaers and E. Herlt. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. Cambridge University Press, 2003. [13] A. Papapetrou and A. Hamouni.Ann. Inst. Henri Poincaré,9, 179 (1968). [14] A. Lichnerowicz.C.R. Acad. Sci.,273, 528 (1971).
[15] A. H. Taub.J. Math. Phys.,21, 1423 (1980). [16] E. Israel.Nuovo Cimento,44B, 1 (1966). [17] E. Israel.Nuovo Cimento,48B, 463 (1967).
[18] E. Poisson. A Relativist’s Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press, 2004.
[19] G. A. González and A. C. Gutiérrez-Piñeres. “Counterrotating Dust Disk Around a Schwarzschild Black Hole: New Fully Integrated Explicit Exact Solution”,arXiv: 0811.3002v1 (2008).
(Received 12 June 2009; accepted 20 November 2009) Antonio C. Gutiérrez-Piñeres
Escuela de Física
Universidad Industrial de Santander A.A. 678, Bucaramanga, Colombia e-mail:[email protected] Facultad de Ciencias Básicas
Universidad de Santander Bucaramanga, Colombia
Guillermo A. González Escuela de Física
Universidad Industrial de Santander A.A. 678, Bucaramanga, Colombia e-mail: [email protected] Departamento de Física Teórica Universidad del País Vasco 48080 Bilbao, España Viviana M. Viña-Cervantes
Escuela de Física
Universidad Industrial de Santander A.A. 678, Bucaramanga, Colombia e-mail: [email protected]
Revista IntegraciónEscuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander Vol. 27, No. 2, 2009, pág. 99–123
Imágenes débilmente confluentes de la curva
sinusoidal del topólogo
Sergio Macías
∗Resumen. En el presente trabajo se caracterizan las imágenes débilmente confluentes de la curva del topólogo. Se demuestra que si G es la curva sinusoidal del topólogo yf:S→Y es una función débilmente confluente, donde Y es un continuo, entonces Y es o un arco, o una curva cerrada simple, o una compactación de[0,∞)cuyo residuo es un arco o una curva cerrada simple. Más aún, si Y es alguno de estos continuos yf: S→ Y es una función continua y sobreyectiva, se dan condiciones para quef sea débilmente confluente.
1.
Introducción
Este trabajo está basado en la tesis de maestría de Jeffrey A. Brooks [2]. Las funciones confluentes fueron definidas por J. J. Charatonik en [3]. Posteriormente, A. Lelek gene-ralizó este concepto y definió las funciones débilmente confluentes [8]. Para responder a una pregunta de J. J. Charatonik, S. B. Nadler Jr. caracterizó las imágenes confluentes de la curva sinusoidal del topólogo [15].
El objetivo de este trabajo es caracterizar las imágenes débilmente confluentes de la curva sinusoidal del topólogo de la siguiente manera: Si S es la curva sinusoidal del topólogo y f:S→ Y es una función débilmente confluente, donde Y es un continuo, entonces Y es un arco, una curva cerrada simple o una compactación de [0,∞)cuyo residuo es un arco o una curva cerrada simple. Más aún, siY es alguno de estos continuos yf:S→Y es una función continua y sobreyectiva, daremos condiciones para quef sea débilmente confluente.
0Palabras y frases claves: Continuo, curva sinusoidal del topólogo, función débilmente confluente,
rayo.
0MSC2000 :54E40; 54B15. 0
∗Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Exterior, Ciudad
2.
Definiciones
Si(Z, d)es un espacio métrico, entonces dado un subconjuntoAdeZ, el interior deA se denota comoIntZ(A), su frontera se denota porF rZ(A)y su cerradura comoClZ(A). El símboloRdenotará el conjunto de los números reales.
Sea {Xn}∞
n=1 una sucesión de espacios métricos. Para cada número natural n, sea gn+1
n :Xn+1→Xn una función continua. A la doble sucesión{Xn, gnn+1}∞n=1 de espacios y funciones se la llama unasucesión inversa. A las funciones gn+1
n se las llama
funcio-nes de ligadura. El límite inversode la sucesión inversa {Xn, gnn+1}∞n=1, se denota por lím ←−{Xn, g n+1 n }y se define como lím ←−{Xn, g n+1 n }= (xn)∞n=1∈ ∞ n=1 Xn gnn+1(xn+1) =xn para cadan . Dado un número natural m, sea πm: ∞n=1Xn → Xm la función proyección. La
res-tricciónπm|lím ←−{Xn,g
n+1
n } la denotaremos porgm. Para mayor información sobre límites inversos, se puede consultar el Capítulo 2 de [10].
Unarcoes un espacio homeomorfo al intervalo[0,1]con su topología usual. Lospuntos extremosde un arco son las imágenes de0 y1bajo cualquier homeomorfismo. Un rayo es un espacio homeomorfo al intervalo[0,∞), también con su topología usual. El círculo es el espacioS1={(x, y)∈R2 |x2+y2= 1}. Unacurva cerrada simplees un espacio homeomorfo aS1.
Dados dos espacios métricosY yZ, unahomotopía entreY yZes una función continua H:Y ×[0,1] →Z. Decimos que dos funciones f, g:Y → Z son homotópicas si existe una homotopía G:Y ×[0,1] → Z tales que G((y,0)) = f(y) y G((y,1)) = g(y) para today∈Y. El espacioY escontraíblesi la función identidad deY es homotópica a una función constante.
Uncontinuoes un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío. Unsubcontinuode un espacioZ es un subconjunto AdeZ que es un continuo. Un continuoX esarcoconexo si para cualesquiera dos puntosx1yx2deX, existe un arco enX conx1yx2como sus puntos extremos. Un continuo arcoconexo es únicamente arcoconexosi no tiene curvas cerradas simples. Un continuoXesunicoherentesi cada vez que tomemos aX=K∪L, donde K y Lson subcontinuos de X, se tiene queK∩L es conexo. El continuoX es hereditariamente unicoherentesi todos sus subcontinuos son unicoherentes. Undendroide es un continuo arcoconexo y hereditariamente unicoherente. Unadendritaes un continuo
localmente conexo sin curvas cerradas simples.
SeanX un continuo yK yLdos subcontinuos de Xtales queX=K∪L. Definimos r(K, L)como el número de componentes deK∩L. Elgrado de multicoherencia deX, denotador(X), se define como el número
r(X) = sup{r(K, L)|K yLson subcontinuos deX conX=K∪L} −1. Observemos que es posible quer(X) =∞.
Sean X un continuo,Z un subcontinuo de X y A y B dos subconjuntos cerrados y no vacíos deX. Decimos queZ es irreducible entreAyB siZ∩A�=∅,Z∩B�=∅y
ningún subcontinuo propio deZtiene esta propiedad.
SiXyY son continuos yf:X→Y es una función continua, entoncesfesconfluentesi para cada subcontinuoQdeY y cada componenteKdef−1(Q), se tiene quef(K) =Q. Diremos que f es débilmente confluente si para cada subcontinuo Q de Y, existe un subcontinuo K de X tal que f(K) = Q. Decimos que f es monótona si para cada subconjunto conexoC deY, se tiene quef−1(C)es un subconjunto conexo deX.
Sean X y Y dos continuos,ε >0y f:X → Y una función continua y sobreyectiva. Decimos quef es unaε-funciónsi para caday∈Y, se tiene que diám(f−1(y))< ε.
Dado un continuoX, unacadenaes una colección finitaC={C1, . . . , Cn}de subcon-juntos no vacíos deX tales queCj∩Ck=∅si|j−k| ≤1. A los elementos deCse las
llamaeslabonesde la cadena. Si los elementos deCson abiertos, entonces diremos queC
es una cadena abierta. Además, siCes una cadena abierta yεes un número real positivo tal que diám(Ck)< εpara cadak∈ {1, . . . , n}, entoncesCes unaε-cadena. Un continuo X esencadenable si para cada ε > 0, existe una ε-cadena que cubre a X. Sean X un continuo encadenable ypy qdos puntos de X. Decimos quepy q sonpuntos extremos opuestos(en el sentido de Bing [1, pág. 661]) si para cadaε >0existe unε-cadena que cubre aXcuyo primer eslabón tiene apy su último eslabón tiene aq.
Dado un continuoX, unacadena circulares una colección finitaC={C1, . . . , Cn}de subconjuntos no vacíos deX tales queCj∩Ck=∅si|j−k| ≤1ó |j−k|=n−1. Si
los elementos deCson abiertos entonces diremos queCes una cadena circular abierta.
Además, si C es una cadena circular abierta y ε es un número real positivo tal que diám(Ck)< εpara cadak∈ {1, . . . , n}, entoncesCes unaε-cadena circular. Un continuo Xescircularmente encadenablesi para cadaε >0existe unaε-cadena circular que cubre aX.
2.
Definiciones
Si(Z, d)es un espacio métrico, entonces dado un subconjuntoAdeZ, el interior deA se denota comoIntZ(A), su frontera se denota porF rZ(A)y su cerradura comoClZ(A).
El símboloRdenotará el conjunto de los números reales.
Sea {Xn}∞
n=1 una sucesión de espacios métricos. Para cada número natural n, sea gn+1
n :Xn+1→Xnuna función continua. A la doble sucesión{Xn, gnn+1}∞n=1de espacios y funciones se la llama una sucesión inversa. A las funcionesgn+1
n se las llama
funcio-nes de ligadura. Ellímite inversode la sucesión inversa {Xn, gnn+1}∞n=1, se denota por lím ←−{Xn, g n+1 n }y se define como lím ←−{Xn, g n+1 n }= (xn)∞n=1∈ ∞ n=1 Xn gnn+1(xn+1) =xn para cadan . Dado un número naturalm, sea πm: ∞n=1Xn → Xm la función proyección. La
res-tricciónπm|lím ←−{Xn,g
n+1
n }la denotaremos por gm. Para mayor información sobre límites inversos, se puede consultar el Capítulo 2 de [10].
Unarcoes un espacio homeomorfo al intervalo[0,1]con su topología usual. Lospuntos extremos de un arco son las imágenes de0y1 bajo cualquier homeomorfismo. Unrayo es un espacio homeomorfo al intervalo[0,∞), también con su topología usual. El círculo es el espacio S1 ={(x, y)∈R2|x2+y2 = 1}. Unacurva cerrada simplees un espacio homeomorfo aS1.
Dados dos espacios métricosY yZ, unahomotopía entreY yZes una función continua H:Y ×[0,1]→ Z. Decimos que dos funcionesf, g:Y → Z sonhomotópicas si existe una homotopía G: Y ×[0,1] → Z tales que G((y,0)) = f(y)y G((y,1)) = g(y)para today∈Y. El espacioY escontraíblesi la función identidad deY es homotópica a una función constante.
Uncontinuoes un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío. Unsubcontinuode un espacio Z es un subconjuntoAde Z que es un continuo. Un continuoX es arcoconexo si para cualesquiera dos puntosx1yx2deX, existe un arco enXconx1yx2como sus puntos extremos. Un continuo arcoconexo es únicamente arcoconexosi no tiene curvas cerradas simples. Un continuoXesunicoherentesi cada vez que tomemos aX=K∪L, donde K y Lson subcontinuos deX, se tiene que K∩Les conexo. El continuo X es hereditariamente unicoherentesi todos sus subcontinuos son unicoherentes. Undendroide es un continuo arcoconexo y hereditariamente unicoherente. Unadendritaes un continuo
localmente conexo sin curvas cerradas simples.
SeanX un continuo yK y Ldos subcontinuos deX tales queX=K∪L. Definimos r(K, L)como el número de componentes deK∩L. Elgrado de multicoherencia de X, denotador(X), se define como el número
r(X) = sup{r(K, L)|K yLson subcontinuos deX conX=K∪L} −1. Observemos que es posible quer(X) =∞.
SeanX un continuo,Z un subcontinuo de X y Ay B dos subconjuntos cerrados y no vacíos deX. Decimos queZ es irreducible entre Ay BsiZ∩A�=∅,Z∩B�=∅y
ningún subcontinuo propio deZtiene esta propiedad.
SiXyY son continuos yf:X→Y es una función continua, entoncesfesconfluentesi para cada subcontinuoQdeY y cada componenteKdef−1(Q), se tiene quef(K) =Q. Diremos que f es débilmente confluente si para cada subcontinuo Q de Y, existe un subcontinuo K de X tal que f(K) = Q. Decimos que f es monótona si para cada subconjunto conexoC deY, se tiene quef−1(C)es un subconjunto conexo deX.
SeanX y Y dos continuos,ε >0 y f:X →Y una función continua y sobreyectiva. Decimos quef es unaε-funciónsi para caday∈Y, se tiene que diám(f−1(y))< ε.
Dado un continuoX, unacadenaes una colección finitaC={C1, . . . , Cn}de subcon-juntos no vacíos deX tales queCj∩Ck=∅si|j−k| ≤1. A los elementos de Cse las
llamaeslabonesde la cadena. Si los elementos deCson abiertos, entonces diremos queC
es una cadena abierta. Además, siCes una cadena abierta yεes un número real positivo tal que diám(Ck)< εpara cadak∈ {1, . . . , n}, entoncesCes unaε-cadena. Un continuo X es encadenable si para cada ε > 0, existe una ε-cadena que cubre a X. SeanX un continuo encadenable yp yq dos puntos deX. Decimos que pyq sonpuntos extremos opuestos (en el sentido de Bing [1, pág. 661]) si para cadaε >0existe unε-cadena que cubre aX cuyo primer eslabón tiene apy su último eslabón tiene aq.
Dado un continuoX, unacadena circulares una colección finitaC={C1, . . . , Cn}de subconjuntos no vacíos de X tales queCj∩Ck =∅ si|j−k| ≤1ó|j−k|=n−1. Si
los elementos deCson abiertos entonces diremos queCes una cadena circular abierta.
Además, si C es una cadena circular abierta y ε es un número real positivo tal que diám(Ck)< εpara cadak∈ {1, . . . , n}, entoncesCes unaε-cadena circular. Un continuo Xescircularmente encadenablesi para cadaε >0existe unaε-cadena circular que cubre aX.
Un continuo X es llamadosusliniano si cualquier familia de subcontinuos de X dis-yuntos dos a dos es a lo más numerable.
Un triodo es un continuo que se puede escribir como la unión de tres subcontinuos tales que la parte común de los tres es un subcontinuo propio de cada uno de ellos y, además, es la parte común de cualesquiera dos de ellos. Untriodo simplees un continuo que consta de tres arcos, los cuales sólo tienen uno de sus puntos extremos en común. Untriodo semisimple es un continuoX que es la unión de un rayoH y un arcoAtales queH∩A=∅y ClX(H)\H es un subarco o un punto de Aque no contiene ningún
punto extremo deA. Notemos que un triodo simple es un caso particular de un triodo semisimple. Un continuo esatriódico si no contiene triodos.
Sean: H= x,sen 1 x ∈R20< x≤π2 , J=(0, y)∈R2| −1≤y≤1 y S=J∪H.
Notemos queSes un continuo; este continuo es el que se denomina lacurva sinusoidal del topólogo.
3.
Resultados preliminares
Demostraremos los resultados sobre funciones débilmente confluentes que nos servirán para el resto del trabajo.
Teorema 3.1. SeanXyY dos continuos yf:X→Y una función continua. Entoncesf es débilmente confluente si y sólo si para cada subcontinuoQdeY existe una componente K def−1(Q)tal que f(K) =Q.
Demostración. Supongamos que f es débilmente confluente. Sea Q un subcontinuo de Y. Por hipótesis, existe un subcontinuo L de X tal que f(L) = Q. Notemos que esto implica queL⊂f−1(Q). SeaK la componente de f−1(Q)que contiene a L. Entonces f(K) =Q.
La otra implicación es clara.
Teorema 3.2. SiX,Y yZson tres continuos,f:X→Y yg:Y →Zson dos funciones débilmente confluentes entoncesg◦f:X→Zes débilmente confluente.
Demostración. Sea Q un subcontinuo de Z. Como g es débilmente confluente, existe un subcontinuoLde Y tal queg(L) =Q. Comof es débilmente confluente y Les un subcontinuo deY, existe un subcontinuoK de Xtal que f(K) =L. De donde se sigue queg◦f(K) =g(f(K)) =g(L) =Q. Por tanto,g◦f es débilmente confluente. Teorema 3.3. SiX,Y yZson tres continuos,f:X→Y yg:Y →Zson dos funciones continuas tales que g◦f:X → Z es débilmente confluente, entonces g es débilmente confluente.
Demostración. SeaQun subcontinuo deZ. Comog◦f es débilmente confluente, existe un subcontinuoK deZ tal que g◦f(K) =Q. Entoncesf(K)es un subcontinuo deY tal queg(f(K)) =Q. Por tanto,ges débilmente confluente. Lema 3.4. SiZ es un continuo yf:X→[0,1]es una función continua y sobreyectiva, entoncesf es débilmente confluente.
Demostración. Sea [a, b] un subcontinuo de [0,1]. Definimos K ={(z, f(z)) |z ∈ Z}. ClaramenteKes un subcontinuo deZ×[0,1]. Supongamos queK∩(Z×[a, b])no contiene un subcontinuo irreducible entreK∩(Z× {a})y K∩(Z× {b}). Entonces existen dos subconjuntos cerrados y no vacíosP yRdeK∩(Z×[a, b])tales queK∩(Z×[a, b]) =P∪R, K∩(Z× {a})⊂P y K∩(Z× {b})⊂R[16, 5.2]. Sean P′=P∪π−1 [0,1]([0, a])∩K yR′=R∪π−1 [0,1]([b,1])∩K ,
dondeπ[0,1]:Z×[0,1]→[0,1]es la función proyección. Observemos que esto implica que K=P′∪R′, lo cual es una contradicción, ya queP′yR′son dos subconjuntos cerrados,
disyuntos y no vacíos de K, y K es conexo. En consecuencia, existe un subcontinuo irreducibleLdeK∩(Z×[a, b])entreK∩(Z×{a})yK∩(Z×{b}). SeaπZ:Z×[0,1]→Z
la función proyección. Notemos quef(πZ(L))es un subcontinuo de[a, b]tal que{a, b} ⊂
f(πZ(L)). De dondef(πZ(L)) = [a, b]. Por tanto,f es débilmente confluente. Teorema 3.5. Sean X un continuo encadenable y Z un continuo. Si f: Z → X es una función continua y sobreyectiva, entonces f es débilmente confluente.
Demostración. Seaf:Z→X una función continua y sobreyectiva. ComoXes encade-nable,Xes homeomorfo a lím
←−{[0,1], g n+1
n }, donde cadagnn+1es sobreyectiva [10, 2.4.22].
Supondremos queX=lím
←−{[0,1], g n+1 n }.
Un continuo X es llamadosusliniano si cualquier familia de subcontinuos de X dis-yuntos dos a dos es a lo más numerable.
Un triodo es un continuo que se puede escribir como la unión de tres subcontinuos tales que la parte común de los tres es un subcontinuo propio de cada uno de ellos y, además, es la parte común de cualesquiera dos de ellos. Untriodo simplees un continuo que consta de tres arcos, los cuales sólo tienen uno de sus puntos extremos en común. Un triodo semisimplees un continuo Xque es la unión de un rayoH y un arcoAtales queH∩A=∅y ClX(H)\H es un subarco o un punto deAque no contiene ningún
punto extremo de A. Notemos que un triodo simple es un caso particular de un triodo semisimple. Un continuo esatriódicosi no contiene triodos.
Sean: H= x,sen 1 x ∈R20< x≤ π2 , J=(0, y)∈R2| −1≤y≤1 y S=J∪H.
Notemos queSes un continuo; este continuo es el que se denomina lacurva sinusoidal del topólogo.
3.
Resultados preliminares
Demostraremos los resultados sobre funciones débilmente confluentes que nos servirán para el resto del trabajo.
Teorema 3.1. SeanXyY dos continuos yf:X→Y una función continua. Entoncesf es débilmente confluente si y sólo si para cada subcontinuoQdeY existe una componente K def−1(Q)tal quef(K) =Q.
Demostración. Supongamos que f es débilmente confluente. Sea Q un subcontinuo de Y. Por hipótesis, existe un subcontinuo Lde X tal que f(L) = Q. Notemos que esto implica que L⊂f−1(Q). SeaK la componente def−1(Q)que contiene a L. Entonces f(K) =Q.
La otra implicación es clara.
Teorema 3.2. SiX,Y yZson tres continuos,f:X→Y yg:Y →Z son dos funciones débilmente confluentes entonces g◦f:X→Z es débilmente confluente.
Demostración. Sea Q un subcontinuo de Z. Como g es débilmente confluente, existe un subcontinuoLde Y tal queg(L) = Q. Comof es débilmente confluente y Les un subcontinuo deY, existe un subcontinuo K deX tal quef(K) =L. De donde se sigue queg◦f(K) =g(f(K)) =g(L) =Q. Por tanto,g◦f es débilmente confluente. Teorema 3.3. SiX,Y yZson tres continuos,f:X→Y yg:Y →Zson dos funciones continuas tales que g◦f:X → Z es débilmente confluente, entonces g es débilmente confluente.
Demostración. SeaQun subcontinuo deZ. Comog◦f es débilmente confluente, existe un subcontinuoK de Z tal queg◦f(K) =Q. Entoncesf(K)es un subcontinuo deY tal queg(f(K)) =Q. Por tanto,ges débilmente confluente. Lema 3.4. Si Z es un continuo yf:X→[0,1]es una función continua y sobreyectiva, entoncesf es débilmente confluente.
Demostración. Sea [a, b] un subcontinuo de [0,1]. DefinimosK = {(z, f(z))| z ∈ Z}. ClaramenteKes un subcontinuo deZ×[0,1]. Supongamos queK∩(Z×[a, b])no contiene un subcontinuo irreducible entreK∩(Z× {a})y K∩(Z× {b}). Entonces existen dos subconjuntos cerrados y no vacíosPyRdeK∩(Z×[a, b])tales queK∩(Z×[a, b]) =P∪R, K∩(Z× {a})⊂P yK∩(Z× {b})⊂R[16, 5.2]. Sean P′=P∪π−1 [0,1]([0, a])∩K yR′=R∪π−1 [0,1]([b,1])∩K ,
dondeπ[0,1]:Z×[0,1]→[0,1]es la función proyección. Observemos que esto implica que K=P′∪R′, lo cual es una contradicción, ya queP′yR′son dos subconjuntos cerrados,
disyuntos y no vacíos de K, y K es conexo. En consecuencia, existe un subcontinuo irreducibleLdeK∩(Z×[a, b])entreK∩(Z×{a})yK∩(Z×{b}). SeaπZ:Z×[0,1]→Z
la función proyección. Notemos quef(πZ(L))es un subcontinuo de[a, b]tal que{a, b} ⊂
f(πZ(L)). De dondef(πZ(L)) = [a, b]. Por tanto,f es débilmente confluente.
Teorema 3.5. Sean X un continuo encadenable y Z un continuo. Si f: Z → X es una función continua y sobreyectiva, entonces f es débilmente confluente.
Demostración. Seaf:Z→Xuna función continua y sobreyectiva. ComoX es encade-nable,Xes homeomorfo a lím
←−{[0,1], g n+1
n }, donde cadagnn+1 es sobreyectiva [10, 2.4.22].
Supondremos queX=lím
←−{[0,1], g n+1 n }.
Sea Qun subcontinuo deX. Notemos que Q=lím
←−{gn(Q), g n+1
n |gn+1(Q)}[10, 2.1.20].
Por el Lema 3.4, cadagn◦f es una función débilmente confluente. Así que, comogn(Q)
es un subcontinuo de[0,1], para cada número naturaln, existe un subcontinuoKndeZ
tal quegn◦f(Kn) =gn(Q). Como la familia de subcontinuos deZes un espacio métrico
y compacto [10, 1.8.5], existe una subsucesión{Knℓ}
∞
ℓ=1de{Kn}∞n=1 que converge a un subcontinuoKdeZ. ComoXes homeomorfo a lím
←−{[0,1], g nℓ+1
nℓ }[10, 2.1.38], sin pérdida de generalidad, supondremos queK es el límite de la sucesión{Kn}∞
n=1.
Seaq∈Q. Para cada número naturaln, existezn∈Kntal quegn◦f(zn) =gn(q). Seaz
un punto de acumulación de la sucesión{zn}∞
n=1. Mostraremos quef(z) =q. Supongamos quef(z)�=q. Entonces existe un número naturalN tal quegN◦f(z)�=gN(q). Así que,
existe un abierto U de [0,1] tal que gN ◦f(z) ∈ U y gN(q) �∈ U. En consecuencia,
f−1(g−1
N (U)) es un subconjunto abierto de Z que tiene a z. Como z es un punto de
acumulación de {zn}∞
n=1, existe un número natural m > N tal quezm ∈f−1(gN−1(U)).
De aquí se obtiene que:
gN(q) =gNm◦gm(q) =gNm◦gm◦f(zm) =gN◦f(zm)∈U,
lo cual es una contradicción. Por tanto,f(z) =qy Q⊂f(K). Ahora, seaz∈K. Como{Kn}∞
n=1 converge a K, para cada número naturaln, existe zn∈ Kn tal que la sucesión{zn}∞n=1 converge az. Seanun número natural. Entonces gn◦f(zn) ∈ gn(Q). Para cada número natural n, sea xn ∈ g−n1(gn◦f(zn))∩Q. Sea
x un punto de acumulación de {xn}∞
n=1. Mostraremos que f(z) = x. Supongamos que f(z)�=x. Entonces existe un número naturalN1tal quegN1◦f(z)�=gN1(x). De donde
existen dos abiertos disyuntosV y W de[0,1]tales quegN1◦f(z)∈V y gN1(x)∈W.
Observemos quef−1(g−1
N1(V))es un abierto deZque tiene azyg −1
N1(W)es un abierto de
X que tiene ax. Como{zn}∞
n=1 converge az, existe un número naturalN ≥N1tal que sin≥N, entonceszn∈f−1(gN−11(V)). Comoxes un punto de acumulación de{xn}
∞ n=1, existe un número naturalm≥N tal quexm∈gN−11(W). Esto es,gN1(xm)∈W. Por otro
lado, tenemos que
gN1(xm) =g
m
N1◦gm(xm) =g
m
N1◦f(zm)∈V,
lo cual es una contradicción, ya queV∩W =∅. Así quef(z) =x. Por tanto,f(K) =Q
yf es débilmente confluente.
4.
Funciones débilmente confluentes en continuos atriódicos
Probaremos que la imagen débilmente confluente de un arco es un arco o una curva cerrada simple (Corolario 4.2). También caracterizaremos a los continuos arcoconexos sin triodos semisimples (Teorema 4.4).
Teorema 4.1. SeanX un continuo atriódico y susliniano yY un continuo. Sif:X→Y es débilmente confluente, entoncesY es atriódico.
Demostración. Supongamos queY contiene un triodoT, dondeT =A∪B∪C y Q=
A∩B∩C =A∩B=A∩C=B∩C. Seana∈A\Q,b∈B\Qyc∈C\Q. Por conveniencia, supondremos qued(a, B∪C) =d(b, A∪C) =d(c, A∪B) = 1. Para cadaε∈(0,1], sean
Vε(Q) ={y∈Y |d(y, Q)< ε},aε∈F rY(Q)∩A,bε∈F rY(Q)∩By cε∈F rY(Q)∩C.
Además, seanAε,Bε,Cε yTεsubcontinuos deA,B,Cy T, respectivamente, tales que {aε} ∪Q⊂Aε,{bε} ∪Q⊂Bε,{cε} ∪Q⊂Cε yTε=Aε∪Bε∪Cε(la existencia de estos
continuos se sigue de [16, 5.5]). Para cadaε∈(1
4,1], seaTε′la componente def−1(Tε)tal quef(Tε′) =Tε(Teorema 3.1).
Seana′ ε ∈f−1(aε)∩Tε′,b′ε ∈f−1(bε)∩Tε′ yc′ε ∈f−1(cε)∩Tε′. Además, seanKε(A)la componente def−1(A ε\V1 4(Q))que tiene aa ′ ε,Kε(B)la componente def−1(Bε\V1 4(Q)) que tiene ab′ ε yKε(C)la componente def−1(Cε\V1 4(Q))que tiene a c ′ ε. Observemos queKε(A)∪Kε(B)∪Kε(C)⊂T′
ε y que cadaKε(A),Kε(B)yKε(C)es no degenerado,
ya que siD∈ {A, B, C}entoncesKε(D)∩f−1(ClY(Vε(Q))�=∅[16, 5.4].
Para cadaε∈(14,1)y cualesquieraα,β y γ ∈(ε,1], se tiene queT′
ε∩Kα(A) =∅o
T′
ε∩Kβ(B) =∅oTε′∩Kγ(C) =∅; pues de otro modo,Tε′∪Kα(A)∪Kβ(B)∪Kγ(C)
sería un triodo en X. De aquí se sigue que para cadaε∈ (1
4,1) existeD ∈ {A, B, C} tal que si δ ∈ (ε,1], entoncesT′
ε∩Kδ(D) = ∅. Sin perder generalidad, supondremos
que existe un subconjunto no numerable E de (1
4,1) tal que si ε ∈ E y α ∈ (ε,1], entoncesT′
ε∩Kα(A) =∅. Entonces{Kε(A)|ε∈E}es una colección no numerable de
subcontinuos disyuntos dos a dos y no degenerados deX. Lo cual implica queX no es susliniano. Esto es una contradicción. Por tanto,Y es atriódico. Corolario 4.2.La imagen débilmente confluente de un arco es un arco o una curva cerrada simple.
Demostración. Sean X un arco, Y un continuo y f:X → Y una función débilmente confluente. Notemos queY es localmente conexo [16, 8.16]. ComoX es un arco, es fácil
SeaQ un subcontinuo deX. Notemos queQ=lím
←−{gn(Q), g n+1
n |gn+1(Q)}[10, 2.1.20].
Por el Lema 3.4, cadagn◦f es una función débilmente confluente. Así que, comogn(Q)
es un subcontinuo de[0,1], para cada número naturaln, existe un subcontinuoKn deZ
tal quegn◦f(Kn) =gn(Q). Como la familia de subcontinuos deZes un espacio métrico
y compacto [10, 1.8.5], existe una subsucesión{Knℓ}
∞
ℓ=1 de{Kn}∞n=1 que converge a un subcontinuoKdeZ. ComoXes homeomorfo a lím
←−{[0,1], g nℓ+1
nℓ }[10, 2.1.38], sin pérdida de generalidad, supondremos queK es el límite de la sucesión{Kn}∞
n=1.
Seaq∈Q. Para cada número naturaln, existezn∈Kntal quegn◦f(zn) =gn(q). Seaz
un punto de acumulación de la sucesión{zn}∞
n=1. Mostraremos quef(z) =q. Supongamos quef(z)�=q. Entonces existe un número naturalN tal quegN◦f(z)�=gN(q). Así que,
existe un abierto U de [0,1] tal que gN ◦f(z) ∈ U y gN(q) �∈ U. En consecuencia,
f−1(g−1
N (U)) es un subconjunto abierto deZ que tiene a z. Como z es un punto de
acumulación de{zn}∞
n=1, existe un número naturalm > N tal quezm ∈f−1(gN−1(U)).
De aquí se obtiene que:
gN(q) =gmN◦gm(q) =gmN◦gm◦f(zm) =gN◦f(zm)∈U,
lo cual es una contradicción. Por tanto, f(z) =q yQ⊂f(K). Ahora, seaz∈K. Como{Kn}∞
n=1 converge aK, para cada número naturaln, existe zn ∈Kn tal que la sucesión{zn}∞n=1 converge az. Sea nun número natural. Entonces gn◦f(zn) ∈ gn(Q). Para cada número natural n, sea xn ∈ gn−1(gn◦f(zn))∩Q. Sea
xun punto de acumulación de {xn}∞
n=1. Mostraremos quef(z) =x. Supongamos que f(z)�=x. Entonces existe un número naturalN1tal quegN1◦f(z)�=gN1(x). De donde
existen dos abiertos disyuntosV y W de [0,1]tales que gN1◦f(z)∈V ygN1(x)∈W.
Observemos quef−1(g−1
N1(V))es un abierto deZque tiene azyg −1
N1(W)es un abierto de
X que tiene ax. Como{zn}∞
n=1converge az, existe un número naturalN ≥N1tal que sin≥N, entonceszn∈f−1(gN−11(V)). Comoxes un punto de acumulación de{xn}
∞ n=1, existe un número naturalm≥N tal quexm∈g−N11(W). Esto es,gN1(xm)∈W. Por otro
lado, tenemos que
gN1(xm) =g
m
N1◦gm(xm) =g
m
N1◦f(zm)∈V,
lo cual es una contradicción, ya queV ∩W =∅. Así quef(z) =x. Por tanto,f(K) =Q
y f es débilmente confluente.
4.
Funciones débilmente confluentes en continuos atriódicos
Probaremos que la imagen débilmente confluente de un arco es un arco o una curva cerrada simple (Corolario 4.2). También caracterizaremos a los continuos arcoconexos sin triodos semisimples (Teorema 4.4).
Teorema 4.1. SeanXun continuo atriódico y susliniano yY un continuo. Sif:X→Y es débilmente confluente, entoncesY es atriódico.
Demostración. Supongamos que Y contiene un triodo T, dondeT =A∪B∪C y Q=
A∩B∩C=A∩B=A∩C=B∩C. Seana∈A\Q,b∈B\Qyc∈C\Q. Por conveniencia, supondremos qued(a, B∪C) =d(b, A∪C) =d(c, A∪B) = 1. Para cadaε∈(0,1], sean
Vε(Q) ={y∈Y |d(y, Q)< ε},aε∈F rY(Q)∩A,bε ∈F rY(Q)∩Bycε∈F rY(Q)∩C.
Además, seanAε,Bε,Cεy Tε subcontinuos deA,B,C yT, respectivamente, tales que {aε} ∪Q⊂Aε,{bε} ∪Q⊂Bε,{cε} ∪Q⊂CεyTε=Aε∪Bε∪Cε(la existencia de estos
continuos se sigue de [16, 5.5]). Para cadaε∈(1
4,1], seaTε′la componente def−1(Tε)tal quef(Tε′) =Tε(Teorema 3.1).
Sean a′ ε ∈f−1(aε)∩Tε′,b′ε ∈f−1(bε)∩Tε′ y c′ε ∈f−1(cε)∩Tε′. Además, sean Kε(A)la componente def−1(A ε\V1 4(Q))que tiene aa ′ ε,Kε(B)la componente def−1(Bε\V1 4(Q)) que tiene a b′ ε y Kε(C)la componente def−1(Cε\V1 4(Q))que tiene ac ′ ε. Observemos queKε(A)∪Kε(B)∪Kε(C)⊂T′
εy que cadaKε(A),Kε(B)yKε(C)es no degenerado,
ya que siD∈ {A, B, C}entoncesKε(D)∩f−1(ClY(Vε(Q))�=∅[16, 5.4].
Para cadaε∈(14,1)y cualesquiera α,β y γ∈ (ε,1], se tiene que T′
ε∩Kα(A) =∅ o
T′
ε∩Kβ(B) =∅oTε′∩Kγ(C) =∅; pues de otro modo, Tε′∪Kα(A)∪Kβ(B)∪Kγ(C)
sería un triodo en X. De aquí se sigue que para cada ε∈ (1
4,1)existe D ∈ {A, B, C} tal que si δ ∈ (ε,1], entonces T′
ε∩Kδ(D) = ∅. Sin perder generalidad, supondremos
que existe un subconjunto no numerable E de (1
4,1) tal que si ε ∈ E y α ∈ (ε,1], entoncesT′
ε∩Kα(A) =∅. Entonces{Kε(A)|ε∈E}es una colección no numerable de
subcontinuos disyuntos dos a dos y no degenerados deX. Lo cual implica que X no es susliniano. Esto es una contradicción. Por tanto,Y es atriódico. Corolario 4.2. La imagen débilmente confluente de un arco es un arco o una curva cerrada simple.
Demostración. Sean X un arco,Y un continuo y f:X → Y una función débilmente confluente. Notemos queY es localmente conexo [16, 8.16]. ComoXes un arco, es fácil
demostrar queXes susliniano. Así que, por el Teorema 4.1,Y es atriódico. Por [16, 8.40],
Y es un arco o una curva cerrada simple.
El Teorema 2 de [18] (Teorema 4.4) nos da una caracterización particularmente simple para los continuos arcoconexos. Para demostrarlo, necesitamos el siguiente
Lema 4.3. Un continuo únicamente arcoconexo y que no contiene triodos semisimples es un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo que no es una curva cerrada simple.
Demostración. SeaXun continuo únicamente arcoconexo que no contiene triodos semi-simples. Dados dos puntosx1 y x2 de X,α(x1, x2)denotará al único arco enX cuyos puntos extremos sonx1y x2. Dividiremos la prueba en varias partes.
Parte (1).Siαyβson dos arcos enXtales queα∩β�=∅, entoncesα∪βes un arco enX.
Para ver esto, observemos queα∪β es un continuo localmente conexo [16, 8.16] sin curvas cerradas simples. Así que,α∪β debe de ser una dendrita. ComoX no tiene triodos semisimples,α∪βno contiene triodos simples. Por tanto, α∪β es un arco.
Parte (2).SiY es un subespacio arcoconexo deX que no está contenido en un arco deX, entoncesY contiene una imagen continua e inyectiva de[0,∞)que no está contenida en un arco deX.
Para probar esto, sea D = {xn}∞
n=1 un subconjunto denso y numberable de Y, en donde xn �= xm si n �= m. Para cada número natural n ≥ 2, sea
σn = nj=1α(x1, xj). Notemos que, por la Parte (1), cada σn es un arco. Sea
x∈σ2\ {x1, x2}. Entonces, para cadan≥2,x divide aσn en dos subarcosσ′n
y σ′′
n que tienen axcomo uno de sus puntos extremos. Estos subarcos son
esco-gidos de tal manera queσ′
n ⊂σn′+1 y queσn′′⊂σn′′+1. Supongamos que∞n=1σ′n
está contenido en un arcoB′ deX y que∞
n=1σn′′está contenido en un arco B′′
deX. Entonces(∞n=1σ′ n)∪(
∞
n=1σn′′)está contenido en el arcoB′∪B′′ (como
x ∈ B′ ∩B′′, por la Parte (1), B′∪B′′ es un arco). Como D es denso en Y y
D⊂(∞n=1σ′ n)∪(
∞
n=1σ′′n), se tiene queY ⊂B′∪B′′, lo cual es una
contradic-ción. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que∞
n=1σ′′nno está contenido
en un arco. No es difícil probar que∞
n=1σn′′es una imagen continua e inyectiva
de[0,∞).
Parte (3). Sean f: [0,∞) → X una función continua e inyectiva y A = f([0,∞)). Si x ∈ X\ {f(0)}, entonces α(x, f(0)) y A satisfacen alguna de las siguientes condiciones:
(a) α(x, f(0))⊂A;
(b) α(x, f(0))∩A={f(0)}, ó
(c) A⊂α(x, f(0)).
Más aún, si(a)ó(b)se satisfacen, entoncesα(x, f(0))∪Aes también una imagen continua e inyectiva de[0,∞).
Para demostrar que alguno entre(a),(b)ó(c)se debe cumplir, primero notemos que si x ∈ A, entonces existe una t ∈ [0,∞) tal que f(t) = x. Como X es únicamente arcoconexo, se tiene queα(x, f(0)) =f([0, t])⊂A; i.e.,(a)se cumple.
Ahora supongamos quex∈ X\Ay que(b)no se cumple. Entonces existe t0 ∈ (0,∞)tal quef(t0)∈α(x, f(0)). Comof(0)es un punto extremo de α(x, f(0)) y x ∈ X \A, se tiene que {t ∈ (0,∞) | f(t) ∈ α(x, f(0))} no está acotado superiormente (si estuviera acotado superiormente,α(x, f(0))∪Acontendría un triodo simple). ComoX es únicamente arcoconexo, sis, t∈(0,∞)son tales que s≤tyf(s), f(t)∈α(x, f(0)), entoncesf([s, t])⊂α(x, f(0)). De aquí se sigue que A⊂α(x, f(0)). Esto termina la prueba de que alguno de(a) (b)ó(c)se cumple. El hecho de que si (a) ó (b)se cumple entonces α(x, f(0))∪A es una imagen continua e inyectiva de[0,∞)es claro.
Parte (4). Sean g:R → X una función continua e inyectiva y G = g(R). Entonces g((−∞,0])está contenido en un arco enX óg([0,∞))está contenido en un arco enX.
Para ver esto, primero observemos queG�=X, pues de otro modo, por [17, pág. 9], X contendría a un triodo semisimple. Así que podemos tomar x ∈ X \G. Consideremos el arco α(x, g(0)). Por la Parte (3) y el hecho de que x ∈ X\G, terminaríamos la prueba si mostramos queα(x, g(0))∩g((−∞,0])�={g(0)}o que α(x, g(0))∩g([0,∞))�={g(0)}. Supongamos queα(x, g(0))∩g((−∞,0]) ={g(0)}
demostrar queXes susliniano. Así que, por el Teorema 4.1,Y es atriódico. Por [16, 8.40],
Y es un arco o una curva cerrada simple.
El Teorema 2 de [18] (Teorema 4.4) nos da una caracterización particularmente simple para los continuos arcoconexos. Para demostrarlo, necesitamos el siguiente
Lema 4.3. Un continuo únicamente arcoconexo y que no contiene triodos semisimples es un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo que no es una curva cerrada simple.
Demostración. SeaXun continuo únicamente arcoconexo que no contiene triodos semi-simples. Dados dos puntos x1 y x2 deX, α(x1, x2)denotará al único arco enX cuyos puntos extremos son x1yx2. Dividiremos la prueba en varias partes.
Parte (1).Siαyβson dos arcos enX tales queα∩β�=∅, entoncesα∪βes un arco enX.
Para ver esto, observemos queα∪β es un continuo localmente conexo [16, 8.16] sin curvas cerradas simples. Así que,α∪βdebe de ser una dendrita. ComoX no tiene triodos semisimples, α∪β no contiene triodos simples. Por tanto,α∪β es un arco.
Parte (2).Si Y es un subespacio arcoconexo deX que no está contenido en un arco deX, entoncesY contiene una imagen continua e inyectiva de[0,∞)que no está contenida en un arco deX.
Para probar esto, sea D = {xn}∞
n=1 un subconjunto denso y numberable de Y, en donde xn �= xm si n �= m. Para cada número natural n ≥ 2, sea
σn = nj=1α(x1, xj). Notemos que, por la Parte (1), cada σn es un arco. Sea
x∈ σ2\ {x1, x2}. Entonces, para cada n≥2,xdivide a σn en dos subarcosσn′
y σ′′
n que tienen a xcomo uno de sus puntos extremos. Estos subarcos son
esco-gidos de tal manera que σ′
n⊂σ′n+1 y que σ′′n⊂σ′′n+1. Supongamos que∞n=1σn′
está contenido en un arco B′ deX y que ∞
n=1σ′′n está contenido en un arcoB′′
de X. Entonces(∞n=1σ′ n)∪(
∞
n=1σ′′n)está contenido en el arcoB′∪B′′(como
x ∈ B′∩B′′, por la Parte (1), B′∪B′′ es un arco). Como D es denso enY y
D⊂(∞n=1σ′ n)∪(
∞
n=1σ′′n), se tiene queY ⊂B′∪B′′, lo cual es una
contradic-ción. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que∞
n=1σn′′no está contenido
en un arco. No es difícil probar que∞
n=1σn′′es una imagen continua e inyectiva
de[0,∞).
Parte (3). Sean f: [0,∞) → X una función continua e inyectiva y A = f([0,∞)). Si x ∈ X \ {f(0)}, entonces α(x, f(0)) y A satisfacen alguna de las siguientes condiciones:
(a) α(x, f(0))⊂A;
(b) α(x, f(0))∩A={f(0)}, ó
(c) A⊂α(x, f(0)).
Más aún, si(a)ó(b)se satisfacen, entoncesα(x, f(0))∪Aes también una imagen continua e inyectiva de[0,∞).
Para demostrar que alguno entre(a),(b)ó(c)se debe cumplir, primero notemos que si x ∈ A, entonces existe una t ∈ [0,∞) tal que f(t) = x. Como X es únicamente arcoconexo, se tiene queα(x, f(0)) =f([0, t])⊂A; i.e.,(a)se cumple.
Ahora supongamos que x∈X\Ay que(b)no se cumple. Entonces existe t0∈ (0,∞)tal quef(t0)∈ α(x, f(0)). Comof(0) es un punto extremo deα(x, f(0)) y x ∈ X\A, se tiene que {t ∈ (0,∞) | f(t) ∈ α(x, f(0))} no está acotado superiormente (si estuviera acotado superiormente,α(x, f(0))∪Acontendría un triodo simple). ComoX es únicamente arcoconexo, si s, t∈(0,∞)son tales que s≤tyf(s), f(t)∈α(x, f(0)), entoncesf([s, t])⊂α(x, f(0)). De aquí se sigue que A⊂α(x, f(0)). Esto termina la prueba de que alguno de(a) (b)ó(c)se cumple. El hecho de que si (a) ó (b) se cumple entonces α(x, f(0))∪A es una imagen continua e inyectiva de[0,∞)es claro.
Parte (4). Sean g:R → X una función continua e inyectiva y G =g(R). Entonces g((−∞,0])está contenido en un arco enX óg([0,∞))está contenido en un arco enX.
Para ver esto, primero observemos queG�=X, pues de otro modo, por [17, pág. 9], X contendría a un triodo semisimple. Así que podemos tomar x ∈ X\G. Consideremos el arco α(x, g(0)). Por la Parte (3) y el hecho de que x ∈ X\G, terminaríamos la prueba si mostramos queα(x, g(0))∩g((−∞,0])�={g(0)}o que α(x, g(0))∩g([0,∞))�={g(0)}. Supongamos queα(x, g(0))∩g((−∞,0]) ={g(0)}
triodo simple enX, lo cual es una contradicción al hecho de que X no contiene triodos semisimples.
Parte (5).Dadas dos imágenes disyuntas continuas e inyectivas de[0,∞)enX, alguna de ellas está contenida en un arco enX.
Sean f1, f2: [0,∞) → X dos funciones continuas e inyectivas diferentes, A1 = f1([0,∞))yA2=f2([0,∞)). ComoA1∩A2=∅, el inciso(a)de la Parte (3) no se cumple paraα(f1(0), f2(0))y ninguno de los rayosA1oA2. Si el inciso(c)de la Parte (3) se cumple paraα(f1(0), f2(0))y alguno deA1óA2, entonces hemos terminado. Por tanto, supongamos que
α(f1(0), f2(0))∩Aj={fj(0)}
para cadaj∈ {1,2}. Bajo estas hipótesis, es claro queα(f1(0), f2(0))∪A1∪A2 es una imagen continua e inyectiva deR. Ahora, el resultado se sigue de la Parte (4).
Para terminar la demostración del lema, supongamos queXno es un arco. Enton-ces le podemos aplicar la Parte (2) aXy concluir que existe una función continua e inyectivag: [0,∞)→X tal queS=g([0,∞))no está contenido en un arco en X. Por la Parte (3) y el hecho de que S no está contenido en un arco enX, se tiene que six1, x2∈X\S, entoncesα(x1, x2)∩S=∅(aquí aplicamos la Parte (3) aα(xj, g(t)),j∈ {1,2}yg([t,∞))sit∈α(x1, x2)). Notemos queX\Sno puede ser un sólo punto{p}; si esto fuera cierto, entonces la Parte (3) y el hecho de que S no está contenido en un arco enX implicarían que α(p, g(0))∩S={g(0)}, lo cual es una contradicción. De dondeX\Ses un subconjunto arcoconexo deXó X\S=∅. Pero ahora podemos concluir que X\Sestá contenido en un arco en X, pues de otro modo podríamos aplicar la Parte (2) a X\S para obtener una imagen continua e inyectiva,E, de[0,∞), tal queE no esté contenido en un arco enX (como E∩S =∅, esto contradiría la Parte (5)). Así que, seaα(z1, z2)un arco deXtal queX\S⊂α(z1, z2). Notemos que
S∪α(z1, z2) =X. (*) Consideremos dos casos que involucran az1,z2 y aS. Primero, supongamos que alguno de los puntosz1óz2no pertenece aS. Sin perder generalidad, supondre-mos quez1no pertenece a S. Entonces, aplicando la Parte (3) a α(z1, g(0))y a
S, obtenemos que α(z1, g(0))∩S = {g(0)}. En consecuencia, por la Parte (3), α(z1, g(0))∪S es una imagen continua e inyectiva de [0,∞)bajo una funciónk (observemos quek(0) =z1). También tenemos queα(z1, g(0))∪S=X, porque, si no fuera cierto, entonces, por (*),z2�∈α(z1, g(0))∪Sy así, aplicando la Parte (3) aα(z2, k(0))y a k([0,∞)), tendríamos que α(z1, g(0))∩α(z1, z2) = {z1}, lo cual contradice (*) puesz1�=g(0). Por consiguiente,X es una imagen continua e inyectiva de[0,∞). Ahora, supongamos que{z1, z2} ⊂ S. Así queα(z1, z2)⊂S también. Lo que implica queX\S = ∅; esto es,X = S y, otra vez,X es una imagen continua e inyectiva de [0,∞). Por tanto, en cualquier caso, hemos pro-bado queX es una imagen continua e inyectiva de[0,∞). Como X no contiene triodos semisimples, por [17, pág. 9], se tiene queXes un continuo circularmente encadenable y arcoconexo. ComoXes únicamente arcoconexo,Xno es una curva
cerrada simple.
Teorema 4.4. Un continuoX es arcoconexo y no contiene triodos semisimples si y sólo siX es un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo.
Demostración. SeaX un continuo arcoconexo que no contiene triodos semisimples. Su-pongamos queXcontiene una curva cerrada simpleC y que existe un puntop∈X\C. ComoX es arcoconexo, existe un arcoγenXtal que sus puntos extremos sonpy algún punto deC. Claramente,C∪γ contiene un triodo simple, lo cual contradice la hipótesis de queXno contiene triodos semisimples. Por tanto,Xes únicamente arcoconexo. Aho-ra, por el Lema 4.3 se tiene queX es un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo.
La implicación inversa se sigue de que los continuos circularmente encadenables son
atriódicos [10, 2.1.447].
5.
Funciones débilmente confluentes sobre continuos circularmente
encadenables y arcoconexos
Mostraremos que una curva cerrada simple es el único continuo circularmente encade-nable y arcoconexo que es una imagen débilmente confluente deS(Teorema 5.8).
Empezaremos enunciando un teorema que nos indica dos maneras diferentes de cons-truir continuos (circularmente) encadenables. Este resultado es consecuencia de [12, Teo-rema 2]:
triodo simple en X, lo cual es una contradicción al hecho de queX no contiene triodos semisimples.
Parte (5).Dadas dos imágenes disyuntas continuas e inyectivas de[0,∞)enX, alguna de ellas está contenida en un arco enX.
Sean f1, f2: [0,∞) → X dos funciones continuas e inyectivas diferentes, A1 = f1([0,∞))y A2=f2([0,∞)). ComoA1∩A2=∅, el inciso(a)de la Parte (3) no se cumple paraα(f1(0), f2(0))y ninguno de los rayosA1 oA2. Si el inciso(c)de la Parte (3) se cumple paraα(f1(0), f2(0))y alguno deA1 óA2, entonces hemos terminado. Por tanto, supongamos que
α(f1(0), f2(0))∩Aj={fj(0)}
para cada j∈ {1,2}. Bajo estas hipótesis, es claro queα(f1(0), f2(0))∪A1∪A2 es una imagen continua e inyectiva deR. Ahora, el resultado se sigue de la Parte (4).
Para terminar la demostración del lema, supongamos queXno es un arco. Enton-ces le podemos aplicar la Parte (2) aXy concluir que existe una función continua e inyectivag: [0,∞)→X tal queS=g([0,∞))no está contenido en un arco en X. Por la Parte (3) y el hecho de que S no está contenido en un arco en X, se tiene que six1, x2∈X\S, entoncesα(x1, x2)∩S=∅(aquí aplicamos la Parte (3) aα(xj, g(t)),j∈ {1,2}yg([t,∞))sit∈α(x1, x2)). Notemos queX\Sno puede ser un sólo punto{p}; si esto fuera cierto, entonces la Parte (3) y el hecho de que S no está contenido en un arco enX implicarían queα(p, g(0))∩S ={g(0)}, lo cual es una contradicción. De dondeX\S es un subconjunto arcoconexo deX ó X\S=∅. Pero ahora podemos concluir queX\Sestá contenido en un arco en X, pues de otro modo podríamos aplicar la Parte (2) a X\S para obtener una imagen continua e inyectiva,E, de[0,∞), tal queE no esté contenido en un arco en X (comoE∩S=∅, esto contradiría la Parte (5)). Así que, seaα(z1, z2)un arco deX tal queX\S⊂α(z1, z2). Notemos que
S∪α(z1, z2) =X. (*) Consideremos dos casos que involucran az1,z2y aS. Primero, supongamos que alguno de los puntosz1 óz2no pertenece aS. Sin perder generalidad, supondre-mos quez1 no pertenece aS. Entonces, aplicando la Parte (3) a α(z1, g(0))y a
S, obtenemos que α(z1, g(0))∩S = {g(0)}. En consecuencia, por la Parte (3), α(z1, g(0))∪S es una imagen continua e inyectiva de [0,∞)bajo una función k (observemos quek(0) =z1). También tenemos queα(z1, g(0))∪S=X, porque, si no fuera cierto, entonces, por (*),z2�∈α(z1, g(0))∪S y así, aplicando la Parte (3) aα(z2, k(0))y a k([0,∞)), tendríamos que α(z1, g(0))∩α(z1, z2) ={z1}, lo cual contradice (*) puesz1�=g(0). Por consiguiente,Xes una imagen continua e inyectiva de[0,∞). Ahora, supongamos que{z1, z2} ⊂S. Así queα(z1, z2)⊂S también. Lo que implica que X\S = ∅; esto es,X =S y, otra vez, X es una imagen continua e inyectiva de [0,∞). Por tanto, en cualquier caso, hemos pro-bado que X es una imagen continua e inyectiva de [0,∞). ComoX no contiene triodos semisimples, por [17, pág. 9], se tiene queX es un continuo circularmente encadenable y arcoconexo. ComoXes únicamente arcoconexo,Xno es una curva
cerrada simple.
Teorema 4.4. Un continuoX es arcoconexo y no contiene triodos semisimples si y sólo si Xes un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo.
Demostración. SeaX un continuo arcoconexo que no contiene triodos semisimples. Su-pongamos queX contiene una curva cerrada simpleC y que existe un puntop∈X\C. ComoXes arcoconexo, existe un arcoγ enXtal que sus puntos extremos sonpy algún punto deC. Claramente,C∪γcontiene un triodo simple, lo cual contradice la hipótesis de queXno contiene triodos semisimples. Por tanto,Xes únicamente arcoconexo. Aho-ra, por el Lema 4.3 se tiene queX es un arco o un continuo circularmente encadenable y arcoconexo.
La implicación inversa se sigue de que los continuos circularmente encadenables son
atriódicos [10, 2.1.447].
5.
Funciones débilmente confluentes sobre continuos circularmente
encadenables y arcoconexos
Mostraremos que una curva cerrada simple es el único continuo circularmente encade-nable y arcoconexo que es una imagen débilmente confluente deS(Teorema 5.8).
Empezaremos enunciando un teorema que nos indica dos maneras diferentes de cons-truir continuos (circularmente) encadenables. Este resultado es consecuencia de [12, Teo-rema 2]:
Teorema 5.1. SiXes un continuo, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) X es(circularmente)encadenable;
(2) X es homeomorfo a lím
←−{[0,1], f n+1
n } (lím←−{S1, fnn+1}), donde cada función fnn+1 es
continua y sobreyectiva;
(3) para cadaε >0, existe unaε-funciónf:X→[0,1] (f:X→S1).
El siguiente resultado nos presenta cómo son las componentes por arcos de un conti-nuo encadenable cuando éste tiene exactamente dos de ellas. Una demostración de este teorema se puede encontrar en [14, Teorema 1].
Teorema 5.2. Si un continuo encadenable tiene exactamente dos componentes por arcos, entonces una de ellas es un arco y la otra es un rayo.
Teorema 5.3. Sean {Dn, fnn+1}∞n=1 una sucesión inversa de dendroides y X = lím
←−{Dn, f n+1
n }. Entonces:
(1) SiX es arcoconexo, entoncesX es un dendroide o un conjunto de un solo punto.
(2) Si X es localmente conexo, entonces X es una dendrita o un conjunto de un solo punto.
(3) Si para cada número naturaln,Dnes una dendrita yfnn+1 es monótona y
sobreyec-tiva, entoncesXes una dendrita o un conjunto de un solo punto.
Demostración. Observemos que, por [10, 2.1.26], X es un continuo hereditariamente unicoherente. Por tanto, (1) se cumple. También se prueba (2), ya que una dendrita es un dendroide localmente conexo. Para ver que se cumple(3), notemos que, por [10, 2.1.20],X=lím
←−{fn(X), f n+1
n |fn+1(X)}, donde para cadan,f
n+1
n |fn+1(X)es sobreyectiva.
No es difícil ver que, como cada Dn es hereditariamente unicoherente, cada función
fn+1
n |fn+1(X) es monótona. Por tanto,X es localmente conexo [10, 2.1.14]. Ahora,(3)se
sigue de(2).
Lema 5.4. Si X es un dendroide que no es un arco, entonces X contiene un triodo simple.
Demostración. SeaXun dendroide. Observemos que si dos arcos se intersecan entonces su unión es un arco o contiene un triodo simple. Supongamos queXno contiene un triodo. Entonces un subconjunto denso y numerable deX puede ser usado para construir una sucesión monótona creciente de arcos cuya unión es densa en X. Por [9, págs. 13 y 14] esa unión debe de estar contenida en un arco, de donde se obtiene queXes un arco. Teorema 5.5. Sean {[0,1], fn+1
n }∞n=1 una sucesión inversa de arcos y X = lím
←−{[0,1], f n+1
n }. Si X es arcoconexo, entoncesX es un arco o un conjunto de un solo
punto.
Demostración. Por Teorema 5.3,X es un dendroide o un conjunto de un solo punto. Supongamos que X no es un arco ni un conjunto de un solo punto. Entonces, por el Lema 5.4,Xcontiene un triodo simple, pero esto contradice el hecho de que los continuos encadenables son atriódicos [10, 2.1.41]. Por tanto,X es un arco o un conjunto de un
solo punto.
Teorema 5.6. Sean {S1, fn+1
n }∞n=1 una sucesión inversa de círculos con funciones de ligadura sobreyectivas yX=lím
←−{S
1, fn+1
n }. SiX es arcoconexo, entonces
(1) X es una curva cerrada simple, o
(2) X se puede expresar en la forma A∪C, donde A es un arco, C es un continuo encadenable con exactamente dos componentes por arcos yA∩C consta de los dos puntos extremos deA. Más aún, los dos puntos deA∩Cson puntos extremos opuestos deC.
Inversamente, un continuo que satisface (1) ó (2) es arcoconexo y es homeomor-fo al límite inverso de una sucesión inversa de círculos con funciones de ligadura sobreyectivas.
Demostración. Primero observemos queX es atriódico [10, 2.1.44] y que todo subcon-tinuo propio deX es encadenable [10, 2.1.43]. Por [10, 2.1.45],r(X)≤ 1. Supongamos quer(X) = 0. Entonces, como todo subcontinuo deXes encadenable,Xes hereditaria-mente unicoherente [10, 2.1.28]. De donde se tiene queX es un dendroide. ComoX es atriódico, por el Lema 5.4,Xes un arco. Pero, claramente,X no puede ser un arco. De donde se sigue quer(X) = 1. Supongamos queE yF son dos subcontinuos deX tales queE∪F =X y queD∩F no es conexa. Entonces, como todo subcontinuo propio de
Teorema 5.1. SiXes un continuo, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) X es(circularmente)encadenable;
(2) X es homeomorfo a lím
←−{[0,1], f n+1
n }(lím←−{S1, fnn+1}), donde cada función fnn+1 es
continua y sobreyectiva;
(3) para cadaε >0, existe unaε-función f:X→[0,1] (f:X→S1).
El siguiente resultado nos presenta cómo son las componentes por arcos de un conti-nuo encadenable cuando éste tiene exactamente dos de ellas. Una demostración de este teorema se puede encontrar en [14, Teorema 1].
Teorema 5.2. Si un continuo encadenable tiene exactamente dos componentes por arcos, entonces una de ellas es un arco y la otra es un rayo.
Teorema 5.3. Sean {Dn, fnn+1}∞n=1 una sucesión inversa de dendroides y X = lím
←−{Dn, f n+1
n }. Entonces:
(1) SiX es arcoconexo, entoncesX es un dendroide o un conjunto de un solo punto.
(2) Si X es localmente conexo, entonces X es una dendrita o un conjunto de un solo punto.
(3) Si para cada número naturaln,Dnes una dendrita yfnn+1 es monótona y
sobreyec-tiva, entoncesX es una dendrita o un conjunto de un solo punto.
Demostración. Observemos que, por [10, 2.1.26], X es un continuo hereditariamente unicoherente. Por tanto, (1) se cumple. También se prueba (2), ya que una dendrita es un dendroide localmente conexo. Para ver que se cumple(3), notemos que, por [10, 2.1.20],X=lím
←−{fn(X), f n+1
n |fn+1(X)}, donde para cadan,f
n+1
n |fn+1(X) es sobreyectiva.
No es difícil ver que, como cada Dn es hereditariamente unicoherente, cada función
fn+1
n |fn+1(X) es monótona. Por tanto,Xes localmente conexo [10, 2.1.14]. Ahora,(3)se
sigue de(2).
Lema 5.4. Si X es un dendroide que no es un arco, entonces X contiene un triodo simple.
Demostración. SeaXun dendroide. Observemos que si dos arcos se intersecan entonces su unión es un arco o contiene un triodo simple. Supongamos queXno contiene un triodo. Entonces un subconjunto denso y numerable de X puede ser usado para construir una sucesión monótona creciente de arcos cuya unión es densa en X. Por [9, págs. 13 y 14] esa unión debe de estar contenida en un arco, de donde se obtiene queXes un arco. Teorema 5.5. Sean {[0,1], fn+1
n }∞n=1 una sucesión inversa de arcos y X = lím
←−{[0,1], f n+1
n }. Si X es arcoconexo, entonces X es un arco o un conjunto de un solo
punto.
Demostración. Por Teorema 5.3, X es un dendroide o un conjunto de un solo punto. Supongamos que X no es un arco ni un conjunto de un solo punto. Entonces, por el Lema 5.4,Xcontiene un triodo simple, pero esto contradice el hecho de que los continuos encadenables son atriódicos [10, 2.1.41]. Por tanto, X es un arco o un conjunto de un
solo punto.
Teorema 5.6. Sean {S1, fn+1
n }∞n=1 una sucesión inversa de círculos con funciones de ligadura sobreyectivas yX=lím
←−{S
1, fn+1
n }. SiX es arcoconexo, entonces
(1) X es una curva cerrada simple, o
(2) X se puede expresar en la forma A∪C, donde A es un arco, C es un continuo encadenable con exactamente dos componentes por arcos yA∩C consta de los dos puntos extremos deA. Más aún, los dos puntos deA∩Cson puntos extremos opuestos deC.
Inversamente, un continuo que satisface (1) ó (2) es arcoconexo y es homeomor-fo al límite inverso de una sucesión inversa de círculos con funciones de ligadura sobreyectivas.
Demostración. Primero observemos queX es atriódico [10, 2.1.44] y que todo subcon-tinuo propio deX es encadenable [10, 2.1.43]. Por [10, 2.1.45],r(X)≤ 1. Supongamos quer(X) = 0. Entonces, como todo subcontinuo deXes encadenable,Xes hereditaria-mente unicoherente [10, 2.1.28]. De donde se tiene que X es un dendroide. ComoX es atriódico, por el Lema 5.4,X es un arco. Pero, claramente,Xno puede ser un arco. De donde se sigue quer(X) = 1. Supongamos queE yF son dos subcontinuos deX tales queE∪F =Xy queD∩F no es conexa. Entonces, como todo subcontinuo propio de
Xes encadenable, por los Teoremas 5.1 y 5.5 y [10, 2.1.20], se tiene queEyF son arcos. En consecuencia, comoE∩F no es conexa,E∪F contiene una curva cerrada simpleS. Ahora, como todo subcontinuo propio deXes encadenable yXes atriódico, resulta que S=X, lo que prueba queX es una curva cerrada simple.
De ahora en adelante, supondremos queF no es arcoconexo. Supongamos queF tiene, por lo menos, tres componentes por arcos. SeanF1,F2yF3tres componentes por arcos distintas de F. Seanβ un arco con sus puntos extremos en F1 en F2, yγ un arco que comparte uno de sus puntos extremos con el punto extremo deβ enF2 y el otro punto extremo en F3. Si β ∪γ = X, entonces la no unicoherencia de X implicaría que X contiene, de hecho, es igual a, una curva cerrada simple; lo que contradiría la hipótesis de queF no era arcoconexo. Por consiguiente,β∪γes un subcontinuo propio deX. Como todo subcontinuo propio deX es encadenable, por los Teoremas 5.1 y 5.5 y [10, 2.1.20], β∪γ es un arco. Ahora, como cada componente de F∩(β∪γ)es un subcontinuo de β∪γ, tales componentes son arcos. En consecuencia hay, por lo menos, tres componentes,
de donder(F ∩(β∪γ))≥2, lo que contradice el hecho de quer(X) = 1(claramente, comoF∩(β∪γ)no es unicoherente y cada subcontinuo propio deX es encadenable y, por consiguiente, unicoherente [10, 2.1.28], se tiene queF ∩(β∪γ) = X). ComoF no es arcoconexo, hemos demostrado queF tiene exactamente dos componentes por arcos. ComoF es un subcontinuo propio deX,F es encadenable.
Sea C =F. Por el Teorema 5.2, una de las componentes por arcos deC es un arco y la otra es un rayo. Denotemos por I la componente por arcos que es un arco y por H la componente por arcos que es un rayo. Sea h el punto extremo de H. Sea α un arco enX tal queh es uno de sus puntos extremos y el otro punto extremo está enI. ComoXes atriódico yH no está contenido en un arco enX, se tiene queα∩H={h}. También resulta queα∩I es un arco o un punto que incluye, por lo menos, un punto extremo de I. Si α∩I sólo incluye un punto extremo deI, entonces sea eeste punto extremo. Siα∩I incluye los dos puntos extremos deI, seaeel punto extremo de I que es un punto de corte deα. SeaAel subarco de αque tiene a hy aecomo sus puntos extremos. Claramente,C∩Aconsiste, exactamente, de los dos puntos extremos de A. Ahora mostraremos quehy eson puntos extremos opuestos deC. Usando el hecho de queC es atriódico [10, 2.1.41] (en particular, usamos el hecho de queClX(H)contiene,
por lo menos, un punto extremo deI) y el Teorema 5.2, se puede verificar que cualquier subcontinuo de C que contenga a h es irreducible entreh y algún otro de sus puntos (i.e.,hsatisface [1, (A), pág. 660]). Esto implica, por [1, Teorema 13], quehes un punto
extremo deC. Más aún, siI⊂ClX(H), entonces el Teorema 5.2 [1, (A), pág. 660] y [1,
Teorema 13] pueden ser utilizados para ver que cada uno de los puntos extremos deI, en particulare, es un punto extremo deC. De donde se sigue, por [1, Teorema 14], que hyeson puntos extremos opuestos deC.
Supongamos queI �⊂ClX(H). Sie∈ClX(H), entoncesA∪ClX(H)no sería
unicohe-rente, ya queA∩ClX(H)sería igual a{e, h}. Además, sería un subcontinuo propio de
X, puesI�⊂ClX(H). Esto contradice el hecho de que todo subcontinuo propio deXes
encadenable (los continuos encadenables son unicoherentes [10, 2.1.28]). Por consiguiente, e∈X\ClX(H). Ahora, se puede verificar que
cualquier subcontinuo de C que tenga a e y a un punto de H, debe de
contener aI. (**)
Usando (**), se puede verificar que e cumple con [1, (A), pág. 660]. En consecuencia, por [1, Teorema 13],ees un punto extremo deC. Utilizando nuevamente (**), se puede mostrar queC es un continuo irreducible entreeyh. Por tanto, por [1, Teorema 14],e yhson puntos extremos opuestos deC.
Inversamente, supongamos que X es un continuo que cumple con (2). Por el Teore-ma 5.2, una de las componentes por arcos de C es un rayo,H, y la otra es un arco, I. Como los dos puntos de A∩C son puntos extremos opuestos de C, uno de ellos es el punto extremo,h, deH y el otro es un punto extremo,e, de I. Del hecho de que A interseca tanto aH comoI, se sigue queX es arcoconexo. Ahora probaremos queXes homeomorfo al límite inverso de una sucesión inversa de círculos con funciones de liga-dura sobreyectivas. Seanε >0y U={U1, . . . , Un}unaε-cadena que cubre aC tal que h∈U1\U2ye∈Un\Un−1[1, pág. 661]. SeaN⋆(U)el poliedro asociado al nervio,N(U), de U [10, 1.4.9] (Observemos que N⋆(U) es un arco). SeaΨ :C → N⋆(U)una función canónica relativa aU[5, pág. 286]. Comoh∈U1\U2ye∈Un\Un−1,Ψ(h)es uno de los puntos extremos deN⋆(U)yΨ(e)es el otro punto extremo de N⋆(U)(esto se sigue de
la definición de una función canónica [5, pág. 286]). ComoUes unaε-cadena,Ψes una ε-función. SeanS1+={(x, y)∈S1|y≥0}yS1−={(x, y)∈S1|y≤0}. ComponiendoΨ
con un homeomorfismo deN⋆(U)sobreS1
+, obtenemos unaε-funciónf deC sobreS1+. Sin pérdida de generalidad, suponemos quef(h) = (−1,0)y f(e) = (1,0). ComoAes un arco cuyos puntos extremos soneyh, existe un homeomorfismogdeAsobreS1− tal
queg(h) = (−1,0)yg(e) = (1,0). Seaℓ:X→S1definida como ℓ(x) =
f(x) six∈C, g(x) six∈A.
X es encadenable, por los Teoremas 5.1 y 5.5 y [10, 2.1.20], se tiene queE yF son arcos. En consecuencia, comoE∩F no es conexa,E∪F contiene una curva cerrada simpleS. Ahora, como todo subcontinuo propio deXes encadenable yX es atriódico, resulta que S=X, lo que prueba queXes una curva cerrada simple.
De ahora en adelante, supondremos queF no es arcoconexo. Supongamos queF tiene, por lo menos, tres componentes por arcos. SeanF1,F2 yF3tres componentes por arcos distintas de F. Seanβ un arco con sus puntos extremos enF1 en F2, yγ un arco que comparte uno de sus puntos extremos con el punto extremo deβ enF2 y el otro punto extremo en F3. Si β∪γ = X, entonces la no unicoherencia de X implicaría que X contiene, de hecho, es igual a, una curva cerrada simple; lo que contradiría la hipótesis de queFno era arcoconexo. Por consiguiente,β∪γes un subcontinuo propio deX. Como todo subcontinuo propio deX es encadenable, por los Teoremas 5.1 y 5.5 y [10, 2.1.20], β∪γ es un arco. Ahora, como cada componente de F ∩(β∪γ) es un subcontinuo de β∪γ, tales componentes son arcos. En consecuencia hay, por lo menos, tres componentes,
de donder(F∩(β∪γ))≥ 2, lo que contradice el hecho de quer(X) = 1(claramente, como F∩(β∪γ)no es unicoherente y cada subcontinuo propio deX es encadenable y, por consiguiente, unicoherente [10, 2.1.28], se tiene que F ∩(β∪γ) =X). ComoF no es arcoconexo, hemos demostrado que F tiene exactamente dos componentes por arcos. ComoF es un subcontinuo propio deX,F es encadenable.
Sea C = F. Por el Teorema 5.2, una de las componentes por arcos de C es un arco y la otra es un rayo. Denotemos por I la componente por arcos que es un arco y por H la componente por arcos que es un rayo. Seah el punto extremo de H. Sea α un arco enX tal quehes uno de sus puntos extremos y el otro punto extremo está enI. ComoX es atriódico yH no está contenido en un arco enX, se tiene queα∩H={h}. También resulta que α∩I es un arco o un punto que incluye, por lo menos, un punto extremo de I. Si α∩I sólo incluye un punto extremo de I, entonces sea eeste punto extremo. Siα∩I incluye los dos puntos extremos deI, seaeel punto extremo deI que es un punto de corte de α. SeaAel subarco de αque tiene a hy aecomo sus puntos extremos. Claramente,C∩A consiste, exactamente, de los dos puntos extremos deA. Ahora mostraremos quehy eson puntos extremos opuestos deC. Usando el hecho de queC es atriódico [10, 2.1.41] (en particular, usamos el hecho de queClX(H)contiene,
por lo menos, un punto extremo deI) y el Teorema 5.2, se puede verificar que cualquier subcontinuo deC que contenga a h es irreducible entreh y algún otro de sus puntos (i.e.,hsatisface [1, (A), pág. 660]). Esto implica, por [1, Teorema 13], quehes un punto
extremo deC. Más aún, siI⊂ClX(H), entonces el Teorema 5.2 [1, (A), pág. 660] y [1, Teorema 13] pueden ser utilizados para ver que cada uno de los puntos extremos deI, en particulare, es un punto extremo deC. De donde se sigue, por [1, Teorema 14], que hyeson puntos extremos opuestos deC.
Supongamos queI�⊂ClX(H). Sie∈ClX(H), entoncesA∪ClX(H)no sería
unicohe-rente, ya que A∩ClX(H)sería igual a{e, h}. Además, sería un subcontinuo propio de
X, puesI �⊂ClX(H). Esto contradice el hecho de que todo subcontinuo propio deX es
encadenable (los continuos encadenables son unicoherentes [10, 2.1.28]). Por consiguiente, e∈X\ClX(H). Ahora, se puede verificar que
cualquier subcontinuo de C que tenga a e y a un punto de H, debe de
contener aI. (**)
Usando (**), se puede verificar que e cumple con [1, (A), pág. 660]. En consecuencia, por [1, Teorema 13],ees un punto extremo deC. Utilizando nuevamente (**), se puede mostrar queC es un continuo irreducible entreeyh. Por tanto, por [1, Teorema 14],e y hson puntos extremos opuestos deC.
Inversamente, supongamos queX es un continuo que cumple con (2). Por el Teore-ma 5.2, una de las componentes por arcos de C es un rayo, H, y la otra es un arco, I. Como los dos puntos de A∩C son puntos extremos opuestos de C, uno de ellos es el punto extremo,h, deH y el otro es un punto extremo,e, de I. Del hecho de que A interseca tanto aHcomoI, se sigue queX es arcoconexo. Ahora probaremos queX es homeomorfo al límite inverso de una sucesión inversa de círculos con funciones de liga-dura sobreyectivas. Seanε >0yU={U1, . . . , Un}unaε-cadena que cubre aC tal que h∈U1\U2ye∈Un\Un−1[1, pág. 661]. SeaN⋆(U)el poliedro asociado al nervio,N(U), de U [10, 1.4.9] (Observemos que N⋆(U) es un arco). SeaΨ :C → N⋆(U) una función canónica relativa aU[5, pág. 286]. Comoh∈U1\U2ye∈Un\Un−1,Ψ(h)es uno de los puntos extremos de N⋆(U)y Ψ(e)es el otro punto extremo deN⋆(U)(esto se sigue de
la definición de una función canónica [5, pág. 286]). Como Ues unaε-cadena,Ψes una ε-función. SeanS1+={(x, y)∈S1|y≥0}yS1−={(x, y)∈S1|y≤0}. ComponiendoΨ
con un homeomorfismo deN⋆(U)sobreS1
+, obtenemos unaε-funciónf de C sobreS1+. Sin pérdida de generalidad, suponemos que f(h) = (−1,0)y f(e) = (1,0). ComoAes un arco cuyos puntos extremos soneyh, existe un homeomorfismogdeAsobreS1−tal
queg(h) = (−1,0)yg(e) = (1,0). Seaℓ:X→S1definida como ℓ(x) =
f(x) six∈C, g(x) six∈A.
