4-N-Cubos. 4.1 Representación y cubos de diferentes dimensiones. 4.2 Generalizaciones sobre N-Cubos. 4: N-Cubos 1

4: N-Cubos 1

4-N-Cubos

4.1 Representación y cubos de diferentes dimensiones.

Representación

 Los n-cubos permiten visualizar las

funciones booleanas en espacios n-dimensionales discretos.

 _{Las representaciones gráficas de los}

n-cubos están restringidas a valores de n pequeños (<10).

4: N-Cubos 3

Representación

 _{Se suelen dibujar las variables de la función}

en ejes coordenados ortogonales.

 _{Las variables pueden tomar solamente los}

valores "0" y "1", lo cual define un espacio

N-Cubos

 Técnica visual usada para identificar cuando se

puede minimizar usando el teorema de unificación (o fusión).

 _{n variables de input = cubo de n-dimensiones.}

2-cubo X Y 11 00 01 10 distancia entre nodos adyacentes es siempre 1 (X, Y) 3-cubo X Y Z 000 111 101 (X, Y, Z) 1-cubo X 0 1 (X) 4-cubo W X Y Z 0000 1111 1000 0111 (W, X, Y, Z) 1100

4: N-Cubos 5

N-Cubos y mintérminos

 _{Un n-cubo tiene 2}n vértices.

Cada vértice de un n-cubo tiene n adyacentes.

 _{Cada mintérmino corresponde a un vértice.}

2-cubo X Y 11 00 01 10 distancia entre nodos adyacentes es siempre 1 (X, Y) 3-cubo X Y Z 000 111 101 (X, Y, Z) 1-cubo X 0 1 (X) 4-cubo W X Y Z 0000 1111 1000 0111 (W, X, Y, Z) 1100 0100

A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

ON-set = nodos solidos OFF-set = nodos vacios

Don’t Care-set = nodos con X

dos superficies de dimensión 0 (nodos) se combinan en una superficie de

dimensión 1 (línea)

A varia en la superficie, B no varia. Esta superficie representa el

literal B‘.

Tablas de verdad y N-Cubos

 _{Teorema de unificación (X • Y + X • Y’ = X)}

combina superficies del cubo en bordes más largos.  _Ejemplo: A B 11 00 01 10 F F = A’B’ + AB’ = B’ F = A’B’ + AB’

4: N-Cubos 7 A B Cin Cout 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 (A'+A)BCin AB(Cin'+Cin) A(B+B')Cin Cout = BCin+AB+ACin

El on-set esta completamente cubierto

por la combinación (OR) de los tres sub-cubos de menor dimensionalidad.

3-Cubo

 _{Ejemplo: Lógica de carry para Sumador de 1}

bit. A B C 000 111 101

110

F(A,B,C) = Σm(4,5,6,7)

on-set es un cuadrado (un cubo de dimensión 2)

representa una expresión de una variable (3 dimensiones – 2 dimensiones)

A es verdad y no cambia, B y C varían Este sub-cubo representa

el literal A

3-Cubo

4: N-Cubos 9

Sub-cubos de más

dimensiones

 _{Actividad: ¿Que variable(s) representa este}

sub-cubo? 4-cubo W X Y Z 0000 1111 1000 0111 f(W, X, Y, Z)=? 1100 0100

A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

N-Cubos y mapas de Karnaugh

 Un mapa de Karnaugh es una mapa aplanado de un N-Cubo.

 K-mapas están doblados (conectados) alrededor de sus

bordes.

 Difícil dibujar y visualizar para más de 4 dimensiones.  Casi imposible para mas de 6 dimensiones.

 _{Alternativa a tabla de verdad para ayudar a visualizar}

minimizaciones (adyacencias).

 Ayudan a aplicar el teorema de minimización.

 Elementos del on-set con solo un cambio de una variable

son adyacentes (y se pueden agrupar para minimizar).

0 2 1 3 0 1 A B 0 1 1 0 0

1 ¿Porque los minterms

no son adyacentes en la tabla de verdad pero en las otras

representaciones si? A B 11 00 01 10

4: N-Cubos 11

Adyacencias en N-cubos y

mapas de Karnaugh

 _{Conectados de la primera a la última}

columna.

 _{Conectados de primera a última fila.}

000 010 001 011 110 100 111 101 C B A A B C 000 111 101 100 001 010 011 110

Cubos y mapas de 4-variables:

simplificación

 _{F(A,B,C,D) =}

∑m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

Actividad: Dibujar el 4-Cubo correspondiente a los min-terms y simplificar.

4: N-Cubos 13

Cubos y mapas de 4-variables:

simplificación

Mapas de 4-variables: simplificación

Hay que encontrar el menor número de sub-cubos de mayor tamaño que cubran el ON-set (menos términos con el menor número

4: N-Cubos 15 C + B’D’  _{F(A,B,C,D) =} Σ_{m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)} F = D A B A B C D 0000 1111 1000 0111 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C + A’BD 0010

4-N-Cubos

4.1 Representación y cubos de diferentes dimensiones

4: N-Cubos 17

Sub-cubos de m-dimensiones en un

espacio Booleano de n-dimensiones

 En un 3-cubo (tres variables), sub-cubos de tipo:

 0-cubo, i.e., un nodo individual, resulta en un

termino con 3 literales

 1-cubo, i.e., una línea de dos nodos, resulta

en un término con 2 literales

 2-cubo, i.e., un plano de cuatro nodos, resulta

en un término con 1 literal

 3-cubo, i.e., un cubo de ocho nodos, resulta

en un término constante "1"

 _{En general,}

 un m-subcubo en un n-cubo (m < n) resulta

Generalizaciones sobre

sub-cubos

 _{Mediante inducción puede plantearse:}  Un n-cubo tiene 2_n vértices (o nodos).

 Cada vértice de un n-cubo tiene n adyacentes.

 Si se fija una variable en un n-cubo, el resto de las

(n-1) variables puede representarse por un cubo de (n-1) dimensiones.

 Cada mintérmino corresponde a un vértice.

 Si se fijan k de las n variables, las restantes pueden

representarse en un cubo de (n-k) dimensiones.

 Un (n-k) cubo está contenido en el cubo de n

4: N-Cubos 19

Generalizaciones sobre sub-cubos

 Se pueden efectuar elecciones de k

elementos de un grupo total de n.

 _{Recordando que:}

 _{Un conjunto de k variables booleanas puede}

tomar 2k valores posibles.

 _{El numero total posible de sub-cubos con}

dimensión n-k incluidos en un n-cubo:













Combinaciones de sub-cubos

posibles

 _Ejemplo:

 El número de combinaciones para elegir

sub-cubos con dimensión 2 de un 3-cubo (sin importar el orden)

 n = 3, k = 1

 Numero de 2-cubos posibles son:

110 A B C 000 111 101 100 001 010 011 Una de muchas posibilidades! Una variable fija





1

=3!