Capítulo V: Funciones Reales de Variable Real

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Universidad Estatal a Distancia (UNED) MA-491 Matemática para Administradores I

C a p ít u lo V : F u n ci o n e s R e a le s d e V a ri a b le R e a l

1

Capítulo V: Funciones Reales de Variable Real

Relación:

Una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados. La relación está determinada por algún criterio que permite asociar a algunos o a todos los elementos del primer conjunto con algunos o todos los elementos del segundo conjunto. La relación puede representarse mediante un diagrama, tabla, pares ordenados, etc.

Al primer conjunto se le llama conjunto de salida y al segundo conjunto de llegada. Dentro de los cuales podemos identificar:

Variable independiente: es la característica que representa al conjunto de salida y que puede tomar distintos valores (numéricos o no).

Variable dependiente: es la característica que representa al conjunto de llegada y puede tonar distintos valores (numéricos o no).

Pares ordenados: Un par ordenado es una colección de dos elementos tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b).

Sistema de Coordenadas Cartesianas: Un sistema de coordenadas es la representación matemática de la posición de puntos. En las coordenadas cartesianas un punto se localiza según su posición entre dos ejes que se cortan, uno horizontal y otro vertical, que se denominan x e y, se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Para representar los conjuntos que conforman la relación se utilizan letras mayúsculas y para representar la relación se utilizan las letras minúsculas.

Definición de función: X f Y = f(x) 2 11 – 1 5 8 10 0 – 2 – 7 6

DOMINIO CODOMINIO Ámbito = conjunto de las imágenes

Una Relación se denomina FUNCIÓN, si cumple con las siguientes condiciones:

- Todos los elementos del conjunto que se ubica en el eje de las abscisas (Eje “X”), deben estar relacionados.

(2)

Una función es un conjunto de pares ordenados en el que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer elemento.

Si “a" es un elemento de A, su elemento asociado “1” pertenece a B.

Al conjunto A le llamamos Dominio y B se le llama Codominio de la función.

Para simbolizar que se ha establecido una función f de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación

: . f A → B

Definamos algunos de los conceptos:

Preimagen: Dada una función

f : A B

→

, se le llama preimagen de un elemento

y

∈

B

a aquel elemento x que se asocia a y bajo la función f. A cada uno de los elementos del dominio de una función se le llama preimágenes.

Imagen: Dada una función

f : A B

→

, se le llama imagen de un elemento

x A

∈

, al elemento

y

∈

B

, que se le asigna una correspondencia a x bajo la función f. La imagen de un elemento x se denota por f(x) y así

f x = y

( )

.

A cada uno de los valores del codominio que están relacionados con alguna preimagen se les llama imágenes. Note que no necesariamente todos los valores del codominio son imágenes pues en algunas ocasiones los valores no tienen relación con ninguna preimagen. Dominio: Sea

f : A B

→

una función. Se dice que el conjunto A es el Dominio de la función

f y se define como el conjunto al cual pertenecen las preimágenes de la función f.

Codominio: Sea

f : A B

→

una función. Se dice que el conjunto B es el Codominio de la función f y se define como el conjunto al cual pertenecen las imágenes de la función f. Ámbito o Rango: Sea

f : A B

→

una función. Se denomina Ámbito o rango de la función f

al conjunto de las imágenes de dicha función. Evidentemente el Ámbito es un subconjunto del Codominio, porque son todos los valores de B que tienen una pareja en A; “en algunas ocasiones puede ser igual al codominio” (ámbito ⊆codominio) Ámbito = Conjunto de las imágenes.

Criterio: Es la regla por medio de la cual puede asignarse a “y” un valor o más valores de “x”, los cuales van a ser específicos para ese “y”. Tales reglas suelen expresarse por medio de una expresión algebraica.

Una función se puede denotar de la forma

f : A B

→

, esto se lee f de A en B y hace alución a que en la función f, A es el dominio y B es el codominio. El dominio y el codominio de una función pueden

Es una relación o correspondencia entre dos conjuntos (A y B) no vacíos, en donde a cada elemento del conjunto de salida “A” (Dominio), le corresponde uno y solo un elemento en el conjunto de llegada “B” (Codominio), con el cual se asocia o le corresponde.

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3

ser conjuntos finitos o conjuntos infinitos como intervalos, IN, ZZ, Q//, IR. Si en una función no se aclara su dominio y su codominio suponemos que la función va de IR en IR ( f : IR →IR).

La expresión f(x) se utiliza para hacer referencia a la imagen de “x”, donde “x” es una preimagen. En muchas ocasiones la relación entre las preimágenes y las imágenes está determinada por una expresión algebraica a la cual anteriormente habíamos definido como criterio de la función.

Calculo de imágenes y preimagenes 1. Sea la función − − →   1 1 k : 1, , 0, ,1, B 3 3 , tal que

( )

2

k x =x −4(este es el criterio de la función). Determine todas las imágenes y el ámbito de la función.

( )

− k 1 k−    1 3

k

( )

0

k       1 3

k

( )

1 ( ) ( )

( )

2 1 1 4 1 3 − = − − − = − k k 2 1 1 4 3 3 1 35 3 9 − −     = −         − −   =     k k

( ) ( )

( )

2 0 0 4 0 4 = − = − k k 2 1 1 4 3 3 1 35 3 9     = −         −   =     k k

( ) ( )

( )

2 1 1 4 1 3 = − = − k k

Para determinar las imágenes solo se sustituye “x” por el valor que me dan y se encuentra el resultado. (para encontrar imágenes evaluar)

Se calcula sustituyendo x en el criterio de la función dada.

2. Sea la función j : A→B, tal que j x

( )

= −4x 7+ , si el ámbito de la función “j” es

{

5,3, 7,15,27

}

Determine todas las preimágenes y el dominio de la función.

Preimagen de 5 Preimagen de 3 Preimagen de 7 Preimagen de 15 Preimagen de 27

= − + − = − − = − − = − = 5 4x 7 5 7 4x 2 4x 2 x 4 1 x 2 = − + − = − − = − − = − = 3 4x 7 3 7 4x 4 4x 4 x 4 x 1 = − + − = − = − = − = 7 4x 7 7 7 4x 0 4x 0 x 4 x 0 = − + − = − = − = − = − 15 4x 7 15 7 4x 8 4x 8 x 4 x 2 = − + − = − = − = − = − 27 4x 7 27 7 4x 20 4x 20 x 4 x 5

Para determinar las preimágenes se iguala el criterio al valor que me dan y se resuelve la ecuación. (para encontrar preimágenes igualar y resolver la ecuación)

Ejemplo:

f(x)=

3x + 2

, si f(x)= 9, entonces se sabe que y = 9, 9 =

3x 2

+

(4)

4

9 2 3x 7 3x 7 3 x − = = =

Por lo tanto la preimagen de 9 es 7

3, para esta función.

Clasificación de las funciones según régimen de variación (monotonía):

Creciente: Una función f es creciente en un determinado intervalo si dados dos valores arbitrarios cualesquiera, x1 y x2, tales que si x2 > x1, entonces

f(x )

₂

≥

f(x )

₁ .

Estrictamente creciente: Una función f es estrictamente creciente en un determinado intervalo si dados dos valores arbitrarios cualesquiera, x1 y x2, tales que si x2 > x1, entonces

f(x ) > f(x )

₂ ₁ . Decreciente: Una función f es decreciente en un determinado intervalo si dados dos valores arbitrarios cualesquiera, x1 y x2, tales que si x2 > x1, entonces

f(x )

₂

≤

f(x )

₁ .

Estrictamente decreciente: Una función f es estrictamente creciente en un determinado intervalo si dados dos valores arbitrarios cualesquiera, x1 y x2, tales que si x2 > x1, entonces

f(x ) < f(x )

₂ ₁ . Constante: Una función f es constante en un determinado intervalo si dados dos valores arbitrarios cualesquiera, x1 y x2, tales que si x2 > x1, entonces

f(x )

₂

=

f(x )

₁ .

Dominio máximo de una función

Se define como el mayor subconjunto de números reales en el cual se cumple que el criterio de la función tiene sentido.

Casos:

1. Si es polinómica: entonces el dominio de la función es todo ∡_{, siempre.}

Ej. f (x) = 2x - 7x + 12

f(x) = 4x5 – 6x3 + x2 – 5x + 9 y = 4x – 9

2. Si el criterio de la función corresponde a una expresión fraccionaria. En este caso el Dominio de la función es IR, excepto los números que hacen cero el denominador. f es una función racional ( ) ( )

( ) p x f x

q x

= el dominio máximo = IR– {x tal que q(x) = 0 } Ej. Ejemplos: a) f(x) = 3 2x - 1, 1 2 1 0 2 1 2 − ≠ ⇒ _≠ ⇒ _≠ x x x 1 2   = −    D.M IR

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C a p ít u lo V : F u n ci o n e s R e a le s d e V a ri a b le R e a l 2 3 ( ) 16 x f x x + = − , 2− ≠₁₆ ₀_⇒ 2 ≠₁₆_⇒ ≠ ± ₁₆_⇒ ≠ ±₄ x x x x

{

4 4

}

= − − D.M IR , 1 0 1 − ≠ ≠ x x

(

)(

)

2 1 2 20 0 4 5 0 4 5 − − ≠ + − ≠ ≠ − ≠ x x x x x x

{

4 1 5

}

= − − D.M IR , ,

3. Radicales índice impar, el dominio de la fundición va a ser IR. Pero en las funciones de índice par se debe evaluar donde lo que se encuentra dentro de la raíz es mayor o igual a cero, según sea el caso.

Para hallar el dominio máximo se resuelve subradical ≥ 0 si la raíz esta en el numerador y subradical

>

0 si la raíz esta en el denominador. Además si el índice es impar y se encuentra en el denominador entonces el D.M=IR, pero si en índice es impar y se encuentra en el denominador, se iguala el subradical con cero y se le quita eso a IR.

Ejemplos : a)

f x

( )

=

2 x

−

8

b)

( )

4

3

5 −

=

−

x

h x

x

2 8 0 2 8 4 − ≥ ≥ ≥ x x x

[

4 [

=

+ ∞

D.M

,

4 3 4 3 5 5 4 3 0 4 3 3 4 − ₌ − − − − ≥ ≥ ≥ x x x x x x x 5 0 5 − > > x x

Aquí necesitamos la intersección de las

soluciones puesto que se tienen que cumplir las dos al mismo tiempo:

D.M

=

]

5 ,

+ ∞

[

c)f(x) = 52x - 12 ,

D.M

=

IR

d) 7 2x - 3 f(x) = 9x - 1 9 1 0 9 1 1 9 − ≠ ≠ ≠ x x x

1

9  

=

−

 

 

D.M

IR

2 5 4 3 ( ) 1 20 x h x x x x − = − − − −

(6)

6

Operaciones con funciones:

Definición:

Sean f y g funciones reales de variable real. La suma de f +g, el producto f g_i , la diferencia

−

f g y el cociente f

g de esas funciones se definen:

(

f +g

)( )

x = f x

( ) ( )

+g x

(

f gi

)( )

x = f x g x

( ) ( )

i

(

f −g

)( )

x = f x

( ) ( )

−g x

( )

  =     f x f x g g x , si g x

( )

≠0 Función Compuesta:

Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D y tal que el ámbito de f está contenida en el dominio de g, se define función compuesta de f y g como la función de dominio A y codominio D, tal que cada x∈A le asocia g f x

(

( )

)

∈D, esta afirmación se denota gf . Es decir:

(

)( )

(

( )

)

→ → = g f : A D x g f x g f x Ejemplos:

Para las funciones:

( )

2 13 1 2 = − = − g x x , q x x x, calcule:

(

q+g

)( ) ( ) ( )

x =q x +g x

( ) ( )

2 2 2 13 1 2 12 1 + = − + − + − q x g x x x x x x

( )( ) ( ) ( )

q gi x =q x g xi

( ) ( )

(

2

)

(

)

3 2 2 2 2 2 13 1 26 2 13 26 15 = − − − − + − + i q x g x x x x x x x x x x x

(

q−g

)( ) ( ) ( )

x =q x −g x

(7)

7

( ) ( )

(

2

)

(

)

2 2 2 13 1 2 13 1 2 14 1 − = − − − − − + − + q x g x x x x x x x x x  

( )

=

( )

_{( )}

  g x g x q q x

( )

2

(

)

1 2 13 1 13 1 1 0 2 2 1 2 − − = = ≠ ≠ − − g x x x , x , x q x x x x x

(

)( )

(

( )

)

(

2

)

2 13 2 1 26 13 1 → → = = − − − − g q : A D x g q x g q x x x , x x

Representación Gráfica de una Función Concepto de punto y grafico de una función

Un punto es un par ordenado de la forma

( )

x, y (también se puede encontrar como

(

x, f(x)

)

, donde “x”es un elemento del dominio de una función y “y” es su correspondiente imagen (“y” pertenece al ámbito de la función).

Se conoce como gráfico de una función al conjunto de pares ordenados

( )

x, y que pertenezcan a la función, donde “x” pertenece al dominio y “y” pertenece al ámbito. El gráfico de una función puede ser un conjunto finito o infinito. Se denota el gráfico de una función por G_f (gráfico de la función f).

Ejemplos:

1. Considere la siguiente representación de la función f:

Considere la función f : IR →IR , tal que

( )

= 2+

f x x 1 Note que: f 2

( )

=22+ =1 5 y

( ) ( )

− = − 2+ =

f 7 7 1 50 ⇒

( ) (

_{2,5 y} ₋_7,50

)

son dos puntos de la función.

1 2 3 3 4 5

A f B De la representación se concluye que tres puntos

conforman la función

( )

1,5 , 2, 4 y 3,3

( )

( ) ( )

{

}

f G 1,5 , 2, 4 y 3,3 ⇒ ₌

(8)

8

2. Sea g :

{

−1, 0,1

}

→IRtal que g x

( )

=x2−1

Para determinar el gráfico de “g” primero se calculan las imágenes de todos los elementos del dominio:

( ) ( )

2 2 2 g 1 1 1 0 g 0 0 1 1 g 1 1 1 0 − = − − = = − = − = − =

Note que el ámbito de la función es

{

}

g

A = 0, 1− La función contiene los puntos:

(

−1, 0 , 0, 1 y 1, 0

) (

−

) ( )

(

) (

) ( )

{

}

f G 1, 0 , 0, 1 y 1, 0 ⇒ _{= −} ₋

3. Sea h : A→Btal que h x

( )

=2x 3− y cuyo ámbito es A_h=

{

2, 3−

}

Para determinar el gráfico de “h” primero se calculan las preimágenes de todos los elementos del ámbito: Preimagen de 2 2x 3 2 2x 5 5 x 2 − = ⇒ ₌ ⇒ ₌ Preimagen de −3 2x 3 3 2x 0 0 x 0 2 − = − ⇒ ₌ ⇒ ₌ ₌

Note que el dominio de la función es

5 A 0, 2   =   

La función contiene los puntos:

(

0, 3 ,

)

5,2 2

 

−  

(9)

9

(

)

f 5 G 0, 3 , ,2 2    ⇒ ₌_ ₋ _ __    

Gráfica de una función

La gráfica de una función es la representación en un sistema de coordenadas cartesianas de los puntos que conforman el gráfico de la función. Se dan dos casos:

1. Si el gráfico es un conjunto discreto: En este caso el trazo de la gráfica consiste en dibujar en el sistema de coordenadas únicamente los pares ordenados que pertenecen al gráfico de la función. 2. Si el gráfico es un conjunto denso: En este caso se construye una tabla de valores con algunos de los valores del dominio y sus correspondientes del ámbito de la función, se dibujan los pares ordenados en el sistema de coordenadas.

Para terminar el trazo de la gráfica, como el dominio es un conjunto denso, se dibuja una línea entre los pares ordenados con los cuales se construyó la tabla generalmente con flechas a ambos lados, dependiendo de su dominio (esto para representar que sigue infinitamente).

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1

Ejemplos:

1. Trace la gráfica de:

{

−

}

→ w : 1, 0,1 IR tal que

( )

− =7x 3 w x 2 Primero determinamos el gráfico de la función:

( ) 7 1( ) 3 7 3 10 w 1 5 2 2 2 − − − − − − = = = = − ( ) 7 0( ) 3 0 3 3 w 0 2 2 2 − − − = = = ( ) 7 1( ) 3 7 3 4 w 1 2 2 2 2 − − = = = =

(

)

( )

w 3 G 1, 5 , 0, , 1,2 2 −     ⇒ _{= − −}_ _ _ _    

Luego se dibujan los puntos:

2 -2 -4 -2 2 A

2. Trace la gráfica de:

Sea f : IR →IR, tal que

( )

= −

2

f x x 2 .

Como el dominio es denso se construye una tabla de valores con algunos posibles valores del dominio:

( )

− =

( )

− 2− = − = f 2 2 2 4 2 2

( )

− =

( )

− 2− = − = − f 1 1 2 1 2 1

( )

=

( )

2− = − = − f 1 1 2 1 2 1

( )

=

( )

2− = − = − f 0 0 2 0 2 2

( )

=

( )

2− = − = f 2 2 2 4 2 2 ⇒Tabla de valores : x −₂ −₁ 0 1 2 j (x) 2 −₁ −₂ −₁ 2

Con los valores anteriores se traza la gráfica:

5 4

2

-2 f x( ) = x2_-2

(11)

1

Oferta y demanda Demanda:

Es en relación al individuo, determina las distintas cantidades de un bien o servicio que los consumidores están dispuestos a comprar a diferentes precios.

Normalmente la ley de demanda se puede establecer mediante una función que relaciona el precio con el número de unidades demandadas.

( )

=

p f x , x es el número de unidades.

Generalmente ocurre que a mayor precio de un bien o servicio menor es la demanda (por lo tanto se establece una función decreciente)

Oferta:

Es en relación al productor, determina las distintas cantidades de un bien o servicio que los productores están dispuestos a llevar al mercado a diferentes precios.

Normalmente la ley de oferta se puede establecer mediante una función que relaciona el precio con el número de unidades ofrecidas.

( )

=

p f x , x es el número de unidades.

Contrario a la demanda la oferta tiende a ser una función creciente, puesto que a mayor precio, mayor oferta.

Equilibrio del mercado

El equilibrio del mercado ocurre cuando en un precio la cantidad ofrecida es igual a la demandada. =

Oferta Demanda Cambio en el punto de equilibrio

Cuando se fija un impuesto, se le suma este impuesto a la ecuación de la oferta, generando un nuevo punto de equilibrio.

Cuando se da un subsidio, se le resta este subsidio a la ecuación de la oferta, generando un nuevo punto de equilibrio.

En estas circunstancias dado que la demanda depende únicamente del precio, podemos suponer que la demanda no cambia.