MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez UPRM
MATE 3171
Modelando con ecuaciones
Guías para resolver problemas verbales
1 Identi…car la(s) variable(s)
2 Transformar la parte verbal a símbolos matemáticos 3 Construir el modelo
4 Resolver la ecuación y veri…car su respuesta
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Modelando con ecuaciones
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1 Identi…car la(s) variable(s)
2 Transformar la parte verbal a símbolos matemáticos
3 Construir el modelo
4 Resolver la ecuación y veri…car su respuesta
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Modelando con ecuaciones
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1 Identi…car la(s) variable(s)
2 Transformar la parte verbal a símbolos matemáticos 3 Construir el modelo
4 Resolver la ecuación y veri…car su respuesta
Modelando con ecuaciones
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1 Identi…car la(s) variable(s)
2 Transformar la parte verbal a símbolos matemáticos 3 Construir el modelo
4 Resolver la ecuación y veri…car su respuesta
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Ejemplos
1.6 Formule y resuelva los siguientes problemas:
1 Exprese "la suma de tres enteros consecutivos" n en el segundo entero
Primer número n 1 y el tercero n+1, por lo tanto: La suma de los tres números es: n 1+n+n+1=3n
2 Exprese " el tiempo (en horas) que toma viajar una cierta distancia a 55 mi/h" d es la distancia que viaja
Recuerde: velocidad(v)= distancia(d)/tiempo(t)
Despejando para el tiempo se tiene: t = d
v =
55 v
3 Si Juan invierte $5000 at 5% de interés por año, ¿cuánto dinero adicional debe invertir a 6% de interés anual para asegurar que el interés que recibe cada año es 5.8% del dinero total invertido? Sea x la cantidad a invertir al 6%.
Cantidad total a invertir: 5000+x La ecuación se obtiene:
.05(5000) +.06x =0.058(x+5000)
250+.06x =.058x+290).002x=40 )x =20000
4 María tiene $3.00 en monedas de 25, 10 y 5 centavos. Si las monedas de 10 centavos es el doble de las de 25 centavos y tiene 5 monedas más de 5 centavos que las de 10 centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?
Sea x la cantidad de monedas de 25 centavos, entonces: monedas de 10 centavos: 2x, monedas de 5 centavos: 5+2x Ecuación: todo en centavos
25x+10(2x) +5(5+2x) =300
25x+20x+25+10x =300 simpli…cando
55x =275)x =5
Se tienen: 5 modendas de 25, 10 monedas de 10, y 15 monedas de 5 centavos.
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5 Una pista de carrera tiene la forma de la …gura que se adjunta, con lados que son segmentos de recta y los otros lados son semicirculares. Si la longitud de la pista es de 440 yardas, determine el radio de la parte semicircular
p. 68
Como parte de la pista es semicircular, su longitud es la mitad de la longitud del círculo, 12(2πr) =πr :
La longitud de la pista es:
L=110+πr+110+πr =220+2πr =440 Resolviendo la ecuación lineal para r :
r = 220
2π 35.014
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6 Halle la longitud y en la …gura.
La …gura es compuesta de une triángulo rectángulo y un rectángulo. Area del triángulo recto es: A1 = 12y y = 12y2
Area rectángulo: A2 =1 y =y La suma de las áreas es:
A=A1+A2 = 12y2+y =1200
Luego resolvemos la ecuación cuadrática: y2+2y =2400)y2+2y 2400=0 Factorizando:
(y+50) (y 48) =0
y =48 cm
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7 Un podador de árboles desea determinar la altura de un árbol, para ello mide la altura de un árbol más pequeño que se encuentra a 125 pies de distancia, luego dirige su mirada sobre el tope del árbol pequeño (ver …gura). Suponga que el árbol pequeño tiene una altura de 20 pie, la persona está a 25 pies del árbol pequeño y su visión esta a 5 pies de la base. Determine la altura del árbol grande.
Se forman dos triángulos rectángulos que son semejanes y tienen catetos: 25 y 15; y 150 y x.
Por semejanza de triángulos se forma la proporción: x 15 = 150 25 Resolviendo para x : x = 150 15 25 =90
Por lo tanto la altura del árbol es: 90+5=95 pies.
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8 Stan e Hilda limpian un patio en 40 minutos si trabajan juntos. Si Hilda trabaja dos veces más rápido que Stan, determine el tiempo que le toma a Stan limpiar el patio solo.
Sea t el tiempo que le toma a Hilda limpiar el patio.
Como Hilda es dos veces más rápida que Stan, a él le toma 2t tiempo para limpiar el patio.
Proporción de tiempo de Hilda más la proporción de tiempo de Stan, limpian el patio, es decir:
40
t +
40
2t =1, luego resolviendo la ecuación: multiplicando por 2t :
80+40 =2t )t =60
Stan limpia el patio en 120 minutos.
9 Una clínica de salud usa una solución de cloro para estirilizar utenzilios en la cual se incrementan las bacterias. El tanque de estirilización contiene 100 galones de una solución de 2% de cloro que se usa en el hogar y se mezcla con agua destilada. Investigación reciente indica que la concentración de cloro debe ser de 5% para una estirilización completa. ¿Qué cantidad de la solución se debe
reemplazar con cloro para obtener el nivel recomendado?
Sea x la cantidad de galones de clorox al 2% que se remueve del tanque. Esta es la cantidad que se sustituye con clorox al 5%.
Original 2% Cloro Mezcla al 5%
Galones 100 x x 100
Concentración 0.02 1 0.05
Clorox 0.02(100 x) 1x 0.05 100
La ecuación a resolver es: 0.02(100 x) +x=0.05 100
.98x+2=5)x = .983 =3.061 galones se deben rmover y reemplazar con cloro puro.
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10 Un lote de una ciudad tiene la forma de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 7 pies más grande que uno de sus otros lados. El perímetro del lote es 392 pies. Determine las dimensiones del lote.
Sea x la longitud de la hipotenusa. Uno de los catetos mide x 7 y
el otro 392 x (x 7) =399 2x.
Por el teorema de Pitágoras se tiene:
(x 7)2+ (399 2x)2 =x2,
Simpli…cando: 4x2 1610x +159250 x 4552 (x 175) =0
x =227.5, x =175
Satisface x =175 pies es la medida de la hipotenusa.
