3-MAPEOS

MAPEOS LINEALES Definición:     z w (1.1)

donde w y z son variables complejas y α, β son constantes complejas

Caso 1:

α = 0

w = β No tiene mapeo inverso.

Definición de punto fijo: un punto z0 se llama punto fijo de un mapeo w si:

f ( z0 ) = z0

Punto fijo: z = β

Caso 2: β = 0, α ≠ 0

Punto fijo: z = 0, único

Mapeo Inverso:

_z

_w

1



EJEMPLO 1: _{w( 1 i) z} 4 / 2 1     _{i e}i _z  _rei ) 4 / ( 2     i e r w

En general el mapeo mapea el origen del plano Z en el origen del plano W (punto fijo), pero efectúa una dilatación | α | y una rotación arg α en el sentido antihorario.

Volvemos al mapeo lineal general (1.1) y rescribamos en la forma

z

w el cual puede verse como dos mapeos consecutivos:

z

w





z w

Primero: sea







z

obteniéndose el caso 2, pero esta vez el mapea puntos del plano Z en puntos del plano

φ;

Segundo: w mapea puntos del plano φ a puntos del plano W. Este mapeo representa una traslación en la que el origen del plano φ es mapeado al punto w = β en el plano W, y el mapeo de cualquier otro punto en el plano φ se obtiene sumando β a las coordenadas para obtener el punto equivalente en el plano W.

El mapeo lineal general, geométricamente es una combinación de mapeos que pueden considerarse como:

traslación, rotación y ampliación

EJEMPLO 2

El mapeo lineal w = α z + β , donde α, β son constantes complejas, mapea el punto z1 = 1 + i en el punto w1 = i y el punto z2 = -1 en el punto w2 = 1 + i.

a) Determine α y β del mapeo lineal.

) 2 1 ( 5 3 ) 2 ( 5 1 i z i w    

b) Encuentre los puntos fijos del mapeo lineal



i



z 1 3

10 3

0  

Propiedades geométricas del mapeo lineal

1. Las rectas en el plano Z serán transformadas en rectas en el plano W.

La recta L: donde a y b son constantes complejas. Bajo el mapeo w = α z + β la ecuación se mapea a

0 ;       _     b a w w ó         w a  w b 1 1 b z a z  

haciendo a₁  a y b₁ b se tiene la ecuación de otra recta

1 1 w b

a

w   en el plano W.

Se sigue claramente que una recta en el plano Z es mapeada en otra recta correspondiente en el plano W bajo el mapeo lineal w = α z + β.

EJEMPLO 3: Examine el mapeo w = ( 1 + i ) z + ( 1 – i ) para la recta:

½ y + x = 1 en el plano Z. Solución: Sean w = u + i v; z = x + i y, entonces: ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 (            iv i x iy i x y i x y u

al igualar la parte real e imaginaria se obtiene

1 , 1       x y v x y u

luego al resolverse para x e y se tiene

2 2

,

2xuv yvu

Sustituyendo x e y en la ecuación de la recta da la imagen de esta recta en el plano W como la recta 3v u2.

1/2 y + x =1 2 1 2 2/3 3 v + u = 2 w

EJEMPLO 4: Usando el mapeo w = ½ ( 1 - i ) z + ( i - 1) . Encuentre la

región en el plano W correspondiente al semiplano derecho Re(z) ≥ 0 en el plano Z. Solución: Sean w = u + i v ; z = x + i y, entonces: ( ) 1 2 1 1     iy x i iv u

racionalizando el lado izquierdo tenemos



  

( ) 1 2 1 1 2 1 _{    } iy x i iv u

al igualar la parte real e imaginaria se tiene:

y v u x v u  2,  

despejando x e y de las últimas ecuaciones tenemos:

) 2 . 1 ( , 2 x u v y v u    

La primera de éstas puede usarse para encontrar la imagen de x ≥ 0. Esto es

u - v ≥ - 2 que es una región limitada por la recta u - v = - 2.

u - v =

- 2

w

2. Los mapeos lineales mapean circunferencias en circunferencias

r z z ₀ 

Al reorganizar al ecuación w = α z + β se obtiene

0 ;   _w _



z entonces donde . Entonces r w w ₀  

que es una circunferencia con centro en w0 y con radio | α | r.



₀



1 0 0 z w w w z z    _         ₀ 0 z w

EJEMPLO 5: Usando el mapeo w = ½ ( 1 - i ) z + ( i - 1) . Encuentre la

región en el plano W correspondiente al interior del circunferencia unitaria | z | < 1 plano Z. (Ver Ejemplo 4)

Solución:

Para z = x + iy, la circunferencia unitaria | z | = 1 y en forma cartesiana

x2 + y2 = 1.

Al sustituir x e y de las relaciones (1.2) se obtiene la imagen de esta circunferencia como



uv2

 

2 uv



2 1

ordenando y completando cuadrados nos lleva a

ecuación de una circunferencia con centro w0 = (-1, 1) y radio R = √½.

Si x2 + y2 < 1 entonces ( u + 1)2 + ( v - 1)2 < ½, la región dentro de la circunferencia | z | = 1 en el plano Z corresponde a la región dentro de la circunferencia imagen en el plano W.

w 1 -1 1 1  z     2 1 1 12  2  v u

MAPEO INVERSION Definición

z

w



1

en esta sección consideraremos la imagen de circunferencias y rectas en el plano Z bajo el mapeo inversión.

Los puntos fijos de mapeo inverso se obtienen haciendo w = z, entonces 1 z ó , 1 2 _  z z

así z = ± 1 son los puntos fijos.

El punto z = 0 es mapeado al infinito en el plano W y w = 0 es mapeado al infinito en el plano Z.

PROPIEDADES GEOMETRICAS

1. Si: | z0 | ≠ r, el mapeo inversión mapea una circunferencia | z – z0 |= r, que no pasa por el origen del plano Z en otra circunferencia que no pasa por el origen del plano W.

Despejando del mapeo de inversión

) 3 . 1 ( 1 0 r z w  Para w = u + i v, z = x + i y, z0 = x0 + i y0 en (1.3) obtenemos r iy x v u iv u      0 0 2 2

Evaluando el modulo en la ecuación anterior, se obtiene

2 2 0 2 2 2 0 2 2 _{u v} y r v x v u u _       _         _  w

z



1

En la última ecuación se desarrolla el cuadrado de cada sumando y luego ordenando se tiene



r2 x₀2  y₀2

 

u2 v2



2u x₀ 2v y₀ 1 (1.4) (1.5) reemplazando 2 0 2 0 2 0 x y z   en (1.5) obtenemos (1.6)

completando cuadrados en (1.6) se tiene la ecuación de una circunferencia con centro: _{ }              2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 , , z r y z r x v u w y radio 2 0 2 _z r r R  

donde se prueba que | w0 | ≠ R, con lo cual se cumple que la

circunferencia no pasa por el origen.

EJEMPLO 6: Determine la trayectoria imagen en el plano W

correspondiente a la circunferencia | z – 3 | = 2 en el plano Z bajo el mapeo inversión. Solución: w z z w1, 1 2 3 1_{ } w al tomar w = u + i v obtenemos 2 3 2 2_    v u v i u

elevando al cuadrado ambos lados al cuadrado, tenemos



 



2 2 0 2 0 v v R u u   



_{ }

_{ }

_{ }

₂

_

0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 y x r y x r v y y x r u x v u          





_

_{ }

_{ }

₂

_

0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 z r z r v y z r u x v u       



 



2 2 0 2 0 v v R u u   

4 3 2 2 2 2 2 2 _                 u v v v u u





6 5 0 2 2 2 2 2 2 2       v u u v u v u



u2 v2





16u5



u2v2





016u5



u2 v2



0

completando cuadrados se tiene:

25 4 5 3_2_ 2_      u v

Así, la imagen en el plano W es la circunferencia

5 2 5 3   w con

centro en w0 = (3/5, 0) y radio R = 2/5, es decir

1 5 3 3 1 ₅ W 2 3   z

NOTA: Al tomar z = x + i y junto con el mapeo w = 1 / z se

convierte en 2 2 1 y x y i x y i x v i u      

comparando las partes real e imaginarias obtenemos las siguientes relaciones ) 7 , 1 ( , 2 2 2 2 _{x y} y v y x x u     

las que serán usadas para determinar la imagen de puntos particulares bajo el mapeo.

EJEMPLO 7 Considerando el Ejemplo 6 y la ecuación (1,7), e indique

en el plano W la región correspondiente a la región dentro de la circunferencia en el plano Z.

Solución

Consideremos los puntos z1 = (3, 0) y z2 = (3, 1) que están al interior de la circunferencia | z – 3 | = 2.

Para z1 se tiene: x = 3, y = 0, entonces u = 1/3 y v = 0; por tanto = (1/3,0).

Para z2 se tiene: x = 3, y = 1, entonces u = 3/10 y v = -1/10; por tanto = 1/10 (3, -1).

Los puntos: w1, w2 están al interior de la circunferencia

5 2 5 3   w . Este

resultado nos lleva a concluir que los puntos del interior de | z – 3 | = 2 son mapeados al interior de la circunferencia

5 2 5 3   w .

2. Si: | z0 | = r, el mapeo inversión mapea una circunferencia | z – z0 |= r, que pasa por el origen, del plano Z en una recta que no pasa por el origen en el plano W.

Considerando que x₀2y₀2r2, ó z₀ r , el coeficiente del primer sumando del lado izquierdo de la ecuación (1.4) se hace cero, y tenemos

1 2

2ux₀ vy₀

la ecuación que representa de una recta que no pasa por origen en el plano W.

3. La recta | z - a1| = | z – a2 | no pasa por el origen en el plano Z, cuando a1 y a2 son constantes complejas y | a1| ≠ | a2 |, es mapeado por w = 1 / z en una circunferencia que pasa por el origen en el plano

W. Para w z1 se tiene 1 ₁ 1 a₂ w a w   (1.7)

considerando: w = u + i v , a1 = p + i q, a2 = r + i s, donde p, q, r, s son constantes reales. Al sustituir en (1.7) y elevar al cuadrado ambos lados se tiene 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _     _         _         _         _  u v s v r v u u q v u v p v u u

Al desarrollar cada término, el cuadrado de u / (u2 _{+ v}2 _{) y v / (u}2 _{+ v}2 ₎ se cancela, quedando 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s v u s v r v u r u q v u q v p v u p u             

que al simplificar se convierte en



p2 q2 r2s2



u2v2



2u(r p)2v(qs)0 considerando que 2 2 2 2 2 2 2 1 p q , a r s a     en la última ecuación



a₁2 a₂2





u2v2



2u(r p)2v(qs)0 (1.8)





2

_

( )

_

2

_

( ) ₂

_

0 2 2 1 2 2 2 1 2 2         a a s q v a a p r u v u

completando cuadrados en la ecuación anterior tenemos:

   2 2 0 2 0 v v R u u    ó ww₀ R

que representa una circunferencia que pasa por el origen del plano W

con centro en   _             2 2 2 1 2 2 2 1 0 0 0 , , a a q s a a r p v u w y radio 2 2 2 1 1 2 a a a a R    .

Observe que esta circunferencia pasa por origen del plano W porque │w0│= R.

EJEMPLO 8: Determine la trayectoria imagen en el plano W

correspondiente a la recta x + y = 1 en el plano Z bajo el mapeo inversión. Solución: w z z w1, 1 al tomar z = x + i y y w = u + i v obtenemos 2 2 2 2 1 v u v i v u u iv u y i x        

comparando la parte real e imaginaria

2 2 2 2 ; v u v y v u u x     

reemplazando x e y en la ecuación de la recta x + y = 1 obtenemos

1 2 2 2 2_  _  v u v v u u

al resolver la última ecuación obtenemos la ecuación de la circunferencia

Así, la imagen en el plano W es una circunferencia con centro en

w0 = (1/2, -1/2) con radio R = √1/2 y pasa por el origen porque |w0| = R.

1 1 W x + _y = 1 w_o R 2 1 2 1 2 1 2 2_               u v

4. La recta | z - a1| = | z – a2 | pasa por el origen cuando | a1| = | a2 |, entonces es mapeada por w = 1 / z en otra recta en el plano W que pasa por el origen.

Considerando que | a1| = | a2 |, la ecuación (1.8) representa una recta en el plano W que pasa por el origen, con ecuación:

0 ) ( 2 ) ( 2u r p  v qs 

OBSERVACIONES: El mapeo inverso cumple con:

1. Los puntos de | z | = 1 en el plano Z son mapeados a los puntos en

| w | = 1 del plano W.

2. El interior de la circunferencia | z | < 1 en el plano Z es mapeado en

| w | > 1.

3. El exterior de la circunferencia | z | > 1 en el plano Z es mapeado en

| w | < 1.

4. La mitad superior de la frontera de | z | = 1 es mapeada en la mitad

inferior de la frontera | w | = 1.

5. La mitad inferior de la frontera de | z | = 1 es mapeada en la mitad

MAPEOS BILINEALES Definición: Un mapeo bilineal es un mapeo de la forma

(1.9)

donde a, b, c y d son constantes complejas. Se llama mapeo bilineal en z y en w ya que puede ser escrito en la forma A w z + B w + C z + D = 0, que es lineal en ambos z y w.

Para investigar el mapeo bilineal, rescribimos el lado derecho de (1.9) como sigue: d z c b c d a d z c c a d z c b z a w         ( ) (1.10)

este mapeo se degenera en w = a /c, a menos que b c – a d ≠ 0.

Por tanto, decimos que (1.9) representa un mapeo bilineal si el determinante 0   ad bc d c b a

cuando esta condición se da, el mapeo inverso

a w c b w d z    

que se obtiene al despejar z de (1.9), también es bilineal, ya que

0      c b d a a c b d

Al sustituir las constantes de modo que λ = a/c, µ = b c – a d, α = c2 _y

β = c d, (1.10) se transforma en        z w d z c b z a w    ) (cz d c d a c b c a w    

y se puede dividir el mapeo en tres pasos como se indica: lineal mapeo 1 z  z inversión mapeo 1 1 2 z z  lineal mapeo 2 z w

EJEMPLO 9: Dado el mapeo complejo

1 1    z z w _{. Determine la imagen en el}

plano W correspondiente al arco de circunferencia x2 _{+ y}2 _{= 1, para x ≤ 0} descrito del punto (0, -1) al punto (0,1).

Solución: Despejando z e función de w se tiene

1 1    w w z considerando w = u + i v, z = x + i y se tiene 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ; ) 1 ( 1 v u v y v u v u x         

Para x ≤ 0 se tiene u2 _{+ v}2 _{≤ 1 (A)}

Para x2 + y2 = 1 ↔ | z | = 1 1 1 1 1 1 _{    }    w w w w z ) B ( 0 0 4 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2         u u v u v u

Considerando (A) y (B) se tiene que, si u = 0; -1 ≤ v ≤ 1. w

-1 1

-1 1

PROPIEDADES GEOMETRICAS

1. El mapeo bilineal siempre mapea circunferencias en una circunferencia o

recta.

2. El mapeo bilineal siempre mapea una recta en una circunferencia o recta. EJEMPLO 10: Encuentre la imagen en el plano W de la circunferencia

| z | = 2 en el plano Z bajo el mapeo bilineal

i z i z w    Solución:

Despejando z del mapeo bilineal se tiene

w i w i z    1 la imagen en el plano W de la circunferencia | z | = 2 en el plano Z está determinada por

) 11 . 1 ( 2 1   w i w i

Usando la propiedad de los números complejos: | z1/z2 | = | z1| / | z2| en (1.11) se convierte en w i w i  2 1 al tomar w = u + i v se tiene iv u u i v      ( 1) 2 (1 )

elevando ambos lados al cuadrado nos lleva a: 1 0 3 10 2 2_{   } u v u

al completar cuadrados en la variable u se tiene: 2 2 2

3 4 3 5               u v

indica que la curva imagen en el plano W es una circunferencia con centro

w0 = (5/3, 0) y radio R = 4/3, es decir _w_w _R 0 2 w₀ 3 R W 2  z

3. Sean z1, z2 y z3 puntos distintos del plano Z y sean w1, w2 y w3 puntos distintos en el plano W. Entonces existe un mapeo bilineal que mapea

3 3 2 2 1 1 w , z w , y z w z    En efecto, la ecuación:

define tal mapeo cuando ninguno de esos puntos es el punto infinito.

EJEMPLO 11: Encuentre un mapeo bilineal que mapee

i w i z i w z w i z₁  ₁1, ₂0  ₂ , y ₃  ₃ 

Solución: usando la ecuación (1.12) obtenemos:

        z i   i i i z i i w i i w          0 0 1 1    z i i z i i w w i        1 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 2i zi w  zi wi i

ordenando la última ecuación obtenemos el mapeo bilineal

) 1 ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) 3 1 ( i z i i z i w                  3   2 1 (1.12) 3 2 1 1 2 3 3 2 1 z z z z z z z z w w w w w w w w         

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Demuestre que la transformación w = z 2 _{donde w = u +i v , z = x +i y,}

transforma las rectas: x = α , y = β, α y β ε R en el plano Z en parábolas con vértices sobre el eje real del plano W.

2. Dibujar las imágenes de: (x - 3)2 + y2 = 2 y 2 x +3 y = 7 con el mapeo w = 1/z.

3. Encuentre la imagen de la recta x + y = 4 bajo con el mapeo bilineal

4. Encuentre la imagen de la recta 2 x – 3 y – 5 = 0 bajo con el mapeo

bilineal

5. Encuentre la imagen de la región R : { z є C / Re( z) > - 1 y Im (z) < 1}

bajo el mapeo Grafique la región R y su imagen.

6. Verifique que el semiplano Re (z) > 0 es mapeado sobre el disco

| w | < 1 bajo el mapeo   2  1 2 1      z i i z i w

7. Encuentre la imagen en el plano W de la circunferencia | z | = R en el

plano Z bajo el mapeo

8. Construya un mapeo bilineal que relacione los siguientes puntos:

2 i → ½, 4 i → ⅓, i → 6 i i z z w   2 5 . 3   z z w z z w  1 z i i z w 