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Ejercicios Resueltos - Función Cuadrática

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Academic year: 2021

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(1)

EJERCICIOS FUNCIÓN CUADRÁTICA

Graficar

f

(

x

)

x

2

8

x

12

)

(

0

1

.

1

arriba

hacia

abre

parábola

positiva

concavidad

a

concavidad

minar

Deter



)

4

,

4

(

)

,

(

:

)

"

"

(

4

)

4

(

12

4

8

4

)

4

(

2

)

"

"

(

4

1

2

)

8

(

2

12

8

1

.

2

2

 

y

x

Vértice

del

s

Coordenada

vértice

del

y

coordenada

f

f

a

b

f

V

vértice

del

x

coordenada

a

b

V

c

b

a

s

coordenada

de

plano

el

en

vértice

el

Ubicar

y x

6

2

"

"

,

2

,

6

2

4

8

2

16

8

1

2

12

1

4

)

8

(

)

8

(

2

4

12

8

1

"

"

.

3

2 1 2 2 , 1 2 2 , 1

x

y

x

en

x

eje

el

cruza

parábola

la

to

tan

lo

Por

x

x

x

a

c

a

b

b

x

c

b

a

x

eje

el

con

parábola

la

de

n

ntersecció

i

existe

si

Analizar

12

"

"

,

12

)

0

(

12

0

8

0

)

0

(

0

:

"

"

12

12

8

1

12

8

)

(

"

"

.

4

2 2



y

en

y

eje

el

cruza

parábola

la

to

tan

lo

Por

f

f

x

Para

también

o

y

eje

el

con

ón

intersecci

la

indica

c

c

b

a

x

x

x

f

y

eje

con

parábola

la

de

n

ntersecció

i

la

bicar

U

(2)

Graficar

f

(

x

)

x

2

12

x

32

Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x”

artículos está dado por la función:

2

25

,

0

350

x

x

R

a)

Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.

b)

Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos vendidos

El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: 2

25

,

0

350

x

x

R

a.-) El ingreso cuando se venden 100 artículos es:

500

.

32

$

500

.

2

000

.

35

)

100

(

25

,

0

)

100

(

350

)

100

(

2

R

R

Por lo tanto, con 100 artículos se obtienen $32.500

b.-) Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120.000

0

000

.

480

400

.

1

0

25

,

0

000

.

120

25

,

0

350

25

,

0

25

,

0

25

,

0

1

/

0

000

.

120

350

25

,

0

25

,

0

350

000

.

120

2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

(3)

Se tiene:

1

2

)

000

.

480

(

)

1

(

4

)

400

.

1

(

)

400

.

1

(

2 2 , 1

x

800

2

600

.

1

600

2

200

.

1

2

200

400

.

1

2

000

.

40

400

.

1

2

000

.

920

.

1

000

.

960

.

1

400

.

1

2 1 2 , 1 2 , 1

x

x

x

x

Por lo tanto, con 600 y con 800 unidades, se obtiene un ingreso de $120.000

Un negocio, al vender “x” artículos, obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la

fórmula:

U

400

x

x

2

200

a)

Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos.

b)

¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.800?

La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por:

200

400

2

x

x

U

a.-) La Utilidad cuando se venden 250 artículos

es:

400

200

2

x

x

U

300

.

37

200

500

.

62

000

.

100

200

)

250

(

)

250

(

400

)

250

(

2



U

U

Por lo tanto, con 250 artículos se obtienen 37.300 dólares

b.-) Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.800

0

000

.

40

400

200

400

800

.

39

x

x

2



x

2

x

La forma general de la ec. cuadrática es: 2

0

c

x

b

x

a

Por lo tanto:

a

1

;

b

400

;

c

40

.

000

Reemplazando en la fórmula:

a

c

a

b

b

x

2

4

2 2 , 1

Se tiene:

1

2

)

000

.

40

(

)

1

(

4

)

400

(

)

400

(

2 2 , 1

x

(4)

valor

mismo

el

son

las

caso

este

En

soluciones

tiene

cuadrática

ec

una

x

x

x

x

2

,

.

2

.

200

200

2

0

400

2

0

400

2

000

.

160

000

.

160

400

2 1 2 , 1 2 , 1

Por lo tanto, con 200 unidades, se obtiene una utilidad de 39.800 dólares

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función:

2

3

18

)

(

t

t

t

h

( “h” en metros, “t” en segundos).

a)

¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?

b)

¿Cuál es la altura máxima?

.-) Observando el coeficiente que acompaña a 2

t

se ve que es negativo, por lo tanto, la parábola abre hacia abajo (ver figura).

Luego, la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola. La forma general de la ec. cuadrática:

a

x

2

b

x

c

0

0

18

3

:

,

3

18

)

(

2 2

t

t

queda

general

forma

la

como

Escrita

t

t

t

h

:

tanto

lo

Por

Las coordenadas (x,y) del vértice son:





 

a

b

f

a

b

V

2

,

2

La coordenada “x” del vértice es:

3

6

18

)

3

(

2

18

2

a

b

La coordenada “y” del vértice es:

27

9

3

54

)

3

(

3

)

3

(

18

)

3

(

2

f

Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (3,27). Luego, la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto.

(5)

Graficar

f

(

x

)

x

2

5

x

6

1.- Analizar concavidad:

6

5

1

c

b

a

La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0 (concavidad negativa)

2.- Ubicar el vértice en el plano de coordenadas:

2

5

)

1

(

2

5

2

a

b

corresponde a la coordenada “x” evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y”

4

1

6

)

2

5

(

5

)

2

5

(

)

2

5

(

2

f

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son:

4

1

,

2

5

)

,

(

V

x

V

y

3.- Analizar si existe intersección con el eje “x”:

a

c

a

b

b

x

c

b

a

2

4

6

5

1

2 2 , 1

=>

2

1

5

)

1

(

2

)

6

(

)

1

(

4

)

5

(

)

5

(

2 2 , 1

x

Por lo tanto, la ecuación tiene 2 raíces. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos.

3

;

2

2 1

x

x

6

"

"

,

6

)

0

(

6

0

5

0

)

0

(

0

:

"

"

6

"

"

.

4

2



y

en

y

eje

el

cruza

parábola

la

to

tan

lo

Por

f

f

x

Para

también

o

y

eje

el

con

ón

intersecci

la

indica

c

y

eje

con

parábola

la

de

n

ntersecció

i

la

bicar

U

Graficar

f

(

x

)

x

2

8

x

16

(6)

Para encontrar el vértice:

4

)

1

(

2

)

8

(

2

a

b

Corresponde a la coordenada “x”

Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y”

(

4

)

4

2

8

(

4

)

16

0

f

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (4,0) También, la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0

Para encontrar las raíces de “f”, se iguala: f(x) = 0 =>

4

1

2

16

1

4

)

8

(

)

8

(

2 2 , 1

x

4

2

0

8

2

64

64

)

8

(

2 , 1

x

Por lo tanto, las 2 raíces son iguales. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto. Al evaluar f en x = 0, se obtiene el punto donde corta al eje “y”

16

16

)

0

(

8

0

)

0

(

2

f

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