EJERCICIOS FUNCIÓN CUADRÁTICA
Graficar
f
(
x
)
x
2
8
x
12
)
(
0
1
.
1
arriba
hacia
abre
parábola
positiva
concavidad
a
concavidad
minar
Deter
)
4
,
4
(
)
,
(
:
)
"
"
(
4
)
4
(
12
4
8
4
)
4
(
2
)
"
"
(
4
1
2
)
8
(
2
12
8
1
.
2
2
y
x
Vértice
del
s
Coordenada
vértice
del
y
coordenada
f
f
a
b
f
V
vértice
del
x
coordenada
a
b
V
c
b
a
s
coordenada
de
plano
el
en
vértice
el
Ubicar
y x6
2
"
"
,
2
,
6
2
4
8
2
16
8
1
2
12
1
4
)
8
(
)
8
(
2
4
12
8
1
"
"
.
3
2 1 2 2 , 1 2 2 , 1
x
y
x
en
x
eje
el
cruza
parábola
la
to
tan
lo
Por
x
x
x
a
c
a
b
b
x
c
b
a
x
eje
el
con
parábola
la
de
n
ntersecció
i
existe
si
Analizar
12
"
"
,
12
)
0
(
12
0
8
0
)
0
(
0
:
"
"
12
12
8
1
12
8
)
(
"
"
.
4
2 2
y
en
y
eje
el
cruza
parábola
la
to
tan
lo
Por
f
f
x
Para
también
o
y
eje
el
con
ón
intersecci
la
indica
c
c
b
a
x
x
x
f
y
eje
con
parábola
la
de
n
ntersecció
i
la
bicar
U
Graficar
f
(
x
)
x
2
12
x
32
Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x”
artículos está dado por la función:
225
,
0
350
x
x
R
a)
Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.
b)
Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos vendidos
El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: 2
25
,
0
350
x
x
R
a.-) El ingreso cuando se venden 100 artículos es:
500
.
32
$
500
.
2
000
.
35
)
100
(
25
,
0
)
100
(
350
)
100
(
2
R
R
Por lo tanto, con 100 artículos se obtienen $32.500
b.-) Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120.000
0
000
.
480
400
.
1
0
25
,
0
000
.
120
25
,
0
350
25
,
0
25
,
0
25
,
0
1
/
0
000
.
120
350
25
,
0
25
,
0
350
000
.
120
2 2 2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
Se tiene:
1
2
)
000
.
480
(
)
1
(
4
)
400
.
1
(
)
400
.
1
(
2 2 , 1
x
800
2
600
.
1
600
2
200
.
1
2
200
400
.
1
2
000
.
40
400
.
1
2
000
.
920
.
1
000
.
960
.
1
400
.
1
2 1 2 , 1 2 , 1
x
x
x
x
Por lo tanto, con 600 y con 800 unidades, se obtiene un ingreso de $120.000
Un negocio, al vender “x” artículos, obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la
fórmula:
U
400
x
x
2
200
a)
Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos.
b)
¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.800?
La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por:
200
400
2
x
x
U
a.-) La Utilidad cuando se venden 250 artículos
es:
400
200
2
x
x
U
300
.
37
200
500
.
62
000
.
100
200
)
250
(
)
250
(
400
)
250
(
2
U
U
Por lo tanto, con 250 artículos se obtienen 37.300 dólares
b.-) Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.800
0
000
.
40
400
200
400
800
.
39
x
x
2
x
2
x
La forma general de la ec. cuadrática es: 2
0
c
x
b
x
a
Por lo tanto:a
1
;
b
400
;
c
40
.
000
Reemplazando en la fórmula:a
c
a
b
b
x
2
4
2 2 , 1
Se tiene:1
2
)
000
.
40
(
)
1
(
4
)
400
(
)
400
(
2 2 , 1
x
valor
mismo
el
son
las
caso
este
En
soluciones
tiene
cuadrática
ec
una
x
x
x
x
2
,
.
2
.
200
200
2
0
400
2
0
400
2
000
.
160
000
.
160
400
2 1 2 , 1 2 , 1
Por lo tanto, con 200 unidades, se obtiene una utilidad de 39.800 dólares
Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función:
2
3
18
)
(
t
t
t
h
( “h” en metros, “t” en segundos).
a)
¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?
b)
¿Cuál es la altura máxima?
.-) Observando el coeficiente que acompaña a 2
t
se ve que es negativo, por lo tanto, la parábola abre hacia abajo (ver figura).Luego, la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola. La forma general de la ec. cuadrática:
a
x
2
b
x
c
0
0
18
3
:
,
3
18
)
(
2 2
t
t
queda
general
forma
la
como
Escrita
t
t
t
h
:
tanto
lo
Por
Las coordenadas (x,y) del vértice son:
a
b
f
a
b
V
2
,
2
La coordenada “x” del vértice es:
3
6
18
)
3
(
2
18
2
a
b
La coordenada “y” del vértice es:
27
9
3
54
)
3
(
3
)
3
(
18
)
3
(
2
f
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (3,27). Luego, la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto.
Graficar
f
(
x
)
x
2
5
x
6
1.- Analizar concavidad:
6
5
1
c
b
a
La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0 (concavidad negativa)
2.- Ubicar el vértice en el plano de coordenadas:
2
5
)
1
(
2
5
2
a
b
corresponde a la coordenada “x” evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y”4
1
6
)
2
5
(
5
)
2
5
(
)
2
5
(
2
f
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son:
4
1
,
2
5
)
,
(
V
xV
y3.- Analizar si existe intersección con el eje “x”:
a
c
a
b
b
x
c
b
a
2
4
6
5
1
2 2 , 1
=>2
1
5
)
1
(
2
)
6
(
)
1
(
4
)
5
(
)
5
(
2 2 , 1
x
Por lo tanto, la ecuación tiene 2 raíces. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos.
3
;
2
2 1
x
x
6
"
"
,
6
)
0
(
6
0
5
0
)
0
(
0
:
"
"
6
"
"
.
4
2
y
en
y
eje
el
cruza
parábola
la
to
tan
lo
Por
f
f
x
Para
también
o
y
eje
el
con
ón
intersecci
la
indica
c
y
eje
con
parábola
la
de
n
ntersecció
i
la
bicar
U
Graficar
f
(
x
)
x
2
8
x
16
Para encontrar el vértice:
4
)
1
(
2
)
8
(
2
a
b
Corresponde a la coordenada “x”Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y”
(
4
)
4
2
8
(
4
)
16
0
f
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (4,0) También, la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0
Para encontrar las raíces de “f”, se iguala: f(x) = 0 =>
4
1
2
16
1
4
)
8
(
)
8
(
2 2 , 1
x
4
2
0
8
2
64
64
)
8
(
2 , 1
x
Por lo tanto, las 2 raíces son iguales. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto. Al evaluar f en x = 0, se obtiene el punto donde corta al eje “y”
