1307 14 Matemática Función Cuadrática

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(2) FUNCIÓN CUADRÁTICA Toda función polinómica de la forma: f ( x)  a 2 x 2  a1x  a0. con a 2  0 se denomina. función cuadrática o función de segundo grado, cuyo dominio es  En particular, llamaremos a los coeficientes a2 = a; a1 = b y a0 = c. Resulta entonces:. f (x)  ax 2  bx  c siendo ax 2 el término cuadrático, bx el término lineal y c el término independiente Estudiamos la función f ( x)  x 2 , su gráfica es una parábola, ahora analizaremos las 2. 1  gráficas de otras expresiones como h( x)  x  4 , t ( x)   x   , etc. que como ya 3  2. sabes tienen sus gráficas por los corrimientos realizados a f ( x)  x 2 . Sea g ( x)   x  3  1 , la cual podemos 2. graficar con las herramientas. que ya. conocemos. Importante Forma Canónica de la función cuadrática. f  x   a  x  h  k 2. a R h R. a0 k R. R a 0 k R h. R. Notemos que la gráfica tiene la particularidad de ser simétrica respecto de un eje paralelo al eje y, llamado eje de simetría. Importante Trabajando g(x) algebraicamente obtienes:. g ( x)  x 2  6 x  10. Forma Polinómica de la función cuadrática. f ( x )  ax 2  bx  c a,b, c  R y a  0. Siendo. a  1 b  6 c  10. POLITECNICO. 1.

(3) Función cuadrática Matemática Queremos determinar para las funciones cuadráticas algunos elementos importantes, que nos permitirán comprender su comportamiento para luego graficarlas.  Determinación de las coordenadas del vértice de una función cuadrática. El vértice ( x v ; y v ) , es el punto de intersección de la parábola y su eje de simetría. Consideraremos x p y xq  Dom( f ) , las abscisas de dos puntos cualesquiera de la parábola, tal que f ( x p )  f ( xq ) La abscisa del vértice será de la forma xv . x p  xq 2. (*), dado que el mismo se encuentra. sobre el eje de simetría. Como f ( x p )  f ( xq ) , entonces: ax p  bx p  c  ax q  bx q  c 2. 2. 0  a( x q  x p )  b( x q  x p ) 2. 2. 0  a( x q  x p )(x q  x p )  b( x q  x p ). . 0  ( x q  x p ) a( x q  x p )  b. de donde:. x q  xp  0. . x q  xp. (x q  xp )  . . . a( x q  x p )  b  0 b a. (**). reemplazando en (*) por (**), se tiene x v  . b y para obtener y v 2a. f  xv  .. Entonces las coordenadas del vértice son:  b  v   ; f  xv    2a . Considerando nuevamente la función g ( x)  x 2  6 x  10 resulta:. 2. . el vértice de esta parábola es v (3 ; 1). . el eje de simetría es x = 3. POLITECNICO. bastará evaluar.

(4)  Relación entre los coeficientes “a”,”b” y “c” de una función cuadrática y “h” y “k” de la expresión canónica. f (x)  a  x  h   k 2. f ( x )  a  x 2  2xh  h2   k f ( x )  ax 2 2ah x  ah2  k b. resulta que :. c.  2ah  b  h  . b (1) 2a 2. b2 4ac  b2  b  ah2  k  c  k  c  a     k  c   4a 4a  2a . Sabiendo que x v  . b y de (1) concluimos xv  h . 2a. Evaluando f (h) se obtiene que f (h)  k , entonces el vértice de la parábola es v(h; k ) que se determina inmediatamente cuando la función cuadrática esta dada en la forma canónica.  En la expresión de la función cuadrática, el coeficiente a, tiene importancia para poder establecer la concavidad de la parábola. . Si a>0, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba (cóncava hacia arriba) y se puede observar que la ordenada del vértice es el menor valor del conjunto Imagen (mínimo). . Si a<0, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo (cóncava hacia abajo) y la ordenada del vértice es el mayor valor del conjunto Imagen (máximo). POLITECNICO. 3.

(5) Función cuadrática Matemática PRÁCTICA 1) Dada f ( x)  2x  32  2 a) Indica, a partir de ella, el vértice, su eje de simetría y el conjunto imagen. b) Halla a / f (a)  4 c) Determina el valor de su coeficiente lineal. 2) Dadas las siguientes gráficas expresa la ley de la función cuadrática en forma polinómica a). b). c). Ceros de una función cuadrática. Su ecuación asociada Problema: Se lanza una pelota hacia arriba desde 25m del suelo. La altura, en metros, que alcanza la pelota en función del tiempo, en segundos, viene dada por la función h(t )  20t  5t 2  25 ¿Cuánto tarda en llegar al piso? Resolver este problema implica saber cuando la altura de la pelota es nula, para lo cual tendremos que encontrar las soluciones de la siguiente ecuación: 20t  5t 2  25  0. Es evidente que no podemos despejar la variable en forma directa aprenderemos nuevas herramientas. Llamamos Ecuación de 2º grado a la expresión: ax 2  bx  c  0. 4. POLITECNICO. por lo que.

(6) Esta ecuación puede escribirse, utilizando la expresión canónica de la función 4ac  b 2 b 2 cuadrática como a  x  h   k  0 , con h   y k 4a 2a Reemplazando h y k , se tiene: ax 2  bx  c  0. b  4ac  b 2  a x    0 2a  4a  2. b  4ac  b 2  a x     2a  4a  2. b  b 2  4ac  a x    2a  4a  2. b  b 2  4ac  x     2a  4a 2  2. x. b b 2  4ac b 2  4ac   2a 4a 2 2a. x1 . b b 2  4ac  2a 2a. b  b 2  4ac x1  2a. b b 2  4ac  2a 2a. . x2 . . b  b 2  4ac x2  2a. Siendo x1 y x2 las raíces, ceros ó soluciones de la ecuación de segundo grado. En forma simplificada podemos escribir:. x1,2 . b  b 2  4ac 2a. esta fórmula recibe el nombre de Resolvente de la ecuación de segundo grado Ahora estamos en condiciones de resolver la ecuación del problema propuesto: 20t  5t 2  25  0 , con a  5 b  20 c  25. Reemplazando en la fórmula obtenemos:. t1,2 . 20  202  4  5  25 2  5 . t1  1  t2  5. POLITECNICO. 5.

(7) Función cuadrática Matemática En este problema el valor negativo no tiene sentido, por lo tanto la pelota tarda en llegar al piso 5 segundos. PRÁCTICA 3) Resuelve las siguientes ecuaciones:. a). 3  x 2  2x. b). x2  2 x . c) d) e) f). 1 0 2. 2 x   3 x  2 x2 x2 5 x2 x0 x x  3x  2  1 2x  2  x  1 x  4 x4. g). 2x 2  x  6. h) i) j). 5x 2  3x  10  2x. k). x  3 1 x. x 4  2x 2  0 8 x   1 2 x 4 x2. x  2 y x  2. Observaciones  Sabemos que la función cuadrática es una función polinómica, entonces se puede expresar según sus raíces o ceros, de la siguiente manera: Forma factoreada f ( x)  a  x  x1  x  x2  , donde x1 y x2 son los ceros de la ecuación asociada a f ( x)  ax 2  bx  c  Al número b  4ac que aparece en la fórmula de la resolvente, se lo conoce con el nombre de discriminante y se la simboliza   Análisis del discriminante en relación con las soluciones de la ecuación de segundo grado. 2. Si   0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas x1  x 2  Si   0 entonces la ecuación tiene una solución real doble x1  x 2  Si   0 entonces la ecuación no tiene soluciones reales. 6. POLITECNICO.

(8) Si trabajamos con una función cuadrática f ( x)  ax 2  bx  c , al calcular los ceros, x1 y x 2 obtendremos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Con la ayuda del discriminante tenemos: . Si   0, la parábola corta al eje x en dos puntos. 0. . Si   0, la parábola toca al eje x en un punto. 0. . Si   0, la parábola no corta al eje x. 0. POLITECNICO. 7.

(9) Función cuadrática Matemática PRÁCTICA 4) Sin resolver las ecuaciones, analiza el tipo de solución de las mismas. b) 3x 2  4x  6  2. a) 2x 2  4x  6  0. c)  3x 2  6x  3  0. 5) Siendo x 1 y x 2 los ceros de una función cuadrática, demuestra: a) x1  x 2  . b a. c a c) f ( x)  ax 2  bx  c  a( x  x1 )(x  x 2 ). b) x1.x 2 . 6) Halla la expresión de una función cuadrática sabiendo que sus ceros son x1  1 y x 2  5 y que el punto 3;5 pertenece a su gráfica.. 7) Dadas las siguientes funciones : f ( x)  2x 2  4x  6. a) b) c) d) e). g( x)   x 2  4x  4. t( x ) . 1 2 x  x 1 2. 1 h( x )   x 2  x 3. Halla el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas Encuentra los puntos de intersección de las mismas con los ejes, si es posible. Representa gráficamente las funciones e indica el conjunto imagen de cada una. Expresa en forma canónica t(x) y h(x) Expresa en forma factoreada f(x) y g(x). 8) Determina una ecuación de segundo grado a coeficientes enteros tal que sus soluciones sean: a) b). 9). 8. 1 1 x 0 2 2 2 Las terceras partes de las de 4x  8x  5  0. Los recíprocos de las de x 2 . Determina k de modo que la ecuación: a). 4x 2  Kx  6  0. tenga una solución igual a 1. b). x 2  2x  K  0. tenga soluciones iguales. c). 2x 2  Kx  8  0. no tenga soluciones reales. POLITECNICO.

(10) 10) Determina el dominio en las siguientes funciones x 1 2x  3 x  1 g( x)  2 3x  1x  2 f ( x) . h( x ) . 2. x. . 1 x  5x  6. . 2. 2. . 11) Determina  si f ( x)  2x  1x   tiene nulo el discriminante de la ecuación asociada. 12) Encuentra el valor de  de modo que las funciones f ( x)  4x 2  3x  1 y g( x)  3x 2  7x   posean ecuaciones asociadas cuyos discriminantes sean. iguales. 13) Determinar, sin calcularlos, la cantidad de ceros reales que tienen las siguientes funciones cuadráticas: a) f ( x)  x 2  6x  9 b) g( x)  x  12  7 c) h( x)  2x 2  12x  19 14) ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f ( x )  x  52  g( x )  x  2  2. 5 y 2. 3 ? 2. 15) Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) Determina dos números tales que su suma sea 10 y el producto de los mismos más la suma de los cuadrados sea 79. b) Encuentra la medida de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son tres números naturales consecutivos. c) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela. 16) La función para calcular el ingreso por la venta de n relojes es r(n)  n25  0,1n . Determina: a) La cantidad de relojes que debe venderse para obtener el ingreso máximo. b) El ingreso máximo.. POLITECNICO. 9.

(11) Función cuadrática Matemática 17) La función que permite construir un modelo de los ingresos de una empresa (en pesos) en función de la cantidad de artículos que vende (en unidades de mil) es I( x)  5x 2  50 x y la del costo total (en pesos) es C( x)  20 x  45 . Determinar cuántos artículos deben venderse para poder cubrir los costos. Comprueba, a través del software Geogebra, la solución del problema. 18) Grafica una parábola para cada situación: a) Los puntos de intersección con el eje “x” son  3;0 y 4;0 y en el vértice tiene un máximo. b) Interseca al eje “y” en y  3 , el coeficiente lineal es el doble del coeficiente cuadrático y el punto (2;7) pertenece a la gráfica de la función. c) Los puntos 1;3 y 3;3 pertenecen a su gráfica y el coeficiente lineal es -4 19) Dadas las funciones f ( x)  x 2  7x  10 y g( x)  x 2  4x  5 , determina: a) A  x / f ( x)  0 b) B  x / g( x)  0 20) Dada la parábola y  x  12  4 , determina analíticamente y gráficamente si hay puntos de intersección con cada una de las siguientes rectas: a) y  4 1 3 0 2 2 c) y  3x  1. b)  x  y . 21) Para cada rectángulo encontrar el valor de x tal que el área sea máxima. Calcula el área máxima. a) b) x+ 4. 18 - x. x+ 5 26 - x. 22) La superficie de un rectángulo es de 192cm2 y la diagonal del mismo es de 20cm . Calcula sus dimensiones.. Ecuación Bicuadrática. a 4 x 4  a2 x 2  a0  0 a 4  0 ; a 4 , a2 y a0  R. 10. POLITECNICO.

(12) BIBLIOGRAFIA: . Matemática /Polimodal Funciones 1 Altman-ComparatoneKurzrok. Editorial Longseller . Año 2002- Bs As –Argentina. . Matemática /Polimodal Funciones 2 Altman-ComparatoneKurzrok. Editorial Longseller . Año 2002- Bs As –Argentina. . Matemática Zapico- Micelli-Tajeyan-Vera Ocampo. Editorial Santillana .Serie Perspectiva- Año 2008-Bs As-Argentina. . Matemáticas.Bachillerato 1 Guzmán-Colera-Salvador .Editorial Amaya-Año 1987-Madrid-España. . Precálculo .Stewart-Redlin-Walson Tercera edición-Editorial Thomson Learning- Año 2001 –México DF México. . Precálculo –J.Douglas Faires- James DeFranza . Editorial Internacional Thomson .Editores 2º edición. Año 2001-México DF-México. . Apunte de Función cuadrática, Función exponencial y su inversaEcuaciones. Editado en el Instituto Politécnico Superior. 3ºaño .Año 2011 - Cod 1310. POLITECNICO. 11.

(13) Función cuadrática Matemática Respuestas de los problemas propuestos 1). a) V(3;2) - Eje de simetría x=3 - Im(f )  ( ; 2] b) a  3  3  a   3  3 c)Coeficiente lineal =12. 2). a) f ( x)  x 2  4x. b) f ( x)  2x 2  4x  1. 3). a) x  1  x  3. b) x  . 2 2. c) f ( x ) . 1 2 x x3 4. c) x  1 5  a  1 5. 1  29 1  29  x 2 2 3 f) x  2  x  3 g) x  2  x   h) x  5 i) x  4 2 j) x  0  x  2  x   2 k) x  1 d) x  1 6  a  1 6. 4). 5) 6) 7). a) Dos soluciones reales distintas b) No tiene soluciones reales c) Tiene una solución real A cargo del alumno 5 f ( x )  x  1x  5 4 a) b) c) Función Vértice. f(x) g(x) t(x) h(x). 1. ;8. 2 ;0  1   3   2. 1 ;  2 3 ;  4. Eje simetría. e) f ( x)  2x  3x  1. 9). 12. 3 ;0  1 ;0 1 ;8. x2 x  1 x. No posee. 0 ; 0  3 ;0. 3 2. Inters. eje y. Im(…). 0 ;6.  8 ;  . 0 ;4 0 ;1. 0 ;  . 0 2. 1 3 3 h( x )    x    3 2 4. g( x)  x  2. a) x2  x  2  0 b) 36x2+24x-5=0 a) k  10 b) k  1. POLITECNICO. de Inters. eje x. x 1. 1 1 2 d) t( x )  x  1  2 2. 8). e) x . 2. c) 8  k  8. ; 0. 1  2 ;    3   4 ;   .

(14)  1 10) Dom(f )  R  1;   2 Dom(g)   ; 2  1;  . Dom(h)  R  3;2. 11)   1 12)   2 13) a) un cero b) dos ceros c) no posee ceros reales 14) d  V1;V2   5 15) a)3 y 7 b)3; 4 y 5 c)21años 16) a)125 relojes. b)$1562,5. 17) 3artículos. 18)A cargo del alumno 19) A   2;5 . B  5;1. 20) Analíticamente a) x  1. b) No tienen puntos de intersección. c)  3; 8 . y.  2; 5. POLITECNICO. 13. Gráficamente a cargo del alumno 21) a) x  7. b) x  10,5. 22) Las dimensiones son : 16cm y 12cm.

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