Resolver Ejercicios que involucran la Función Cuadrática. Introducción

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MATERIAL DE APOYO N°2 Función cuadrática o de 2° Grado Competencia(s) / OA Aplica la función

cuadrática f(x)= ax²+ bx + c:(a≠0),

representándolas en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo.

Docente Autor Nancy Cáceres

Desempeño Resolver Ejercicios que involucran la Función Cuadrática.

Introducción

A continuación podrás revisar la forma de una función de 2° grado o función cuadrática, sus elementos, gráfica y puntos que pertenecen a una función cuadrática (Extraído del texto del estudiante de 2° Medio pág. 63 a 68).

CONTENIDO: Función de 2° Grado o Función Cuadrática

Ejemplo: Identifica si las expresiones corresponden a funciones cuadráticas o de 2° Grado. Justifica y

determina sus coeficientes 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 en caso de que lo sean:

Función ¿Es o no una Función de 2° Grado?

¿Porque? 𝑎 𝑏 𝑐

f(x)= 3x - 2 NO Porque el x está elevado a 1 - - - 𝑔(𝑥) = 2𝑥

³

− 4 NO Porque el x está elevado a 3 - - -

h(x)= (5x – 2)(-3) NO Porque el x está elevado a 1 si desarrollamos el producto:

h(x)= (5x – 2)(-3) h(x)= -15x + 6

- - -

i(x)=(2x + 3)(x + 1) SI Porque el x está elevado a 2 si desarrollamos el producto de

binomios:

i(x)=(2x + 3)(x + 1) i(x)= 2𝑥

²

+ 2𝑥 + 3𝑥 + 3

i(x)= 2𝑥

²

+ 5𝑥 + 3

2 5 3

(2)

j(x)= (x + 2)(3x - 1) SI Porque el x está elevado a 2 si desarrollamos el producto de

binomios:

j(x)=(x + 2)(3x - 1) j(x)= 3𝑥

²

− 𝑥 + 6𝑥 − 2

j(x)= 3𝑥

²

+ 5𝑥 − 2

3 5 -2

k(x) = 12√𝑥 - 1 NO Porque el x está en raíz

cuadrada

- - -

m(x) = −𝑥

²

+ 5𝑥 SI Porque el x está elevado a 2 -1 5 0

n(x) = 2𝑥

²

− 4 SI Porque el x está elevado a 2 2 0 -4

II) Considera las funciones y sus coeficientes para completar la tabla:

Función

𝑎 𝑏 𝑐

f(x)= 2𝑥

²

+ 3𝑥 − 1

2 5 16

t(x)= (4x – 1) (2x + 3)

III) En cada una de las funciones, calcula la imagen para x = 1, x = 0 y x = -1 (Para determinar la imagen debes reemplazar el valor de x en cada función)

(Preimagen: Valor de x ; Imagen: Valor de y o de la función)

Función x= 1 x= 0 x= -1

f(x)= 𝟏𝟐𝒙^𝟐− 𝟑𝒙 − 𝟏 f(1)= 12 ∙ 1²− 3 ∙ 1 − 1 f(1)= 12 − 3 − 1 f(1)= 8

(La imagen de 1 a través de f es 8, por lo tanto el punto (1,8) pertenece a la función f)

f(0)= 12 ∙ 0²− 3 ∙ 0 − 1 f(0)= 0 − 0 − 1

f(0)= −1

(La imagen de 0 a través de f es -1, por lo tanto el punto (0,-1) pertenece a la función f)

f(-1)= 12 ∙ (−1)²− 3 ∙ (−1) − 1 f(-1)= 12 + 3 − 1

f(-1)= 14

(La imagen de -1 a través de f es 14, por lo tanto el punto (-1,14) pertenece a la función f)

g(x)= 𝒙^𝟐− 𝟓𝒙 + 𝟏 g(1)= 1²− 5 ∙ 1 + 1 g(1)= 1 − 5 + 1 g(1)= −3

(La imagen de 1 a través de g es -3, por lo tanto el punto (1,-1) pertenece a la función g)

g(0)= 0²− 5 ∙ 0 + 1 g(0)= 0 − 0 + 1 g(0)= 1

(La imagen de 0 a través de g es 1, por lo tanto el punto (0,1) pertenece a la función g)

g(-1)= (−1)²− 5 ∙ (−1) + 1 g(-1)= 1 + 5 + 1

g(-1)= 7

(La imagen de -1 a través de g es 7, por lo tanto el punto (-1,7) pertenece a la función g)

(3)

h(x)= 𝟒𝒙^𝟐− 𝟔𝒙 + 𝟏 h(1)= 4 ∙ 1²− 6 ∙ 1 + 1 h(1)= 4 − 6 + 1 h(1)= −1

(La imagen de 1 a través de h es -1, por lo tanto el punto (1,-1) pertenece a la función h)

h(0)= 4 ∙ 0²− 6 ∙ 0 + 1 h(0)= 0 − 0 + 1 h(0)= 1

(La imagen de 0 a través de h es 1, por lo tanto el punto (0,1) pertenece a la función h)

h(-1)= 4 ∙ (−1)²− 6 ∙ (−1) + 1 h(-1)= 4 + 6 + 1

h(-1)= 11

(La imagen de -1 a través de h es 11, por lo tanto el punto (-1,11) pertenece a la función h)

Determina 2 puntos más para cada función; para x = -2 y para x=3

(4)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Paso 1: Determinar concavidad

Paso 2: Identificar la intersección de la parábola con el eje Y (Valor de c) Paso 3: Determinar el eje de Simetría.

Paso 4: Calcular el Vértice.

Paso 5: Determinar las intersecciones con el eje X (Soluciones) x1 y x2

(5)

Ejemplos:

1) f(x)= x²- 4x + 3 a = 1 b= -4 c=3

Paso 1: Concavidad es hacia arriba, porque a es positivo.

Paso 2: intercepto eje y: y=3 o (0,3) , porque c = 3 Paso 3: Eje de Simetría= 𝑥 =

^−𝑏

2𝑎

=

⁻⁽⁻⁴⁾

2∗1

=

⁴

2

= 2 Paso 4: Vértice = (

^−𝑏

2𝑎

,

^{4𝑎𝑐−𝑏}²

4𝑎

) =

4∙1∙3−(−4)²

4∙1

=

¹²⁻¹⁶

4

=

⁻⁴

4

= −1

V(2,-1)

Paso 5: Soluciones o intercepto con el eje x: 𝑥 =

^{−𝑏±√𝑏}²^−4𝑎𝑐

2𝑎

a = 1 b= -4 c=3

𝑥 = −(−4) ± √(−4)

²

− 4 ∙ 1 ∙ 3 2 ∙ 1

𝑥 =

^{4±√16−12}

2

𝑥 = 4 ± √4 2 𝑥 = 4 ± 2

2 𝑥

₁

= 4 + 2

2 = 6

2 = 3 𝑥

₂

= 4 − 2

2 = 2

2 = 1

(6)

2) f(x)= 2x² – 2 a = 2 b= 0 c= -2 Paso 1: Concavidad es hacia arriba, porque a es positivo Paso 2: y = - 2 (intercepto eje y)

Paso 3: 𝑥 =^−𝑏_2𝑎= _2∙2⁰= 0 x = 0 (Eje de simetría) Paso 4: 𝑉 (^−𝑏_2𝑎,^{4𝑎𝑐−𝑏}_4𝑎 ²)=

4𝑎𝑐 − 𝑏²

4𝑎 =4 ∙ 2 ∙ −2 − 0²

4 ∙ 2 =−16 − 0

8 = −2

V(0,-2)

Paso 5: Soluciones 𝑥 =^−0±√0²^{−4∙2∙−2}

2∙2 =±^√16

4 =±⁴

4

X1= =⁴₄ = 1 X2= =−⁴

4 = -1

3) f(x)= - x² – 4 a = -1 b= 0 c= -4

Paso 1: Concavidad es hacia abajo, porque a es negativo.

Paso 2: y = - 4 (intercepto eje y)

Paso 3: 𝑥 =^−𝑏_2𝑎= _2∙−1⁰ = 0 x = 0 (Eje de simetría)

Paso 4: 𝑉 (^−𝑏_2𝑎,^{4𝑎𝑐−𝑏}²

4𝑎 )=

4𝑎𝑐 − 𝑏²

4𝑎 =4 ∙ −1 ∙ −4 − 0²

4 ∙ −1 =16 − 0

−4 = −4 V(0,-4)

Paso 5: Soluciones o corte eje x

𝑥 =^−0±√0²^{−4∙−1∙−4}

2∙−1 =±^√−16₋₂

X

1

=

^−√−16₂

X

2

=

^√−16₂

En este caso √−16 no es un n° real, por lo tanto sus soluciones no son reales y no corta al eje x.