LA MEDIA ARITMÉTICA

Es sin duda el parámetro central que se utilizo con mayor frecuencia, no sólo como representante del promedio de los valores de toda la población, sino también como elemento auxiliar en el cálculo de otros parámetros que veremos luego.

Seguramente tienes ya una idea sobre la media aritmética (aunque no sepas definirla con exactitud) y la has utilizado en más de una ocasión. ¿Cuántas veces has preguntado a tus profesores si para la nota final de curso hacen la "media" de las notas de las evaluaciones?

Ejemplo:

Supongamos un alumno que realiza un ejercicio de Ciencias Naturales compuesto de cinco preguntas y obtiene las siguientes puntuaciones:

¿Cual crees que debería ser la nota final del ejercicio?

Ya se te habrá ocurrido que la nota final podría obtenerse sumando las cinco puntuaciones obtenidas en las preguntas y dividiendo el resultado por cinco, es decir:

este valor, 5,2, recibe el nombre de nota media o simplemente media. Es un número que nos resume o sintetiza, en este caso, las cinco puntuaciones obtenidas por separado en las cinco preguntas.

Esta necesidad de resumir o condensar en un solo número un conjunto de ellos se hace más acuciante a medida que crece el número de elementos del conjunto. Por consiguiente, vamos a dar la definición de media aritmética de un conjunto de datos o valores.

DEFINICIÓN

Si tenemos un conjunto de N datos numéricos que representaremos por:

es decir, la medida aritmética de un conjunto de N valores numéricos es decir el cociente de divide la suma de todos los valores por el número de ellos

Si usamos el símbolo , introducido antenormente, podemos escribir la fórmula (1) abreviadamente

Si el número de valores considerados es grande y los hemos tabulado, como se indico en capítulos anteriores, mediante una tabla de frecuencias, entonces la media aritmética se calcula utilizando la formula:

+ Ejemplo:

Las notas de francés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:

Queremos hallar nota media de los alumnos de esta clase.

Procedemos, en primer lugar, a contra y tabular los datos, como ya sabemos:

A partir de dicha tabla, y aplicando la formula (2), tenemos:

Este numero, 4,6, nos da una idea de las notas de los 40 alumnos en conjunto, de forma mas intuitiva que las 40 calificaciones por separado;

además, resulta de gran utilidad cuando se han de realizar comparaciones entre diversos grupos o clases para extraer resultados de rendimientos.

Es conveniente que nos vayamos acostumbrando a pensar que en Estadística no interesan los datos de un individuo particular

(en este caso, la nota de fulanito), sino que interesa el conjunto de toda la población y la forma en que están distribuidos estos datos

Ejercicios

1) Realiza 30 tiradas con un dado y anota los resultados. Tabula los resultados obtenidos.

Calcula la media aritmética de los puntos obtenidos

2) Repite el mismo ejercicio anterior, pero en grupo (por ejemplo, haciéndolo por separado cada uno de los alumnos de la Clase).

Compara las medidas obtenidas por cada uno.

Deduce alguna consecuencia.

3) En tu clase toma como variable estadística x el número de asignaturas aprobadas por cada alumno en la última evaluación. Calcula la media aritmética Opina sobre el fracaso esco- lar.

4) Realiza una encuesta en la clase sobre el número de hermanos de cada uno de los alumnos. Calcula la media. Haz lo mismo con los padres de los alumnos de la clase. Compara los medios y saca consecuencias sobre la evolución de la natalidad

5) Consulta la sección de economía de un periódico cualquiera. Anota las cotizaciones del dólar durante una semana. Calcula la cotización media de la divisa norteamericana durante esa semana.

Veamos ahora cómo se calcula la media aritmética cuando los datos están agrupados en clases. Tomemos como ejemplo la extensión en Km² de las cincuenta provincias españolas (antes de constituirse las Autonomías):

Podemos agruparlas en clases tomando, por ejemplo, como longitud de clase 2.500 Km² Indicaremos la primera clase por [0, 2'5), la segunda por [2'5, 5), etc. La tabla de recuento y de frecuencias viene dada por:

Aquí nos encontramos con una pequeña dificultad: los X_i no son un número determinado, sino intervalos. En este caso, para calcular la media aritmética, sirve también la formula (2), siendo Xi la marca de clase y f1 la frecuencia de la clase correspondiente.

Las marcas de clase, coma ya sabes de páginas anteriores, son el punto medio del intervalo correspondiente, que se obtiene sumando los valores extremos y dividiendo por dos; así, pues, tenemos:

Entonces, la extensión media en Km² de las 50 provincias españolas es igual a 10.100 Km². Ejercicios

1) Calcula la extensión media de las provincias españolas partiendo directamente de los datos sin agrupar. Compara el resultado con el que acabamos de obtener.

2) Recoge las tallas de los alumnos de la clase.

Agruparlas en clases. Tabula los resultados.

Calcula la media.

3) Toma un periódico de hoy. En la sección que trata del tiempo encontraras las temperaturas máximas y mínimas de las capitales de provincia. Tabula los resultados agrupados en clases. Calcula la media de las temperaturas máximas y la media de las mínimas.

4) Repite el ejercicio anterior con las temperaturas de las principales capitales europeas.

Realiza el mismo ejercicio con las temperaturas de las principales capitales mundiales.

5) Busca los periódicos correspondientes a una semana determinada y anota las temperaturas máximas y mínimas relativas a la capital de la provincia o región. Calcula la media correspondiente a cada una de ellas.

3.5.1. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Habrás oído hablar sin duda de una posible

reforma de las Enseñanzas Medias y del segundo ciclo de EGB, cuyo ensayo esta ya funcionando. Aunque no se sabe aun exactamente, en que va a consistir, una de las novedades puede ser el que los alumnos aprueben el curso "globalmente" y no asignatura por asignatura.

Ejemplo:

Supongamos que en el primer curso del nuevo plan figuren las siguientes materias, con el número de horas semanales que se indican:

Lengua española……….……… 4 H Lengua extranjera……….……… 2 H Matemáticas... 4 H Ciencias Naturales... 3 H Geografía e Historia….……….. 3 H Educación física……..……… 2 H Tecnología……… 2 H Informática………. 2 H Etica (Religión)……… 1 H Música………. 1 H

Como no está totalmente previsto el modo de calificar, a la hora de poner la nota "global", se podría adoptar como criterio el cálculo de la media aritmética de todas las notas. Sin embargo, parece más razonable que las asignaturas no tengan todas la misma influencia en el resultado final (que no tengan el mismo peso); se decide, por tanto, que la importancia o influencia de cada asignatura en la nota global sea proporcional al número de horas semanales que se imparten de la misma.

Siguiendo en el terreno hipotético, supongamos que un alumno X ha obtenido las siguientes calificaciones:

Lengua española……….……… 5 Lengua extranjera……….……… 6 Matemáticas... 2 Ciencias Naturales... 3 Geografía e Historia….……….. 7 Educación física……..……… 6 Tecnología……… 4 Informática………. 8 Etica (Religión)……… 5 Música………. 2

¿Qué nota global corresponderá al alumno X?

Si para aprobar el curso es necesaria una nota global igual o superior a 4,5 ¿qué suerte correrá nuestro amigo X?

En este caso no podemos hacer la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las asignaturas, pues ello equivaldría a que todas tuvieran la misma importancia. Debemos introducir un factor que nos permita a cada calificación la importancia (el peso) que tienes según el número de hojas semanales correspondiente a la asignatura en cuestión para ello multiplicaremos la calificación obteniendo en las toda la asignaturas por el número de horas correspondiente ala misma, sumaremos estos productos y dividiremos por el número total de horas semanales: tendremos así que la nota global será:

la nota global del curso será, pues, 4,75 y como quiera que 4,75 > 4,5 nuestro amigo x habrá aprobado el curso completo.

Este valor x se llama media aritmética ponderada. Los valores por los que se multiplican los datos (en nuestro caso las notas), para darles una determinada importancia, se llaman pesos. Así, en nuestro ejemplo, la nota de Lengua española tiene

peso 4, la nota de Ciencias Naturales tiene peso 3, mientras que la nota de Música tiene peso 1.

En general, cuando se trata de calcular la media aritmética ponderada, partimos de un conjunto de datos agrupados XI con unas frecuencias FI y unos pesos PI, tal como se Indica en la tabla adjunta:

DEFINICIÓN

Para un conjunto de datos, con sus frecuencias y sus pesos expresados en la tabla anterior, se llama media aritmética ponderada al valor XP

dado por la formula siguiente:

La media aritmética ponderada se utiliza en multitud de ocasiones, un caso muy interesante es el cálculo del Índice de Precios al Consumo (IPC), del que hablaremos más adelante.

Ejercicios

1) Un profesor de Matemáticas realiza a lo largo del curso nueve ejercicios puntuables, tres cada trimestre. Para la calificación final de los alumnos hace la media aritmética ponderada con el siguiente criterio: los

segundos ejercicios de cada trimestre cuentan doble que los primeros, y los finales de cada trimestre valen triple que los primeros.

Dos alumnos X e Y obtienen las notas siguientes, en el orden que se indica:

X: 563; 745; 642 Y: 258; 045; 216

¿Qué nota final corresponderá a cada alumno?

¿Qué nota corresponderíaa cada alumno si el profesor hiciera la media aritmética?

2) Los rendimientos del cultivo de trigo en cuatro parcelas son los siguientes (expresados en Qm/Ha):

Calcular el rendimiento medio.

3.5.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

Una de las propiedades más importantes de la media aritmética es el hecho de que este parámetro tiene en cuenta todos los valores o datos de la población y que los cálculos necesarios para su elaboración son sencillos.

Sin embargo, presenta un inconveniente, a

.veces grave, que consiste en los efectos que sobre ella producen los valores extremos que, en muchas ocasiones, son los menos significativos por su rareza o excepcionalidad.

Este problema es uno de los que surgen al querer sintetizar en un solo número un conjunto de ellos.

A veces nos encontramos con dificultades que nos impiden el cálculo de la media aritmética.

Tal es el caso de datos agrupados en clases cuando existen las llamadas "clases abiertas".

Así, según el INE (Instituto Nacional de Estadística), la población española en 1981 constaba de 37.680.900 individuos, distribuidos del siguiente modo:

Si quisiéramos calcular la media nos encontraríamos con la dificultad de la última clase (mayores de 64 años).

Otras veces las dificultades para el cálculo de la media aritmética provienen de que los datos observados o estudiados no son numéricos o cuantitativos sino cualitativos.

Para resolver estos inconvenientes se utilizan los otros parámetros centrales que, en algunas ocasiones, son más representativos que la media aritmética. Así tenemos la moda y la mediana.