Los matemáticos tampoco somos de mucha ayuda, porque por un lado generalmente creemos que las matemáticas son un arte con una justificación primordialmente estética, y por otro lado no solemos involucrarnos en sus aplicaciones reales, que consideramos propiedad privada de los ingenieros La popularización de la red ha estado asociada al desarrollo de la empresa Google y su producto estrella, el motor de búsqueda conocido con el mismo nombre.
El modelo b´asico
Matemáticamente, formulamos el modelo diciendo que la importancia de cada página es la suma ponderada de las importancias de las páginas que hacen referencia a ella, donde ponderada significa que tenemos que dividir estas importancias por el número de enlaces salientes. El modelo refleja lo que sucedería si se navega siguiendo enlaces aleatorios (en Matemáticas se llama cadena de Markov), la importancia convenientemente normalizada será el porcentaje de visitas.
Limitaciones te´oricas y pr´acticas
De acuerdo con los libros de cálculo o un simple análisis cuidadoso, la aplicación de la eliminación gaussiana para N variables requiere el orden de 2N3/3 operaciones. Peor aún, para N del orden de unos pocos miles, la computadora comenzará a calcular y el programa terminará en un error fatal que excede sus capacidades.
Un algoritmo iterativo
Si tenemos en cuenta que hay 8109 páginas web (se dice que estas fueron las que vio Google en 2004, según sus propios informes ya se han triplicado) y trabajamos en casa en un ordenador, en condiciones ideales es capaz de 3109 operaciones por segundo (el sistema operativo y el compilador o intérprete ya se encargan de reducir este número), la solución tardará 1,14 en aparecer en 1020 segundos, lo que supone varios billones de años más que la edad estimada del universo. La palabra mágica suena a análisis, y el profesor de esta materia te dirá que si asumes que la sucesión converge a algo, digamos ~l= lím~xn, entonces en los límites obtendrás ~l= A~l, que es, algo es una solución.
Un modelo revisado
El método iterativo ~xn=A~xn−1 ahora converge suavemente a una solución de ~x = A~xe, que es el objetivo del nuevo modelo. Probando el programa en una computadora normal, tomó 70 segundos realizar 80 iteraciones para llegar a una aproximación de un millón de coordenadas del vector de significado.
Bibliograf´ıa
El resultado es un gráfico como el de la fiebre de los enfermos (al menos en los dibujos animados). Algoritmo de Gram-Schmidt y cálculo de la aplicación de la proyección ortogonal sobre un subespacio.
Une los puntos 15
Interpolaci´on de Lagrange
Para ver el resultado gráficamente, creamos (¿o es?) el siguiente applet en Java1 que realiza la interpolación lagrangiana de algunos puntos que podemos mover con el ratón. Una alternativa es agrupar los puntos de interpolación en pequeños grupos, digamos tres de tres o cuatro de cuatro, y usar cada uno.
Splines c´ubicos
Después de eso podemos construir a partir de Di los polinomios Si(t) que reemplazan en (2.9) y en la definición (2.2). La siguiente función dibuja con suficiente precisión la curva σ(t) obtenida al interpolar los puntos Pi con coordenadas en las listas x e y.
Un ejemplo en m´as dimensiones
La diferencia entre las opciones de interpolación lineal y cúbica que admite visualmente GIMP no es tan diferente en muchos ejemplos, pero como regla general, la última da mejores resultados. Por ejemplo, si extendemos parte del límite en el ejemplo anterior, con interpolación lineal hay algunos picos extraños que se suavizan convenientemente con cubic.
Bibliograf´ıa
Escribamos f(~x) =H~x, donde H ∈ M(n−k)×n(F2), esta matriz de mapeo lineal se llama matriz de paridad de código. Las columnas A son imágenes de los vectores de base canónica. En todo caso, en esta base de datos estará la matriz At de la solicitud adjunta.
No unas los puntos 27
Curvas de B´ezier generales
En el segundo gráfico, proponemos una situación que lógicamente debería dar oscilaciones: con la mitad de los puntos a una altura y la otra mitad a otra. Los puntos extremos tiran de la curva, dando como resultado dos pendientes muy pronunciadas, mientras que el resto de los puntos parecen no tener efecto. Como hemos visto, teórica y prácticamente, el problema aquí es el contrario al de la interpolación de Lagrange: no hay mucha sensibilidad al movimiento de puntos que no están cerca unos de otros, puntos extremos, y para una gran cantidad de nodos es Es difícil ajustar la curva de forma intuitiva y cómoda de esta forma.
B-splines c´ubicos
Por lo tanto, el primer caso donde existirá una función distinta de cero es r = 4 y considerando que la suma de los valores en los nodos debe ser 1, la solución es única. La relación con φ(t) se convierte en φ(t) = S(nt), por lo que cualquier traslación φ(t−tj) = S(n(t−tj)) es una función que se puede extender dos nodos a la derecha y izquierda de tj con el perfil indicado. Para que el programa java que utilizamos para la interpolación de las curvas de Lagrange y de Bezier nos permita visualizar interactivamente las curvas asociadas a las splines cúbicas B, basta con sustituir el bucle por (doble t=0.0; ..) en paint through.
Las curvas de Bezier en la pr´actica
El método que usaremos para seleccionar los puntos de control intenta mantener la regularidad de la curva. Si tenemos tres puntos de interpolación consecutivos, Pi−1, Pi y Pi+1, buscaremos puntos de control a la derecha e izquierda de Pi en la recta r, que es paralela a él. La alineación de los puntos de control garantizará que las líneas tangentes en Pi a la derecha y a la izquierda coincidan con r, por lo que la curva será C1.
Bibliograf´ıa
El resto del programa inicializa el SDL y carga la imagen. Usando la reducción de Gauss-Jordan en la columna de la derecha, leeremos la solución del sistema si es única. La matriz C para el cambio de base de B a la canónica es la que tiene estos vectores como columnas, y se cumple.
Comprobar, corregir y mezclar 41
C´odigos de todos los d´ıas
A nuestra cuenta corriente se le asigna un número de 20 dígitos que se utiliza en cualquier transacción, este es el Código de Cuenta de Cliente (CCC). Cuántas veces nos preguntan si estamos seguros, y los números de cheque son una forma de hacer remota esa posibilidad. Según el banco, la sucursal y el número de cuenta, cada dígito de control es un número del 0 al 10 inclusive.
Reordenar con matrices
Aquí vamos a presentar y aplicar una variante bidimensional de este proceso con fines académicos para crear un efecto de rociado en una imagen. Lo único molesto es que el programa depende de la biblioteca de gráficos favorita de alguien. Después de la instalación, se compila la biblioteca SDL. gcc spray.c -o spray 'sdl-config --cflags --libs' -lm. tenga en cuenta que las comillas son comillas adecuadas, como acentos graves).
Ocultar informaci´on
Los mapas lineales son una buena herramienta para este propósito, ya que es posible encontrar su inversa algorítmicamente. Si el ejecutable es text2hex, escriba ./text2hex text.txt para que se ejecute en el archivo text.txt. Lo que hace es aplicar la matriz A a la traducción hexadecimal de cada conjunto de 4 códigos ASCII.
Bibliograf´ıa
Se incluye un algoritmo para calcular la matriz inversa utilizando la reducción de Gauss-Jordan. Se incluye la fórmula de Grassmann y se analiza cómo calcular la suma y la intersección de subespacios. Se incluye un teorema de diagonalización con aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes.
Ecuaciones lineales y su resoluci´on
Así, en el ejemplo anterior, la tercera ecuación de la forma escala implica z = 1, sustituyendo en la segunda tenemos y = 0 y estos resultados en la primera dan x=−1. Es el elemento neutro de la multiplicación en Mn×n(K), por lo que A = IA = AI para todo A∈ Mn×n(K). Con esto, se puede concluir que calcular la inversa es equivalente a aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a (A|I).
Espacios vectoriales
Dado un subconjunto finito de C de Knse, hCi se puede escribir "con ecuaciones", es decir, como {~x ∈ Kn : A~x = ~0} al eliminar los parámetros de la reducción gaussiana a una combinación lineal genérica de elementos de C. 0}, la solución de esta ecuación llegará a una solución en términos de los parámetros (o simplemente la solución~0 que crea el subespacio trivial) que puede escribirse como una combinación lineal de ciertos vectores de Kn. De esto concluimos que f es una función lineal inyectiva, pero no sobreyectiva, en particular no tiene inversa.
Bases y dimensi´on
En el espacio Kn[t] formado por polinomios de grado menor o igual a n en la variable t, existe una denominada base canónica {1, t,. Con esto podemos asignar al mapa lineal una matriz entre espacios que no necesariamente son Kn, siempre que tengamos bases fijas. En el ejemplo anterior, de Nuc(f) ={0}, tenemos con esta fórmula dim Im(f) = 3 sin tener que buscar la imagen, porque dimR2[x] = 3, que al incluir Im(f)⊂ R2[ x] implica Im(f) =R2[x] (ya que los elementos base de Im(f) serán tres vectores linealmente independientes en R2[x] y, por lo tanto, deben generar este espacio).
Operaciones con espacios vectoriales
Rango y cambio de base
Tenga en cuenta que para cualquier mapa lineal f : Kn −→ Km (y cualquier cosa entre espacios vectoriales de dimensión finita podría reducirse a este caso), los cálculos de reducción gaussiana del kernel del buscador se pueden usar para encontrar una base de imagen. Cambio de base para matrices de aplicaciones lineales Si en V (espacio vectorial de dimensión finita) se fija una base B, entonces cada aplicación lineal f : V −→ V tiene asociada una matriz cuadrada A. Si llamamos a ~v1 y~ v2 después de los vectores de B0, una forma alternativa de proceder es calcular f(~v1) y f(~v2) expresándolas como una combinación lineal de ~v1 y ~v2.
Determinantes y sus aplicaciones
Los determinantes de la regla de Cramer están asociados con la resolución de sistemas de n × n ecuaciones lineales. La relación entre la solución del sistema y los determinantes es clara sabiendo que frente a los tres procesos de reducción gaussiana, un determinante. La relación de reducción gaussiana también sirve para probar que las columnas de una matriz cuadrada A son linealmente independientes si y sólo si |A| 6= 0 y esta última condición es equivalente a A es reversible.
Diagonalizaci´on de aplicaciones lineales
Un mapa lineal es diagonalizable si y solo si existe una base formada por los vectores propios (y esta es una base B válida en la definición anterior). En el caso diagonalizable, la fórmula de cambio de base relaciona la matriz original con la matriz diagonal a través de las coordenadas de los vectores base que estamos diagonalizando. El orden relativo en el que se enumeran los valores propios y los vectores propios es importante, por lo que el primer elemento de la matriz diagonal, d11 = 9, es un valor propio correspondiente al vector propio indicado por la primera columna en la matriz de cambio de base.
Espacios vectoriales eucl´ıdeos
Con un producto escalar puedes definir distancias y ángulos (que pueden no coincidir con los medidos con el producto escalar habitual): d(~x, ~y) = k~x−~yk, cosα=~x ~ y/ (k ~xkk~yk). En este curso, K = R y una forma bilineal será simplemente una función que satisface la tercera propiedad del producto escalar. Con estas definiciones, tenemos que un producto escalar es una forma bilineal simétrica y definida positiva.
Vectores y proyecciones ortogonales
Proyección ortogonal Dado un subespacio W de un espacio vectorial euclidiano V, definimos el complemento ortogonal de W (en V) como el subespacio. Por otro lado, la forma general de proceder sería extraer primero una base ortogonal para W. Con esta nueva base, se puede aplicar la fórmula de proyección ortogonal PrW(~v) = 1.
Aplicaciones ortogonales y aplicaciones autoadjuntas
Dada una aplicación lineal f : V −→ V con V un espacio vectorial euclidiano, f0 : V −→ V se considera una aplicación asociada si. Esto quiere decir que dada una función f :V −→V cuya matriz en base ortonormal es A, entonces f es ortogonal si y solo si AtA = I (la matriz es ortogonal) y es autoadjunta si y solo si A = En (la matriz es simétrica). El teorema espectral garantiza que, dada la aplicación autoadjunta f : V −→ V, existe una base ortonormal V formada por los vectores propios de f.
Diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas
SiA con |A| 6= 0 es la matriz de una forma cuadrática Q, por el teorema espectral Diagonaliza sobre la base ortonormal. El criterio de Sylvester es un criterio simple y eficiente en dimensiones bajas para determinar si una forma cuadrática es definida positiva. Claramente, Q es definido negativo si y sólo si -Q es definido positivo, y el criterio se extiende de manera obvia.
