M´ etodo de la parametrizaci´ on para variedades locales inestables

M´ etodo de Parametrizaci´ on para Variedades Invariantes en DDEs

18 de Marzo de 2021

Preliminares

Preliminares

Una ecuaci´on diferencial aut´onoma con retardo discreto est´a dada por la ecuaci´on diferencial funcional

˙

u(t) =F(u_t) (1)

donde

F :C_n,τ →Rⁿ,

τ >0 el mayor de los retardos, ut(θ) =u(t+θ) para θ∈[−τ,0].

Una reformulaci´on de (1) sobre el espacio de Banach

BC_n,τ ={ψ=ϕ+X₀ξ:ϕ∈ C_n,τ, ξ ∈Rⁿ} 'Rⁿ× C_n,τ X0(θ) =

Id_n, θ = 0 0, θ∈[−τ,0).

||ψ||_BCn,τ =||ϕ||_∞+|ξ|

permite un estudio similar a la teor´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias (ver [S. Guo et al., 2013] y [J. K. Hale et al., 1993]).

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Preliminares

Ejemplos

Ecuaci´on de Wright

x⁰(t) =−βx(t−1)[1 +x(t)], β >0 Ecuaci´on c´ubica de Ikeda

x⁰(t) =β x(t−1)−x³(t−1)

, β >0 Sistema artificial de dos neuronas

x(t˙ ) =−x(t) +btanh(x(t−τ)) +a₁₂tanh(y(t−τ₁)),

˙

y(t) =−y(t) +btanh(y(t−τ)) +a₂₁tanh(x(t−τ₂)), Ecuaci´on-perturbada de Wright dependiente del estado

x⁰(t) =−βx(t−1 +x(t))−βx(t)x(t−1), β >0

Preliminares

Ejemplos

Ecuaci´on de Wright

F(ξ, ϕ) =−βϕ(−1)(1 +ξ) Ecuaci´on c´ubica de Ikeda

F(ξ, ϕ) =β ϕ(−1)−ϕ³(−1) Sistema artificial de dos neuronas

F(ξ, ϕ) =

−ξ₁+btanh(ϕ₁(−τ)) +a₁₂tanh(ϕ₂(−τ₁))

−ξ₂+btanh(ϕ₂(−τ)) +a₂₁tanh(ϕ₁(−τ₂))

Ecuaci´on-perturbada de Wright dependiente del estado F(ξ, ϕ) =−βϕ(−1 +ξ)−βξϕ(−1)

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Preliminares

Es posible reescribir (1) como una ecuaci´on diferencial ordinaria sobre BC^cl_1,τ ={ϕ+X₀ξ∈ BC_1,τ :ϕ(0) =ξ}

de la forma

d

dtU =F(U) donde U = (ξ, ϕ),F(ξ, ϕ) =

F(ξ, ϕ)

d dθϕ

con ξ=u(t) y ϕ=Ut. (ver [J. D. Mireles James et al, 2017])

Los eigenvalores de la linealizaci´on de (1) forman un conjunto infinito numerable cuya distribucion se refleja en el hecho de que dado cualquier realρ, hay un n´umero finito de eigenvaloresλtales que<(λ)≥ρ.

Preliminares

Figura:Distribuci´on de los eigenvalores de la ecuaci´on de Wright.

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M´etodo de la parametrizaci´on

M´ etodo de la parametrizaci´ on para variedades locales inestables

Sea u⁰ un equilibrio hiperb´olico de (1) con flujoφ. Consideremos λ₁, . . . , λ_m eigenvalores inestables deDF u⁰

de multiplicidad 1 con ξ₁, . . . , ξ_m sus eigenvectores asociados yB^m la bola abierta unitaria enR^m (o en su caso C^m)

Mapeo conjugante

Decimos que un mapeo suave P :B^m→ BC^cl_1,τ es un mapeo conjugante para W_loc^u (u⁰) si

P(0) =u⁰, ∂

∂σj

P(0) =ξ_j, j ∈ {1, . . . ,m} (2) y φ(P(σ1, . . . , σm),t) =P(e^λ1tσ1, . . . ,e^λmtσm)

para todo σ= (σ1, . . . , σm)^T ∈B yt ≥0 que satisfaga e^λ1tσ₁, . . . ,e^λmtσ_mT

∈B^m

M´etodo de la parametrizaci´on

Figura:El mapeoP conjuga la din´amica de la variedad inestable del flujo lineal generado por los eigenvalores inestables (imagen tomada de

[J. D. Mireles James et al, 2017])

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M´etodo de la parametrizaci´on

La imagen de P es una variedad local inestable

Si P es un mapeo conjugante, entonces la imagen de P es una variedad local inestable del equilibriou⁰.

Ecuaci´on de invarianza

Supongamos que P :B^m→ BC^cl_1,τ satisface la condici´on (2) y F(P(σ)) =

m

X

j=1

λ_jσ_j ∂

∂σ_jP(σ) (3)

para todaσ ∈B^m, entoncesP es un mapeo conjugante.

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Notaci´on Si

Λ =diag(λ₁, . . . , λ_m) entonces la ecuaci´on de invarianza (3) es equivalente a

F(P(σ)) =DP(σ)Λσ. (4)

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M´etodo de la parametrizaci´on

¿ Qu´ e pasos sigo para calcular la variedad inestable local del equilibrio U

?

Debemos conocer λ1, . . . , λm eigenvalores inestables deDF U⁰ de multiplicidad 1.

En consecuencia se deben conocer los eigenvectores asociados, que son de la forma ξ₁, ξ₁e^λ1•T

, . . . , ξ_m, ξ_me^λm•T

∈ BC^cl_1,τ.

Se asume P anal´ıtica y entonces desarroll´andola en serie de potencias P(σ) =

∞

X

|γ|=0

P_γσ^γ, P_γ ∈ BC^cl_1,τ

donde P = (p,P)^T ∈ BC^cl_1,τ, conγ = (γ1, . . . , γm)∈N^m,

|γ|=γ1+· · ·+γm.

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Se puede ver tambi´en que

P_γ= (pγ,Pγ)^T El significado deDPΛσ, usando (3) corresponde a

DP(σ)Λσ=

∞

X

|γ|=0

(λ·γ)σ^γP_γ De acuedo a la ecuaci´on de invarianza (4)

F(p(σ),P(σ)) d

dsP(σ)

!

=

Dp(σ)Λσ DP(σ)Λσ

(5)

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De la segunda componente se deduce que para cada γ d

dsP_γ(s) = (λ·γ)P_γ(s) cuya soluci´on es

P_γ(s) =P_γ(0)e^(λ·γ)s Usando el hecho que buscamos P enBC^cl_1,τ

P_γ(s) =p_γe^(λ·γ)s

Por lo que resolver la ecuaci´on de invarianza (5) es equivalente a hallar todos los coefficientespγ∈Ctales que

F





∞

X

|γ|=0

pγσ^γ,

∞

X

|γ|=0

pγe^(λ·γ)•σ^γ



=

∞

X

|γ|=0

(λ·γ)pγσ^γ (6)

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Ejemplo: variedad inestable 2-dimensional para la ecuaci´ on de Wright

x⁰(t) =−βx_t(−1)[1 +xt(0)]

Consideremos el equilibrio u⁰ = 0. Los eigenvalores satisfacen λ+βe^−λ = 0

Para ^π₂ < β < ^5π₂ el equilibrio posee exactamente dos eigenvalores inestables (complejos conjugados) λ= (λ−, λ₊). Notemos que

F





∞

X

|γ|=0

pγσ^γ,

∞

X

|γ|=0

pγe^(λ·γ)•σ^γ



=−β

∞

X

|γ|=0



pγe^−λ·γ+ X

γ⁽¹⁾+γ⁽²⁾=γ

p_γ(1)p_γ(2)e^−λ·γ(2)





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M´etodo de la parametrizaci´on

Ejemplo: variedad inestable 2-dimensional para la ecuaci´ on de Wright

Usando las condiciones tangenciales

p00= 0, p10=p01=ξ0

donde de momento ξ₀ ∈Res arbitrario podremos calcular

pγ =− β

(λ·γ) +βe^−(λ·γ)

X

γ⁽¹⁾+γ⁽²⁾=γ 0<|γ⁽ⁱ⁾|<|γ|

p_γ(1)p_γ(2)e^−λ·γ(2)

para γ ∈N²

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α= 2.2 con ξ0= 1.05 λ−= 0.24151−1.71102i yλ+= 0.24151 + 1.71102i

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M´etodo de la parametrizaci´on

Variedades inestables

Hay un n´umero finito de eigenvalores inestables y por lo tanto la condici´on de no resonancia se verifica en un n´umero finito de casos.

Variedades estables lentas

Podr´ıamos intentar obtener la variedad estable lenta generada por el par de eigenvalores estables m´as cercano al eje imaginario.

El problema es comprobar la condici´on de no resonancia sobre el conjunto de todos los eigenvalores estables (que es inifnito numerable.)

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Ecuaci´ on de Wright

β = 0.22

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M´etodo de la parametrizaci´on

Ecuaci´ on de Wright

β= 0.5

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Ecuaci´ on c´ ubica de Ikeda

β = 1.29

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M´etodo de la parametrizaci´on

Groothedde, C. and Mireles James, J. D. (2017)

Parametrization Method for Unstable Manifolds of Delay Differential Equations Journal of Computational Dynamics, vol. 1, pp. 21-70.

Guo, S. and Wu, J. (2013)Bifurcation Theory of Functional Differential Equations Applied Mathematical Sciences, Vol. 184, Springer, 1st ed., New York.

Hale, J. K., and Verduyn Lunel, S. M., (1993) Introduction to Functional Differential Equations

Applied Mathematics Sciences, Vol 99, Springer-Verlag, 1st ed., New York.

Haro ,`A., Canadell, M., Figueras, J., Luque A. and Mondelo J. (2016)

The Parametrization Method for Invariant Manifolds. From Rigorous Results to Effective Computations,

Applied Mathematical Sciences, Vol. 195, Springer, 1st ed.

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The End

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