Análisis del texto de Gabriela sobre Conjuntos.

Cuando escribieran estos textos las dos alumnas cursan el 8º grado y ya tienen 3 años de experiencia escribiendo REv sobre temas de matemática. Los primeros textos de REv tenían 1 o 2 páginas, estos últimos tienen de 6 a 8, lo que muestra no solo la experiencia de escribir, mas también el hecho de practicar un estilo comunicativo con relación a la tarea como parte del quehacer-aprender matemáticas.

Hasta este inicio del cuarto año de estudios, losd almnos conocian números pero en una perspectiva conceptual no sistémica, los conjuntos numericos eran conocidos aisladamente, un ejemplo es lo conjunto de los numeros naturales, las propiedades que podrian ser conocidas y/o estudiadas era limitada, no era posible poner en ralación con lo conjunto de los interos o racionales por ejemplo. El objetivo didácticomatemáticos del tratamiento aquí es porponer la oprtunidad de mirar hacia atrás, haciebndo una refelxión sobre todos los tipos de números que se conoce e poner en relación los conjunto numéricos para identifiucar más características, propiedades y relaciones. Se procura reconocer aspectos que se relacionan con la reflexión sobre la estructura numérica/algebraica. Se propone integrar lo que distingue un conjunto de otro, sus significados, así como los significados relacionados con las operaciones. Lo esperado después del estudio es romper con las concepciones supuestamente fragmentadas y intentar darles unidad, posibilitando mirar conjuntos numéricos como objetos matemáticos, objetos que son formados por otros objetos (subconjuntos, números) . Tratase de una abordage internalista de la matemática sin preocupación en llegar a hacer una mirada axiomática.

En el texto de Gabriela sobre los conjuntos numéricos no hace referencia a contextos extra matemáticos, queda implícito que está hablando de matemáticas duras y relaciones abstractas entre objeto matemáticos. Su texto tiene preocupación comunicativa que se puede mirar con el uso de elementos propios del universo editorial, como la utilización de cajas, colores, globos onomatopéyico, claves y dibujos.

Aunque aparezcan verbos en la 3ª persona del plural (empezamos, miramos, citamos, estudiamos, discutimos) la mayor parte de las 6 páginas adoptan estilo impersonal, como en los libros de matemática superior. Se habla de objetos matemáticos no de fenómenos situación que involucra interacciones. Las marcas internacionales son raras e solo se percibe en lo uso de los verbos arriba citados o en una cita luego en inicio

“nosotros formulamos proposiciones a respecto de los números naturales”, y sigue una lista de propiedades que según la autora del texto son de autoría del grupo ella misma y sus colegas.

Los problemas son de otra orden, se utiliza para simular un diálogo con el lector “¿Lo que son subconjuntos de N?”, “Cual conjunto tiene más elementos, P (pares) o N (naturales)?, “¿Cómo saber “construir” un número irracional?”, “¿Cómo construir fracciones en la recta ?”, “¿Cómo encontrar el número ?”, “que conjunto numérico contiene la recta R?”. Son “problemas” retóricos con intención de servir de escalera para un hecho, una definición o una propiedad a ser enunciados. Pódese decir que el estilo adoptado es muy diferente de las REv anteriores, tiene intención de mostrar dominio de saber adquirido.

En cuanto a los contenidos la REv es bastante rica, los conceptos y relaciones son encadenados en una jerarquía propia de la encontrada en los libros de matemática superior. Sigue una secuencia de términos que son utilizados y discutidos:

conjunto de números naturales es numerable

números enterospositivos semirrecta

N es infinito, semirrecta N

.. tiene subconjuntos (pares, impares, primos, ..) el conjunto es denso

.. es cerrado en relación a la adición y la multiplicación equipotencia construible

Utiliza cajas para hablar sobre la simbología y las notaciones matemáticas nuevas, la primera sobre los separadores (paréntesis, corchetes, llaves) y sus usos. La segunda es para presentar los símbolos de la teoría de los conjuntos, símbolos de pertinencia, inclusión, implicación, cuantificadores universal y existencial.

Gabriela discurre sobre otros conjuntos sus propiedades y las relaciones entre ellos, relaciones de inclusión. Allá de na enunciaciones del tipo “Z es numerable”, ejercita la prueba de que el conjunto Q de los racionales es numerable, para tanto utiliza representación matricial que posibilita un conteo controlado. El dominio de algunos proceso de prueba sigue con la explicación de porqué Q es denso en la recta, calculando la media aritmética de dos fracciones particulares y mostrando por equivalencia que la media está entre la dos fracciones iniciales.En este universo en que los elementos son números y emergen ideas como infinito o densidad, la generalización queda supuesta. Aquí se percibe una clara intención de negociar con el lector el lenguaje que va a usar a partir de esta primera página. Gabriela escribe en lenguaje matemática formal lo que muestra su evolución en el ámbito del dominio de un aspecto de las matemáticas poco explorado en la enseñanza tradicional centrada solamente en hechos y técnicas. Pero en inicio de su REv se puede inferir la negociación de significado con el lector:

“Como se escribe, por ejemplo “¿Todo natural (N), tiene un sucesor”

La negociación de significados aparece en otras partes cuando utiliza metáfora y lenguaje coloquial para proveer de sentido algunas ideas, como cuando usa el término “pequeños agujeritos” para construir la idea de densidad en la recta. Gabriela utiliza un caja para tratar de la idea de numerabilidad de N “La idea de numerable, es decir, que si alguien puédase escribir o hablar eternamente los elementos de un conjunto sería posible “barrer” todos los números”. Aunque, a diferencia de otras REv que escribió en años anteriores en que se pude identificar las interacciones ocurridas en aula, aquí ellas no aparecen, pero si, se puede decir que la interacción es de la autora con el lector. Los procedimientos que aparecen en el texto son los que utiliza para hacer pruebas, como por ejemplo construcciones geométricas para construir números racionales expreso como fracción o la construcción de un cuadrado con su diagonal proyectada en la recta para ilustrar a construcción de .

En lo que toca al uso de representaciones se percibe un uso adecuado, con variedad. Se observa la utilización de simbología y notaciones con sentido, explicitando sus significado, utilización. Utilización de representación en la recta, diagramas de Venn (para explicar relaciones de inclusión), representación matricial para muestra na numerabilidad, construcciones para mostrar constructibilidad y elemento semiótico, propio de los medios editoriales como el uso de sectas, cajas, colores y globos.

Los procesos argumentativos son nítidos y de nivel comparable a lo utilizado por alumnos de bachillerato o de los primeros años de cursos superiores. Son allá de persuasivas, tiene formalidad y rigor. Gabriela muestra sus habilidades en este proceso en varias partes de su texto, probablemente para mostrar dominio:

Ante todo identificamos el desarrollo del contenido matemático, basado en el análisis del discurso para cada texto de cada estudiante a partir de cada uno de los textos. En dicho cuadro que utilizamos para hacer las análisis (ver anexos) se ilustra el contexto supuesto y subjetivo delas protagonistas; el texto subdividido en tres partes (relato, intercalaciones y explicaciones metodológicas); nombramientos (tipos de elementos, participantes, papel de los mismos); y atribución (tipos y acciones). Se mira también las competencias sintácticas, metalingüísticas, ver como usan la representación y se hay, los elementos semióticos. Se analizan las relaciones conceptuales en relación a conceptos, procedimientos, procesos y contextos. Se analiza los problemas que generan ideas, construcción de conceptos u nuevos problemas. se observa que

• Muestra que el conjunto de los naturales es equipotente al conjunto de los números pares positivos, usando una correspondencia 1-1, basada en la función linear x 2x

• Muestra por recursos no formales que Z es numerable

• Utiliza el concepto de media aritmética y fracciones equivalente para mostrar que entre una fración y otra representada en una recta, hay siempre al menos otra entre ellas, para sugerir que Q es denso en la recta

• Usa representación matricial para convencer que Q es numerable

• Hace operaciones con radicales para mostrar, por el contrario-ejemplo que los irracionales no son cerrados sea en relación a la adición o a multiplicación

( y

• Utiliza recursos de construcción con regla y compas y propiedades de triángulos semejantes para probar que cualquiera fracción puede ser construida.

• Utiliza recursos de construcción con regla y compas y el hecho de que la diagonal del cuadrado (Pitágoras implícito) para mostrar que es construible., por extensión muestra que se pude construir varios números irracionales 2 ; 1 + ; - ; 1 + (- , etc.

En el final de esta REv, la alumna escribe un P.S. (post scriptum) diciendo que hasta la hora que estaba escribiendo la REv, cuando fue hacer la corrección, ha descubierto nuevos números que no son reales , ... Es oportuno recordar que la producción de esta REV tuve dos momentos distintos. Los alumnos escribirán dos REv, una en aula, que quedo con el maestro y otra en casa sin limitaciones de tiempo en que los alumnos podrían hacer consulta a sus anotaciones y libros. En la tercera página de la REv que Gabriela escribió en aula, hay la siguiente frase “El conjunto R de los reales involucra todos los números del conjunto Q e Ir, o sea, todos los números excepto

”. Si puede suponer que esta creencia cambió e durante o después de la escrita de la REv con tiempo para reflexionar y hacer revisión.

Este es un indicio que sugerimos en Lopes (2000) que la REv propicia oportunidad de reflexionar sobre las matemáticas, los conceptos, relaciones, etc. desde una mirada fuera de la situación en una perspectiva metacognitiva que, en este caso posibilito ir más allá de lo que fue enseñado y/o aprendido. El compromiso de los alumnos con el contenido va más allá de lo que tradicionalmente es esperado por los maestros, el compromiso es con su propio proceso de desarrollo, su curiosidad y su espirito investigativo.

La REv de Gabriela muestra que alcanzó madurez en relación a muchos objetivos didácticos de naturaleza matemática. Es un texto cohesionado, con intención didáctica que busca mostrar al lector dominio del léxico especifico, uso de lenguaje matemática con indicios de formalismo, capacidad de hacer definiciones con intención de claridad, explicitación de relaciones conceptuales y procedimentales, variedad de representaciones procesos de argumentación refinados.