Para poder sacar conclusiones respecto a la potencialidad cognitiva del ambiente ha sido clave el uso del análisis epistémico mediante las herramientas del enfoque ontosemiótico. Pero ha .sido útil el uso de las nociones derivadas del enfoque de Scott y Mortimer sobre el análisis de las interacciones.
Los instrumentos metodológicos han sido útiles para llevar a cabo de forma precisa la planificación, implementación y evaluación del potencial matemática de las tareas. Los análisis textual y conceptual en la línea de Lemke y Bahtin ha resultado ser una herramienta útil para organizar una parte del análisis de los datos, y además ha contribuido a preparar el procedimiento para detectar el potencial cognitivo y complementar el análisis de lo normativo para identificar la construcción de significados.
En resumen, estos instrumentos son novedosos en relación con la literatura existente porque proporcionan herramientas concretas para potenciar las relaciones entre enseñanza y aprendizaje. Por un lado, dan facilidades para llevar a cabo el proceso de enseñanza de forma eficaz y productiva, y por otro, ayudan a mostrar con detalle características del aprendizaje matemático.
Conclusiones relativas al potencial cognitivo
El estudio permitió desvelar algunas variables o elementos que otorgan legitimidad al “que-hacer” matemático de los alumnos en vías a negociar significados matemáticosen la CPEIL Aunque no era el principal objetivo de esta investigación, gracias a la minuciosidad que ha permitido el instrumento durante el análisis, se han podido inferir varios resultados sobre las características de distintos factores que determinan una discusión en gran grupo.
Nos propusimos en este trabajo desvelar algunas variables o elementos que otorgan legitimidad al “que-hacer” matemático de los alumnos en vías a negociar significados matemáticos. Para esto consideramos importante sacar a luz algunos elementos del AIL que no fueran profundizados en el cuerpo de la tesis y que en trabajos futuros podrá ser más discutido.El Ambiente de Inspiración Lakatosiana AIL presupone una interpretación distinta y singular de la reinvención guiada de Freudenthal, con un condimento que agrega el sabor del falibilismo de Lakatos. En este ambiente, matematizar es un ejercicio de poner cosas en relación para generar nexos, con la realidad por medio de situaciones problemas, o de creación de proposiciones que hablen de lo que se está mirando.
La epistemología falibilista presente en el AIL, en el sentido de que verdades provisorias (proposiciones, aunque errores, despistes, etc.) tienen un estatus de legitimidad en el colectivo e quedan expuestas a la discusión pública para un juzgamiento hasta llegar a un consenso público o es abandonada cuando se exhibe un
argumento convincente o un contraejemplo. En este ambiente el maestro ejerce varios papeles y da cuenta muchos objetivos, en especial lo de enseñar a mejorar la cognición de los alumnos.En el AIL, las matemáticas son un contexto más, no se trata la realidad externa como un mundo y los objetos y problemas de las matemáticas como otro mundo.Esto explica lo mismo placer que se observa en los textos de REv de los alumnos sea se trabajan con juegos (pentominos o tangram), se hacen un proyecto de construcción de una piscina o se investigan una ley general de los números hexagonales. Lo social en el AIL pretende ser crítico, el provisorio del conocimiento que consigue acordar con los alumnos (sin necesariamente tener que explicitar esto) contribuye para desarrollar un pensamiento flexible en los alumnos, en su lucha con los problemas, situaciones y proyectos. E esto lleva a un reconocimiento de objetivos y valores sociales, como pensar y respetar el habla del colega, reflexionar y no aceptar pasivamente, fundamentar y no imponer.Estamos seguros que los 70 alumnos, cuya producciones escritas que fueran objeto de esto estudio, aprendieran algo muy especial, como es mirar con sentido, y esto es un atributo importante cuando se persigue la aprendizaje con autonomía.
La presencia de Freudenthal en los fundamentos de la AIL aunque no tenga sido citada en los capítulos anteriores siempre estuve presente dentro de la visión epistémico- didáctica de este estudio, como está presente en las bases de la EOS, Godino (2011) y en las reflexiones epistemológicas de Camino Cañon (2006). Se trata de una Matemática irreverente en el sentido de no prestar reverencia, o sea, no necesitar de permiso para pensar, problematizar y poner cosas en relación.
6.2. Sobre los resultados.
Mostramos en el capítulo 4 varios episodios de construcción colectiva del conocimiento y utilizamos herramientas metodológicas variadas para reconocer la autenticidad de aquella producción. La metodología utilizada en el capítulo 5 cuando analizamos las escritas de dos alumnas en un período largo de 4 años, utilizamos otro instrumento, diseñados y experimentados por el autor, de modo a prospectar en los textos, como en una actividad arqueológica como conocen o comprenden, intentando categorizar: las definiciones (como comprenden una definición, que sentido la atribuyen, como definen); las representaciones (como la usan, que tipos de representaciones usan, o aprecian, la coherencia entre representación e concepto/procedimiento, el valor comunicativo); las relaciones conceptuales (el nivel de complejidad, las conexiones, el uso, la generalización); las conexiones (intramatemáticas; extramatemáticas); los contextos), los aspectos comunicativos, los internacionales, etc. Con esto fue posible reconocer progreso cognitivo, madurez, cultura construida.
Para la consecución del segundo objetivo, consistente en detectar el potencial cognitivo y hallar evidencias de su aprovechamiento, se mostró que las herramientas de idoneidad del enfoque ontosemiótico fue un bueno instrumento, para tratar los datos y mostrar
que, a pesar de formas individuales de producción, hay muchos elementos comunes en los textos observados.El papel que ha tenido este instrumento de análisis ha sido decisivo, porque nos ha permitido encontrar otros resultados acerca de las características de algunos de los elementos involucrados en el análisis, que además contribuyen a comprender mejor las relaciones entre enseñanza y aprendizaje. Podemos concluir que, en general, la metodología de este estudio ha contribuido a la organización y la validez de sus razonamientos.
6.3. Implicaciones didácticas.
A lo largo de este estudio se han tratado varios aspectos que directa o indirectamente pueden convertirse en recomendaciones didácticas para otros profesores. A continuación presentamos de forma resumida recomendaciones de gestión de discusiones en gran grupo.
Consideramos importante que el profesor no basta una planificación adecuada de la sesión de clase, hay que se interesar por el tema a ser enseñado e conocer la historia e los elementos epistemológicos relacionados. Así queda más rica la interacción con las ideas y verdades provisorias de los alumnos. El maestro debe intentar perfeccionar su escucha, preguntar más que responder. La pedagogía de la pregunta ayuda a los alumnos a tratar los diferentes estadios que el profesor tiene previsto que aparezcan en la discusión, pero con un andamiaje que también permita a los alumnos explorar por iniciativa propia. Se puede afirmar que el maestro, allá de los afectos, es un modelo cognitivo para los alumnos, siendo así su estilo de gestionar la aula carga un considerable conjunto de valores. Prácticas democráticas ayudan a valorar la democracia, el respeto por el otro contribuye para aprender a respetar.
Por esto la importancia de la explicitación y reflexión en el grupo de muchos actos que se realizan en la clase. Si se quiere que los alumnos valoren el registro y la escrita, los registro tienen que ser públicos e la escrita valorada e discutida como parte de la producción matemática, como es en verdad para los matemáticos. Se recomienda que los maestros aprendan a registrar los fenómenos de clase. También su modo reflexionar y razonar en público (en la clase) tiene importancia para el grupo, con un modelo más, que contribuye para que los alumnos desarrollan su propio estilo cognitivo.La importancia de estas consideraciones va más allá de conseguir que los alumnos aprendan hechos matemáticos. Nuestro propósito, a semejanza a lo defendido por Freudenthal es mirar la matemática como una actividad humana, o como habla D´Ambrósio en sus conferencias, matemática como cultura. Para nosotros las matemáticas son instrumentos que llevan a la autonomía y a la construcción de valores para la vida que pasa también fuera de la escuela.
6.4. Limitaciones.
Reconocemos algunas limitaciones en el trabajo que ahora se presenta: Falta de conexión comparativa con los trabajos realizados sobre textos por otros autores. En
relación con la presumible falta de tiempo que puede experimentar el profesor al pretender una actuación tan minuciosa, de esta investigación se desprende la relevancia del trabajo en equipo y de conjugar esfuerzos para reflexionar acerca de las propias prácticas de enseñanza. Teniendo en cuenta esta limitación, al finalizar este estudio ofrecemos, como aportación didáctica, todo el material creado para esta secuencia didáctica junto con todos los instrumentos didácticos elaborados y ejemplos sobre cómo sacar provecho de estas discusiones en gran grupo con tecnología, que forman parte de una secuencia didáctica que tiene sentido en sí misma.
Analizar las implicaciones del uso de textos en la formación del profesor investigador, dado que este tema está en el orden del día en muchos países, en el Brasil especialmente, dadas las carencias del sistema educativo que tenemos en los varios niveles.
Reconocer el valor de los textos didácticos usados en las nuevas tecnologías. Estamos delante la comunicación virtual rápida que en los últimos años viene siendo utilizada en diversos contextos de naturaleza educativa como los cursos a distancia de formación continuada por Internet (véase experiencias de Fundación Bradesco-Brasil, plataformas del Porto-Digital en Recife, la Univesidad Abierta de Brasil, etc.), donde la interacción y los procesos de tutorización aún son basados en elementos escritos en la pantalla y enviados a los centros. La investigación en este campo aún está en su inicio, muchas cuestiones quedan abiertas y la eficacia de estos mecanismos y aparatos tecnológicos aún están lejos de lo ideal. Creemos que una profundización en la línea puesta por este trabajo puede dar contribuciones significativas para los desafíos puestos.
Comparar el grado de autonomía y el conocimiento adquirido por estudiantes frente a distintos medios de enseñanza. La pregunta es: ¿Qué importancia puede tener la escrita en modelos de enseñanza virtuales? ¿Qué herramientas se puede utilizar en plataformas de enseñanza virtual en qué la escrita tiene protagonismo?
6.5. Propuestas de futuro.
En este apartado final, presentamos algunas recomendaciones para realizar futuros estudios siguiendo esta línea de investigación. Dichas recomendaciones surgen de ideas que se han desarrollado durante el presente estudio pero que no se han trabajado de forma profunda.Primero, un aspecto general que consideramos importante es la posible generalización de los resultados de la investigación. Aunque hay indicios de que muchas de las partes sí que serían generalizables – como, por ejemplo, algunos aspectos de los instrumentos metodológicos – aunque el trabajo con escrita en el aula sea practicado en algunas escuelas, en escuelas y con alumnos de variados perfiles, no se ha realizado un estudio posterior suficientemente exhaustivo para confirmarlo. En el Brasil hay solamente un grupo (en la Universidade Estadual de Londrina, UEL) que ha se dedicado a la escrita como objeto de investigación, otros grupos supervisados por el
profesor Arthur Powell tiene atención a la escrita en proyectos de aprendizaje colaborativa, pero aún es una investigación muy puntual. Por eso que consideramos oportuno continuar a investigar en esta línea. Tememos el peligro de considerar que el gran avance de la tecnología pueda llevar a una depreciación de las actividades de escrita en las clases de matemática.
Un segundo aspecto tiene a ver con el Ambiente de Inspiración Lakatosiana. No encontramos estudios sobre la relación entre los estudios filosófico-epistemológicos de Imre Lakatos. Creemos que en la literatura de Educación Matemática hay más fascinación que comprensión o influencia real. El hecho es que Lakatos no tenía una preocupación con la enseñanza, pero sus ideas falibilistas se citan en muchos trabajos, teóricos. Creemos que esta una investigación en esta dirección merece ser profundizada, pero no solamente en el ámbito de las ideas e si intentar comprender como la construcción del conocimiento de los alumnos es bien o mal influenciada por la visón formalista de las matemáticas.
Un segundo aspecto tiene a ver con el Ambiente de Inspiración Lakatosiana. No encontramos estudios sobre la relación entre los estudios filosófico-epistemológicos de Imre Lakatos. Creemos, siguiendo a Cardoso (1997) que en la literatura de Educación Matemática hay más fascinación que comprensión o influencia real. El hecho es que Lakatos no tenía una preocupación con la enseñanza, pero sus ideas falibilistas se citan en muchos trabajos, teóricos. Creemos que esta una investigación en esta dirección merece ser profundizada, pero no solamente en el ámbito de las ideas e si intentar comprender como la construcción del conocimiento de los alumnos es bien o mal influenciada por la visón formalista de las matemáticas.El objetivo para el presente/futuro de este autor es seguir en la investigación de otros ambientes de inspiración lakatosiana y construir un acervo de producciones auténticas de alumnos tal como las muestra presentadas en este estudio.
6.6. Contribuciones relacionadas con la tesis
El tema de la tesis ocupa el autor hace muchos años y se puede considerar un marco la publicación de un artículo en los anales de la reunión de grupo CIEAEM en Shebrooke, Canadá en el año de 1987. A partir del vínculo con el programa de la Facultat d’Educació de la Universitat Autònoma de Barcelona en el Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals, se produjo muchos artículo y materiales diversos en el campo de la educación matemática en variada subáreas como la formación de profesores y desarrollo de materiales instruccionales (incluso vídeos). Algunas de estas producciones tienen relación directa con el tema de la tesis o con algunos de los referenciales teóricos que la sostiene. La elección de las producciones científicas se privilegió lo que fue hecho con supervisión de los órganos oficiales del Ministerio de Educación de Brasil, y publicaciones reconocidas por arbitrajes nacionales e internacionales.