Anexo: Construcción de las funciones necesarias para el análisis

Intensidad del tráfico

La relación entre el nivel de ruido (dB) y la intensidad sonora (I) es dB = 10 log10 I/I0.

Dado que la intensidad sonora es directamente proporcional al número de fuentes, al multiplicarse la cantidad de coches (intensidad del tráfico) por una cantidad β, la intensidad sonora cambia de I a I’=βI y el nivel de ruido aumenta en:

∆dB = 10 log(βI/I0) – 10 log(I/I0) = 10 log10 β

A partir de los datos del Ayuntamiento de Madrid construimos una curva que proporcione una buena estimación de la variación de la intensidad del tráfico con el tiempo, T(t). De acuerdo con estos datos, la intensidad media de vehículos ha pasado de 2,700,000 en 1997 a 2,300,000 en 2013, una disminución de 400,000 en 16 años, alcanzando un máximo en 1999 con 2,800,000.

Vamos a suponer que T(t) no varía de forma lineal, sino que la variación en un periodo dado depende, entre otros factores, del volumen de tráfico en ese periodo. Tras alcanzar un valor máximo (por saturación, factores socioeconómicos, etc.) el tráfico empieza a disminuir y se estabiliza en un valor final Tf. Una posible curva característica de este comportamiento es:

= + ( − + )

En t = 1996 la intensidad del tráfico estimada es T = T0 = 2,650,000 automóviles,

algo menor que la de 1997. Por tanto la ecuación debe ajustarse así:

= + (2650000 − + ( − 1996)) ( )

En principio, siendo optimistas, estimamos como valor final Tf ≈ 2,000,000 de automóviles, ya que este valor aún no ha sido alcanzado en 2013 y la intensidad sigue disminuyendo.

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Igualando la primera derivada a 0, obtenemos: =

− + ( − 1996)

Según las estadísticas, el máximo de intensidad sucede en tmax = 1999, con Tmax ≈ 2,800,000 automóviles. Utilizando la ecuación de la curva y la expresión de k en función de α, realizamos simulaciones probando diferentes valores de α hasta que se cumplan las condiciones anteriores. Resulta α = 2·105 _{y k = 0.16. La curva así obtenida se ajusta a los}

datos del Ayuntamiento de Madrid para el periodo 1997-2013:

INTENSIDAD DEL TRÁFICO (Tt ≥ 1996)

Sin embargo, para valores de t < 1996 la función decae fuertemente, anulándose en t ≈ 1989. Por tanto hay que reemplazar la curva en este tramo por otra que exhiba una tendencia creciente desde principios del siglo XX. Por ejemplo:

= ( )/

La continuidad entre Tt ≥ 1996 y Tt < 1996 está asegurada en el punto de conexión, t = 1996, y además para el año 1920 proporciona más de 1000 automóviles/día de intensidad, que según los datos históricos se aproxima a lo que pudo ser el valor real en esa época. Sin embargo, la función T completa no es derivable en t = 1996, por lo que se produce ahí un cambio abrupto de tendencia:

4 M 3.5 M 3 M 2.5 M 2 M 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 Año

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INTENSIDAD DEL TRÁFICO (Tt < 1996 +Tt ≥ 1996)

Para suavizar la función, buscamos otro punto de conexión inferior a t = 1996. Igualando las derivadas por la derecha y por la izquierda podemos hallar ese punto, pero la ecuación resultante no tiene solución analítica y hay que estimarla buscando gráficamente el instante t donde se anula esta expresión:

( ) = − = 0

Se puede graficar usando el programa Vensim. La solución se halla en t ≈ 1994. Por tanto ese es el punto de conexión buscado. Al conectar las funciones en ese punto obtendremos un buen grado de suavización de la curva completa. La intensidad en dicho punto crítico (Tc) es:

Tc = Tt ≥ 1996(1994) = 2,344,000

que ha de coincidir con Tt < 1996(1994). Finalmente, teniendo ahora en cuenta el nuevo punto

de conexión, la función completa de la intensidad del tráfico resulta:

= + ( − + ( − 1996)) ( ) = ( )/ 4 M 3.5 M 3 M 2.5 M 2 M 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Año

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INTENSIDAD DEL TRÁFICO (automóviles/día)

Aplicando la fórmula ∆dB = 10 log β = 10 log T/T0 a la función anterior, obtenemos la variación del ruido debido a la intensidad del tráfico:

VARIACIÓN DEL RUIDO DIARIO (dBA)

Estimando el ruido al inicio de 1996 en 66.8 dBA (Leq24), de acuerdo a los datos del Ayuntamiento de Madrid, tenemos la siguiente evolución del ruido en Madrid considerando la sola influencia de la intensidad del tráfico rodado:

4 M 3 M 2 M 1 M 0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Año 0.2 -0.35 -0.9 -1.45 -2 1995 1999 2003 2007 2011 2015 2019 2023 Año

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Leq24 (esperado)

Observamos que esta curva sobreestima los valores observados de ruido para el periodo 2003-2009, pues todos los valores en la gráfica se hallan por encima de 66 dBA, mientras que el promedio observado es de 63.4 dBA. Por tanto las variaciones en intensidad del tráfico rodado no pueden explicar por sí solas las variaciones observadas de los niveles de ruido con el tiempo.

Sustitución del parque de automóviles

El nivel de ruido promedio esperado cada año debido a la intensidad del tráfico debe ser multiplicado por un factor de reducción para obtener el nivel de ruido estimado de acuerdo a la acción conjunta de la intensidad del tráfico y la mejora de los motores de combustión. Suponemos que este proceso de sustitución de automóviles por otros menos ruidosos está más o menos limitado en el tiempo, por lo que el efecto del factor de reducción es más acusado durante dicho periodo, tras el cual se mantiene prácticamente invariable. Podemos estimar dicho factor de reducción por mejoras en los motores de combustión (FRMC) mediante la función:

FRMC = (1 − ) ( ) ₊

que está definida así solo para t ≥ a, siendo a el año en que comienza la sustitución de coches por otros menos ruidosos. Para t < a no hay reducción de ruido por motivos tecnológicos y por ello en ese tramo FRMC = 1. Tiende asintóticamente a b, que debe ser un valor tal que al multiplicar la función por el nivel de ruido esperado en 2006 (66.6 dBA) nos dé el nivel observado en ese mismo año (63.6 dBA); si el valor de a está suficientemente alejado de 2006, el primer sumando es muy próximo a 0 y se puede estimar b como el cociente de los valores observado y esperado de Leq24:

68 67 66 65 64 63 62 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 Año

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b = .

. ≈ 0.95

Asimismo esta función produce mayor efecto de reducción del ruido a medida que nos alejamos de t = a, reflejando el hecho de que el proceso de sustitución del parque de automóviles se realiza primeramente a un ritmo progresivo, para irse atenuando con el tiempo. En nuestro caso, los valores que mejor ajustan la función a lo observado son a = 1996 y z = 0.03.

Finalmente obtenemos la siguiente simulación para el ruido diario promedio:

Leq24 (dBA)

Esta curva se ajusta bien a los datos disponibles de niveles de ruido para diferentes periodos. En un principio el efecto de aumento de la intensidad predomina sobre la reconversión de motores, pero en poco tiempo esta última se impone y finalmente ambas contribuyen al descenso del ruido.

Otro proceso de sustitución del parque automovilístico con consecuencias en el panorama de contaminación acústica que sufre la ciudad de Madrid es la introducción progresiva de los vehículos eléctricos. Se estima que si el 12% del actual parque de automóviles fueran eléctricos habría una reducción del ruido de 0.5 dBA (Warburg et al. 2014). Supongamos que a partir de un cierto instante t2 existe una tasa de sustitución, definida como la proporción de automóviles que son sustituidos por vehículos eléctricos cada año. Considerando un ritmo de sustitución exponencial, al cabo de un tiempo t la proporción de automóviles sustituidos será:

68 67 66 65 64 63 62 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 Año

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Proporción vehículos eléctricos (t) = 1 − (1 − ó )

Si esta proporción fuera 0.12, es decir, un 12%, la reducción sería de 0.5 dBA. Si los vehículos eléctricos no produjeran ruido alguno (el derivado del rozamiento de los neumáticos con el asfalto no es evitable), su sustitución equivaldría a reducir la intensidad del tráfico, por lo que se esperaría una reducción de 10 log10 (1–0.12) = 0.6 dBA al sustituir

un 12% de vehículos. Por tanto, el efecto de introducir estos vehículos es una reducción de ruido del 83% (0.5/0.6 x100%) de lo que se esperaría si el número de coches disminuyera esa misma cantidad. En conclusión, operando con estas cifras tenemos:

Reducción de ruido (t) = 8.3 log10 (1 − ó )

A la hora de programar en Vensim suponemos una reducción máxima de 30 dBA por este fenómeno.