Geometr´ıa Plana
4.4. Clasificaci´ on de ´ angulos
El ´angulo de 0o se llama ´angulo nulo.
El ´angulo de 90o se llama ´angulo recto.
El ´angulo de 180o se llama ´angulo llano.
El ´angulo de 360o se llama ´angulo per´ıgono.
Los ´angulos que miden m´as de 0o y menos de 90o se llaman
´angulos agudos.
Los ´angulos que miden m´as de 90o y menos de 180o se llaman
Los ´angulos que miden m´as de 180o y menos de 360o se llaman
´angulos entrantes o c´oncavos.
Los ´angulos que miden m´as de 180o y menos de 360o se llaman
´angulos entrantes o c´oncavos.
Los ´angulos que suman 90o se llaman complementarios.
Los ´angulos que suman 180o se llaman suplementarios.
Los ´angulos que suman 360o se llaman conjugados.
Ejercicio 4.1
1. En la siguiente figura, ¿Cu´ales parejas de ´angulos adyacentes son complementarios?
2. En la siguiente figura, ¿Cu´ales parejas de ´angulos adyacentes son suplementarios?
3. A partir de la figura siguiente determina:
a) Un par de ´angulos opuestos por el v´ertice. b) El suplemento de \EFD.
c) Un segmento que sea perpendicular a F C si \CFD = 90o.
d) Un par de ´angulos adyacentes que no sean suplementarios. 4. A partir de la figura siguiente menciona:
a) Un par de ´angulos opuestos por el v´ertice.
b) ¿Son suplementarios \AFB y \BFD? Explica tu respuesta. c) Menciona el ´angulo complementario a \GBA.
d) Menciona dos ´angulos que sean congruentes.
e) Menciona dos ´angulos que sean suplementarios y no sean congruentes.
f) ¿Los ´angulos \FBA y \CBF son congruentes, adyacentes, opuestos por el v´ertice, com- plementarios o suplementarios?
a) Menciona dos ´angulos que sean adyacentes pero no complementarios o suplementarios. b) Dado que \B y el \BAE son suplementarios, ¿el \B es agudo, recto u obtuso? Construcci´on 1: Mediatriz de un segmento dado.
1. AB y BA = C y D 2. Unir C y D
Construcci´on 2: Levantar una recta perpendicular a otra por uno
1. A =1 de sus extremos.
2. 1 =2 3. 2=3 4. 2 y 3= C 5. Unir A y C
Construcci´on 3: Trazar una recta paralela a otra 1. Localizar el punto 1(cualquiera)
sobre AB 2. 1= 2 y 3 3. 2= 4 4. 3= 5 5. Unir 4 y 5 109
Construcci´on 4: Obtener una paralela a una recta con una
1. A= 1 distancia dada.
2. 1= 2 3. 2= 3 4. 2 y 3= C 5. B= 4 6. 4= 5 7. 5= 6 8. 5 y 6= D 9. Unir A y C 10.Unir B y D 11.Copiar d en las perpendiculares = E y F 12.Unir E y F
Construcci´on 5: Obtener una bisectriz de un ´angulo dado 1. V= 1 y 2
2. 1 y 2= 3 3. Unir V con 3
Construcci´on 6: Trazar una perpendicular desde un punto dado 1. CQ y BQ= Q’ fuera de una recta.
Construcci´on 7: Copiar un ´angulo dado. 1. V= 1 y 2
2. A= 3
3. Copiar 12 en 3= C 4. Unir A con C
Construcci´on 8: Trazar un tri´angulo obtus´angulo 1. V= 1 y 2 dados sus lados y el ´angulo. 2. B= 3 3. Trasladar la medida 12 a partir de 3= 4 4. Unir B y 4 5. Copiar BC en B4= C 6. Unir A y C
Construcci´on 9: Trazar un tri´angulo equilatero 1. AB y BA= C
2. Unir A y C 3. Unir B y C
Construcci´on 10: Trazar un tri´angulo rect´angulo dadas 1. Levantar una perpendicular las medidas de sus lados. sobre el punto B.
2. Copiar la medida de BC = C
3. Unir A y C
Construcci´on 11: Trazar un hex´agono conocido uno de sus lados. 1. 12 y 2= O 2. O trazar la circunferencia 3. 2= 3 4. 3= 4 5. 4= 5 6. 5= 6
7. Unir los puntos de 1-6
Construcci´on 12: Trazar un pent´agono conociendo uno de sus lados. 1. Trazar la mediatriz de 12= a
2. Levantar una perpendicular sobre 2. 3. 21= b 4. Prolongar la recta 12 en 2 5. ab= c 6. 1c= 4 7. 12 y 4=5
Ejercicio 4.2
1. Construye un segmento de recta, traza su mediatriz y localiza el punto medio del segmento.
2. Realiza la construcci´on de un ´angulo obtuso y traza su bisectriz.
4.5.
Operaciones con ´angulos
4.5.1.
Angulos Complementarios´
Para calcular el complemento de un ´angulo basta con restarlo de 90o :
Ejemplo 1: Calcula el complemento de 20o =
Para calcular el complemento de 20o se lo restamos a 90o
90o
- 20o
70o
En este caso el complemento de 20o es 70o
Ejemplo 2: Calcula el complemento de 24o130 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o) y minutos (0) representamos a 90o, tambi´en de la
forma grados (o) y minutos (0) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,
entonces: 90o = 89o600
Para calcular el complemento de 24o130 se lo restamos a 90o que es equivalente a 89o600
89o600
- 24o130
65o470
En este caso el complemento de 24o130 es 65o470
Ejemplo 3: Calcula el complemento de 39o5803700 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o), minutos 0 y segundos, representamos a 90o, tambi´en
de la forma grados (o) y minutos0 y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado equivale
a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces: 90o = 89o5906000
Para calcular el complemento de 39o5803700 se lo restamos a 90o que es equivalente a 89o5906000
En este caso el complemento de 39o5803700 es:
Ejercicio 4.3: Calcula el complemento de los siguientes ´angulos: a)24o su complemento es:
d)44o390 su complemento es:
e)55o2401500= su complemento es:
f)69o4701800= su complemento es:
4.5.2.
Angulos Suplementarios´
Para calcular el suplemento de un ´angulo basta con restarlo a 180o :
Ejemplo 1: Calcula el suplemento de 24o =
Para calcular el suplemento de 24o se lo restamos a 180o
180o
- 24o
156o
En este caso el suplemento de 24o es 156o
Ejemplo 2: Calcula el suplemento de 127o380 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o) y minutos (0) representamos a 180o, tambi´en de la
forma grados (o) y minutos (0) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,
entonces:
180o = 179o600
Para calcular el suplemento de 24o130 se lo restamos a 180o que es equivalente a 179o600
179o600
- 127o380
52o220
En este caso el suplemento de 127o380 es 52o220
Ejemplo 3: Calcula el suplemento de 89o2005000 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o), minutos (0) y segundos, representamos a 90o, tambi´en
de la forma grados (o) y minutos (0) y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado
equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces: 180o = 179o5906000
Para calcular el suplemento de 89o2005000 se lo restamos a 180o que es equivalente a 179o5906000
En este caso el suplemento de 89o2005000 es:
Ejercicio 4.4: Calcula el suplemento de los siguientes ´angulos: a)55o su suplemento es:
b)28o470 su suplemento es:
c)55o90 su suplemento es:
e)89o2005000 su suplemento es:
4.5.3.
Angulos Conjugados´
Para calcular el conjugado de un ´angulo basta con restarlo de 360o :
Ejemplo 1: Calcula el conjugado de 37o =
Para calcular el conjugado de 37o se lo restamos a 360o
360o
- 37o
323o
En este caso el conjugado de 37o es 323o
Ejemplo 2: Calcula el conjugado de 264o30 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o) y minutos0 representamos a 360o, tambi´en de la forma
grados (o) y minutos0 para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos, entonces:
360o = 359o600
Para calcular el conjugado de 264o30 se lo restamos a 360o que es equivalente a 359o600
359o600
- 264o30
95o570
En este caso el conjugado de 264o30 es 95o570
Ejemplo 3: Calcula el conjugado de 139o5003700 =
En este caso el ´angulo esta en grados (o), minutos0 y segundos, representamos a 360o, tambi´en
de la forma grados (o) y minutos0 y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado equivale
a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces: 360o = 359o5906000
Para calcular el conjugado de 139o5003700 se lo restamos a 360o que es equivalente a 359o5906000
En este caso el conjugado de 139o5003700 es:
Ejercicio 4.5: Calcula el conjugado de los siguientes ´angulos: a)55o su conjugado es:
b)24o130 su conjugado es:
c)156o300 su conjugado es:
d)24o130 su conjugado es:
e)155o90 su conjugado es:
f)139o5803700 su conjugado es:
g)55o2401500 su conjugado es:
4.6.
Problemas
Ejemplo 1: Si se sabe que ]A y el ]B son complementarios. Determina los valores de x y el de los ´angulos A y B si]A = 5x 4 y ]B = 4x + 9
Ejercicio 4.6Resuelve los siguientes problemas
1. Si se sabe que \A es complemento de \B, y adem´as \A = 10x + 4o y \B = 3x + 5o.
Determina el valor de x y el de los ´angulos A y B.
2. Si se sabe que\A es complemento de \B, y adem´as \A = 3x 6o y\B = 4x+8o. Determina
el valor de x y el de los ´angulos A y B.
3. Si se sabe que\A es suplemento de \B, y adem´as \A = 6x 9o y\B = 2x+3o. Determina el valor de x y el de los ´angulos A y B.
4. Si se sabe que \A es complemento de \B, y adem´as \A = 3x + 5o y \B = 2x 10o.
5. Si se sabe que \A es complemento de \B, y adem´as \A = 3x + 10o y \B = 2x 9o. Determina el valor de x y el de los ´angulos A y B.
6. Si se sabe que\A es suplemento de \B, y adem´as \A = 4x 5oy \B = 7x 2o. Determina
el valor de x y el de los ´angulos A y B.
7. Calcula la medida de ]Q si se sabe que mide 10o m´as que su complemento.
9. Calcula la medida de ]S si se sabe que mide 25o m´as que su suplemento.
10. Calcula la medida de ]W si se sabe que mide 40o m´as que su suplemento.
Ejemplo 1: Determina las medidas de los ´angulos complementarios cuya diferencia sea 10.
Ejercicio 4.7 Resuelve los siguientes problemas
2. Determina las medidas de los ´angulos suplementarios cuya diferencia sea 40.
3. Determina las medidas de los ´angulos conjugados cuya diferencia sea 46.
4. Determina las medidas de los ´angulos complementarios tales que uno sea 36o menor que el triple del otro.
5. Determina las medidas de los ´angulos complementarios tales que uno sea 24o mayor que el
6. Determina las medidas de los ´angulos suplementarios tales que uno sea 72o mayor que el doble del otro.
7. Determina las medidas de los ´angulos conjugados tales que uno sea 12o menor que la mitad
del otro.
8. Determina las medidas de los ´angulos conjugados tales que uno sea 100omayor que el cu´adru- ple del otro.