punto dado Postulado de las rectas paralelas.
4.17. Per´ımetro de un pol´ıgono regular
Los pol´ıgonos son figuras o superficies planas limitadas por segmentos de recta, los cuales se llaman lados del pol´ıgono; de la misma manera, un pol´ıgono es una porci´on de plano limitada por al menos tres recta que se cortan entre si dos a dos.
De acuerdo con la magnitud de sus lados y de sus ´angulos, los pol´ıgonos se dividen en regulares e irregulares. Un pol´ıgono regular es el que tiene todos sus lados y sus ´angulos iguales.
Los tri´angulos son los pol´ıgonos de tres lados, el tri´angulo equil´atero es el ´unico pol´ıgono regular de tres lados, los cuadril´ateros son los pol´ıgonos de cuatro lados y se clasifican en paralelogramos (cuadrado, rect´angulo, rombo y romboide), el cuadrado es el ´unico pol´ıgono regular de cuatro lados, trapecios (rect´angulo, is´osceles y escaleno) y trapezoides.
Los pol´ıgonos que tienen m´as de cuatro lados son: pent´agonos (5 lados), hex´agono (6 lados), hept´agono (7 lados), oct´agono (8 lados), ene´agono (9 lados), dec´agono (10 lados), undec´agono (11 lados), dodec´agono (12 lados). Los pol´ıgonos que tienen m´as de doce lados se le nombra simple- mente como pol´ıgonos de 13, 14, 15, ... n lados, con excepci´on del pol´ıgono de 20 lados al que denomina icos´agono.
El per´ımetro de un pol´ıgono es la suma de las longitudes de sus lados. Si el pol´ıgono es de lados iguales, entonces el per´ımetros es igual al n´umero de lados por la longitud de uno de ellos.
Ejercicios 4.17:
1. Calcula el per´ımetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 5 metros de longitud.
2. Calcula el per´ımetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 8 metros de longitud.
3. Determina el per´ımetro de un tri´angulo equil´atero cuyo lado mide 8 metros
4. Determina el per´ımetro de un tri´angulo is´osceles cuyos lados mide a=5, b=5 y c=7 metros
5. Determina el per´ımetro de un tri´angulo escaleno cuyos lados mide a=6, b=7 y c=9 metros
6. Determina el per´ımetro de un terreno que tiene forma de pent´agono regular si cada uno de sus lados mide 13 metros de largo.
7. Determina el per´ımetro de un dec´agono regular si cada uno de sus lados mide 25 metros.
8. Si el per´ımetro de un tri´angulo equil´atero es de 99 metros.¿Cu´anto mide cada lado?
9. Determina el per´ımetro de un rect´angulo cuyo ancho mide 12 metros y cuyo largo mide 34 metros.
10. El se˜nor L´opez tiene un terreno rectangular de 150 metros de largo y 95 metros de ancho y desea cercarlo con tres l´ıneas de alambre de p´uas. ¿Cu´antos rollos de alambre requiere comprar, si cada rollo tiene 60 metros de alambre?
11. Determina el per´ımetro de un cuadrado cuyo lado mide 28 cent´ımetros.
12. Determina el per´ımetro de un rombo cuyo lado mide a=15 metros.
13. Determina el per´ımetro de un pol´ıgono regular de 5 lados cuyo lado mide 6 metros.
15. Determina el per´ımetro de un oct´agono regular cuyo lado mide 39 cent´ımetros.
4.18.
Calculo de ´areas
El ´area de una figura es la medida de su superficie y medir una superficie es determinar cuantas veces contiene a otra superficie conocida que se utiliza como unidad cuadr´atica.
Si la unidad de medida es un cuadrado de lado u.
La unidad de ´area es u2.
Para obtener el ´area de un cuadrado tenemos: ´
Area del cuadrado= lado por lado= lado al cuadrado: A = l· l = l2
Para obtener el ´area de un rect´angulo realizamos el producto de su base por su altura. A = b· h
El paralelogramo se descompone en dos partes para formar con estas un rect´angulo de igual ´area. Por lo que se deduce que el ´area del paralelogramo es tambi´en lo que mide la base por lo que mide la altura.
A = b· h
Cuando se multiplican las diagonales de un rombo, equivale a multiplicar la base por la altura del rect´angulo que lo contiene.
El ´area del rombo es la mitad del ´area del rect´angulo que lo contiene, por lo tanto el ´area del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.
A = D·d2
Un tri´angulo se descompone para formar un paralelogramo de igual ´area.
Por lo que se deduce que el ´area del tri´angulo es lo que mide su base por la mitad de su altura. A = b·h2
Para calcular el ´area si no conocemos la altura utilizamos la f´ormula de Heron. A =pS(S a)(S b)(S c)
Donde S es el semiperimetro
S = a+b+c
2
El trapecio escaleno se descompone en cuatro tri´angulos y al sumar sus ´areas se obtiene el ´area del trapecio. Para calcular el ´area del trapecio utilizamos la f´ormula:
A = (a+c 2 )h
Ejercicio 4.18
1. Determina el ´area de un tri´angulo equil´atero cuyo lado mide 14cm.
2. Determina el ´area de un tri´angulo equil´atero cuyo lado mide 10cm.
3. Determina el ´area de un tri´angulo equil´atero cuyo lado mide 8 metros.
4. Determina el ´area de un tri´angulo con base b= 8 metros y altura h=10 metros.
5. Determina el ´area de un tri´angulo is´osceles cuyos lados miden a=12 b=12 y c=14 centimetros.
6. Determina el ´area de un tri´angulo is´osceles cuyos lados miden a=15 b=15 y c=6 metros.
7. Determina el ´area y el per´ımetro de un tri´angulo escaleno cuyos lados mide a=15, b=18 y c=25 metros
9. Determina el ´area de un cuadrado cuyo per´ımetro es de 30 unidades.
10. Si el ´area de un cuadrado es de 81. a)Calcula la medida de su lado. b)Calcula su per´ımetro.
11. Determina el ´area de un rect´angulo cuyo ancho mide 8 metros y de largo mide 12 metros.
12. Determina el ´area y el per´ımetro de un rect´angulo cuyo ancho mide 15 cent´ımetros y cuyo largo mide 30 cent´ımetros.
13. Calcula el ´area de una banqueta de 1.20 metros de ancho y que rodea una plaza rectangular de 90 metros de largo y 65 metros de ancho.
14. Determina las longitudes de la base y la altura de un rect´angulo cuyo ´area mide 70 u2 y su
per´ımetro mide 34 u.
15. En la etiqueta de una lata de pintura se indica que el contenido alcanza para cubrir 7.5 m2. Se
requiere pintar las paredes y el techo de una recamara que mide 4 metros de largo, 5 metros de ancho y 2.5m de alto. Adem´as hay dos ventanas rectangulares que miden 1.2 metros de largo por 2 metros de ancho cada una. ¿Cu´antas latas de pintura se deben comprar para no gastar de m´as?
16. La p´agina de la gaceta CCH mide 21.2 cent´ımetros de ancho por 27.5 cent´ımetros de largo. El margen superior es de 0.9 cent´ımetros, el inferior es de 1.3 cent´ımetros y el izquierdo es de 1.3 cent´ımetros. ¿Cual es el ´area de la porci´on impresa de la p´agina?
4.19.
Area de un pol´ıgono regular´
En cualquier pol´ıgono regular, se conoce como apotema al segmento de recta que va desde el centro de la circunferencia circunscrita hasta el punto medio de uno de sus lados.
Debido a que un pol´ıgono regular esta compuesto de tantos tri´angulos is´osceles congruentes co- mo lados tiene, el ´area de uno de estos tri´angulos es la mitad de la longitud del lado multiplicado por su altura, que en este caso corresponde al apotema:
Por ejemplo el hex´agono esta formado por 6 tri´angulos is´osceles.
´
Area del pol´ıgono = 6 veces el ´area del tri´angulo isosceles ´
Area del pol´ıgono = 6 veces (base)(altura)2
´
Area del pol´ıgono = 6 veces (longutud de 2lado)(apotema)
En general para determinar el ´area de un pol´ıgono regular de n lados se utiliza la expresi´on: ´
Area del pol´ıgono = (perimetro)(apotema)2 A = P2·a
Ejercicio 4.19
1. El per´ımetro y el ´area de un pent´agono de lado 12 unidades y apotema 8 unidades es:
2. El per´ımetro y el ´area de un pent´agono de lado 10 unidades y apotema 6 unidades es:
3. Un salon de baile tiene forma de hex´agono regular con per´ımetro de 48 metros y apotema dep 48 metros. ¿Cu´antos metros cuadrados mide el salon?
4. Determina el ´area de un oct´agono regular que tiene 3 metros de lado y 5.801 metros de apotema.
5. El ´area de una moneda octagonal es de 6 cm2 y su apotema mide 1.5 cent´ımetros ¿Cu´anto
mide un lado del pol´ıgono?
6. Si se tienen un hept´agono regular con lado b=10cm y apotema a=15cm, ¿cual es su per´ımetro y su ´area?
7. Si se tienen un hept´agono regular con lado b=30cm y apotema a=45cm, ¿cual es su per´ımetro y su ´area?