MATEMÁTICAS-II Plan Actualizado Cuaderno de Trabajo

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUT ´

ONOMA DE M´

EXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

Plantel Sur

M A T E M ´

A T I C A S - II

Plan Actualizado 2016

Cuaderno de Trabajo

Profesora: NORA JUDITH RODR´IGUEZ MART´INEZ

Nombre del alumno:

Grupo:

(2)

illt

ill

til

(3)

TEMARIO

UNIDAD 1 - Ecuaciones Cuadr´aticas.

UNIDAD 2 - Funciones Cuadr´aticas y Aplicaciones UNIDAD 3 - Elementos B´asicos de Geometr´ıa Plana

UNIDAD 4 - Congruencia, Semejanza y Teorema de Pit´agoras. Fechas de Ex´amenes

Unidad 1-Unidad 2-Unidad 3-Unidad

4-Este texto fue elaborado, tomando como base los textos publicados por el Colegio de Ciencias y Humanidades y de otras instituciones, con el fin de apoyar a los alumnos del curso de Matem´aticas II, dicho material esta sujeto a las observaciones y correcciones de especialistas en el ´area.

(4)

Cap´ıtulo 1

Repaso

1.1. Ecuaciones de primer grado

Ejemplo 1: 5x 2 = 8 5x = 8 + 2 5x = 10 x = 10 5 x = 2 Ejemplo 2: 1 2x + 4 3x = 3 (1₂x + 4₃x = 3)6 3x + 8x = 18 11x = 18 x = 18₁₁ Ejemplo 3: 2 7(2x + 1) 3 5(x 2) = 1

(5)

Ejercicio 1.1: Resuelve la siguiente ecuaci´on de primer grado. a) x+2₉ x 8₃ = 3

(6)

Cap´ıtulo 2

UNIDAD 1 - ECUACIONES

CUADR ´

ATICAS

2.1. Factorizaci´

on

Se llaman factores de una expresi´on algebraica, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresi´on.

Descomponer en factores o factorizar una expresi´on algebraica es convertirla en el pro-ducto de sus factores.

Ejemplos:

a(a + b) = a2_{+ ab}

(x + 2)(x + 3) = x2_{+ 5x + 6}

No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles entre ellos mismos y entre el 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas.

Ejemplo:

a + b = 1(a + b)

No puede descomponerse en dos factores diferentes de 1 porque solo es divisible por a+b y por 1.

(7)

Ejemplo 1:

15y3_{+ 20y}2 _{5y = 5y(3y}2_{+ 4y} ₁₎

"

factor comun Ejemplo 2:

100a2_b3_c _150ab2_c2_{+ 50abc =}

Ejemplo 3:

34ax2_{+ 51ay}2 _68ay3 _{= 17a(2x}2_{+ 3y}2 _4y3₎

" factor comun 34 51 68 2 17 51 34 2 17 51 17 3 17 17 17 17 factor com´un 1 1 1

Ejercicio 2.1: Factoriza por factor com´un. a) 55m2_n3_{x + 110m}2_n3_x2 _220m2_y3 ₌

b) 12m2_{n + 20m}3_n2 _36m4_n3_{+ 48m}5_n4 ₌

c) 14x2_y2 _28x3_{+ 56x}4 ₌

(8)

d) a2b2c2 a2c2x2+ a2c2y2 =

2.1.2. Factorizaci´

on por Factor Com´

un por Agrupaci´

on de T´

erminos

La agrupación debe ser del mismo número de términos que tengan un factor común, y que siempre los factores que esten dentro del paréntesis sean iguales. Si esto no es posible, la expresión no se puede descomponer por este método.

Ejemplo 1:

Resolvemos por separado a2_{+ ab + ax + bx=} _a2_{+ ab} _{| +ax + bx} | = a(a + b) _{| x(a + b)} | = (a + b)(a + x) Ejemplo 2: 4a3 ₁ _a2_{+ 4a = 4a}3_{+ 4a} _{| a}2 ₁ | = 4a(a2_{+ 1)} _{| 1(a}2 _{+ 1)} | = (a2_{+ 1)(4a} ₁₎ Ejemplo 3: am bm + an bn =

Ejercicio 2.2: Factoriza por Agrupaci´on de t´erminos. a) ax 2bx 2ay + 4by =

(9)

b) 6m 9n + 21nx 14mx =

c) a2_x2 _3bx2_{+ a}2_y2 _3by2 ₌

d) 3abx2 _2y2 _2x2_{+ 3aby}2 ₌

2.2. Factorizaci´

on de los trinomios de la forma ax

2

+ bx + c

Ejemplo 1:

Resolver por factorizaci´on de la forma ax2_{+ bx + c}

operaci´on a realizar 36 2

-# 18 2 . 4

6x2 +5x 6 9 3 - 9 4 = 5

" " 3 3 _{. 9}

1

Se multiplican el coeficiente del terminó cuadrático y el terminó independiente, en este caso 6( 6) = 36, y se buscan dos números que multiplicados entre si den ese producto y sumados algebraicamente den como resultado el coeficiente del terminó lineal, en este caso son 9 y -4.

6x2_+5x _{6 = 6x}2_+9x _{| -4x} ₆ | = 3x(2x + 3) _{| 2(2x + 3)} | = (2x + 3)(3x 2) 7

(10)

Ejemplo 2:

operaci´on a realizar 30 2

-# 15 3 . 6

10a2 _{+11a +3} _{5 5} ₅ _{6 + 5 = 11}

" " 1

Se multiplican el primero y el último números (10)(3) = 30, que se descompone en factores para multiplicarlos entre si y encontrar dos números que al realizar la operación en este caso (suma) de como resultado el término de x en este caso (11).

10a2_{+11a + 3 = 10a}2_+6a _{| +5a + 3}

| = 2a(5a + 3) _{| +1(5a + 3)} | = (5a + 3)(2a + 1) Ejemplo 3: operaci´on a realizar 4 2 -# 2 2 _{. 4} 2x2 _+3x ₂ ₁ ₄ _{1 = 3} " "

Se multiplican el primero y el último números (2)(2) = 4, que se descompone en factores para multiplicarlos entre si y encontrar dos números que al realizar la operación en este caso (resta) de como resultado el término de x en este caso (3).

2x2_+3x _{2 = 2x}2_+4x _{| -1x} ₂ | = 2x(x + 2) | 1(x + 2) | = (x + 2)((2x 1) Ejemplo 4: 3 + 11a + 10a2 ₌

(11)

Ejercicio 2.3: Factoriza los siguientes trinomios de la forma ax2_{+ bx + c} a) 20y2_{+ y} _{1 =} b) m 6 + 15m2 ₌ c) 4n2_{+ n} _{33 =} d) a2 _2a _{35 =} e) m2 _2m _{168 =} 9

(12)

f) 12 8n + n2 =

2.2.1. Factorizaci´

on de diferencia de cuadrados

El producto de la suma de dos valores multiplicados por su diferencia (binomios conjugados), es una diferencia de cuadrados, que se obtiene como el cuadrado del terminó común, menos el cuadrado del terminó simétrico.

a2 _b2 _{= (a} _{b)(a + b)}

Al factorizar una diferencia de cuadrados, se obtiene el par de binomios conjugados cuyo ter-minó común es la ra´ız cuadrada del minuendo más y menos la ra´ız cuadrada del sustraendo.

Ejemplo 1: 4a2 _{9 =}

La ra´ız cuadrada de 4a2 _{es 2a y la ra´ız cuadrada de 9 es 3, multiplicando la suma de estas}

ra´ıces (2a + 3) por la diferencia (2a 3) tenemos: 4a2 _{9 = (2a + 3)(2a} ₃₎

Ejemplo 2: x2 _y2 ₌

Ejemplo 3: 25x4 _81y6 ₌

(13)

b) 25 36x4 = c) 100 x2_y6 ₌ d) 16x2 _25y4 ₌ e) 1 y2 ₌ f) a2 _{4 =} g) a2 _{25 =} h) 49x2y6z10 a12 = i) 256a12 _289b4_m10 ₌ j)16m2_n4 _{25 =} k)21x6 _18y5 11

(14)

2.3. Ecuaciones de 2

o

grado

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a su grado, a partir del mayor grado absoluto que tenga cualquiera de sus t´erminos.

Por ejemplo las ecuaciones de segundo grado o cuadr´aticas con una inc´ognita x son de la forma: ax2_{+ bx + c = 0 donde a}_{6= 0}

Definición: Una ecuación de segundo grado con una variable es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Las ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2_{+ bx + c = 0 que}

tiene el término cuadrático ax2_{, el término lineal bx y el término independiente c.}

Por ejemplo: 2x2_{+ 7x} _{15 = 0}

Las ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 _{= 0 que carece}

de termin´o lineal bx e independiente c, de la forma ax2_{+ c = 0 que carece de t´ermino lineal bx o}

de la forma ax2_{+ bx = 0 que carece del t´ermino independiente c.}

Por ejemplo: x2 _{16 = 0 y 3x}2_{+ 5x = 0}

Las ra´ıces de una ecuación de segundo grado son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos ra´ıces donde ambos valores satisfacen la ecuación.

2.4. Ecuaciones de 2

o

grado incompletas de la forma ax

2

+

c = 0

Para obtener la solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2 _{+ c = 0 se despeja la}

inc´ognita. ax2 ₌ _c

x2 ₌ c a

Se extrae la ra´ız cuadrada a ambos lados de la igualdad.

(15)

Si c_a es negativo, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Ejemplo 1: Determinar la solución o las ra´ıces de la ecuación:

x2 _{2 = 0}

Despejando a x tenemos x2 _{= 2}

x =_±p2

Las ra´ıces de la ecuaci´on son: x1 = p 2 y x2 = p 2 Comprobaci´on:

Ejemplo 2: Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuaci´on: 3x2_{+ 3 = 0}

Ejercicio 2.5:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de las ecuaciones y realiza la comprobaci´on. a) 3x2 _{12 = 0}

(16)

b) 5x2 15 = 0

c) x2 _{8 = 0}

d) x2_{+ 3 = 0}

e) 2x2 _{7 = 0}

(17)

2.5. Ecuaciones de 2

o

grado incompletas de la forma ax

2

+

c = d

Se despeja x2 _{de la ecuaci´on ax}2_{+ c = d}

ax2 _{= d} _c

Recuerda que d c es reducible a solo un valor, quedando la ecuaci´on como en el caso anterior. x2 ₌ d c

a

Se extrae la ra´ız cuadrada a ambos lados de la igualdad. p

x2 ₌qd c a

Las soluciones de la ecuaci´on son: x1 = q d c a y x2 = q d c a Si d c

a es positivo, se indican las dos ra´ıces x1 =

q d c a y x2 = q d c a Si d c

a es negativo, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Ejemplo 1: Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuaci´on: 4x2 _{3 = 2} Se despeja x2 4x2 _{3 = 2} 4x2 _{= 2 + 3} 4x2 _{= 5} 4x2 4 = 5 4

Se extrae ra´ız cuadrada a ambos lados de la igualdad: p x2 ₌q5 4 x =_±q5 4 x =±p_p5 4 x =_±p₂5 15

(18)

Las ra´ıces de la ecuaci´on son: x1 = p 5 2 y x2 = p 5 2 Comprobaci´on:

Ejemplo 2: Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuaci´on: 3x2_{+ 8 = 2}

Ejercicio 2.6:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de las ecuaciones y realiza la comprobaci´on. a)5x2 _{3 =} ₂

(19)

c)7x2 5 = 2

d)z2_{+ 9 = 73}

e)m2 _{49 = 72}

f)7x2_{+ 14 = 9}

(20)

g)4x2 3 = 2

h)6y2 _{63 = 33}

2.6. Ecuaciones cuadr´

aticas de la forma:ax

2

+ bx = 0

Las ecuaciones de la forma ax2_{+ bx = 0 tiene soluci´on en el conjunto de n´}_{umeros reales y una}

de las soluciones siempre ser´a cero.

Una manera de obtener la solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2_{+ bx = 0, se}

describe a continuaci´on:

Se obtiene como factor com´un a la variable, se iguala con cero a ambos factores y se resuelven las ecuaciones lineales obtenidas.

x(ax + b) = 0

Se igualan con cero ambos factores: x = 0 y ax + b = 0

(21)

Las soluciones de la ecuaci´on son: x1 = 0 y x2 = _ab

Ejemplo 1: Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuacion 3x2_{+ 7x = 0}

Se factoriza la ecuaci´on: x(3x + 7) = 0

Ambos factores se igualan a cero: x = 0 y 3x + 7 = 0

Se resuelve la ecuaci´on de primer grado 3x + 7 = 0

3x = 7 x = 7

3

Las ra´ıces de la ecuaci´on son: x1 = 0 y x2 = ₃7

Comprobaci´on:

Ejemplo 2:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuacion

1 2x

2₊ 3 5x = 0

(22)

Comprobaci´on:

Ejemplo 3:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuacion

4 5x

2 1 4x = 0

Comprobaci´on:

Ejercicio 2.7:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de las ecuaciones y realiza la comprobaci´on. a)7x2_{+ 2x = 0}

(23)

b)5x2 2x = 0 c)2x2 _{5x = 0} d)8x2 _{32x = 0} e)2₅x2₊3 4x = 0 21

(24)

f)1₄x2 2₃x = 0 g)5₉x2 3 7x = 0 h) 6 13x 2₊2 5x = 0 i)36₁₃x2₊ 5 13x = 0

(25)

j) x2 2x = 0

k) x2 _{3x = 0}

2.7. Ecuaciones cuadr´

aticas de la forma a(x + m)

2

= n

Una manera de obtener la solución de una ecuación cuadrática de la forma a(x + m)2 _{= n, se}

describe a continuaci´on:

1. Se dividen ambos miembros entre el valor de a.

2. Se extrae la ra´ız cuadrada a ambos miembros de la ecuaci´on.

3. Se adiciona el simétrico del término independiente m en ambos miembros de la ecuación. 4. Se obtienen las ra´ıces.

Ejemplo 1:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuaci´on 4(x 3)2 _{= 16}

Se divide entre 4 ambos miembros de la igualdad

(x 3)2 4 = 16 4 (x 3)2 _{= 4} 23

(26)

Se extrae la ra´ız cuadrada en ambos miembros de la ecuaci´on p

(x 3)2 ₌_±p₄

x 3 = _±2 x =±2 + 3

Las ra´ıces de la ecuaci´on son: x1 = 2 + 3 y x2 = 2 + 3

x1 = 5 y x2 = 1

Comprobaci´on:

Ejemplo 2:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de la ecuaci´on 2(x + 7)2 _{= 15}

(27)

Ejercicio 2.8:Determinar la soluci´on o las ra´ıces de las ecuaciones y realiza la comprobaci´on. a)3(x 5)2 _{= 12} b)2(x + 3₄)2 ₌ 1 2 c)5(x 2)2 _{= 45} d)7(x + 5)2 _{= 12} 25

(28)

e)16(x 2)2 = 9 f)3(x + 9)2 _{= 12} g)13 11(x + 5) 2 ₌ 13 11

(29)

Ejemplo 1:

(5x 1)(3x 8) = 0

Se igualan a cero ambos factores. (5x 1) = 0 y (3x 8) = 0

Se resuelven ambas ecuaciones de primer grado 5x 1 = 0 y 3x 8 = 0

5x = 1 y 3x = 8

Las soluciones de las ecuaciones son: x1 = 1₅ y x2 = 8₃ Comprobaci´on: Ejemplo 2: (3x 2)(5x 7) = 0 Comprobaci´on: 27

(30)

Ejemplo 3:

2(x + 2)(6x + 2) = 0

Se dividen entre 2 ambos t´erminos de la igualdad.

2

2(x + 2)(6x + 2) = 0 2

(x + 2)(6x + 2) = 0

Se igualan a cero ambos factores x + 2 = 0 y 6x + 2 = 0

x = 2 y 6x = 2 x1 = 2 y x2 = ₆2

Comprobaci´on:

Ejercicio 2.9: Obtén las ra´ıces de las ecuaciones cuadráticas siguientes y realiza la comproba-ción.

a)(x 5)(x + 8) = 0

(31)

c)(3x + 2)(1₂x 3) = 0

d)(2x 7)(1₂x 3) = 0

e)(21₃x 5)(5x 2) = 0

(32)

f)(31₄x 3₄)(52₃x +2₅) = 0

g)13₁₅(x 2₈)(x + 9) = 0

2.9. Soluci´

on de la ecuaci´

on cuadr´

atica de la forma ax

2

+

bx + c = 0 por el m´

etodo de completar cuadrados

Este m´etodo consiste en transformar un binomio de la forma x2_{+ bx en un trinomio cuadrado}

(33)

Para obtener las ra´ıces de la ecuación cuadrática ax2+ bx + c = 0, por el método de completar cuadrados se procede de la siguiente forma:

1. Si el valor de a es diferente de 1, se divide cada t´ermino de la ecuaci´on entre el valor de ese coeficiente. ax2 a + bx a + c a = 0 x2₊ bx a + c a = 0

2. Se adiciona el sim´etrico del termin´o independiente a ambos miembros de la igualdad. x2₊ bx a + c a c a = 0 c a x2₊ bx a = c a

3. Se obtiene la mitad del coeficiente del t´ermino lineal

b a

2 = b 2a

El resultado se eleva al cuadrado

b 2a

2

= b2

4a2

4. Se adiciona este n´umero a ambos lados de la igualdad x2₊ bx a + b2 4a2 = _ac + b 2 4a2

El trinomio cuadrado perfecto obtenido se escribe como un binomio al cuadrado (la ra´ız cuadrad del término cuadrático, el signo del término lineal y la ra´ız cuadrada del término independiente) y se efectúa la operación indicada en el segundo miembro de la igualdad.

⇣ x + b 2a ⌘2 = c a+ b2 4a2

Se obtiene la ra´ız cuadrada de ambos lados de la igualdad r⇣ x +_2ab ⌘2 = q c a + b2 4a2

Se obtienen las soluciones sumando y restando los valores. x + _2ab =_± q c a+ b2 4a2 x =±q c a+ b2 4a2 _2ab

Las ra´ıces de la ecuaci´on son:

(34)

x1 = q c a+ b2 4a2 _2ab y x2 = q c a+ b2 4a2 _2ab Ejemplo 1: x2 _{= 16x} ₆₃ x2 _{16x =} ₆₃

Para obtener el término faltante del trinomio, que es el doble producto del primero por el se-gundo términos del binomio, se utiliza el término lineal :

2x() = #x En este caso 2x() = 16x Al despejar () = 16x_2x El t´ermino faltante es () = 8

Completamos el trinomio con el t´ermino faltante al cuadrado x2 _{16x =} ₆₃

x2 _{16x + (8)}2 ₌ _{63 + (8)}2

Factorizando el trinomio tenemos (x 8)2 ₌ _{63 + 64}

(x 8)2 _{= 1}

Sacando ra´ız cuadrada en ambos t´erminos p

(35)

x =±1 + 8

Las soluciones son: x1 = 1 + 8 y x2 = 1 + 8 x1 = 9 y x2 = 7 Comprobaci´on: Ejemplo 2: 2x2_{+ 3x} _{2 = 0} Comprobaci´on: 33

(36)

Ejercicio 2.10:Resuelve las siguientes ecuaciones por el m´etodo de completar cuadrados Tri-nomio Cuadrado Perfecto y realiza la comprobaci´on.

a)x2_{+ 16x + 48 = 0}

b)x2_{+ 10x + 9 = 0}

(37)

d)x2+ 6x = 9 e)y2₊ 7 4y + 49 64 = 0 f)3z2_{+ 7z = 6} 35

(38)

g)w2+ 3w + 9₄ = 0

h)x2_{+ 9 = 6x}

i)x2 _{x =} 1 4

(39)

2.10. Resoluci´

on de Ecuaciones de 2

o

grado de la forma

ax

2

+ bx + c = 0

por el m´

etodo de factorizaci´

on.

Factorizar una expresión algebraica equivale a representarla como el producto de dos o más factores. Se llaman factores a las expresiones algebraicas que al multiplicarlas se obtiene la expre-sión original.

En particular, una ecuaci´on cuadr´atica se puede factorizar como el producto de dos factores lineales.

Ejemplo 1:

Si se tiene una ecuación de la forma x(x + 3) = 5x + 3, se realiza la multiplicación para obtener la ecuación cuadrática que se va a factorizar.

x(x + 3) = 5x + 3 x2_{+ 3x = 5x + 3}

x2_{+ 3x} _5x _{3 = 0}

x2 _2x _{3 = 0}

Se multiplican el primero y el último números (1)(3) = 3, que se descompone en factores para multiplicarlos entre si y encontrar dos números que al realizar la operación en este caso (resta) de como resultado el término de x en este caso (2).

operaci´on a realizar 3 3 -# 1 . x2 _-2x ₃ ₃ _{1 = 2} " " x2_-2x _{3 = x}2_-3x _{| +x} ₃ | = x(x 3) _{| +1(x} 3) | = (x 3)(x + 1) Igualando cada t´ermino a cero. x 3 = 0 y x + 1 = 0

x1 = 3 y x2 = 1

Comprobaci´on:

(40)

Ejemplo 2:

9x + 1 = 3(x2 ₅₎ _(x _{3)(x + 2)}

Comprobaci´on:

Ejemplo 3: (5x 4)2 _{(3x + 5)(2x} _{1) = 20x(x} _{2) + 27}

(41)

Ejercicio 2.11: Factoriza y resuelve las siguientes ecuaciones de la forma ax2_{+ bx + c = 0}

a) 3x2 _5x _{2 = 0}

b) 12x2 _x _{6 = 0}

c) x2_{+ 7x + 10 = 0}

(42)

d)x2+ 11x = 24

e)x2 ₌ _15x ₅₆

(43)

g)3x(x 2) (x 6) = 23(x 3)

h)5x2_{+ 13x} _{6 = 0}

i) 8y2 _{3y + 5 = 0}

(44)

j)z2+ 2z 24 = 0

k)x2 _{+ x} _{6 = 0}

(45)

m)x2+ x = 132

n)y2_{+ 8y + 15 = 0}

˜

n)6w2 _{13w = 15}

(46)

o)6x2+ 5x 6 =

p)2x2_{+ 3x} _{2 = 0}

2.11. El n´

umero i

Los n´umeros imaginarios se obtienen de las ra´ıces de ´ındice par de n´umeros negativos. Por ejemplo:

p

1, p 3,4p ₈

p

1 es llamada unidad imaginaria.

La unidad imaginaria se representa por la letra i. Por tanto i =p 1

(47)

Se obtiene la ra´ız cuadrada de ambos miembros de la ecuaci´on: p

x2 ₌p ₁

x =_±p 1

La ra´ız cuadrada de -1 no esta definida en los n´umeros reales. Sin embargo, si se sustituye el -1 por i2 _{se obtiene la soluci´on de los n´}_{umeros imaginarios, es decir:}

x2 ₌ ₁ x2 _{= i}2 p x2 ₌p_i2 x =±i Si comparamos que x =_{±i y x = ±}p 1

De lo anterior obtenemos que i =p 1 Ejemplo 1: 3x2_{+ 27 = 0} 3x2 ₌ ₂₇ x2 ₌ 27 3 x2 ₌ ₉

Obteniendo la ra´ız cuadrada en ambos lados de la ecuaci´on tenemos p

x2 ₌p ₉

Se puede descomponer al -9 como el producto de (9)(-1) x =±p(9)( 1)

Al obtener las ra´ıces por separado x =±p9p 1

(48)

Se sustituye p 1 = i x =±3i

x1 = 3i y x2 = 3i

2.12. Soluci´

on de Ecuaciones de 2

o

grado utilizando la F´

ormu-la General

Para determinar las ra´ıces de la ecuaci´on ax2_{+ bx + c = 0 se aplica el m´etodo de completar el}

trinomio cuadrado perfecto, como sigue:

Se divide cada t´ermino entre a para reducir la ecuaci´on a la forma: x2₊ b

ax + c a = 0

Se adiciona el simétrico del término independiente a ambos miembros de la ecuación: x2₊ b ax + c a c a = 0 c a x2₊ b ax = c a

Se obtiene la mitad del coeficiente del t´ermino lineal

b a

2 = b 2a

El resultado se eleva al cuadrado

b 2a

2

= _4ab22

Se adiciona este n´umero a ambos miembros de la igualdad x2₊ bx a + b2 4a2 = _ac + b 2 4a2

Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto tenemos ⇣

x +_2ab ⌘2 = _4ab22 _ac

(49)

r⇣ x +_2ab ⌘2 = q b2 _4ac 4a2 x + b 2a =± q b2 _4ac 4a2 Al despejar x se obtiene x = b 2a ± p b2 _4ac 2a x = b±pb2 _4ac 2a

Por lo tanto, las soluciones de la ecuaci´on son: x1 = b+ p b2 _4ac 2a y x2 = b pb2 _4ac 2a

Las cuales se reducen a la expresi´on x = b±pb2 _4ac

2a que se conoce como la f´ormula general

para resolver ecuaciones de segundo grado con una variable y donde, b2 _{4ac se conoce como}

discriminante.

La naturaleza de las ra´ıces depende del valor del discriminante

Caso I. b2 _{4ac > 0 las ra´ıces son diferentes y sus valores son n´}_{umeros reales.}

Caso II. b2 _{4ac = 0 los valores de las ra´ıces son dos valores iguales (ra´ız de multiplicidad}

doble) x1 = x2, es decir, la soluci´on es ´unica

Caso III. b2 _{4ac < 0 las ra´ıces son dos n´}_{umeros complejos no reales. Las ra´ıces complejas de}

la ecuación cuadrática completa son siempre conjugadas, es decir; si una solución es a + bi la otra es a bi (No tiene solución real)

Ejemplo 1: Determina la naturaleza de las ra´ıces de la ecuación, por medio del discriminante para indicar cuantas soluciones y de que tipo tiene la ecuación, resuélvela por fórmula general

x2 9x 112 = 0 a=1 b=-9 c=-112

Discriminante b2 _{4ac = ( 9)}2 _{4(1)( 112)}

=81 4( 112) =81+448

529 > 0 Las ra´ıces son diferentes y son dos números reales. Para resolver la ecuación sustituimos los valores en la fórmula general

x = b±p_2ab2 4ac x = ( 9)± p ( 9)2 _{4(1)( 112)} 2(1) 47

(50)

x = 9± p 81 4( 112) 2 x = 9±p81+448₂ x = 9±p529 2 x1 = 9+23₂ x1 = 9±23₂ % x = 32₂ x1 = 16 & x2 = 9 23₂ x2 = ₂14 x2 = 7 Comprobaci´on: Ejemplo 2: 6x2_{+ x} _{12 = 0} Comprobaci´on:

(51)

Ejemplo 3:

7(x 3) 5(x2 _{1) = x}2 _{5(x + 2)}

Comprobaci´on:

Ejercicio 2.12: Utilizando el valor del discriminante, especifica si tiene solución la ecuación en los números reales , si es as´ı, indica de que tipo es y resuelve la ecuación por fórmula general.

a)5x2_{+ 5x} _{10 = 0}

(52)

b)2x2+ 7x + 3 = 0

(53)

d)4x2 5x 6 = 0

e)6x2 _5x _{4 = 0}

(54)

f) x2 12x + 36 = 0

(55)

h) 6x2+ 5x 6 = 0

i)3x(x 2) (x 6) = 23(x 3)

(56)

j)10x2+ 11x + 3 = 0

(57)

l) 2x2 7x + 6 = 0

m) x2 _{6x + 8 = 0}

(58)

n)3x2+ 2x 5 =

˜

(59)

o)3x2+ 4x + 5 = 0 p)3 4x 2_{+ 6x} 2 3 = 0 57

(60)

2.13. Problemas que generan para su soluci´

on ecuaciones

de 2

o

grado

Ejemplo 1: Si al doble del cuadrado de un n´umero se le quitan 5 el resultado es 21. Determinar el n´umero.

Ejercicio 2.13:

1. Si al triple del cuadrado de un número le sumas dos veces el número obtienes como resultado cero. ¿Cuál es el número?

(61)

3. Cuatro veces el cuadrado de un n´umero menos 144 es igual a cero. Obt´en el numero

4. Si al doble del cuadrado de un número se le restan 8 unidades, el resultado es cero.¿Cuál es el número?

5. El doble del cuadrado de un número menos 162 es igual a cero.¿Cuál es el número?

(62)

6. El cuadrado de un número menos el número es igual a 20.¿Cuál es dicho número?

7. Veinticuatro más un noveno del cuadrado de un número es igual a diez tercios del n´ ume-ro.¿Cuál es el número?

8. La suma de dos números es 42 y la suma de sus cuadrados es 1332. ¿Cuáles son dichos números?

(63)

9. La suma de dos n´umeros es 21 y la suma de sus cuadrados es 221. Determina dichos n´umeros.

10. Se desea cercar un terreno en forma cuadrada que tiene una superficie de 400m2 _¿Cu´antos

metros de tela e alambre se necesitan?

11. Si el cuadrado de un número se multiplica por 3, se le restan 16, el resultado es 32. Obtén el número.

(64)

12. Un huerto tiene 168 árboles frutales. Si el número de filas es igual al número de árboles reducido en 2. ¿Cuántos árboles hay en cada fila?

13. El ´area de un jard´ın rectangular mide 60m2 _{y el lado mayor mide 7m m´as que el menor.}

¿Cu´anto mide cada lado?

14. Una casa residencial tiene un jard´ın en forma rectangular y su ancho mide 2m menos que su largo y su ´area es de 35m2_{. ¿Cu´ales son las dimensiones del jard´ın?}

(65)

Cap´ıtulo 3

Unidad 2 - Funciones Cuadr´

aticas y

Aplicaciones

Definición: Una función cuadrática tiene la forma f (x) = ax2_{+ bx + c con a diferente de cero}

(a6= 0).

Ejemplo 1:

f (x) = 2x + 3 es una función de primer grado (no es función cuadrática) Ejemplo 2:

f (x) = ( x + 8)x al desarrollar la funci´on tenemos f (x) = x2_{+ 8x si es funci´on cuadratica}

Ejemplo 3:

f (x) = (25x2 _2x)x

Ejercicio 3.1: Determina a partir de la regla de correspondencia, el grado de cada una de las siguientes funciones y se˜nala cuales son cuadr´aticas.

a) f (x) = ( x + 5)x b) f (x) = 3 + 4x c) f (x) = (25x2 _3x)x d ) f (x) = 9x + 15 e) f (x) = x + 3 63

(66)

f ) f (x) = ( 2x + 7)x g) f (x) = 4 + 3x h) f (x) = (25x2 _2x)x i) f (x) = x + 1 j ) f (x) = 6x + 9 k ) f (x) = x3_{+ 7x} ₂ l ) f (x) = x2_{+ 1} m) f (x) = x4_{+ 2x}3 ₅ n) f (x) = (x + 1)(x 3) ˜ n) f (x) = (5x + 3)x o) f (x) = (x2_{+ 3x} _2)x p) f (x) = (5x + 3)(2x2₎

3.1. Graficaci´

on de funciones de la forma f (x) = a(x h)

2

+k

Comportamiento del Par´ametro k Gr´afica en el mismo plano:

f (x) = x2

f (x) = x2_{+ 3}

f (x) = x2 ₅

x f (x) = x2 _x _{f (x) = x}2_{+ 3}

(67)

x f (x) = x2 ₅

.

Si k es positiva (k > 0), la función se desplaza k unidades hacia Si k es negativa (k < 0), la función se desplaza k unidades Comportamiento del Parámetro h

Gr´afica en el mismo plano: f (x) = x2 f (x) = (x 3)2 f (x) = (x + 5)2 x f (x) = x2 _x _{f (x) = (x} ₃₎2 -3 ( 3)2 _{= 9} _{6 (6} ₃₎2 _{= (3)}2 _{= 9} -2 5 . x f (x) = (x + 5)2 -8 ( 8 + 5)2 _{= ( 3)}2 _{= 9} 65

(68)

Si h es positiva (h > 0), la función se desplaza h unidades hacia Si h es negativa (h < 0), la función se desplaza h unidades Comportamiento del Parámetro a

Gr´afica en el mismo plano: f (x) = x2 f (x) = 3x2 f (x) = 1₃x2 x f (x) = 3x2 _x _{f (x) =} 1 3x 2 -3 3( 3)2 _{= 3(9) = 27} _-4 1 3( 4)2 = 1 3(16) = 16 3 -2 -3 . x f (x) = x2 -3

(69)

Gr´afica en el mismo plano: f (x) = x2 f (x) = 3x2 f (x) = 1₃x2 x f (x) = 3x2 _x _{f (x) =} 1 3x 2 -3 3( 3)2 ₌ _{3(9) =} ₂₇ _-4 1 3( 4)2 = 1 3(16) = 16 3 -2 -3 . x f (x) = x2 -3 .

Si el parámetro a es positivo (a > 0), la función cuadrática abre hacia Si el parámetro a es negativo (a < 0), la función cuadrática abre hacia Si el parámetro a es mayor que 1 (a > 1), la función cuadrática se

Si el par´ametro a es mayor que 0 y menor que 1 (0 < a < 1), la funci´on se 67

(70)

Concavidad: Se llama concavidad a la forma en la que se encorva o dobla una curva, se dice que la gráfica es cóncava, también se llama cóncava hacia arriba.

x f (x) = x2+ 3

.

Cuando la curva abre hacia abajo se dice que la curva es convexa o c´oncava hacia abajo. x f (x) = x2_{+ 3}

3.2. Graficaci´

on de funciones Cuadr´

aticas- M´

etodo de

ta-bulaci´

on

Al trazar la curva por los puntos colocados en el plano cartesiano, se obtiene la gráfica corres-pondiente, la cual se denomina parábola. Como se observa, esta gráfica tiene como caracter´ısticas especiales: dos ramas, un vértice, un eje de simetr´ıa, una concavidad y un valor máximo o m´ınimo.

(71)

Un eje de simetr´ıa es la l´ınea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes o m´as, cuyos puntos sim´etricos son equidistantes entre si.

La parábola y su eje de simetr´ıa se cortan en un punto al que se le llama vértice de la parábola. Que tiene coordenadas V (h, k)

El eje de simetr´ıa tiene la ecuaci´on x = h

El eje de simetr´ıa divide en el v´ertice a la par´abola en dos ramas, una creciente y otra decre-ciente.

Una funci´on es creciente cuando para un xo < x1 se obtiene que f (x0) < f (x1).

Una funci´on es decreciente cuando para un xo < x1 se obtiene que f (x0) > f (x1).

(72)

Ejemplo 1: Al graficar la funci´on f (x) = x2+ 5 x f (x) = x2_{+ 5}

En la gráfica la rama izquierda de la parábola es decreciente, pues al aumentar los valores de las abscisas, como consecuencia, disminuyen los valores de las ordenadas; esto se observa hasta que la rama de la parábola llega al punto m´ınimo (0, 5).

Despu´es del punto m´ınimo hacia la derecha, la rama de la par´abola comienza a crecer, es decir, al aumentar los valores de las abscisas (x), los valores de las ordenadas aumentan.

Observación: Al graficar en el mismo plano la función lineal y la cuadrática por ejemplo: x f (x) = x2_{+ 1} _x _{g(x) = x + 1}

-4 -4

A la variable x se le asignan valores de uno en uno, desde -4. Al comparar la funci´on lineal f (x) = x + 1 con la funci´on f (x) = x2 _{+ 1 se observa que la variable x cambia de uno en uno,}

la función lineal también cambia de uno en uno, pero la función cuadrática cambia de forma di-ferente, ya que el crecimiento cuadrático lineal es mucho mayor que el crecimiento lineal. Es importante señalar que la función cuadrática, de manera similar a la función lineal, expresa una relación entre dos variables, una independiente generalmente la x, y la otra dependiente

(73)

gene-3.2.1.

Ra´ıces de la ecuaci´

on cuadr´

atica asociada a la funci´

on cuadr´

atica

La intersección de la gráfica de una función cuadrática con el eje de las x determina las ra´ıces de la ecuación cuadrática asociada a la función; si la intersección se da en dos puntos las dos ra´ıces son números reales, si la intersección se da en un solo punto la ra´ız es doble y es un número real, y si no existe intersección las dos ra´ıces son números complejos no reales.

Es posible determinar cuantas soluciones tiene la ecuación cuadrática al sustituir los coeficien-tes de la función cuadrática en el discriminante de la fórmula general:

x = b±p_2ab2 4ac

b2 _{4ac > 0 Tiene dos soluciones diferentes}

b2 _{4ac = 0 Tiene soluci´on unica}

b2 _{4ac < 0 La soluci´on es compleja no real (No tiene soluci´on real)}

Al resolver a ecuación y encontrar las ra´ıces se tabulan los valores alrededor de las ra´ıces para determinar la gráfica, y a partir de esta obtener el máximo o m´ınimo de la función .

Ejemplo 1: Al empezar un partido de baloncesto el arbitro lanza la pelota verticalmente. Despu´es de 11 segundos uno de los jugadores la toma y la empieza a botar. La siguiente tabla muestra la altura de la pelota en metros y el tiempo en segundos, hasta que el jugador toma la pelota.

tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 altura 1.8 2.35 2.81 3.18 3.44 3.6 3.69 3.66 3.55 3.34 2.99 2.59

Construye la gr´afica con estos valores y determina en el que la pelota alcanza su m´axima altura.

Gráficamente el punto más alto está en el punto ( , ), por lo que la pelota alcanza su 71

(74)

máxima altura a los segundos y la altura máxima que alcanza es metros. El vértice de la parábola está en:

El eje de simetr´ıa es: x=

La parábola abre hacia abajo por lo tanto es cóncava haca abajo o convexa, La parábola tiene un máximo en:

Ejemplo 2: Sea f (x) = x2_{+ 4x} ₅

a) Determina las coordenadas del máximo o m´ınimo de la función. b) Determina la ecuación del eje de simetr´ıa.

c) Determina las ra´ıces de la funci´on. d) Traza la gr´afica.

e) Escribe las coordenadas del v´ertice de la par´abola . f) Indica que tipo de concavidad tiene

g) Hacia donde abre la par´abola.

Para determinar los valores en los que se va a tabular es necesario determinar las ra´ıces de la funci´on cuadr´atica en este caso f (x) = x2_{+ 4x} ₅

Para obtenerlas igualamos la funci´on a cero x2_{+ 4x} _{5 = 0}

Para sustituirla en la f´ormula general x = b±pb2 _4ac

2a

Utilizamos los valores de los coeficientes de la funci´on cuadr´atica: a=1 b=4 c=-5

Calculamos el discriminante para determinar cuantas ra´ıces y de que tipo son Discriminante b2 _{4ac = (4)}2 _{4(1)( 5)}

=16 4( 5) =16+20

36 > 0 Tiene 2 soluciones diferentes

(75)

x = 4±p₂16+20 x = 4±₂p36 x1 = 4+6₂ x1 = 4₂±6 % x = 2₂ x1 = 1 & x2 = 4 6₂ x2 = ₂10 x2 = 5

Las ra´ıces de la funci´on cuadr´atica f (x) = x2_{+ 4x} _{5 son x}

1 = 1 y x2 = 5

Para obtener la gráfica de la función tabulamos los valores que hay entre las ra´ıces con uno más de cada lado, es decir, las ra´ıces son 1 y -5, entonces tabulamos de 2 a -6,

x f (x) = x2_{+ 4x} ₅ 2 (2)2_{+ 4(2)} _{5 = 4 + 8} _{5 = 7} 1 (1)2_{+ 4(1)} _{5 = 1 + 4} _{5 = 0} _ra´ız 0 (0)2_{+ 4(0)} _{5 = 0 + 0} _{5 =} ₅ -1 ( 1)2_{+ 4( 1)} _{5 = 1} ₄ _{5 =} ₈ -2 ( 2)2_{+ 4( 2)} _{5 =} ₉ _v´ertice -3 ( 3)2_{+ 4( 3)} _{5 =} ₈ -4

Gráficamente se observa que la función tiene un m´ınimo en (-2,-9) Que corresponde al vértice de la parábola V ( 2, 9)

La parábola es cóncava hacia arriba y la parábola abre hacia arriba.

(76)

Ejemplo 3: Sea f (x) = x2+ 2x 1

(77)

Ejercicio 3.2 Resuelve lo que se te indica en las siguientes funciones 1. f (x) = x2_{+ 4x} ₃

(78)

2. f (x) = x2+ 4x + 2

(79)

3. f (x) = x2 8x + 10

(80)

4. f (x) = x2 4x + 1

(81)

3.3. V´

ertice de una Par´

abola

El máximo o m´ınimo de una función cuadrática corresponde gráficamente al vértice de la parábola que representa esa función y generalmente se representa por V (h, k), y se puede obtener de las dos siguientes formas:

3.3.1. M´

etodo de completar un trinomio cuadrado perfecto

La funci´on cuadr´atica es de la forma f (x) = ax2_{+ bx + c}

Ejemplo 1: f (x) = 3x2 _{18x + 26}

1. Si el coeficiente dl término cuadrático es diferente de 1, se divide cada término entre el coeficiente de a. f (x) = 3x2 _{18x + 26} f (x) 3 = 3x2 3 18x 3 + 26 3

2. Se agrupa los t´erminos cuadr´atico y lineal.

f (x) 3 = x

2 _{6x +} 26 3

3. Se obtiene el cuadrado de la mitad del coeficiente del t´ermino lineal de la expresi´on. 2x() = ]

En este caso 2x() = 6x () = 6x_2x () = 3

3. A la expresión de la derecha se le suma y se le resta al mismo tiempo el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal de la expresión.

f (x) 3 = x

2 _{6x + (3)}2 ₍₃₎2₊ 26 3

4. Los primeros tres t´erminos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto que se factoriza como un binomio al cuadrado.

f (x)

3 = (x 3)2 9 + 26

3

(82)

f (x) 3 = (x 3) 2 _{9 +} 26 3 f (x) 3 = (x 3) 2 1 3

5. Despejamos f (x) para convertir la funci´on de la forma f (x) = a(x h)2 _{+ k} f (x) 3 = (x 3)2 1 3 f (x) = 3[(x 3)2 1 3] f (x) = 3(x 3)2 ₃₍1 3) f (x) = 3(x 3)2 _{1 es de la forma f (x) = a(x} _h)2_{+ k} a = 3, h = 3, k = 1

6. El vértice tendrá las coordenadas V (h, k). El vértice es V (3, 1)

La ecuaci´on del eje de simetr´ıa:

Para obtener las ra´ıces de la funci´on original. f (x) = 3x2 _{18x + 26}

Igualamos a cero a funci´on. 3x2 _{18x + 26 = 0}

Para sustituirla en la f´ormula general x = b±p_2ab2 4ac

Utilizamos los valores de los coeficientes de la funci´on cuadr´atica: a=3 b=-18 c=26

(83)

Para obtener la gr´afica podemos calcular los puntos sim´etricos. que se obtienen con la formula x = h± 1

Como el v´ertice de la par´abola es V (3, 1), h=3

Para trazar la gráfica es posible hacerlo a partir de los puntos simétricos que se obtienen de la fórmula:

x = h± 1 x = 3± 1

x = 3 + 1 y x = 3 1 x = 4 y x = 2

Sustituimos estos puntos en la función original para tener las ordenadas de los puntos simétricos. x = 4 f (x) = 3x2 _{18x + 26} f (4) = 3(4)2 _{18(4) + 26} f (4) = 3(16) 72 + 26 f (4) = 48 72 + 26 f (4) = 2 El punto simétrico es (4,2) x = 2 f (x) = 3x2 _{18x + 26} f (2) = 3(2)2 _{18(2) + 26} f (2) = 3(4) 36 + 26 f (2) = 12 36 + 26 f (2) = 2 El punto simétrico es (2,2) 81

(84)

La gr´afica que le corresponde es: Ejemplo 2: f (x) = x2 _4x f (x) 1 = x2 1 4x 1 f (x) 1 = x 2_{+ 4x}

Se obtiene el cuadrado de la mitad del coeficiente del t´ermino lineal de la expresi´on. 2x() = ]

En este caso 2x() = 4x () = 4x_2x () = 2

A la expresión de la derecha se le suma y se le resta al mismo tiempo el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal de la expresión.

f (x)

1 = x2+ 4x + (2)2 (2)2

Como los primeros tres t´erminos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto, se factorizan como un binomio al cuadrado.

f (x)

(85)

f (x) = 1(x + 2)2+ 4 es de la forma f (x) = a(x h)2+ k a = 1, h = 2, k = 4

El v´ertice tiene las coordenadas V (h, k) que son V ( 2, 4) La ecuaci´on del eje de simetr´ıa es:

Obtenemos las ra´ıces de la funci´on original. f (x) = x2 _4x

Igualamos a cero a funci´on. x2 _{4x = 0}

Para sustituirla en la f´ormula general x = b±pb2 _4ac

2a

Utilizamos los valores de los coeficientes de la funci´on cuadr´atica: a=-1 b=-4 c=0

Las ra´ıces son x1 = 0, x2 = 4

(86)

Para obtener la gr´afica podemos calcular los puntos sim´etricos. que se obtienen con la formula x = h± 1

Como el v´ertice de la par´abola es V ( 2, 4), h=-2

Para trazar la gráfica utilizamos los puntos simétricos que se obtienen de la fórmula: x = h± 1

x = 2_{± 1}

x = 2 + 1 y x = 2 1 x = 1 y x = 3

Sustituimos estos puntos en la función original para tener las coordenadas de los puntos simétri-cos. x = 1 f (x) = x2 _4x El punto simétrico es (-1,3) x = 3 f (x) = x2 _4x El punto simétrico es (-3,3) La gráfica que le corresponde es:

(87)

Ejercicio 3.3Resuelve las siguientes funciones, y completa lo que se te solicita 1. f (x) = x2_{+ 4x} ₅

a) Expresa la funci´on en la forma f (x) = a(x h)2_{+ k}

b) Determina las coordenadas del vértice de la parábola. c) Determina la ecuación del eje de simetr´ıa.

d) Determina las ra´ıces de la funci´on. e) Traza la gr´afica.

f) Indica si tiene un m´ınimo o m´aximo y cu´al es su valor. g) Indica que tipo de concavidad tiene

h) Hacia donde abre la par´abola.

(88)

2. f (x) = x2 6x + 13

(89)

3. f (x) = 2x2+ 8x 5

h) Hacia donde abre la par´abola.

(90)

4. f (x) = 2x2 12x + 13

(91)

3.4. V´

ertice por f´

ormula

Otro método para obtener el vértice de la parábola es el siguiente:

Ya que se puede expresar a la funci´on cuadr´atica de la forma f (x) = a(x h)2_{+ k en donde h}

y k son las coordenadas del v´ertice V (h, k) de la par´abola.

La funci´on cuadr´atica de la forma f (x) = a(x h)2_{+ k se desarrolla:}

f (x) = a(x2 _{2hx + h}2_{) + k}

f (x) = ax2 _{2ahx + ah}2 _{+ k}

f (x) = ax2_{+ ( 2ah)x + (ah}2_{+ k)}

Al compararla con la funci´on f (x) = ax2_{+ bx + c para obtener el valor de h tenemos:}

2ah = b h = b

2a

El valor de k se obtienen de: ah2_{+ k = c} k = c ah2 k = c a( _2ab )2 k = c a(_4ab22) k = c b2 4a

Que es equivalente a sustituir el valor de h en la funci´on original, es decir f ( _2ab ).

Por lo tanto el vértice V (h, k) de la parábola que corresponde a la función cuadrática f (x) = ax2_{+ bx + c se obtiene mediante V (} b 2a, c b2 4a) o V ( b 2a, f ( b 2a)). Ejemplo 1 En la función f (x) = x2 _{4x + 1.}

a) Determina las coordenadas del vértice de la parábola. b) Determina la ecuación del eje de simetr´ıa.

Para determinar el v´ertice sustituimos en la f´ormula V ( _2ab , c _4ab2).

(92)

Dada la funci´on f (x) = x2 4x + 1 a=1 b=-4 c=1

Para despejar h tenemos h = _2ab h = ₂₍₁₎4 h = 4 2 h = 2 En el caso de k tenemos k = c b2 4a. k = 1 ( 4)₄₍₁₎2. k = 1 16₄ k = 1 4 k = 3

El v´ertice tiene las coordenadas V (h, k) que son V (2, 3) La ecuaci´on del eje de simetr´ıa es:

Obtenemos las ra´ıces de la funci´on original. f (x) = x2 _4x

Igualamos a cero a funci´on. x2 _{4x + 1 = 0}

Para sustituirla en la f´ormula general x = b±p_2ab2 4ac

(93)

.

Las ra´ıces son x1 = 3.7, x2 = 0.3

Para obtener la gr´afica podemos calcular los puntos sim´etricos. que se obtienen con la formula x = h_{± 1}

Como el v´ertice de la par´abola es V (2, 3), h=2

Para trazar la gráfica utilizamos los puntos simétricos que se obtienen de la fórmula: x = h_{± 1}

x = 2± 1

x = 2 + 1 y x = 2 1 x = 3 y x = 1

Sustituimos estos puntos en la funci´on original para tener las coordenadas de los puntos sim´etri-cos.

x = 3

f (x) = x2 _{4x + 1}

El punto sim´etrico es (3,-2)

(94)

x = 1

f (x) = x2 _{4x + 1}

El punto sim´etrico es (1,-2) La gr´afica que le corresponde es:

(95)

Ejercicio 3.4Resuelve las siguientes funciones y completa lo que se te solicita. 1. f (x) = x2_{+ 3x + 2}

e) Indica si tiene un m´ınimo o m´aximo y cu´al es su valor. f) Indica que tipo de concavidad tiene

(96)

2. f (x) = x2 6x + 4

(97)

3. f (x) = 3x2 6x 7

(98)

4. f (x) = x2 8x + 2

(99)

5. f (x) = x2+ 4x 5

(100)

6. f (x) = x2+ 3x 10

(101)

7. f (x) = x2 x 30

(102)

3.5. Problemas de aplicaci´

on

Ejemplo 1: Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la altura de la piedra en metros está determinada por la función S(t) = 16t2_{+ 32t donde t está dada en}

segundos.

a) Determina en cu´antos segundos, la piedra alcanza su maxima altura. b) Gr´afica la trayectoria de la piedra

Ejercicio 3.5Resuelve los siguientes problemas.

1. Al patear un balón de fútbol americano, la altura en metros sobre el suelo depende del tiempo (en segundos). Un jugador patea el balón, y la altura del balón está dada por la función h(t) =

8t2_{+ 16t}

a) Elabora una gráfica para determinar ¿Cuánto tarda el balón en llegar al suelo? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el balón?

(103)

2. La potencia en mega watts producida por una planta de luz esta dada por P (h) = h2 32h + 210 en donde h es la hora del d´ıa.

a) ¿ A que hora se tiene una minima potencia? b) ¿Cual es la minima potencia producida?

c) ¿A que hora la potencia es de 187 mega watts? d) Traza la gr´afica que representa la potencia

3. La funci´on de costo por hacer zapatos de f´utbol es C(x) = x2 _{10x + 40 donde x es el n´}_{umero de}

pares de zapatos y C el costo en pesos .

a) ¿Cual es el costo m´ınimo y cu´antos pares se deben hacer para obtener el costo m´ınimo? b)¿Cuesta m´as hacer ocho pares o dos?

c)¿Cu´antos pares se pueden hacer con $60,000? d) Traza la gr´afica que representa el costo

(104)

Cap´ıtulo 4

Unidad 3 - Elementos B´

asicos de

Geometr´ıa Plana

Los elementos b´asicos de geometr´ıa son: la l´ınea el plano y el punto algunas de sus interpreta-ciones son:

Punto: Es el elemento geométrico que carece de dimensiones únicamente tiene posición. L´ınea Recta: Es el elemento geométrico que tiene una dimensión.

Plano: Es el elemento geom´etrico que tiene dos dimensiones.

4.1. Representaci´

on de puntos, rectas y planos

Se emplean letras may´usculas al lado de cada punto para asignarles un nombre; punto A, punto B, etc.

Una recta se considera como un conjunto infinito de puntos alineados en una misma direcci´on en ambos sentidos. Si se consideran dos puntos A y B de una recta y se le asigna el nombre de recta AB que se representa AB.

En ocasiones se nombra una recta con una letra min´uscula. En este caso la recta AB tambi´en podr´ıa llamarse l.

(105)

Los puntos coplanares son aquellos que est´an sobre un mismo plano.

El punto de intersecci´on de dos rectas, es el punto en donde ambas se cortan.

Las rectas paralelas son aquellas que nunca se cortan.

Dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman ´angulos rectos.

Las rectas coplanares son las que est´an situadas sobre un mismo plano.

Las rectas son concurrentes si tres o m´as retas coplanares se cortan en el mismo punto.

Un segmento de recta AB, es un subconjunto de recta, formado por todos los puntos desde A hasta B, incluidos A y B.

Un rayo o semirecta AB, es un subconjunto de una recta que contiene un punto A como origen y se prolonga indefinidamente pasando por el punto B.

Ejemplo 1: En la siguiente figura:

a) Identifica distintos grupos de tres puntos colineales

(106)

b) Identifica distintos grupos de tres puntos no colineales.

´

Angulo: Es la abertura comprendida entre 2 l´ıneas rectas que se unen entre si en un punto llamado vértice. Los ángulos se denominan generalmente por medio del s´ımbolo de ángulo \, an-tepuesto a:

a)Una letra may´uscula, o en ocasiones a una letra griega, por ejemplo: \A, \B, \↵, \ , \✓, etc.

b) Las letras de tres de sus puntos: las letras de los extremos representan a un punto de cada rayo y la letra de en medio es la que representa al v´ertice (en sentido positivo), por ejemplo\ABC representa el ´angulo:

Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. De la misma forma, dos ´angulos son congruentes si tiene la misma medida.

Para representar que dos puntos o ´angulos dados son congruentes, se utiliza el s´ımbolo de congruencia ⇠=. Por ejemplo:

Si los segmentos PQ y MN son congruentes se representan por: P Q ⇠= M N . Si los ´angulos A y B son congruentes, se escribe como \A ⇠=\B.

El punto medio de un segmento AB es un punto C, entre A y B, de tal manera que AC ⇠= CB. La mediatriz de un segmento de recta, es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del mismo.

(107)

4.3. Relaci´

on entre ´

angulos

Se llaman ángulos adyacentes a los ángulos en el mismo plano que tienen un vértice y un lado común, pero no puntos interiores comunes.

Los ángulos \ABC y \CBD, son adyacentes porque tienen en común al segmento BC pero no tienen puntos en común.

En cambio los ángulos \ABD y \CBD, no son adyacentes, porque a pesar de que tienen por lado común a BD tienen puntos en común.

Euclides se˜nala en el teorema 1.14 del libro de los Elementos:

“Si respecto de una recta cualquiera y de un punto de ella, dos rectas no colocadas en el mismo lado de ella hacen ángulos adyacentes iguales a dos rectos, ambas rectas estarán sobre la misma recta”. Ocurre lo mismo si son tres rectas. Dicho en otras palabras, la suma de estos ángulos es igual a 180o

En la figura los ´angulos \EFD, \DFC, \CFB y \BFA suman 180o_.

En el teorema 1.15 del libro de los Elementos de Euclides se señala: “Si dos rectas se cortan, hacen ángulos opuestos por el vértice iguales.”

En la figura se observa que son opuestos por el vértice las parejas de ángulos: \ABC con \EBD y los ángulos \CBD y \ABE.

(108)

4.4. Clasificaci´

on de ´

angulos

El ´angulo de 0o _{se llama ´angulo nulo.}

El ´angulo de 90o _{se llama ´angulo recto.}

El ´angulo de 180o _{se llama ´angulo llano.}

El ´angulo de 360o _{se llama ´angulo per´ıgono.}

Los ´angulos que miden m´as de 0o _{y menos de 90}o _{se llaman}

´angulos agudos.

(109)

´angulos entrantes o c´oncavos.

Los ´angulos que suman 90o _{se llaman complementarios.}

Los ´angulos que suman 180o _{se llaman suplementarios.}

Los ´angulos que suman 360o _{se llaman conjugados.}

Ejercicio 4.1

1. En la siguiente figura, ¿Cu´ales parejas de ´angulos adyacentes son complementarios?

(110)

2. En la siguiente figura, ¿Cu´ales parejas de ´angulos adyacentes son suplementarios?

3. A partir de la figura siguiente determina:

a) Un par de ´angulos opuestos por el v´ertice. b) El suplemento de \EFD.

c) Un segmento que sea perpendicular a F C si \CFD = 90o_.

d) Un par de ´angulos adyacentes que no sean suplementarios. 4. A partir de la figura siguiente menciona:

a) Un par de ´angulos opuestos por el v´ertice.

b) ¿Son suplementarios \AFB y \BFD? Explica tu respuesta. c) Menciona el ´angulo complementario a \GBA.

d) Menciona dos ´angulos que sean congruentes.

e) Menciona dos ´angulos que sean suplementarios y no sean congruentes.

f) ¿Los ´angulos \FBA y \CBF son congruentes, adyacentes, opuestos por el v´ertice, com-plementarios o sucom-plementarios?

(111)

a) Menciona dos ´angulos que sean adyacentes pero no complementarios o suplementarios. b) Dado que \B y el \BAE son suplementarios, ¿el \B es agudo, recto u obtuso? Construcci´on 1: Mediatriz de un segmento dado.

1. AB y BA = C y D 2. Unir C y D

Construcci´on 2: Levantar una recta perpendicular a otra por uno

1. A =1 de sus extremos.

2. 1 =2 3. 2=3 4. 2 y 3= C 5. Unir A y C

Construcci´on 3: Trazar una recta paralela a otra 1. Localizar el punto 1(cualquiera)

sobre AB 2. 1= 2 y 3 3. 2= 4 4. 3= 5 5. Unir 4 y 5 109

(112)

Construcci´on 4: Obtener una paralela a una recta con una

1. A= 1 distancia dada.

2. 1= 2 3. 2= 3 4. 2 y 3= C 5. B= 4 6. 4= 5 7. 5= 6 8. 5 y 6= D 9. Unir A y C 10.Unir B y D 11.Copiar d en las perpendiculares = E y F 12.Unir E y F

Construcci´on 5: Obtener una bisectriz de un ´angulo dado 1. V= 1 y 2

2. 1 y 2= 3 3. Unir V con 3

Construcci´on 6: Trazar una perpendicular desde un punto dado 1. CQ y BQ= Q’ fuera de una recta.

(113)

Construcci´on 7: Copiar un ´angulo dado. 1. V= 1 y 2

2. A= 3

3. Copiar 12 en 3= C 4. Unir A con C

Construcción 8: Trazar un triángulo obtusángulo 1. V= 1 y 2 dados sus lados y el ángulo. 2. B= 3 3. Trasladar la medida 12 a partir de 3= 4 4. Unir B y 4 5. Copiar BC en B4= C 6. Unir A y C

Construcci´on 9: Trazar un tri´angulo equilatero 1. AB y BA= C

2. Unir A y C 3. Unir B y C

(114)

Construcción 10: Trazar un triángulo rectángulo dadas 1. Levantar una perpendicular las medidas de sus lados. sobre el punto B.

2. Copiar la medida de BC = C

3. Unir A y C

Construcci´on 11: Trazar un hex´agono conocido uno de sus lados. 1. 12 y 2= O 2. O trazar la circunferencia 3. 2= 3 4. 3= 4 5. 4= 5 6. 5= 6

7. Unir los puntos de 1-6

Construcci´on 12: Trazar un pent´agono conociendo uno de sus lados. 1. Trazar la mediatriz de 12= a

2. Levantar una perpendicular sobre 2. 3. 21= b 4. Prolongar la recta 12 en 2 5. ab= c 6. 1c= 4 7. 12 y 4=5

(115)

Ejercicio 4.2

1. Construye un segmento de recta, traza su mediatriz y localiza el punto medio del segmento.

2. Realiza la construcci´on de un ´angulo obtuso y traza su bisectriz.

4.5. Operaciones con ´

angulos

4.5.1. Angulos Complementarios

´

Para calcular el complemento de un ´angulo basta con restarlo de 90o _:

Ejemplo 1: Calcula el complemento de 20o ₌

Para calcular el complemento de 20o _{se lo restamos a 90}o

90o

- 20o

70o

En este caso el complemento de 20o _{es 70}o

(116)

Ejemplo 2: Calcula el complemento de 24o130 =

En este caso el ´angulo esta en grados (o_{) y minutos (}0_{) representamos a 90}o_{, tambi´en de la}

forma grados (o_{) y minutos (}0_{) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,}

entonces: 90o _{= 89}o₆₀0

Para calcular el complemento de 24o₁₃0 _{se lo restamos a 90}o _{que es equivalente a 89}o₆₀0

89o₆₀0

- 24o₁₃0

65o₄₇0

En este caso el complemento de 24o₁₃0 _{es 65}o₄₇0

Ejemplo 3: Calcula el complemento de 39o₅₈0₃₇00 ₌

En este caso el ´angulo esta en grados (o_{), minutos} 0 _{y segundos, representamos a 90}o_{, tambi´en}

de la forma grados (o_{) y minutos}0 _{y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado equivale}

a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces: 90o _{= 89}o₅₉0₆₀00

Para calcular el complemento de 39o₅₈0₃₇00 _{se lo restamos a 90}o _{que es equivalente a 89}o₅₉0₆₀00

En este caso el complemento de 39o₅₈0₃₇00 _es:

Ejercicio 4.3: Calcula el complemento de los siguientes ´angulos: a)24o _{su complemento es:}

(117)

d)44o390 su complemento es:

e)55o₂₄0₁₅00_{= su complemento es:}

f)69o₄₇0₁₈00_{= su complemento es:}

4.5.2. Angulos Suplementarios

´

Para calcular el suplemento de un ´angulo basta con restarlo a 180o _:

Ejemplo 1: Calcula el suplemento de 24o ₌

Para calcular el suplemento de 24o _{se lo restamos a 180}o

180o

- 24o

156o

En este caso el suplemento de 24o _{es 156}o

Ejemplo 2: Calcula el suplemento de 127o₃₈0 ₌

En este caso el ´angulo esta en grados (o_{) y minutos (}0_{) representamos a 180}o_{, tambi´en de la}

forma grados (o_{) y minutos (}0_{) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,}

entonces:

180o _{= 179}o₆₀0

Para calcular el suplemento de 24o₁₃0 _{se lo restamos a 180}o _{que es equivalente a 179}o₆₀0

179o₆₀0

- 127o₃₈0

52o₂₂0

En este caso el suplemento de 127o₃₈0 _{es 52}o₂₂0

(118)

Ejemplo 3: Calcula el suplemento de 89o2005000 =

En este caso el ´angulo esta en grados (o_{), minutos (}0_{) y segundos, representamos a 90}o_{, tambi´en}

de la forma grados (o_{) y minutos (}0_{) y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado}

equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces: 180o _{= 179}o₅₉0₆₀00

Para calcular el suplemento de 89o₂₀0₅₀00 _{se lo restamos a 180}o _{que es equivalente a 179}o₅₉0₆₀00

En este caso el suplemento de 89o₂₀0₅₀00 _es:

Ejercicio 4.4: Calcula el suplemento de los siguientes ´angulos: a)55o _{su suplemento es:}

b)28o₄₇0 _{su suplemento es:}

c)55o₉0 _{su suplemento es:}