Congruencia, Semejanza y

Teorema de Pit´agoras

El proceso de comparar dos figuras geom´etricas se realiza a partir de observar la relaci´on que existe entre el tama˜no y la forma de ellas. Al realizarlo se obtienen tres resultados posibles: uno de ellos es determinar que no tienen la misma forma y que su tama˜no es distinto, cuando esto ocurre se dice que las figuras geom´etricas son diferentes.

Otro resultado, es determinar que tienen la misma forma pero que su tama˜no es desigual, en este caso se dice que las figuras son semejantes; el ´ultimo resultado posible, es obtener que tiene la misma forma y el mismo tama˜no, en este caso se menciona que las figuras son congruentes. La congruencia es un caso particular de la semejanza.

En matem´aticas este criterio de comparaci´on se realiza a partir de considerar la relaci´on que existe entre los elementos de una figura con respecto a los de la otra. Es decir, como los elementos de una figura geom´etrica son los ´angulos y los lados que la conforman, entonces el proceso de com- paraci´on consiste en considerar la relaci´on que hay del ´angulo de una figura con el correspondiente ´angulo de la otra, de manera similar se considera la relaci´on lado a lado de manera correspondiente. Es indudable que se puede emplear cualquier par de figuras para realizar la comparaci´on, como por ejemplo dos pol´ıgonos con la misma cantidad de lados; sin embargo, lo m´as com´un es utilizar dos tri´angulos por ser las figuras m´as simples.

5.1.

Tri´angulos Congruentes

Definici´on: Los tri´angulos congruentes son aquellos que tienen el mismo tama˜no y la misma forma de tal manera que al superponerlos coinciden de manera exacta.

Para iniciar el proceso de comparaci´on de dos tri´angulos se partir´a de considerar que se tienen las dos figuras siguientes.

Si los tri´angulos 4ABC ⇠=4DEF donde el s´ımbolo ⇠= significa congruencia, lo cual implica que hay una correspondencia entre sus v´ertices de manera que cada par de lados y ´angulos sean congruentes.

V´ertices Angulos´ Lados A_{$ D} \A $ \D AB _{$ DE} B _{$ E} \B $ \E BC _{$ EF} C_{$ F} \C $ \F AC _{$ DF}

Postulado LAL: Si dos lados y el ´angulo comprendido entre ellos de un tri´angulo son respec- tivamente congruentes con los lados y el ´angulo comprendido entre ellos de otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son congruentes.

Postulado ALA: Si dos ´angulos y el lado com´un de ellos de un tri´angulo son respectivamente congruentes con los dos ´angulos y el lado com´un de ellos, de otro tri´angulo, los dos tri´angulos son congruentes.

Postulado LLL: Si los tres lados e un tri´angulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro tri´angulo entonces los dos tri´angulos son congruentes.

Ejercicio 5.1

1. En cada inciso dadas las condiciones indica si los tri´angulos son o no congruentes, si lo son, se˜nala el criterio de congruencia.

b) Si AB ⇠= RS, y BC ⇠= T S, \B ⇠=\S.

Los tri´angulos son congruentes. Postulado:

c) Si \A ⇠=\R, \B ⇠=\S, AB ⇠= RS.

Los tri´angulos son congruentes. Postulado:

d) Si \C ⇠=\T, \B ⇠=\S, BC ⇠= T S

Los tri´angulos son congruentes. Postulado:

e) Si \A ⇠=\R, \C ⇠=\T, \B ⇠=\S

Los tri´angulos son congruentes. Postulado:

2. Determina por cual de los tres postulados (LAL, ALA, LLL) son congruentes los pares de tri´angulos que se muestran, considera que las congruencias est´an indicadas por las marcas aunque no lo parezcan a simple vista. Revisa si la informaci´on es suficiente.

a) Postulado:

b) Postulado:

c) Postulado:

d) Postulado:

e) Postulado:

f) Postulado:

g) Postulado:

3. Hallar el valor de x, y o z, en cada par de tri´angulos congruentes. a)

x= y=

b) x= y= c) x= z= d) x= z= e) x= y= 191

f) x= y= g) x= y= h) x= y= i) x= y=

j) x= z= k) x= z=

4. En cada inciso indica que parejas de tri´angulos son o no congruentes; si lo son, se˜nala que criterio de congruencia justifica tu respuesta.

a) Postulado: ₄ ⇠=4 b) Postulado: ₄ ⇠=4 c) Postulado: 4 ⇠=4 193

d) Postulado: ₄ ⇠=4 e) Postulado: 4 ⇠=4 f) Postulado: ₄ ⇠=4

5. En las figuras siguientes demuestra que_{4I ⇠}=4II con las hip´otesis que se dan. a)Si BE ⇠= EC y AE ⇠= ED

c)El cuadril´atero ABCD es un rect´angulo.

d)El cuadril´atero ABCD es un paralelogramo

e)El cuadril´atero ABCD es un rombo

f)Si BF?DE, BF ?AC y \1 ⇠=\2

g)Si \1 ⇠=\2 y C es el punto medio de BD

h) Si \↵ ⇠=\ , AB ⇠= DF , CF ⇠= BE

i) Si \↵ ⇠=\ , AB ⇠= ED, EF ⇠= BC

j) Si AE ⇠= EB, AD? AB y CD ? AB

k) Si ABCDE es un pent´agono regular

5.2.

Tri´angulos Semejantes

En matem´aticas el concepto de semejanza esta ligado al concepto de proporcionalidad. Se dice que dos objetos son semejantes si “guardan” una proporci´on entre ellos.

el s´ımbolo ⇠ denota semejanza.

Dos tri´angulos son semejantes, si y solo si, se cumple lo siguiente: ´ Angulos Congruentes Lados Proporcionales \A ⇠=\D \B ⇠=\E \C ⇠=\F

Adem´as existe la misma proporci´on entre los lados correspondientes respectivos u hom´ologos. DE AB

=

=

=

Donde k es una constante de proporcionalidad.

Postulado LAL: Si dos lados de un tri´angulo son proporcionales a dos lados de otro tri´angu- lo y los ´angulos comprendidos entre estos dos lados son congruentes, entonces los tri´angulos son semejantes.

Postulado LLL: Si los tres lados de un tri´angulo son proporcionales respectivamente a los tres lados de otro tri´angulo, entonces los tri´angulos son semejantes.

Postulado AAA: Si los tres ´angulos de un tri´angulo son congruentes respectivamente a los tres ´angulos del otro tri´angulo, entonces los tri´angulos son semejantes.

Teorema fundamental de la proporcionalidad o de Thales y su rec´ıproco: Suponga- mos que una recta corta a dos lados de un tri´angulo en dos puntos distintos.

a) Si la recta es paralela al tercer lado, entonces corta a los dos lados en segmentos proporcio- nales.

b) Si la recta corta a los dos lados en segmentos proporcionales entonces es paralela al tercer lado.

Ejercicio 5.2:

1. En cada inciso marca los criterios de semejanza de los pares de tri´angulos que se muestran

a)Postulado:

b) Postulado:

c) Postulado: