5. Descripci´ on y desarrollo del proyecto
5.2. Resultados de la estimaci´ on de par´ ametros
5.2.3. Comparativa con otros modelos
Una vez se conocen los errores cometidos en cada configuraci´on y cual es la m´as eficiente, se puede llevar a cabo un an´alisis m´as detallado de las soluciones obtenidas en la estimaci´on de par´ametros y compararlas con las publicaciones de estas.
5.2.3.1 Evento GW150914
Como ya se hab´ıa introducido anteriormente, el evento que tuvo lugar el 14 de setiembre del 2015 fue un evento con gran SNR. Esto provoca que la estimaci´on de par´ametros sea m´as precisa ya que el ruido no interfiere tanto en los c´alculos.
En la Figura 21 se muestran las distribuciones a posteriori de los par´ametros intr´ınsecos y extr´ınse- cos del evento, obtenidas en la estimaci´on de par´ametros llevada a cabo con 2000 puntos vivos y 1000 pasos de MCMC. Se puede apreciar como, para el caso de la masa de chirp y el esp´ın adi- mensional efectivo, se converge a una ´unica soluci´on haciendo que los intervalos de confianza sean estrechos. En el caso de los dem´as par´ametros, no se obtienen distribuciones normales, sino que en la mayor´ıa existe un comportamiento bimodal sugiriendo que durante el muestreo se converge a dos soluciones diferentes, una de las cuales es simplemente ruido.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h)
Figura 18: An´alisis de la variaci´on de los errores de implementaci´on y boostrap con el n´umero de puntos vivos del evento GW170929 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional para el primer cuerpo (e) el esp´ın adimensional para el segundo cuerpo (f) el ´angulo de inclinaci´on (g) el ´angulo de declinaci´on y (h) el ´angulo de ascensi´on.
Para examinar con m´as profundidad los resultados obtenidos con el modelo IMRPhenomXHM, estos se superponen a las distribuciones a posteriori publicadas en [12] cuya estimaci´on de par´ame- tros fue llevada a cabo por lalInference y se utiliz´o el modelo SEOBNRv2. Tambi´en se realiza una comparaci´on con la ejecuci´on de dos modelos que no incluyen modos subdominantes (IMRPhe- nomD y IMRPhenomXAS) usando el mismo procedimiento de estimaci´on de par´ametros usado para IMRPhenomXHM.
En la Figura 22 se ve como claramente con los modelos IMRPhenomD y SEOBNRv2 se obtienen las mismas soluciones menos en el caso del ´angulo de inclinaci´on donde para IMRPhenomD se obtiene una distribuci´on m´as picuda y como consecuencia con un intervalo de confianza menor, dando una soluci´on m´as precisa. En el caso del modelo IMRPhenomXAS, la masa de chirp y el esp´ın adimensional efectivo tambi´en se reproducen con exactitud. Para el resto de par´ametros, las distribuciones a posteriori sufren un comportamiento multimodal. Esto puede ser debido a una posible susceptibilidad del modelo al proceso estoc´astico al que ha sido sometido durante la estimaci´on de par´ametros ya que dicho modelo sigue en desarrollo. No obstante otro factor
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h)
Figura 19: An´alisis de la variaci´on de los errores de boostrap con el n´umero de puntos vivos del evento GW170729 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional para el primer cuerpo (e) el esp´ın adimensional para el segundo cuerpo (f) el ´angulo de inclinaci´on (g) el ´angulo de declinaci´on y (h) el ´angulo de ascensi´on.
importante es la importancia de los errores de implementaci´on, seguramente las distribuciones mejorar´ıan al usar mayor n´umero de puntos en el muestreo como se ha indicado en el apartado anterior. Finalmente, para el modelo IMRPhenomXHM, se ve claramente como para el ´angulo de inclinaci´on, el de ascensi´on y declinaci´on coinciden con los resultados obtenidos para SEOBNRv2 y IMRPhenomD. Al introducir los modos subdominantes se consigue una mejor precisi´on en dichos par´ametros, ya que estos modos aportan informaci´on sobre la orientaci´on del sistema. Por otro lado, las dem´as distribuciones a posteriori sufren un desplazamiento, aunque s´ı son m´as estrechas. Este desplazamiento tiene dos posibles causas: que al ser un modelo que incluye modos subdominantes y otras correcciones puede aportar mayor precisi´on en los resultados que los dem´as modelos o que al estar a´un en desarrollo al igual que IMRPhenomXAS puede que exista un peque˜no desplazamiento en el espacio de par´ametros. Lo que s´ı es claro, es que son necesarios m´as puntos vivos para obtener distribuciones m´as suaves.
Al resumir todos los resultados de la estimaci´on de par´ametros para los diferentes modelos en el Cuadro 8, se observa como la fluctuaci´on en los resultados no es dr´astica. Los intervalos de confianza
3
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 20: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando Dynesty y CPNest con 1024 puntos vivos en el evento GW170729 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.
engloban a todos los modelos entre s´ı, haciendo posible la afirmaci´on de que todos convergen aproximadamente a la misma soluci´on. A´un as´ı, se deber´ıan realizar otros an´alisis aumentando el n´umero de puntos para ver si realmente las distribuciones dejan de sufrir multimodalidad.
5.2.3.2 Evento GW170729
El evento que tuvo lugar el 29 de julio de 2017 fue debido a la fusi´on de un sistema binario de agujeros negros con masa importante. Dicho acontecimiento no tuvo un cociente de se˜nal ruido tan importante como el primer evento, hecho que complica la obtenci´on de la se˜nal. Por esta raz´on y probablemente por el uso insuficiente de puntos en el muestreo, en la Figura 23, donde se representan las distribuciones a posteriori de algunos par´ametros, se puede observar multimodalidad.
Para un an´alisis del modelo IMRPhenomXHM m´as profundo, se realiza un estudio de la estima- ci´on de par´ametros para este evento que, debido a su gran masa, distancia y esp´ın, tiene gran contribuci´on de los modos subdominantes. Para ello, se procede a una comparaci´on entre sus re- sultados y los obtenidos en el art´ıculo donde se estudian las propiedades de este evento [25] usando lalInference con diversos modelos, teniendo y no en cuenta los modos subdominantes. Tambi´en se realiza la misma comparaci´on que en el evento anterior, usando las ejecuciones de IMRPhenomD y IMRPhenomXAS empleando Bilby.
Par´ametro q M(M) χ1 χ2 dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
Dynesty 0.80+0−0..0809 48.99−+33..4301 0.16−+00..2115 0.24+0−0..1923 2442.35+1230−807.18.10 -0.86+0−0..2158 5.25+0−0..4431 2.01+0−0..5291 CPNest 0.76+0−0..1516 47.67−+54..3633 0.20−+00..2822 0.09+0−0..1429 3345.36+1040−1147..6693 0.11+0−0..8760 2.81+2−0..6935 1.51+1−1..1802
σimp 0.1027 3.4409 0.1813 0.1158 974.2992 0.7984 1.1223 0.3489
σbs 0.0010 0.0371 0.0018 0.0025 14.5372 0.0034 0.0198 0.0084
Cuadro 7: Tabla comparativa de los resultados de la estimaci´on de par´ametros con Dynesty y CPNest, y sus errores del evento GW170729 usando 1024 puntos vivos y 1000 pasos de MCMC.
(a) (b)
Figura 21: Distribuciones a posteriori de los par´ametros (a) intr´ınsecos y (b) extr´ınsecos del evento GW150914.
En primer lugar, en la Figura 24 se realiza una comparaci´on entre los resultados obtenidos por el mismo procedimiento. Se puede apreciar como los modelos sin modos subdominantes se superponen mayormente en casi todos los par´ametros. Al tratarse de dos modelos que solo tienen en cuenta el modo dominante (2,2), siguen la misma f´ısica, aunque el modelo IMRPhenomXAS introduce un nuevo proceso de calibraci´on que lo hace m´as preciso. No obstante, al usar modos subdominan- tes, el modelo es capaz de aproximar mejor la forma de onda en el caso de tener masas y esp´ın elevados al incrementarse su relevancia. En esta comparaci´on se puede apreciar como en el caso de IMRPhenomXHM las distribuciones, a pesar de sus multimodalidad debido a bajo SNR y al n´umero reducido de puntos de muestreo, tienden a ser m´as estrechas siendo menor su intervalo de confianza. Esto ocurre sobre todo en el cociente de masa, esp´ın adimensional efectivo y el ´angulo de inclinaci´on, par´ametros que se ven fuertemente influenciados con la presencia de modos subdo- minantes. Sin embargo, para los ´angulos de declinaci´on y ascensi´on la soluci´on se ve desplazada
Par´ametro q M(M) χef f dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
SEOBNRv23 0.86+0−0..0913 31.06−+00..8689 -0.03−+00..0607 445.37+95−104.99.23 -1.21+0−0..1305 1.69+0−0..6861 2.72+0−0..2337 IMRPhenomD 0.87+0−0..0811 30.67−+00..7578 -0.05−+00..0606 414.96+109−111..4383 -1.20+0−0..1307 1.91+0−0..5777 2.49+0−0..3250 IMRPhenomXAS 0.80+0−0..0907 30.55−+00..6557 -0.05−+00..0505 366.27+202−108..8498 -1.08+0−0..1211 2.52+0−0..1015 1.96+0−0..6660 IMRPhenomXHM 0.94+0−0..0405 29.54−+00..4349 -0.14+0−0..0404 502.07+77−100.70.92 -1.20+0−0..1407 2.26+0−0..3074 2.65+0−0..2329 Cuadro 8: Tabla comparativa de los resultados de la estimaci´on de par´ametros con SEOBNRv2, IMRPhenomD, IMRPhenomXAS, y IMRPhenomXHM del evento GW150914.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 22: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando IMRPhenomD, IMRPhenomXAS, IMRPhenomXHM y SEOBNRv2 en el evento GW150914 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.
respecto a los dem´as modelos posiblemente por la misma raz´on que en el evento anterior.
En segundo lugar, se comparan ´unicamente los modelos que no tienen en cuenta los modos subdo- minantes junto con los de la literatura [25] que tampoco los tienen en cuenta. En la Figura 25 se observa claramente como las soluciones para IMRPhenomD ejecutado tanto en lalInference como en Bilby y para SEOBNRv4 se superponen. No obstante, los par´ametros intr´ınsecos calculados mediante IMRPhenomXAS tienen una cierta bimodalidad que no aparece en los dem´as modelos. Al igual que en los casos anteriormente estudiados, al ser un modelo todav´ıa en desarrollo puede que la gran aleatoriedad de la se˜nal dificulte su convergencia a una ´unica soluci´on.
Finalmente, se realiza exactamente la misma comparaci´on con los modelos que s´ı introducen los modos subdominantes. De esta manera, en la Figura 26 se observa como en la mayor´ıa de los par´ametros IMRPhenomXHM recupera la misma soluci´on que los otros modelos con modos sub- dominantes. Para el caso del coeficiente de masa, el ´angulo de declinaci´on y de ascensi´on vuelve a aparecer el desplazamiento de la distribuci´on.
Al resumir todos los resultados en el Cuadro 9 se puede concluir que las soluciones obtenidas usan- do la librer´ıa Bilby son comparables a las obtenidas con lalInference que se muestrearon usando la
Figura 23: Distribuciones a posteriori de algunos par´ametros del evento GW170729. t´ecnica de MCMC y no la de muestreo anidado como es nuestro caso. Por otro lado, al comparar las soluciones entre modelos vemos que en el caso de despreciar los modos subdominantes se re- cuperan aproximadamente las mismas soluciones en todos los casos aunque las distribuciones para IMRPhenomXAS sean multimodales y tengan intervalos de confianza mayores. Sin embargo, si se tienen en cuenta estos modos, las distribuciones a posteriori son a´un m´as comunes haciendo posible asegurar que IMRPhenomXHM tiene discrepancias con los modelos que solo tienen en cuenta el modo dominante debido a que este modelo tiene m´as precisi´on al tener una f´ısica m´as compleja detr´as.
Par´ametro q M(M) χef f dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
IMRPhenomD4 0.68+0−0..2019 54.34−+44..0670 0.42−+00..1114 2896.21+840−893..6159 −1.04+0−0..1972 5.51−+00..3267 1.00+1−0..5655 IMRPhenomHM4 0.55+0−0..1712 52.58−+45..2815 0.36−+00..1214 2300.57+830−702..0798 −1.00+0−0..2372 5.41−+00..4360 1.24+1−0..1564 SEOBNRv44 0.68+0−0..2018 55.42−+44..6896 0.42−+00..1415 2968.50+875−933..9441 −1.05+0−0..1871 5.52−+00..3065 1.03+1−0..5260 SEOBNRv4HM4 0.60+0−0..2113 53.77−+55..0330 0.34−+00..1515 2664.09+925−790..8543 −1.08+0−0..1559 5.53−+00..3158 1.00+1−0..4250 IMRPhenomD 0.76−+00..1617 51.05−+44..2236 0.31−+00..1214 3190.34+824−875..6531 −0.85−+00..4130 5.23+0−0..3729 1.80+0−1..8933 IMRPhenomXAS 0.87−+00..0809 48.60−+73..0413 0.19−+00..2710 3152.91+812−759..5687 −0.69−+10..2631 5.10+0−2..3251 2.06+0−1..5741 IMRPhenomXHM 0.85−+00..0807 52.18−+45..3970 0.34−+00..1121 3095.58+747−916..1675 0.06−+00..1525 2.07+2−0..7309 2.36+0−0..3258 Cuadro 9: Tabla comparativa de los resultados de la estimaci´on de par´ametros con SEOBNRv4,
IMRPhenomD, IMRPhenomXAS, IMRPhenomXHM usando lalInference y Bilby del evento GW170729.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 24: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando en Bilby los modelos IMRP- henomD, IMRPhenomXAS, IMRPhenomXHM en el evento GW170729 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 25: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando en Bilby los modelos IMRPhe- nomD, IMRPhenomXAS y en lalInference IMRPhenomD y SEOBNRv4 para el evento GW170729 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimen- sional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 26: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando en Bilby del modelo IMRPhe- nomXHM y en lalInference IMRPhenomHM y SEOBNRv4HM para el evento GW170729 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.