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4. An´ alisis de datos

4.2. Procesamiento de los datos

Al no obtener la se˜nal f´ısica directamente sino que es interferida por ruido (4.2), los datos observados deben ser procesados para separar dicha se˜nal del ruido. Para ello los datos deben ser sometidos a diversas operaciones matem´aticas que se definen a continuaci´on [4].

4.2.1. Correlaci´on cruzada

La correlaci´on cruzada cuantifica el nivel de relaci´on entre dos variables aleatorias,

x1∗x2=

Z +∞ −∞

x1(t)·x2(t+τ)·dt. (4.6)

Figura 10: Fuentes de ruido de Advanced LIGO. [31]

Este c´alculo se utiliza para determinar la semejanza entre dos se˜nales desplazadas, un cierto tiempo (t), entre s´ı. De esta manera se pueden encontrar caracter´ısticas relevantes de una se˜nal desconocida compar´andola con otra conocida.

En el dominio de frecuencias equivale a:

(x1∗x2)(t)→X1∗(f)·X

2(f) 4.2.2. Autocorrelaci´on

La autocorrelaci´on corresponde a la correlaci´on cruzada entre la se˜nal y ella misma desplazada un cierto tiempo,

x∗x=

Z +∞ −∞

x(t)·x(t+τ)·dt. (4.7) Se utiliza para encontrar patrones repetitivos dentro de una se˜nal facilitando informaci´on sobre la periodicidad y sus frecuencias caracter´ısticas.

4.2.3. Convoluci´on

El operador convoluci´on es muy importante a la hora de describir el comportamiento de un sistema lineal. Cualquier serie temporal lineal corresponde al producto de convoluci´on entre la respuesta de la se˜nal y su se˜nal de entrada, haciendo posible la determinaci´on del efecto de x1 sobre x2:

x1∗x2=

Z +∞ −∞

x1(t)·x2(t−τ)·dt, (4.8)

siendox2 (t) la respuesta impulso, la se˜nal de salida de una delta de Dirac.

En el dominio de frecuencia el producto de convoluci´on equivale a una simple multiplicaci´on: (x1∗x2)(t)→X1(f)·X2(f).

4.2.4. Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier es una operaci´on matem´atica que transforma una se˜nal del dominio temporal,x(t), al de frecuencia, X(f) o viceversa:

x(t) = Z +∞ −∞ X(f)·ei2πf t·df, (4.9) X(f) = Z +∞ −∞ x(t)·e−i2πf t·dt. (4.10) Realizar la transformaci´on de una se˜nal es ´util para comprender las se˜nales y resolver errores en estas. Este proceso descompone la se˜nal en ondas sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias. Esto es posible ya que cualquier onda en el dominio temporal puede ser representada por la suma acumulada de senos y cosenos. De esta manera, si se puede construir una funci´on mediante senos, se puede descomponer una se˜nal en estos, analizando as´ı las frecuencias presentes en la se˜nal original. Al tener una se˜nal digital, los datos son discretos y la transformada tambi´en debe serlo. Este procedimiento puede ser muy lento debido al gran n´umero de puntos, una versi´on m´as r´apida de c´alculo es la transformada r´apida de Fourier (FFT). Al realizar este proceso num´ericamente, se considera un conjunto finito de puntos infinitamente peri´odicos. Al ser una se˜nal experimental, el n´umero de periodos no es entero ya que nuestra onda est´a truncada, provocando que el proceso FFT realice una versi´on distorsionada de la se˜nal real, es decir, una fuga espectral.

Para corregir este efecto en la transformada, es necesario aplicar una funci´on ventana (funci´on escal´on) donde se trunca la se˜nal y se estudian los puntos de inter´es:

xw(t) =x(t)·w(t)→Xw(f) =X(f)∗W(f),

siendo x(t) la se˜nal en el dominio temporal y w(t) la funci´on escal´on ventana:

w(t) =    1 si t∈[0, T] 0 otros casos. 4.2.5. Densidad de probabilidad

La transformada de Fourier es ´util para plasmar en el dominio de frecuencias una se˜nal determinista. Al tener una se˜nal aleatoria, es m´as apropiado calcular la densidad de probabilidad. Esta densidad da informaci´on sobre c´omo est´a distribuida la potencia o energ´ıa de la se˜nal en diferentes frecuencias.

4.2.5.1 Densidad espectral de energ´ıa

Una se˜nalx(t) se define en energ´ıa, si su energ´ıa media es finita (0< Ex<∞) y como consecuencia,

la potencia media es cero (Px= 0). El teorema de Parseval relaciona las integrales del valor absoluto

cuadrado de x(t) y X(f) de la siguiente manera:

ET = Z +∞ −∞ dt· |x(t)|2= Z +∞ −∞ df· |X(f)|2. (4.11)

As´ı pues, la densidad espectral de energ´ıa viene dada por el valor absoluto cuadrado de la trans- formada de Fourier:

4.2.5.2 Densidad espectral de potencia

Una se˜nal x(t) se define en potencia, si su potencia media es finita (0 < Px <∞) y consecuente-

mente, la energ´ıa media es finita (Ex=∞).

Esta densidad viene dada por la transformada de Fourier de la funci´on de autocorrelaci´on (x?x(τ)), tal que:

Pxx= Z +∞

−∞

x ? x(τ)·e−i2πτ ·dτ. (4.12)

La suma de todas estas densidades en el espectro de frecuencia es la potencia total de la se˜nal:

P =

Z +∞ −∞

Pxx(f)·df.

De esta manera, se define como el espectro de potencia unilateral,sn(f), con solo valores positivos,

como: Sn(f) =    2Pxx(f) si f ≥0 0 otros casos. (4.13) Dicho espectro de potencia unilateral es el m´as usado y para simplificar es llamado ´unicamente espectro de potencia.

4.2.6. Estimaci´on de la densidad espectral

Como ya se ha dicho anteriormente, los datos obtenidos por el detector son estoc´asticos y estacio- narios a trozos. Al tratarse de variables aleatorias, la densidad espectral no puede determinarse con precisi´on, por lo que se hace una estimaci´on.

El m´etodo m´as usado para llevar a cabo esta estimaci´on es el periodograma. Este es una repre- sentaci´on gr´afica en tres dimensiones de la energ´ıa del contenido frecuencial de la se˜nal en funci´on del tiempo. De esta manera se representa la frecuencia, el tiempo y la amplitud de la energ´ıa de la se˜nal.

Para realizar esta gr´afica es necesario realizar una sucesi´on de transformadas de Fourier donde la energ´ıa y el contenido en frecuencia cambian con el tiempo:

P eriodograma= |X(f)|

2

T ,

siendo X(f) la transformada de Fourier de la se˜nal y T el tama˜no del periodograma. En el l´ımite deT → ∞ el valor esperado es el espectro de potencia.

En primer lugar, se realiza un muestreo de la se˜nal donde se aplica un enventanado para evitar el efecto de fuga espectral. Seguidamente los segmentos muestreados son analizados a lo largo del tiempo solapando cada uno de los desplazamientos para evitar discontinuidades mediante el m´etodo Welch. Este m´etodo se basa en el c´alculo de los periodogramas de segmentos superpuestos de la serie temporal, posteriormente promedi´andolos para reducir su varianza.

De esta manera se realiza una Transformada de Fourier a tiempo reducido (STFT, siglas en ingl´es). Esta es una transformada usada para determinar el contenido en frecuencia sinusoidal y de fase en secciones locales y sus cambios en el tiempo. Finalmente se utiliza el m´etodo de Welch para realizar el periodograma.

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