Las competencias y errores en el grafo se identifican, básicamente, a través de los colores con los que se representan los diferentes elementos del grafo de la resolución. En efecto, todo aquello que aparece en rojo es fruto de un error y todo aquello que aparece en otro color representa una actuación competente por parte del resolutor.
Un grafo en el que no aparece ningún elemento en rojo representa una resolución que no contiene ningún error. Si, además, el estudiante llega a obtener la condicional preguntada, podemos decir que su actuación, en conjunto, ha sido competente. Si la resolución contiene errores, no podemos declarar la actuación global del estudiante
como competente, pero esto no significa que el resolutor no muestre ningún tipo de competencia, pues puede mostrarse competente en algunas de las fases de la resolución del problema.
Por otra parte, no entendemos lo mismo por actuación competente que por éxito en la resolución. Una resolución con éxito es para nosotros aquella en la que el estudiante llega a dar un número correcto como respuesta a la pregunta del problema (salvo errores de cálculo). Es decir, siempre que la variable Número tome el valor 1. Esto no significa necesariamente que la resolución no contenga errores, pues puede contener errores que no hayan impedido al estudiante llegar al resultado numérico correcto (por ejemplo, errores en la descripción de cantidades por dificultades de expresión). De la misma manera, hay resoluciones que no contienen errores pero no son resoluciones con éxito porque el resolutor abandona la resolución sin dar una respuesta a la pregunta del problema (por un bloqueo, falta de tiempo, etc.).
A la hora de analizar los resultados no haremos una distinción entre actuaciones competentes y no competentes, sino entre procesos de resolución con éxito y procesos de resolución sin éxito. De los primeros nos interesan las diferentes estrategias de resolución empleadas por los estudiantes (estrategias de resolución con éxito) y de todos ellos (los procesos con éxito y sin éxito) nos interesan también los errores que contienen.
4.9.3.1.2.1 – Estrategias de resolución con éxito.
Para identificar las diferentes estrategias de resolución con éxito hemos atendido únicamente a las cantidades y a las relaciones entre cantidades que aparecen en las resoluciones de los estudiantes, es decir, a las lecturas analíticas de las resoluciones realizadas en el grafo. Sin embargo, debemos hacer algunas observaciones al respecto.
En primer lugar, existen resoluciones escritas que, conteniendo las mismas cantidades intermedias y las mismas relaciones, difieren en el orden en que éstas aparecen. Dos resoluciones escritas con estas características darán lugar a un mismo grafo y las consideraremos como una misma forma de resolver el problema, es decir, como una misma estrategia de resolución derivada de lo representado en el grafo. Así entendemos por ruta de resolución un conjunto ordenado de aristas con sus respectivos vértices, que nos lleva desde los datos conocidos hasta la condicional por la que se pregunta. En cambio, una estrategia de resolución será, para nosotros, cada conjunto de aristas y vértices que nos lleva desde los datos conocidos hasta la pregunta del problema, sin importar el orden en que se despliegan en la resolución escrita (cuando hay más de una posibilidad para esta ordenación).
Por otra parte, existen resoluciones con éxito que contienen cantidades intermedias y relaciones superfluas, es decir, cantidades intermedias y relaciones que no son estrictamente necesarias para obtener la respuesta del problema. Estos casos no los
consideramos como nuevas estrategias de resolución, sino como casos particulares de la estrategia de resolución que resulta tras la eliminación de las cantidades y aristas superfluas. El grafo de una resolución con aristas superfluas no coincide exactamente con el grafo que representa a la estrategia de resolución asociada, pero este último siempre estará contenido en el primero.
En el apartado 5.3.3 (p. 226) describiremos todas las estrategias de resolución con éxito observadas para cada problema, atendiendo a estos criterios.
4.9.3.1.2.2 – Errores.
Lo que en esta tesis entendemos por error en las resoluciones de los estudiantes se ajusta al significado enciclopédico del término (Real Academia Española, 2013):
"1. m. Concepto equivocado o juicio falso. 2. m. Acción desacertada o equivocada. 3. m. Cosa hecha erradamente."
Y aunque es evidente la necesidad de precisar el significado con que se usa aquí dicho término, su definición no se hará por comprensión sino por extensión. Así, en las líneas que siguen explicaremos lo que hemos calificado de error en las resoluciones de los estudiantes y en las Tablas 4.19 y 4.20 mostraremos los diferentes tipos de error identificados. Evidentemente, esta caracterización de los errores es de carácter local (específica para la investigación que nos ocupa) y no pretende agotar todas las posibilidades de error que pueden darse en la resolución de un problema de N0, por lo
que queda abierta a futuras ampliaciones o modificaciones en próximas investigaciones. En primer lugar, hemos distinguido entre errores de cantidad y errores de relación. Los errores de cantidad son aquellos que se producen en relación a una determinada cantidad (errores de interpretación, de descripción, etc.). Como norma general, si el resolutor comete un error de cantidad, alguna de las componentes de la terna asociada a la cantidad en cuestión (el número, x, la descripción, n, o el formato, f) será incorrecta. Pero también hemos considerado como error de cantidad el responder a la pregunta del problema con una cantidad distinta de aquella por la que se pregunta, aunque todas las componentes de dicha cantidad sean correctas.
Por otra parte, los errores de relación son aquellos que se producen al establecer relaciones entre tres o más cantidades y para identificarlos es necesario considerar conjuntamente estas cantidades y la forma en que las relaciona el resolutor. Los errores de relación también generan cantidades con alguna componente errónea: como mínimo la componente x de la nueva cantidad producida a partir de la relación errónea, será incorrecta.
En el grafo, las relaciones entre cantidades se representan mediante aristas y las cantidades mediante vértices, por lo que la representación de los errores de relación tiene que ver con las aristas y la de los errores de cantidad con los vértices. Así, un error de relación siempre se representará en el grafo resaltando en rojo la arista correspondiente (o el par de aristas correspondientes, si se produce en el uso de la regla de tres). Los errores de cantidad presentan más variaciones en su representación porque pueden ser de naturalezas más diversas, y no todos originan vértices en rojo.
Un vértice en rojo representa sólo una de tres cosas: una cantidad que el resolutor ha interpretado erróneamente; una cantidad mal construida, es decir, una cantidad obtenida de una relación falsa; o una cantidad sin sentido en el contexto del problema, incorporada por el resolutor sin hacer explícito el modo de obtención. Pero si el estudiante comete, por ejemplo, un error de expresión (un error en la componente n), el vértice correspondiente a la cantidad descrita incorrectamente no se obscurece en rojo, sino en azul (sólo se escribe en rojo la descripción errónea).
Por otra parte, la componente x de todo vértice rojo será errónea y estará escrita en rojo. A la inversa no sucede lo mismo: la componente x de una cantidad puede estar señalada en rojo por ser errónea y el vértice correspondiente ser de color azul. Esto es así cuando la cantidad está bien construida (procede de la aplicación de una relación verdadera entre cantidades) pero su componente x es errónea porque para su obtención se ha usado alguna cantidad cuya componente x era errónea. Esto permite identificar rápidamente el origen y la naturaleza de los errores que hemos llamado de cantidad, es decir, permite distinguir entre errores de cantidad originarios y errores de cantidad derivados de otros errores.
Las Tablas 4.19 y 4.20 resumen los diferentes tipos de error de cantidad y de relación identificados en los pre-test y la forma en que se representan en el grafo, según el método expuesto en el apartado anterior. En el apartado 5.3.4 (p. 248) ejemplificamos y describimos con detalle estos errores.
ERRORES DE CANTIDAD Fase del proceso de
resolución en las que se observan
Tipos de error Representación en el grafo
Fase I - Organización de la información E1: Errores de interpretación de las cantidades conocidas dadas en el enunciado.
Se obscurece en rojo el vértice al que se le asigna la cantidad interpretada erróneamente y, también, la componente x de dicha cantidad. Fase I – Fase II - Organización de la información - Obtención de cantidades intermedias
E2: Uso de un mismo
número para dos sucesos distintos, es decir, dos cantidades coinciden erróneamente en la componente x.
Se escribe dicho número junto a dos vértices distintos. Al menos uno de éstos se obscurece en rojo y junto a él se escribe la componente x en rojo. Fase I - Fase II - Organización de la información - Obtención de cantidades intermedias
E3: Uso de dos
números diferentes para un mismo suceso, es decir, dos cantidades difieren en la
componente x pero sus respectivas
componentes n son equivalentes.
Se duplica el vértice
correspondiente a la cantidad y se obscurece en azul aquel al que le corresponda la
componente x correcta (si le corresponde a alguno de los dos) y en rojo aquel al que le
corresponda la componente x errónea. La componente x errónea se escribe en rojo. Fase I - Fase II - Fase III -
Fase IV
- Organización de la información
- Obtención de cantidades intermedias
- Obtención del porcentaje que se da como resultado. - Respuesta a la pregunta del problema
E4: Discordancia entre
las componentes x y n de una cantidad, por error de expresión.
La componente n errónea se escribe en rojo junto al vértice correspondiente.
Fase IV
- Respuesta a la pregunta del problema
E5: Dar como resultado
una cantidad distinta de la condicional por la que se pregunta.
Se rodea con una línea roja la cantidad que se da como
resultado cuando ésta es distinta de la condicional por la que se pregunta.
ERRORES DE RELACIÓN Fase del proceso
de resolución en el que se observa
Tipo de error Representación en el grafo
Fase II
- Obtención de cantidades intermedias
E6.1: Error de relación en el
uso de relaciones ternarias aditivas.
Se incorpora al grafo una arista de trazo discontinuo y de color rojo.
Fase III
- Obtención del porcentaje que se da como resultado.
E6.2: Error en el uso de la
regla de tres para el cálculo del porcentaje que se da como resultado.
Se representará la relación de proporcionalidad directa con el formato: a k c b d
Tabla 4.20. Tipos de error de relación observados en los pre-test.