Dada la problemática descrita anteriormente y partiendo de nuestro estado actual de conocimiento sobre los problemas ternarios de probabilidad condicional proporcionados por las investigaciones previas, abordamos esta investigación con el planteamiento de tres objetivos concretos que deseamos alcanzar con su desarrollo:
Objetivo 1: Determinar la estructura matemática (cantidades básicas y relaciones
básicas entre cantidades básicas) de la familia de problemas ternarios de probabilidad condicional que denominamos problemas de nivel N0. Realizar lecturas teóricas de los
problemas.
Lonjedo (2007) distingue tres subfamilias dentro de la familia N0, para lo cual
atiende al número de probabilidades marginales que se dan como datos conocidos en el enunciado. Nosotros nos proponemos afinar dicha clasificación, es decir, identificar casos de problemas dentro de cada una de estas subfamilias, atendiendo exclusivamente a la forma en que se relacionan entre sí los datos del enunciado (tanto los datos conocidos como el dato desconocido por el que se pregunta). Con ello aspiramos a poseer un conocimiento exhaustivo de la estructura matemática de los problemas de nivel N0 que nos permita usar esta característica de los problemas como una variable
independiente, de la que puede depender la actuación de los estudiantes, en los estudios de caracter experimental.
Objetivo 2: Observar la actuación de un grupo de estudiantes de 4º de ESO (15-
16 años), sin docencia previa en probabilidad, resolviendo problemas de nivel N0.
Con ello pretendemos hacer un estudio cualitativo de las estrategias previas de resolución con éxito, los errores previos y las dificultades iniciales de los estudiantes ante problemas con estructuras de cantidades como las que nos proporcionan los problemas de probabilidad condicional de nivel N0 pero formulados sin que las
cantidades se expresen formalmente en términos de probabilidades. Así, los problemas iniciales (exploratorios) y los problemas en la parte final del experimento solamente difieren en el formato de expresión de las cantidades, no así en las estructuras matemáticas y contextos. También nos proponemos prestar atención a posibles influencias de determinadas variables de la tarea, tomadas éstas como variables independientes de la investigación.
Objetivo 3: Diseño e implementación de una unidad didáctica para la enseñanza
de la resolución de problemas ternarios de probabilidad condicional de nivel N0.
Los dos primeros objetivos nos proporcionarán conocimiento sobre los problemas en sí mismos y sobre los comportamientos iniciales de los estudiantes tratando de resolver problemas de nivel N0, versionados de tal manera que sean abordables por
estudiantes que aún no han recibido enseñanza en probabilidad condicional, para, posteriormente, y teniendo en cuenta este conocimiento, producir enseñanza. Así, nos proponemos diseñar una secuencia de enseñanza coherente con los principios de la Educación Matemática Realista, en la que además se haga uso de los sistemas de representación propios de los problemas de probabilidad condicional (diagramas en árbol, tablas de contingencia, etc.). Dicha enseñanza la basaremos en la resolución de problemas en contexto, y pondremos en juego, al menos, las tres variables de la tarea antes mencionadas: estructura matemática, formato de datos y contexto en el que se formulan los enunciados. Tras la implementación de la unidad de enseñanza, pretendemos observar de nuevo la actuación de los estudiantes resolviendo problemas de nivel N0 para obtener información sobre los errores y dificultades que persisten tras
la enseñanza, los nuevos errores y dificultades que puedan aparecer y cómo varían las estrategias de resolución de los problemas.
Los problemas son el elemento central de nuestra investigación y a ellos dedicamos la mayor parte de este capítulo. Los que nos ocupan son problemas escolares en el sentido que le da Puig (1996, p. 30) al término: una tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es significativo para el alumno, que éste desea abordar y para el cual no ha producido sentido. Por otra parte, se sitúan en el mundo que Puig (1996) describe como “mundo de la resolución de problemas en que éstos se conciben
como un campo asociado a los conceptos, cuyo significado está determinado precisamente por ser ése el campo de problemas que permite resolver, o se piensa que los problemas permiten proporcionar o ampliar el campo semántico de los conceptos”
(p. 13). En efecto, los problemas que estudiamos se utilizan en la enseñanza con la finalidad de contribuir a conformar y/o ampliar el campo semántico del concepto de probabilidad condicional. Por tanto, son problemas escolares, de enunciado verbal, en los que es necesario que en algún momento el resolutor considere la probabilidad condicional de un suceso. Y comenzamos el capítulo, precisamente, con una breve introducción sobre los conceptos matemáticos cuya enseñanza pretendemos mejorar: el de probabilidad y, más concretamente, el de probabilidad condicional.
A continuación, abordamos las tres características de los problemas de probabilidad condicional que hemos tenido en cuenta como variables de la tarea. En primer lugar, está el formato de presentación de la información numérica en el texto del problema, variable porque una probabilidad puede ser expresada de maneras diferentes (mediante una razón, un porcentaje, un número decimal, etc.) y porque, además, no todas las cantidades de las que se informa en el enunciado han de ser necesariamente probabilidades, siendo muy común, por ejemplo, expresar algunos o todos los datos conocidos en forma de frecuencias naturales. Otra variable que hemos tenido en cuenta es la situación y el contexto en que se formulan los enunciados, importante para nosotros por sentirnos identificados con la corriente realista de la enseñanza de las matemáticas, que promueve la resolución de problemas en contextos realistas, y por el hecho de que el contexto en que se formulan los problemas ha demostrado tener una influencia significativa en la actuación de los estudiantes. Por último, describimos la tercera de las variables: la estructura matemática de los problemas. Así, comenzamos recordando la definición de problema ternario de probabilidad condicional según Cerdán y Huerta (2007) y la clasificación de los problemas ternarios en niveles, categorías y tipos (Lonjedo, 2007), para centrarnos luego en la familia de problemas que nos proponemos estudiar en esta tesis: los problemas de nivel N0.
Ligada a la estructura matemática de los problemas aparece la cuestión de lo que entendemos por cantidad en nuestro trabajo y de cómo se relacionan entre sí las cantidades involucradas en nuestros problemas. Introducimos aquí el "Grafo del Mundo de los Problemas Ternarios de Probabilidad Condicional", diseñado por Cerdán y Huerta (2007), que ha supuesto una herramienta de gran utilidad para el estudio teórico de los problemas y también para el análisis de lo producido por los estudiantes.
Una vez descritos los problemas de la investigación, y para terminar, nos ocupamos de dos aspectos que tienen que ver con el proceso de resolución. En primer lugar, hablamos de las herramientas heurísticas (diagramas en árbol y tablas de contingencia) propias de la resolución de problemas de probabilidad, describiendo su estructura y justificando la conveniencia de su uso, en especial el uso de la tabla de contingencia, para la resolución de los problemas de nivel N0. Y finalmente, nos
ocupamos de las fases que hemos identificado en el proceso de resolución de este tipo de problemas, lo cual nos ha sido útil, principalmente, para la descripción de las estrategias de resolución con éxito y errores observados en las producciones de los estudiantes.