Investigaciones previas (Fridman, 1990; Cerdán, 2008; Cerdán y Huerta, 2007; Carles, 2007; Lonjedo, 2007; Huerta, 2009) muestran que el uso de los grafos tiene muchas aplicaciones, tanto para la investigación como para la enseñanza. En este trabajo haremos un uso extenso de un grafo particular: el "Grafo del Mundo de los Problemas Ternarios de Probabilidad Condicional" (GPPC), diseñado por Cerdán y Huerta (2007) basándose en los grafos trinomiales de Fridman (1990).
En este grafo (Figura 3.1) se representan las 16 probabilidades que intervienen en un problema ternario de probabilidad condicional y las 18 relaciones en las que están implicadas, mostradas en las Tablas 3.1 y 3.2.
A B A B B A B A B A B A A B A B B A B A B B A B A A B A 1
Figura 3.1. Grafo del Mundo de los Problemas Ternarios de Probabilidad Condicional. Figura tomada de Huerta (2009), modificada de la original de Cerdán y Huerta (2007).
En los vértices del grafo se representan, por un lado, los sucesos8, con su notación habitual, y por otro, las probabilidades de estos sucesos, mediante cuadrados.
Por otra parte, el único vértice circular, que lleva asociado el valor 1, representa la probabilidad del suceso seguro .
En cuanto a las aristas del grafo, cada una de ellas une tres vértices, ya que representan relaciones ternarias, es decir, relaciones entre tres cantidades. Las de trazo discontinuo representan relaciones aditivas (incluidas las de complementariedad a 1) y las de trazo continuo, relaciones multiplicativas. Son además, aristas orientadas multiplicativa o aditivamente de izquierda a derecha.
Puesto que cada cantidad aparece representada una única vez, por ella pasan todas las aristas que representan relaciones en las que esta cantidad interviene. Al número de aristas que concurren en un vértice se le llama orden, de manera que los vértices que representan condicionales son de orden 2, los vértices que representan marginales e intersecciones son de orden 4 y el vértice que representa la probabilidad del suceso seguro es de orden 6.
Veamos cómo dado un problema concreto, su estructura matemática puede ser estudiada con ayuda del grafo.
Para empezar, en todo problema se dispone de cantidades conocidas y de cantidades desconocidas (entre ellas la pregunta del problema). En el grafo las cantidades conocidas se representan mediante vértices oscuros, mientras que las cantidades desconocidas se representan mediante vértices claros.
Así, un problema queda determinado en el grafo (independientemente del contexto) cuando se oscurecen tres vértices convenientemente escogidos (los datos conocidos) y se señala el vértice correspondiente a la cantidad por la que se pregunta. A partir de ese momento, la resolución del problema con la ayuda del grafo consiste en encontrar una ruta o camino de resolución que nos lleve desde las cantidades conocidas hasta la cantidad preguntada. Así, entenderemos por ruta de resolución un conjunto ordenado de aristas encadenadas, que representan las relaciones ternarias que se usan, las cantidades intermedias9 que se obtienen y el orden en que se hace, para resolver el problema.
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Nos tomamos la licencia de llamar a A|B suceso, conscientes de que matemáticamente no lo es por no existir un conjunto de referencia para él.
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Tomamos el término “cantidad intermedia” de Cerdán (2008). Allí se define como “una incógnita auxiliar cuyo valor se ha determinado”, entendiendo por incógnita auxiliar toda cantidad desconocida cuyo cálculo no se pide expresamente en el enunciado del problema.
Para la determinación de una ruta de resolución podemos recurrir a dos métodos distintos: el primero consiste en aplicar la regla de análisis-síntesis10 y el segundo, proceder directamente al cálculo de aquellas cantidades que se encuentren en aristas con dos de las cantidades conocidas y reiterar el proceso hasta llegar a la pregunta del problema. Este tipo de aristas que presentan dos vértices oscuros y uno claro reciben el nombre de entradas al grafo (Cerdán y Huerta, 2007; Cerdán, 2008) y son las que permiten comenzar con la resolución.
Tras activar todas las aristas y oscurecer todos los vértices determinados mediante cualquiera de los dos métodos anteriores, en el grafo queda representada la estructura matemática del problema, refiriéndonos tanto a la estructura de datos del enunciado como a la estructura del proceso de resolución, en términos de cantidades y relaciones entre cantidades que lo conforman. Decimos entonces que hemos hecho una lectura analítica del problema, es decir una lectura del problema que es independiente del contexto en el que se formula el enunciado, del valor numérico de las cantidades y del formato de los datos. Por otra parte, el grafo construido nos aporta un plan suficiente para resolver el problema (Cerdán y Huerta, 2007). Si, además, se ha aplicado el método de análisis y síntesis, estonces el plan que representa el grafo no sólo es suficiente sino también mínimo, ya que el grafo contendrá el menor número posible de aristas y vértices, lo que significa que para la resolución del problema se obtendrán el menor número posible de cantidades intermedias y se usarán el menor número posible de relaciones entre cantidades. A un grafo que representa dicho plan mínimo lo denominamos grafo mínimo del problema (Huerta, 2009).
De lo anterior se desprende que el grafo puede usarse como una herramienta para la resolución de problemas. En este trabajo, sin embargo, el grafo no es presentado a los estudiantes como tal, sino que su uso forma parte de la metodología de investigación, siendo un elemento clave de ésta, como ya se avanzó en la introducción. Así, el grafo ha resultado útil para el estudio y la clasificación de los problemas de N0 según su
estructura de datos, ya que permite hacer lecturas analíticas y estudiar isomorfías11 entre los problemas. Posteriormente, esta clasificación ha sido tenida en cuenta para el diseño de los enunciados de los problemas de los cuestionarios y de la unidad de enseñanza, donde la estructura de datos era una de las variables a considerar. Finalmente, el grafo
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La regla del análisis-síntesis ha sido enunciada por Lakatos (1981), citado en Cerdán (2008), de la siguiente manera: “Si x es la incógnita del problema, supóngala conocida. Indague e investigue cuáles son aquellos antecedentes de los cuales x resulta y que permiten determinar x. Considere cada uno de estos antecedentes como una nueva incógnita (auxiliar). Indague e investigue de nuevo, iterando el proceso, hasta que 1) o bien todos los antecedentes sean datos del problema, 2) o bien alguno de los antecedentes entre en contradicción con los datos del problema. En el caso 1), volviendo sobre sus pasos y trabajando hacia atrás, esto es, desde los datos hasta la incógnita, podrá determinar esta última. En el caso 2), abandone el problema: su solución es imposible.”
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Diremos que dos problemas son isomorfos si dan lugar al mismo grafo mínimo (Cerdán, 2008; Huerta, 2009).
ha servido de base para el desarrollo de un método de análisis de las resoluciones de los estudiantes en los pre-test que facilita la identificación de estrategias de resolución, dificultades y errores. En el capítulo 4 veremos con detalle estos usos del grafo.