EL CUADRO TRADICIONAL DE OPOSICIÓN

Las proposiciones categóricas de forma típica que tienen los mismos términos suj eto y predicado pueden diferir entre sí en la calidad, en Ja cantidad o en ambas. Los lógicos de otros tiempos dieron a este género de diferencias el nombre técnico de 'oposición' y estableciel'on importantes

relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones que difieren en los aspectos mencionados. Dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negación de la otra, esto es, si no pueden ser ambas verdaderas y no pueden ser ambas falsas. Es indudabJe que dos proposiciones categóricas de forma tipica que tienen eJ mismo sujeto y el mismo predicado, pero que difieren tanto en cantidad como en calidad, son contradictoria,s. Así, las proposiciones A yO: Todos los jueces son abogados.

y

Algunos jueces no son abogados.

que se oponen tanto en cantidad como en calidad, son obviamente contradictorias. Al menos una de ellas es verdadera y al menos una es falsa. De igual modo, las proposiciones E e 1:

Ningún político es idealista. y

Algunos políticos son idealístas.

se oponen también en calltidad y calidad y son, por tanto, contradictorias, Podemos decir, pues, esquemáticamente, que la contradictoria de Todo S es P es Algunos S no son P, y la contradictoria de Ningún S es p es Algunos S son p " A y O son contradictorias, como la son también E e I.

Se dice que dos proposiciones son contrarias si no pueden ser ambas verdaderas, aunque pueden ser ambas falsas. La teoría tradicional, aristotélica, de las proposiciones categóricas sostenía que las proposiciones universales que tienen sus términos sujeto y predicado iguales, pero que difieren en calidad, son contrarias 1. Asi, se afirmaba que dos proposiciones

A y E tales como:

Todos los poetas son holgazanes, y

Ningún poeta es holgazán,

no pueclen ser ambas verdaderas. aunque pueden ser ambas falsas, y, por lo tanto, se las con"ideraba como contrarias.

Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas, aunque pueden ser ambas verdaderas.

La teoría tradicional mencionada sostenía que las proposiciones particulares que tienen los mismos términos sujeto y predicado, pero que difieren en calidad, son subcontrarias. Se afirmaba que proposiciones l y O tales como:

Algunos diamantes son piedras preciosas. y

Alunos diamantes no son piedras preciosas.

1 Este punto de visa tradicional será examinado críticamente más adelante, en la seccián V.

pueden ser ambas verdaderas, pero no pueden ser ambas falsas, y, por tanto, debe considerárselas como subcóntrarias.

Los ejemplos dados hasta ahora de oposición entre proposiciones sugieren la idea de desacuerdo. Pero la palabra 'oposición', en el presente contexto, es un término técnico que se aplica también a los casos en que no hay desacuerdo en el sentido ordinario. De este modo, si dos proposiciones que tienen los mismos términos sujeto y predicado concuerdan en calidad y difieren solam-ente en cantidad, hay oposición aun cuando ello no implique ningún desacuerdo. Se sostenía en tales casos que la verdad de la proposición particular se deducía o era implicada por la verdad de la proposición universal. Por ejemplo, de la verdad de una proposición A tal como:

Todas las arañas son animales de ocho patas.

se podía derivar la verdad de la proposición I correspondiente: Algunas arañas son animales de ocho patas.

Igualmente, de la verdad de una proposición E, como: Ninguna araña es un insecto.

se suponía que se podía derivar la verdad de la pyoposición O correspondiente:

Algunas arañas no son insectos.

La oposición entre una proposición universal y su particular correspondiente ( esto es, la proposición particular que tiene los mismos términos sujeto y predicado, y la misma calidad que la proposición universal) recibió el nombre de 'subalternación'. La proposición universal es llamada la 'subalternante' y la particular 'subalterna'. En la subalternación, se sostenía, la subalternante implica la subalterna. La implicación no es

válida de la subalterna a la subalternante, pues subalternas como: Algunos animales son gatos.

y

Algunos animales no son gatos.

son ambas verdaderas, mientras que sus subalternantes son obviamente falsas.

Se representaba estos distintos tipos de oposición mediante un diagrama llamado el Cuadro de Oposición que se reproduce a continuación:

Se pensaba que las relaciones diagramadas en este Cuadro de Oposición suministraban una base lógica para justificar ciertas formas de razonamiento elementales. A este respecto, se acostumbra distinguir entre inferencia 1nediata e inferencia inmediata. Inferir es extraer una conclusión de una o más premisas. Cuando hay más de una premisa, como en el silogismo, que tiene dos, se dice que la inferencia es 'mediata', presumiblemente porque se supone que la conclusión se extrae de la primera premisa por mediación de la segunda. Cuando se extrae la conclusión a partir de una premisa solamente, se dice que la inferencia es 'inmediata'. La información incluida en el Cuadro de Oposición evidentemente suministra la base para un cierto número de inferencias inmediatas. Así, si se toma como premisa una proposición A, entonces, según el "Cuadro de Oposición, podemos inferir válidamente que la proposición O correspondiente ( esto es, la proposición O cuyos términos sujeto y predicado son los mismos que los de A), es falsa. y de la misma premisa se puede inferir inmediatamente

que la proposición I corresponliiente es verdadera. Naturalmente, de la ver,iad de una proposición I no se deduce la verdad de la proposición A correspondiente, pero sí la falsedad de la proposición E correspondiente. El Cuadro de Oposición tradicional suministra la base para un número considerable de tales inferencias inmediatas. Conocida la verdad o falsedad de una cualquiera de las cuatro proposiciones categóricas de forma típica, puede inferirse inmediatamente la verdad o falsedad de algunas o de todas las otras. Estas inferencias inmediatas basadas en el Cuadro de Oposición tradicional pueden clasificarse de la siguiente forma:

Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa. Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa. O es verdadera. Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas. Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan indeterminadas. Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas. Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminadas. Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera. Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa. I es verdadera. EJERCICIOS

Qué puede inferirse acerca de la Verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, en cada uno de los conjuntos dados, si suponemos que la primera de ella:; es verdadera y si suponemos que es falsa

1. a) Todos los aminoácidos son compuestos orfiánicos. b) Ningún aminojcido es un compuesto orgánico.

d) Algullos aminoácidos no son compuestos orgánicos. 2. a ) Ningún reptil es animal de sangre caliente. b) Algunos reptiles son animales de sangre caliente. c) Algunos reptiles no son animales de sangre caliente. d) Todos los reptiles son animales de sangre caliente.

3. a) Algunos ex rcctores universitarios han sido candidatos triunfanles a la presidencia de los Estados Unidos.

b) Algunos ex rectores universitarios no han sido candidatos triunfantes a la presidencia de los Estados Unidos.

c) Todos los ex rectores universitarios han sido candidatos triunfantes a la presidencia de los Estados Unidos.

d) Ningún ex rector universitario ha sido candidato triunfante a la presidencia de los Estados Unidos.

4. a) Algunos compuestos del radio no son sustancias radiactivas. b) T odos los compuestos del radio son sustancias radiactivas. c) Ningún compuesto del radio es una sustancia radiactiva. d) Algunos compuestos del radio son sustancias radiactivas. IV. OTRAS INFERENCIAS INMEDIATAS

Hay otros tipos de inferencia inmediata, además de aquellos que están asociados al Cuadro de Oposición tradicional.

En esta sección consideraremos tres de ellos. El tipo más obvio de inferenc,ia i?mediata ,es el que opera un simple intercambio entre los termmos sujeto y predicado de una proposición. Recibe el nombre de 'conversión' y es totalmente válido en el caso de proposiciones E e I. Indudablemente, "Ningún hombre es ángel" afirma lo mismo que "Ningún ángel es hombre", y cualquiera de ellos puede ser válidamente inferido del otro por la inferencia inmediata llamada conversión. Es igualmente indudable que " Algunos escritores son mujeres" y " Algunas mujeres son escritores" son lógicamente equivalente, de modo que cualquiera de ellos puede inferirse del otro por conversión.

Se dice que una proposición categórica de forma típica es la 'conversa' de otra cuando se la forma a partir de ésta intercambiando simplemente los términos sujeto y predicado. Así, "Ningún idealista es político" es la conversa de "Ningún político es idealista " y cualquierá de ellas puede inferirse válidamente de la otra por conversión.

Pero la conversa de una proposición A no puede deducirse válidamente de ella. Por ejemplo, si nuestra proposición original es "Todos los perros son animales", su conversa "Todos los animales son perros" no se deduce en absoluto de la primera; ésta es verdadera, mientras que su conversa es falsa.

La lógica tradicional, por supuesto, reconocía este hecho, pero afirmaba que para las proposiciones A era válida una forma de inferencia muy semejante a la conversión, que recibió el nombre de 'conversión por limitación' (o per accidens) Consiste en intercambiar el sujeto y el predicado, y cambiar, además, la cantidad de la proposición de universal en particular.

Así, se sostenia que, de la premisa "Todos los perros son animales" podía inferirse válidamente la conclusión " Algunos animales son perros" mediante la conversión por limitación.

Este tipo de conversión será considerado con mayor detalle en la sección siguiente.

Finalmente, debe observarse que no hay ninguna forma de conversión válida para una proposición O. Si no fuera así, la proposición O, verdadera, " Algunos animales no son

perros" tendría como conversa la proposición falsa " Algunos perros no son animales". Se acostumbra expresar este hecho diciendo que una proposición O "no tiene conversa", con lo cual se quiere significar solamente que la conversión no es una forma válida de inferencia cuando se la aplica a una proposiciones.

Usaremos el término 'convertiente' para referirnos a la premisa de una inferencia inmediata por conversión; a la conclusión la llamamos la 'conversa'. Se ha sostenido tradicionalmente que la tabla siguiente da un cuadro completo de las conversiones válidas:

CONVERSIONES

Convertiente Conversa

E: Ningún S es P E: Ningún P es S I; Algunos S son P I Algunos P son S O: Algunos S' no son p ( no ha y conversa )

La conversa de una proposición dada contiene exactamente los mismos términos que ésta (con el orden invertido) y tiene la misma calidad,

El siguiente tipo de inferencia inmediata que analizaremos es el llamado 'obversión'. Antes de dar la explicación de éste, será útil volver bre\!emente a la noción de 'clase' e introducir algunas nuevas ideas que nos ayudarán a analizar la obversión.

Una clase es una colección de todos los objetos que tienen una propiedad común, a la cual nos referimos como la "característica definitoria de la clase". Así, la clase de todos los humanos es la colección de todas las cosas que tienen la propiedad de ser humanas y la caracteristica que define la clase es la propiedad de humanidad. La caracteristica definitoria de la clase no necesita ser una propiedad 'simple' en ningún sentido, pues cualquier propiedad determina una clase. Por ejemplo, la propiedad compleja de ser zurdo, de cabello rojo y estudiante, determina una clase, la clase de todos los e8tudiantes zurdos pelirroj os.

Toda clase tiene asociada uha clase complementaria, o complemento, que es la colección de todas las cosas que no pertenecen a la clase original. Así, el complemento de la clase de todos los hombres es la clase de todas las cosas que no son hombres. La característica definitoria de la clase complementaria es la propiedad (negativa) de no ser un hombre. El complemento de la clase de todos los hombres no contiene hombres, sino toda otra clase: zapatos, barcos, lacre, repollos, etc., pero no contiene ningún rey, pues los reyes son hombres. A veces es conveniente hablar del complemento de la clase de todos los hombres como "la clase de todos los noombres". Al complemento de la clase designada por el término 'S' se lo designa entocces por el término 'no- S' ; podemos, por tanto, hablar del termmo 'no-S' como el complemento del término 'S'. Estamos usando la palabra 'complemento' en dos sentidos: uno, en el sentido d& complemento de una clase, y el otro en el sentido de complemento de un término. Ambos sentidos, aunque diferentes, se hallan estrechamente relacionados. Si un término es el complemento de otro, el primero designa a la clase complementaria de la clase designada por el segundo. Debe observarse que, así como una clase es el complemento (de clase) de su propio complemento, un término es el complemento (de término) de su propio complemento, Se trata de una especie de 'regla de la doble negación', de modo que no necesitamos agregar series de 'no' prefijados a un término. Por ejemplo, el complemento del término 'votante' lo escribiremos 'no-votante', pero al complemento de este último lo escribiremos simplemente 'votante', en vez de 'no-no-votante'. Debe tenerse el cuidado de no confundir los términos co1Itra1'ios con los términos complementarios, por ejemplo identificando 'cobardes' con 'no-héroes'. Estos términos son contrarios, pues ninguna persona puede ser al mismo tiempo un cobarde y un héroe, pero no todo el mundo -y con mayor razón, no toda cosa- tiene necesariamente que ser uno u otro.

Así, el complemento del término 'ganador' no es 'perdedor', sino 'no-ganador', pues aunque no toda cosa o toda persona es ganadora o perdedora, en cambio absolutamente toda cosa es ganadora o no-ganadora.

Ahora que comprendemos el significado del complemento de un término, es fácil describir el proceso de obversión. En la obversión, el término sujeto no cambia, como tampoco cambia la cantidad de la proposición que se obvierte. Al obvertir una proposición, cambiamos la calidad de la misma y remplazamos el término predicado por su complemento. De este modo, la proposición A:

Todos los residentes son votantes. tiene como obversa la proposición E: Ningún residente es no-votante.

Estas dos proposiciones, es obvio, son lógicamente equivalentes, de manera que una cualquiera de ellas puede inferirse válidamente de la otra. La obversión es una inferencia válida inmediata cuando se la aplica a cIlalquier proposición categórica de forma típica. Así, la proposición E:

Ningún árbitro es parcial.

tiene como obversa la proposición A lógicamente equivalente : Todos los árbitros son no-parciales.

De manera similar, la obversa de la proposición 1: Algunos metales son conductores.

Algunos metales no son no-conductores. Finalmente, la proposición O:

Algunas nac¡ones no fueron beligerantes. tiene como obversa la proposición I: Algunas naciones fueron no-Dellgerantes.

Las cuatro proposiciones categóricas de forma típica tienen obversas, y la inferencia inmediata conocida como obversión es válida para todas ellas. En una inferencia de este tipo, la premisa es llamada la 'obvertiente' y la conclusión la 'obversa', Toda proposición categórica, de forma típica es lógicamente equivalente a su obversa, Para obtener la obversa de una proposición dejamos inalterados la cantidad y el sujeto, cambiamos la calidad de la proposición y remplazamos el predicado por su complemento. La tabla siguiente da un cuadro completo de todas las obversiones válidas:

OBVERSIONES

Obvertiente Obversa

A: Todo S es P E. Ningún S es no-P

E: Ningún S es P A: Todo S es no-P

I: Algunos S son P O: Algunos S no son no-P O: Algunos S no son P I: Algunos S son no-P

La tercera variedad de inferencia inmediata que examinaremos no introduce nuevos principios, ya que, en cierto sentido, puede reducirse a las dos primeras. Para formar la contrapositiva de una proposición dada, remplazamos el sujeto por el complemento del predicado y'remplazamos el predicado por el complemento del sujeto, Así, la contraposi)civa de la proposicion A:

todos los miembros son votantes, es la proposición A :

Todos los no-votantes son no, miembros,

Si reflexionamos un poco, veremos que estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes; de esto resulta claramente que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata cuando se la aplica a proposiciones del tipo A.

La contraposición no introduce nada nuevo, pues de una proposición A podemos obtener su contrapositiva aplicándole la obversión, luego la conversión y, por último, nuevamente la obversión. Así, comenzando con Todo S es P, la obvertimos y obtenemos Nillgún S es no-P, que mediante la conversión da Ningún no-P es S y cuya obversa es, finalmente, Todo no p es no-S. Por consiguiente, la contrapositiva de una propoSición A es la obversa de la conversa de la obversa de esta proposición.

La contraposición es más útil en lo relativo a las proposiciones A, pero es también una forma válida de inferencia inmediata cuando se la aplica a las proposiciones O. Así, la contra positiva de la proposición O:

Algunos estudiantes no son idealistas. es la proposición O un poco engorrosa: Algunos no-idealistas no son no-estudiantes.

que es lógicamente equivalente a la primera. Puede demostrarse esta equivalencia lógica derivando la contrapositiva paso a paso, mediante la obversión, la conversión y luego nuevamente la obversión, según la derivación esquemática siguiente: Algún S no es P da por obversión Algún S es no-p; de ésta, por conversión, obtenemos. Algun no-P es S y, obvirtiendo ésta, llegamos a Alg'ún no-P no es no-S (la contrapositiva)

La contraposición no es válida para las proposiciones del tipo I. Podemos ver esto observando qu.e la proposición I, verdadera:

Algunos ciudadanos son no-diputados.

tiene como contrapositiva la proposición falsa: Algunos diputados son no-ciudadanos.

Comprenderemos por qué la contraposición no es válida cuando se la aplica a proposiciones I si tratamos de derivar la contrapositiva de una proposición I aplicando sucesivamente la obversión, la conversión y la obversión. La obversa de la proposición I Algún S es P, es la proposición O Algún S no es no-P, que no tiene conversa, con lo cual queremos significar que la conversión de una proposición O no es válida.

La contrapositiva de la proposición E Ningún S es P es Ningún no-P es no-S; ahora bien, esta última no puede deducirse válidamente de la original, como puede verse observando que la proposición E:

Ningún luchador es escuálido.

que es verdadera, tiene como contrapositiva la proposición falsa: ningún no.escuálido es no- luchador.

Hallaremos la razón de esta carencia de validez si tratamos de' derivar la contrapositiva de una proposición E por obversión, conversión y obversión sucesivas. La obversa de la proposición E Ningún, S es P es la proposición A Todo S es no-P, y para ésta no hay conversión válida, excepto por limitación. Si la convertimos por limitación para obtener Algún no-P es S, ésta puede ser obvertida y obtendremos Algún no-P no es no-S, a la que podemos llamar la 'contrapositiva por limitación'.

Vemos, pues, que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata solamente cuando la aplicamos a proposiciones A u O. La contraposición no es en absoluto válida para las proposiciones I y solo lo es por limitación para las proposiciones E. Estos resultados pueden también exponerse en forma de cuadro:

CONTRAPOSICION

Premisa Contrapositiva

A: Todo S es P A: Todo no-P es no.S

E: Ningún S es P O: Algún no-P no es no-S (por limitación) 1: Algún S es P No es válida

O: Algún S no es P O: Algún no-P no es no-S

Hay muchos otros tipos de inferencia inmediata que han sido clasificados ya los que se han dado nombres especiales, pero no los examinaremos aquí,pues no introducen ningún nuevo principio. EJERCICIOS

I. Indicar las conversas de las siguientes proposiciones:

1. Algunos hombres que no tenían ningún conocimiento de matemáticas han sido grandes inventores

2. Ningún visitante que se queda demasiado tiempo es bjenvenido.