LA INFERENCIA ASILOGISTICA

Todos los razonamientos considerados en las dos secciones precedentes eran de la forma tradicionalmente llamada 'Silogismos categóricos'. Estos están formados por dos premísas y una conclusión, cada una de las cuales es, o bien una proposiciÓn singular, o bien una de las variedades A, E, I u O. Nos detendremos ahora en el problema de analizar razonamientos algo más complicados. Para ello no necesitamos más herramientas lógicas que las que ya hemos elaborado. Sin embargo, se trata de razonamientos asilogísticos y requieren una lógica más potente que la usada tradicionalmente para las pruebas de validez o invalidez de los silogismos categóricos.

Nuestros objetos de examen en esta sección son, aún los razonamientos en los que figuran aquellas proposiciones generales derivadas de la cuantificación de f¡mciones proposicionales que contienen una sola variable de individuo. En el silogismo categórico, los únicos tipos de funciones propocicionales cuantificadas eran de las formas ∅ x ⊃ ϕ x, ∅x ⊃ ~ ϕ x, ϕ x y ϕ x . ~ ϕ x. Pero ahora cuantificaremos funciones proposicionales que tienen estructuras internas más complicadas. Un ejemplo ayudará a aclarar esto. Consideremos el razonamiento siguiente:

Los hoteles son caros y deprimentes. Algunos hoteles son sórdidos.

Luego, algunas cosas caras son sórdidas.

Este razonamiento, a pesar de ser obviamente válido, no puede ser sometido al tipo de análisis tradicional. Es cierto que puede f;xpresarse en términos de proposiciones A e I " usando los

símbolos 'Hx', 'Bx', 'Sx' y 'Cx' para abreviar las funciones proposicionales "x es un hotel", "x es caro y deprimente", "x es sórdido" y "x es caro", respecti'l'fl.mente. Usando estas abreviaturas, el razonamiento puede simbolisarse asi:

Pero al constreñir el razonamiento para que entre en la camisa de fuerza de las formas A e I tradicionales, su validez queda oscurecida. En símbolos, este razonamiento no eS válido; aunque el razonamiento original es absolutamente válido. En este caso, la notación oscurece la conexión lógica que existe entre 'Bx' y 'Cx'. Puede efectuarse un análisis más apropiado usando solamente 'Hx', 'Sx' y 'Cx' de la manera explicada antes, y además usando 'Dx' como abreviatura de "x es deprimente".

Con estos símbolos, el razonamiento original puede traducirse de la siguiente manera:

Formulado de este modo, puede construirse fácilmente una demostración de su validez. Tal demostración procedería así:

Al simbolizar proposiciones generales que resultan de cuantificar funciones proposicionales más complicadas debe tomarse la precaución de no deiarse confundir por el carácter engañoso del castellano corriente. No es posible traducir expresiones del castellano a nuestra notación lógica siguiendo reglas formales o mecánicas. En todos los casos. es menester comprender el si.anificado de la oración castellana y luego expresar este sig11ificado en términos de funciones. proposicionales y cuantificadores. Hay tres locuciones del castellano corriente que a veces desconciertan a los estudiantes y que analisaremos brevemente en lo que sigue.

Primero, debemos observar que un enunciado como "Todos los estudiantes universitarios son graduados o no son graduados" no es una disyunción, aunque contenga el conectivo 'o'. Indudablemente, no tiene el mismo significado que "O todos los estudiantes universitarios son graduados, o todos los estudiantes universitarios son no graduados". Usando abreviaturas obvias, la simbolización correcta del primero es:

(x) [Ex ⊃ (Gx v Nx)] mientras que el último debe simbolizarse así:

{(x) [Ex ⊃ Gx]} v {(x) [Ex ⊃ Nx]}

" En segundo lugar, debe observarse que lln enunciado como

Las ostras y las ~lmejas son deliciosas", si bien puede expresarse como la conjunción de dos proposiciones generales. "Las ostras son deliciosas y las almejas son deliciosas", también puede expresarse como una única proposición general no compleja, en cuyo caso es más apropiado simbolizar la palabra 'y' por 'v' que por' .' La proposición indicada debe simbolizarse así:

(x) [ (Ox v Ax) ⊃ DxJ y no así :

Pues decir que las ostras y las almejas son deliciosas equivale a decir que es deliciosa toda. cosa que sea, o bien ostra, o bien almeja, pero no es equivalente a decir que toda cosa es deliciosa si es al mismo tiempo ostra y almeja.

En tercer término, debemos indicar las diversas maneras de simbolizar las proposiciones exceptivas 6. Proposiciones como:

"Todos excepto los anteriores ganadores son elegibles", "Salvo los anteriores ganadores, todos son elegibles", o "Únicamente los anteriores ganadores no son elegibles" son llamadas tradicionalmente proposiciones exceptivas. Cualquier proposición de esta forma puede traducirse a una conjunción de dos proposiciones genera.les, como, por ejemplo:

{(x) [Ax ⊃ ~ ExJ} . {(x.) [~ Ax ⊃ Ex])

Puede también traducírsela como una proposición general no compuesta que sea la cuantificación universal de una función proposicional en la que figura el símbolo de equivalencia ≡

Para el ejemplo presente tenemos la traducción: (x) [Ex ≡ ~ AxJ

que, en castellano, puede expresarse así: "Cualquiera es elegible si, y sólo si, no es un ganador anterior". En general, la manera más conveniente de considerar las proposiciones excepijvas es como equivalencias cuantificadas.

Hemos visto que la lista aumentada de forrnas de razonamiento válidas elementales con la cual podíamos demostrar la validez de los silogismos categóricos válidos, bastaba también para validar los razonamientos asilogisticos del tipo descripto más arriba. El mismo método de describir universos posibles

6 Cf. el análisis anterior de las proposiciones exceptivas en la pág. 197.

no vacíos que usamos para demostrar la invalidez de los silogismos incorrectos, basta también para demostrar la falta de validez de los razonamientos asilogísticos del tipo que estamos considerando. El siguiente razonamiento asilogistico:

Los fiscalizadores y superintendentes o son personas competentes, o son parientes del propietario.

Todo el que se atreve a quejarse debe ser un superintendente, o un pariente del propietario. Solamente los fiscalizadores son personas competentes.

Alguien se atrevió a quejarse.

Luego, algún superintendente es pariente del propietario puede simbolizarse así: (x) [(Fx v Sx ) ⊃ (Cx v Px)]

(x) [ Ax ⊃ ( Sx v Px) ] (x) [Fx ≡ Cx]

( ∃ x ) [Ax] ∴ (∃x) [Sx. Px]

Podemos demostrar que no es válido describiendo un universo (no vacío) que contenga como único individuo a a yasignando el valor verdad a 'Ca', 'Aa', Fa y 'Fa', y el valor falsedad a 'Sa',

EJERCICIOS

I. Analizar cada uno de los razonamientos que figuran en los ejercicios de las páginas 202-4. Si el razonamiento es válido, construir una prueba formal de su validez; en caso contrario, demostrar su invalidez.

II. Hacer lo mismo para cada uno de los siguientes razonamientos, usando en cada caso la notación sugerida:

1. Todos 108 ciudadanos que no son traidores están presentes. Todos los oficiales son ciudadanos. Algunos oficiales no e8tán presentes.

Luego, hay traidores. (Cx. Tx. Px, Ox.)

2. Los médicos y los abo~ados son profesionales. Los profesionales y 103 homhres de dirección son respetados. Luego, los médicos son respetados. (Mx, Az, Px, Dx, Rx.)

3. Solamente son socios los abogados y los políticos. Algunos socios no son graduados universitarios. Luego, algunos ahogados no son graduados universitarios.

4. Todos los artículos rebajados o estan en malas condiciones o son anticuados. Nada que esté en majas condiciones es algo que valga la pena comprar. Algunos artículos rebajados son cosas que vale la pena comprar. Luego, algunos artículos rebajados son anticuados (Rx, Mx, Ax, Vx.)

5. Algunos díamantes se usan como adomos. Solo se usan como adornos las cosas que se llevan como joyas o se aplican como cosméticos. Los diamantes nunca se aplicar¡ como cosméticos. Ninguna cosa que se lleve como jova tiene un uso apropiado si puede tener una aplicación industrial. Algunos diamantes tienen aplicaciones industriales. Luego, algunos, diamantes no tienen un uso apropiado. (Dx, Ax, Jx, Cx, Px, Ix)

6 Ningun candidato que sea apoyado por los obreross o que cuente con la oposión de la Tribuna puede conquistar el voto de los granjeros. Nadie puede ser elegido si no conquista el voto de los granjeros. Luego, ningún candidato apoyado por los obreros puede ser elegido. (Cx, Ox, Tx, Gx, Ex.)

7. Ningún metal que haya sido templado de manera adecuada es deformable. Ningún objeto de bronce puede templarse de maneTa adecuada a menos que se le dé una inmersión de aceite. Algunos de los ceniceros quc están en e! estante son de bronce. Todas las cosas que están en el estante son deformables- Luego algunos de los ceniceros no recibieron una inmersión de aceite, (Mx:x es un metal: Dx:x es deformable; Tx:x está adecuadamente templado; Bx:x es de bronce; Ax:x recibió una inmersión de aceite; Cx:x es un cenicero; S x :x está en el estante.)

8. Cualquier miembro del comité que conociera al elegido habría votado por él si hubiera estado en libertad de hacerlo. Todo miembro del comité era libre de votar por el eleg¡do, excepto aquellos a quienes la junta secreta del partido instrujó para que no lo hicieran o aquellos que prometieron "u apoyo a alqún otro. Todos los miembros del comité conocían al ele¡gido. Nadie que conociera al elegido hubiera prometido su apoyo a algún otro. No todos los miembros del comité votaron por el elegido, Luego, la junta secreta del partido instruyó a algunos miemhros del comité para que no votaran por el elegido. Mx:x es miembro del comité; Cx:x conoce al nombrado: Vx:x vota por el elegido; Lx:x es líbre de votar por el elegido; Ix:x recibió instrucciones de la junta secreta del partido de no votar por el elegido; Px:x prometió su apoyo a algún otro.)

9, Todos los miembros del Beta Omicrón son buenos bailarines y agradable dan a sus parejas. Para agradar a la propia pareja. es menester comprarle un ramillete si se la lleva a bailar, o un helado de crema si se lo lleva al cine, Ningún buen bailarín lleva a su pareja al cine si puede llevarla a bailar. Algunos miembros del Reta Omicrón compran a su" parejas helados de crema, en vez de ramilletes.

Luego, no todos los miembros del fleta OmicróIl pueden llevar a sus parejas a bailar. (Ox:x es un miembro del fleta Omicrón; Bx:x es un buen bailarín; Ax:x agrada a su pareja; Rx:x compra a su pareja un ramillete; Hx:x compra a su pareja un helado de crema; Cx:x lleva a su pareja a un cine; Lx:x lleva a su pareja a bailar; Px:x puede llevar a su pareja a bailar.)

10. Algún delincuente robó la casa de los Russell. Quienquiera que robó en la mansión de los Russell, o bien tenía un cómplice entre los sirvientes o bien tuvo que forzar la entrada. Para forzar la entrada era necesario, o bien derribar la puerta, o bien violar la

cerradura. Solamente un cerrajero experto podía haber violado la cerradura. Si alguien hubíera derribado la puerta habría sido oído.

Nadíe fue oído. Sí el delincuente que robó la mansión de los Russell logró en,gañar al guardián, debe haber sido un actor notable.

Nadie puede robar la mansión de los Russell, a menos que engañe al guardián. Ningún delincuente puede ser al mismo tiempo un cerrajero experto y un actor notable. Luego, algún delincuente tenía un cómplice entre los sirvientes. (Dx:x es un delincuente; Rx:x robó la mansión de los Russell; Sx :x tenía un cómplice entre los sirvientes; Fx:x forzó la entrada; Px:x dcrríbó la puerta; Vx:x violó la cerradura; Cx:x es un Gerrajero experto; Ox:x fue oído; Ex:x engañó al guardián; Ax:x es un actor notable.)

CAPITULO XI

LA ANALOGÍA Y LA INFERENCIA PROBABLE