DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ

Si deseAmos constrUir pruebas formales de validez para razonamientos cuya validez denende de las estructuras interiores de los enunciados no compuestos que aparecen en ellos, debemos ampliar nuestra lista de formas elementales de razonamiento válidas. Solamente necesitamos otras cuatro formas de razonamiento válidas elementales, que serán introducidas en conexión con los razonamientos para los cuales se las necesita.

Consideremos el prirner razonamiento citado en este capítulo:

Todos lo humanos son mortales; Sócrates es humano; Luego, Sócrates es mortal. En símbolos, es:

La primera premisa afirma la verdad de la cuantificación universal de la función proposícional 'Hx  Mx. Puesto que la cuantificación universal de una función proposicional es verdadera si, y solo si, todos sus ejemplos de sustitución son verdadero", de la primera premisa podemos inferir cualquier ejemplo de sustitución que deseemos de la función proposicional 'Hx Mx. En particular, podemos inferir el ejemplo de sustitución 'Hs  Ms'. De éste y de la seguncla premisa 'Hs' se deduce directamente la conclusión. Ms, por modus ponens.

Si agregamos a nuestra lista de formas de razonamiento válidas elementales el principio de que cualquier ejemplo de sustitución de una función proposicional puede inferirse válidamente de su cuantificación universal, podremos entonces dar una prueba formal de validez del razonamiento citado, sobre la base de la lista ampliada de formas de razonamiento válidas elementales. Esta nueva forma de razonamiento válida elemental puede escribirse así:

Nos referiremos a ella como EU (el principio de la Ejemplificación universal) 5, La prueba formal de validez puede ahora escribirse del siguiente modo:

1. (x) [HX  MxJ

2. Hs / :. Ms 3, Hs  Ms 1, EU 4. Ms 3, 2, M.P.

La adición de EU refuerza considerablemente nuestro arsenal de prueba, pero necesitamos más. La necesidad de reglas adicionales que gobiernen la cuantificación surge en relación con razonamientos como el siguiente: "Todos los humanos son mortales; todos los griegos son humanos; luego, todos los griegos son mortales". La traducción simbólica de este razonamiento es:

(x) [Hx  Mx ] (x) [Gx  Hx]  (x) [Gx  Mx]

Aquí, tanto las premisas como la conclusión son proposiciones generales y no singulares, así como cuantificaciones universales de funciones proposicionales y no ejemplos de sustitución de ellas. De las dos premisas, por EU, podemos inferir válidamente los siguientes pares de enunciados hipotéticos:

y por usos sucesivos del principio del Silogismo hipotético, podemos inferir válidamente las conclusiones:

Ga  Ma, Gb  Mb, Gc  .Mc, Gd  Md, ...

Suponiendo que a, b, c, d, ...son todos los individuos que hay en el universo, se deduce que de la verdad de las premisas es posible inferir válidamente la verdad de todos los e,iemplos de sustitución de la función proposicional 'Gx  Mx'. Puesto que la cuantificación universal de una función proposicional es verdadera si, y sólo si, todos sus ejemplos de sustitución son verdaderos, de lo anterior podemos inferir la verdad de '(x) [Gx  Mx]', que es la conclusión del razonamiento dado.

5 Esta regla y las tres que siguen representan variantes de las reglas para la 'deducción natural', que fueron concebidas independientemente por Gerhard Gentzen y Starnslaw Jaskowski en 1934.

Puede considerarse el párrafo precedente como una prueba no fornLal de la validez del razonamiento indicado, prueba en la cual se recurre al principio del Silogismo hipotético ya los dos principios que rigen la cuantificación. Pero, en ella se describen dos sucesiones de enunciados indefinidamente largas; una de éstas es la lista de todos los pares de ejemplos de sustitución correspondientes a las dos funciones propocicionales cuantificadas universalmente en las premisas; la otra es la lista de todos los ejemplos de sustitución de la función proposicional cuya cuantificación universal constituye la conclusión. Una prueba formal no puede contener esas sucesiones de enunciados de extensión indefinida, y quizás hasta infinita, de modo que es menester buscar algún método para expresarlas de manera finita y definida.

Una técnica corriente de la matemática elemental nos sugiere un método para lograr esto. Un geómetra que trata de demostrar que todos los triángulos tienen cierta propiedad, puede comenzar con las palabras: "Sea ABC un triángulo cualquiera ". Luego, el geómetra comienza a razonar acerca del triángulo ABC y- establece que tiene la propiedad en cuestión.

De esto concluye que todos los triángulos tienen esta propiedad.

Ahora bien, ¿qué es la que justifica su conclusión final? Admitiendo que el triángulo ABC tenga esa propiedad, ¿ por qué se desprende de esto que todos los triángulos la tienen ? La respuesta a este interrogante es sencilJa. Si del triángulo ABC no se supone otra propiedad que la de su triangularidad, entonces puede considerarse que el símbolo 'ABC' denota cualquier triángulo que os plazca. Por consiguiente, el raiónamiento del geómetra demuestra que cualquier triángulo tiene la propiedad en cuestión, y si la tiene cualquier triángulo entonces la tienen todos los triángulos. Queremos ahora introducir una notación análoga a la del geómetra cuando habla de "un triángulo ABC cualquiera". Con ello evitaremos la referencia a un número indefinido o infinito de ejemplos de sustitución de una función proposicional y, en cambio, hablaremos de cualquier ejemplo de sustitución de esa función.Usaremos la letra minúscula 'y' (que hasta ahora no hemos utilizado) para denotar a un individuo cualquiera arbitrariamente elegido. La usaremos de manera similar a la manera en que el geómetra usa las letras' ABC'. Puesto que la verdad de cualquier ejemplo de sustitución de una función proposicional se deduce de su cuantificación universal, podemos inferir el ejemplo de sustitución que resulta de remplazar 'x' por 'y', donde 'y' denota a un individuo cualquiera arbitrariamente elegido. Así, podemos comenzar nuestra prueba formal de la validez del razonamiento dado c:. )I¡ manera siguiente: I. (x) [H x  Mx]

3. By  My 1, EU

4. Gy  By 2, EU

5. Gy  My 4,3, S.H.

De las premisas hemos deducido el enunciado (Gy  My), que afirma, en efecto, la verdad de cualquier ejemplo de sustitución de la funci()n proposicional (Gx x', puesto que (y' denota a un individuo cualquiera arbitrariamente elegido. Si cualquier ejemplo de sustitución es verdadero, entonces deben serlo todos y, por consiguiente, la cuantificación universal de esta furición proposicional es también verdadera. Podemos agregar este Principio a nuestra lista de formas de razonamiento válidas elementales; lo forinularemos así: del ejemplo de sustitución de una función proposicional respecto del nombre de un individuo cualquiera arbiti.ariamente elegido, se puede inferir válidamente la cuantificación universal de esa función rroposiciorial. Podemos escribir así esta nueva forma de razonamiento válida elemental:

. y (x) x

( donde 'y' denota un individuo cualquiera arbitrariamente elegido). Puesto que este nuevo principio nos permite generalizar, esto es, ir de un (género particular de) ejemplo de sustitución a una , expresión generalizada o cuantificada universalmente, podemos designarlo por GU ( el Principio de la generalización universal). El paso sexto y final de la prueba formal ya comenzada puede escribirse (y justificarse) así:

6. (x) [Gx  Mx] 5 GU

Otro razonamiento respecto del cual se requiere el uso tanto de GU como el de EU para demostrar su validez es: Ningún humano es perfecto; todos los griegos son humanos; luego, ningún griego es perfecto. La prueba formal de su validez es:

Lo anterior puede parecer un poco artificioso. Podría arguirse que distinguir cuidadosamente entre' (x) y  y para evitar su identificación y de manera que uno de ellos pueda inferirse del otro por EU y GU es insistir en una distinción que no se basa en una verdadera diferencia. Pero esto no es así; hay una diferencia formal entre ellos. El enunc'iado ' (x) [Hx  Mx] es un enunciado no compuesto, mientras que 'Hy  My' es compuesto, pues es un enunciado hipotético. Por medio de la lista oríginal de diecínueve formas de razonamiento válidas elementales no es posible hacer ninguna inferencia a partir de los dos enunciados no compuestos '(x) [Gx  Hx]' y '(x) [Hx  Mx]. Pero de los enunciados compuestos 'Gy  By' y 'Hy  My' se deduce la conclusión indicada, 'Gy  My', por un Silogismo hipotético. Se usa el principio de l!,'U para obtener, de enunciados no compuestos, a los que no se aplican nuestras anteriores formas de inferencia, enunciados compuestos a los cuales puedan aplicarse. Los principios de la cuantificación sirven, pues, para enriquecer nuestro arsenal lógico, de manera que puedan validar razp,namientos que incluyen principalmente proposiciones (generalizadas) no compuestas, así como los otros tipos (más simples) de razonamientó analizados en los capítulos precedentes. Por otra parte, a pesar de su diferencia formal, debe haber una equivalencia lógica entre '(x) (x) y  y pues de lo contrario las reglas EU y GU no serían válidas. Tanto la diferencia como la equivalencia son importantes para nuestro propósito de validar razonamientos basándonos

en una lista de formas de razonamiento válidas elementales. La adición de EU y GU a nuestra lista la refuerza de manera considerable.

Esta lista debe ser nuevamente aumentada cuando analizamos razonamientos que incluyen proposiciones generales existenciales. Un ejemplo adecuado con el cual comenzar es el siguiente: Todos los c'riminales son viciosos,. algunos humanos son criminales; luego, algunos humanos son viciosos. Lo simbolizamos así:

La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera si, y sólo si, tiene al menos un ejemplo de sustitución verdadero. Por lo tanto, cualquiera que sea la propiedad que designa ' (x ) x' afirma que hayal menos un individuo en el universo que tiene la propiedad . Si sabemos que existe tal individuo y si acordamos denotarlo por 'w', sabemos que '' es un ejemplo de sustitución verdadero de la función proposicional 'cpx'. Luego, agregamos a nuestra lista de formas de razonamiento válidas elementales el principio según el cual de la cuantificación existencial de una función proposicional podemos inferir la verdad de su- ejemplo de sustitución respecto de una constante de individuo que no aparece en ningún lado antes, en ese contexto. La nueva forma de razonamiento puede escribirse así.

(x) x ( donde 'z' es cualquier constante de individuo que no ha z aparécido antes en el contexto).

Nos referiremos a ella por EE ( el principio de la Ejemplificación existencial).

Con esta forma de razonamiento válida adicional, EE, podemos iniciar una demostración de la validez del razonamiento mencionado:

Hasta ahora hemos deducido 'Hw . Vw', que es un ejemplo de sustitución de la función proposicional cuya cuantificación existencial afirma la conclusión. Puesto que la cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera si, y sólo si, tiene al menos un ejemplo de sustitución verdadero, de cualq.u~er ejemplo de sustitución Verdadero de una función proposicional podemos inferir válidamente su cuantificación existencial. Agregamos como nuestra cuarta regla de cuantificación a forma de razonamiento válida:

z (Donde “z” es cualquier símbolo de individuo) x) x

a la que nos referiremos por GE ( el Principio de generalización existencial) El paso décimo y fillal rle la demostración ya iniciada puede escribirse (y justificarse) ahora así:

La necesidad de la restricción indicada en el uso de EE puede verse si se considera e! razonamiento obviamente inválido: Algunos lagartos son ma¡lenidos en cautiverio; algunos pájaros son mantenidos en cautiverio; luego algunos lagartos son pájaros. Si no observáramos la restricción sobre EE de que el ejemplo de sustitución inferic¡o por ella de una cuantificación existencial contenga so!ame!lte un símbolo de individuo que no haya aparecido previamente en cse contexto, podríamos construir una 'prueba' de validez para este razonamiento no válído.

Tal errónea 'prueua' podría ser:

El error en esta 'prueba' aparece en el paso 4. Por la segunda premísa, (x) [Px . Cx], sabemos que haya! menos una cosa que es un pájaro y al mismo tíempo está en cautiverio. Si estuviéramos facultados para asif!,narle el nombre' w', podríamos, naturalmente, afirmar 'Pw' . Cw". Pero no podemos hacer tal asignación de 'll.", pues en el paso 3 ya ha servido como nombre para un lagarto que es mantenido en cautiverio. Para evitar errores de este género, debemos obedecer siempre la restricción indicada en el uso de EE. El analisis anterior pone en claro que, en toda demostración en la cual se requiere tanto el uso de EE como de EU, EE debe siempre usarse primero.

Para los modos de razonamientto más complicados, especialmente para aquellos que incluyen relaciones, es menester establecer cíertas restrícciones adicionales, además de nuestras cuatro reglas de cuantificación. Pero, para los razonamientos del típo presente, llamados tradicionalmente Silogismos categóricos, las restricciones ya indicadas bastan para impedir inferencias erróneas.

EJERCICIOS

Construir pruebas formales de invalidez para los razonamientos 1, 3, 4, 5, 6, y 9 d elos ejercicios de la página 160, para los razonamientos 1, 2, 4, 5, 6, y 8 de los ejercicios de la página 192 y para los razonamientos 1, 2, y 5 de los ejercicios de la página 210.

V LA PRUEBA DE INVALIDEZ

Para demostrar la invalidez de un razonamiento que incluye cuantificadores podemos usar el método de refutación por analogía lógica. Por ejemplo, el razonamiento: “Todos los comunistas son opositores del actual gobierno: algunos delegados son opositores del actual gobierno; luego, algunos delegados son comunistas”, se demuestra que no es válido mediante la analogía. “Todos los gatos son animales, algunos perros son animales: luego, algunos perros son gatos”, que, obviamente, no es válido, pues sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa. pero no siempre es fácil encontrar tales analogías y esto hace que sea convnientes hallar algún método más efectivo para demostrar la invalidez.

En el capítulo anterior expusimos un método para demostrar la invalidez de razonamientos que incluyen enunciados compuestos. Este método consistía en hacer asignaciones de valores de verdad a los enunciados simples constituyentes de los razonamientos, de manera de hacer sus premisas verdaderas y sus concluiosnes falsas. Este método puede adaptarse a los razonamientos que incluyen cuantificadores. Esta adaptación implíca nuestra suposición general de que existe al menos un ondividuo en el universo. Para que un razonamientos en el que figuran cuantificadores sea válido tiene que ser imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa en tanto exista al menos un individuo.

La suposición general de que existe al menos un individuo se satisface si existe exactamente un individuo, o si existe exactamente dos individuos, o si existen exactamente tres individuos, etc. Si se hace alguna de estas suposiciones acerca del número exacto de individuos existentes, hay una equivalencia entre las proposiciones generales y los compuestos extensionales de proposicones singulares. Si hay exactamente un individuo en el universo, digamos a, entonces:

(x) x aby (x) x(a v b) Si hay exactarnente tres individuos, digamos a, b y G, entonces :

(x) x (a . b . c) y (x) x ( a v b v c)

En general, si hay exactamente n individuos, digamos a, b, c ...n, entonces:

(x) x (a . b . c ... n) y (x) x (a v b v c v... vn)

Un razonamiento en el que figuran cuantificadores es válido si es válido cualquiera sea el nllmero de individuos que haya en el universo, con tal de que haya al menos uno. Por

tanto, se demuestra que no es válido un razonamiento en el que figuran cuantificadores si hay url universo posible que contenga al menos un indi\'iduo y tal qu.e las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa para este universo. Consideremos el razonamiento siguiente: "Todas las tropas mercenarias son inseguras; nillgún cuerpo de guerrilleros es mercenario; luego, ningún cuerpo de guerrilleros es inseguro", Se lo puede simbolizar así:

Si hay exactamente un individuo en el universo, llamémoslo a, este razonamiento es lógicamente

equivalente a:

Puede demostrarse que este último no es válido asignando el valol' verdad a 'Ga' ya 'la', y el valor falsedad a 'Ma', Luego, el razonamiento original no es válido para un universo que contiene exactamente un individuo y, por consiguiente, es inválido. De manera similar, podemos demostrar la invalidez del primer razonamiento mencionado en esta sección describiendo un univel'so que conteng"a exactamente un individuo, a, y tal que 'Ga' y 'Fa' tengan el valor verdad y 'Ga' falsedad. Algunos razonamientos pueden ser válidos para todo universo que contenga exactamente un individuo, pero no lo son para un unierso que contenga dos o más individuos. Tales razonamientos son también considerados como inválidos, Un ejemplo de este tipo de razonamiento es: " Algunos animales son gatos; algunos animales son perros; luego, algunos perros son gatos", Su traducción simbólica es la siguiente:

Para un universo que contenga exactamente un individuo, a, este 'razonamiento es lógicamente equivalente

a este otro:

que es válido. Pero, para un universo que contenga dos individuos, a y b, es equivalente a:

Puede demostrarse que este último razonamiento no es válido asignando verdad a 'Aa', 'Ab', 'Ga', 'Pb' y la falsedad a 'Pa' y Gb'. El razonamiento original no es válido para un universo que contenga exactamente dos

individuos y, por lo tanto es inválido. Para todo razonamiento inválido de este tipo general es posible describir un universo que contenga algún número definido de individuos y para el cual puede demostrarse que el

razonamiento equivalente construido mediante conectivos extensionales no es válido, por el método de asignar valores de verdad.

EJERCICIOS

I. Demostrar la invalidez de los razonamientos 2, 5, 7, 8 y 10 de los ejercicios de la página 160, de los razonamientos 3; 7 y 9 de los Ejercicios de la página 192 y del razor!amiento 1 de los Ejercicios de la página 210.

2. Analizar cada uno de los razonamientos de los E.iercicjos que figuran en las páginas 178-9. Si el razonamiento es válido, construir una prueba formal de su validez; en caso contrario demostrar su invalidez. VI. LA INFERENCIA ASILOGISTICA

Todos los razonamientos considerados en las dos secciones precedentes eran de la forma tradicionalmente llamada 'Silogismos categóricos'. Estos están formados por dos premísas y una conclusión, cada una de las cuales es, o bien una proposiciÓn singular, o bien una de las variedades A, E, I u O. Nos detendremos ahora en el problema de analizar razonamientos algo más complicados. Para ello no necesitamos más herramientas lógicas que las que ya hemos elaborado. Sin embargo, se trata de razonamientos asilogísticos y requieren una lógica más potente que la usada tradicionalmente para las pruebas de validez o invalidez de los silogismos categóricos.

Nuestros objetos de examen en esta sección son, aún los razonamientos en los que figuran aquellas proposiciones generales derivadas de la cuantificación de f¡mciones proposicionales que contienen una sola variable de individuo. En el silogismo categórico, los únicos tipos de funciones propocicionales cuantificadas eran de las formas x  x, x ~ x, x y x . ~ x. Pero ahora cuantificaremos funciones proposicionales que tienen estructuras internas más complicadas. Un ejemplo ayudará a aclarar esto. Consideremos el razonamiento siguiente:

Los hoteles son caros y deprimentes. Algunos hoteles son sórdidos.

Luego, algunas cosas caras son sórdidas.

Este razonamiento, a pesar de ser obviamente válido, no puede ser sometido al tipo de análisis tradicional. Es cierto que puede f;xpresarse en términos de proposiciones A e I " usando los símbolos 'Hx', 'Bx', 'Sx' y 'Cx' para abreviar las funciones proposicionales "x es un hotel", "x es caro y deprimente", "x es sórdido" y "x es caro", respecti'l'fl.mente. Usando estas abreviaturas, el razonamiento puede simbolisarse asi:

Pero al constreñir el razonamiento para que entre en la camisa de fuerza de las formas A e I tradicionales, su validez queda oscurecida. En símbolos, este razonamiento no eS válido; aunque el razonamiento original es absolutamente válido. En este caso, la notación oscurece la conexión lógica que existe entre 'Bx' y 'Cx'. Puede efectuarse un análisis más apropiado usando solamente 'Hx', 'Sx' y 'Cx' de la manera explicada antes, y además usando 'Dx' como abreviatura de "x es deprimente".

Con estos símbolos, el razonamiento original puede traducirse de la siguiente manera:

Formulado de este modo, puede construirse fácilmente una demostración de su validez. Tal demostración procedería así:

Al simbolizar proposiciones generales que resultan de cuantificar funciones proposicionales más complicadas debe tomarse la precaución de no deiarse confundir por el carácter engañoso del castellano corriente. No es posible traducir expresiones del castellano a nuestra notación lógica siguiendo reglas formales o mecánicas.