SÍMBOLOS Y DIAGRAMAS PARA LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

Dado que la interpretación booleana de las proposiciones categoricas depende estrechamente de la noción de clase nula, es conveniente tener un símbolo especial para representarla. Se utiliza con este propósito el símbolo 'O'. Para afirman que la clase designada por el término' S' no tiene miembros escribimos un signo de igualdad entre 'S' y '0'. Así, la ecuación 'S = 0' afirma que no hay ningún S, o sea que S no tiene miembros.

Afirmar que la clase designada por 'S' tiene miembros equivale a negar que sea vacía. Afirmar que hay S es negar la proposición simbolizada por 'S = 0'. Simbolizamos esta negación cruzando con una raya oblicua el signo de igualdad. La desigualdad 'S # 0' afirma que hay S mediante la negación de que S sea nula. Las proposiciones categóricas típicas se refieren a dos clases y, por consiguiente, las ecuaciones que las representan son un poco más complicadas. Si cada una de las dos clases tiene ya un símbolo que las designa, la clase de todas las cosas que pertenecen a ambas puede repres'entarse colocando uno junto al otro los símbolos de las dos clases originales. Por ejemplo, si la letra' S' designa la clase de todas las sátiras y la letra ' P' la de todos los poemas, entonces la clase de todas las cosas que son al mismo tiempo sátiras y poemas se representa con el símbolo' SP', que designa la clase de todos los poemas satíricos ( o de todas las sátiras poéticas) .La parte común, o los miembros comunes. a las dos clases es llamado el 'producto' o la 'intersección' de las dos clases. El producto de dos clases es la clase de todas las cosas que pertenecen a ambas. El producto de la clase de todos los americanos y la clase de todos los marineros es la clase de todos los marineros americanos.

Esta nueva notación nos permite simbolizar las proposiciones E e 1 en forma de ecuaciones y desigualdades. La proposición E Ningún S es p afirma que ningún miembro de la clase S es miembro de la clase P, esto es, que no hay cosas que pertenezcan a las dos clases. Esto puede formularse de otra manera, diciendo que el producto de las dos clases es vacío; esto se simboliza con la ecuación 'SP = 0'. La proposición l Alqún S es p afirma que al menos un miembro de S es también miembro de P. Esto significa que el producto de las clases S y p no es vacío, lo cual se simboliza mediante la desigualdad 'SP # O' Con el objeto de simbolizar las proposiciones A yO es conveniente introducir un nuevo método para represcntarlos

complementos de las clases. El complemento de la clase de iorlo" los soldados es la clase de todas las cosas que no son soldados la clase de todos los no-soldadoso Si la letra 'S' simboliza la clase de todos los soldados, simbolizaremos la clase de los no-soldados por S (léase 'S raya') , o sea mediante el símbolo de la clase original con una raya encima. La proposición A Todos es P afirma que todo" los miembros de la clase son tamnién miembros de la clase P, es decir, que no hay ningún miembro de la clase S que no sea miembro de P, o (por obversión) que ningún S es no-P. Ésta, como toda proposición E. afirma que el producto de las clases designadas por sus términos sujeto y predicado es vacío; se la simboliza por la ecuación 'SP = O'. De la propocición O Algún S no es P se obtiene por obversión la proposición lógicamente equivalente Algún S es no-P, que se simboliza por la desigualdad 'SP # O'.

En sus formulaciones simbólicas, las relaciones entre las cuatro proposiciones categóricas de forma típica aparecen con gran claridad. Cuando se simboliza las proposiciones A y O como 'SP = 0' y 'SP # 0', respectivamente, es obvio que son contradictorias, como es igualmente obvio que las proposiciones E e I: 'SP = 0' y 'SP # 0' son contradictorias. El 'Cuadro de Oposición' booleano puede representarse así:

Podemos representar diagramáticamente las proposiciones mediante los diagramas de las cla.ses a las cuajes se refieren. Representamos una clase por un círculo rotulado con el término que designa a esa clase. Así, la clase S es representada mediante un diagrama como el de la figura 3.

Éste es el diagrama de una clase, no de una proposición. Simplemente, representa a la clase S, pero no hace ninguna afirmación acerca de eJla. Para diagramar la proposición que afirme la ausencia de miembros no sea, que no hay ningún S, sombreamos todo el interior del circulo (Se representa a S indicando de esta manera que no contiene nada. que esta vacio.

Para diagramar la proposición que afirme la existencia de S.

a la que interpretamos como afirmando que hayal nlcnos un miembro de S, colocamos una y en el interior del circulo que representa a S, indicando de esta manera que hay algo en su interior, que no está vacío. Así, las dos proposiciones no hay S y se hallan representadas, respectivamente, por los dos diagramas siguientes:

Debemos observar, de paso, que el círculo destinado a diagramar la clase S sirve también para diagramar la clases pues, así como el interior del cÍrculo representa a todos los miembros de S, su exterior representa a todos los miembrof de S: Para diagramar una proposición categórica de forma tipica se requieren dos círculos, en vez de uno. El esqueleto o el armazón para diagramar cualquier proposicióu categórica de forma típica. cuyos términos sujeto y' predicado abreviamos mediante S y P, se construye trazando dos círculos que se intersectan, como en la figura 5.

Esta figura es el diagrama de las dos clases S y P, pero no es el diagrama de ninguna proposición relativa a ellas. No afirma que una de ellas o ambas tengan miembros, ni tampoco lo niega. De hecho, hay más de dos clases diagramadas por los dos

círculos que se intersectan. La parte del círculo rotulado' S' que no se superpone con el círculo rotulado' P' es el diagrama de todos los S que no son p y puede considerarse que representa el producto de las clases S yP. Podemos rotularlo 'sF'. Las partes de ambos círculos que se superponen representan el producto de las clases S y P; es el diagrama de todas las cosas que pertenecen a ambas. Lo rotulamos 'SP'. La parte del círculo rotulado 'P' que no se superpone con el círculo rotul2.do 'S' es el diagrama de todas las p que no son S y representa el producto de las clases S y P. Lo rotulamos 'SP'. Finalmente, la parte del diagrama que es exterior a ambos círculos representa a todas las cosas que no están en S ni en P. Es de la cuarta clase, rotulada SP Si insertamos todos estos rótulos, la figura 5 se convierte en la figura 6:

Podemos interpretar este diagrama, por ejemplo, en términos de las diferentes clases determinadas por la

clase de todos los españoles (S) y la clase de todos los pintores (P). SP es el producto de estas dos clases, que contiene todas aquellas cosas que pertenecen a ambas, y solamente a ellas. Todo miembro de SP debe ser miembro de S y de p ,. todo miembro debe ser al mismo tiempo un español y un pintor. Esta clase producto SP es la clase de todos los pintores españoles, que contiene, entre otros, a Velázquez ya Goya. SP es el producto de la primera clase y el complemento de la segunda; contiene todas aquellas cosasJ y solo aquellas, que pertenecen a la clase S pero no a la clase P. Es la clase de todos los españoles que no son pintores, todos los españoles no-pintores; no contendrá a Velázquez, ni a Goya, pero incluirá al novelista

Cervantes y al dictador Franco, entre muchos otros. SP es el producto de la segunda clase y el complemento de la primera, o sea es la clase de todos los pintores queno son españoles. Esta clase SP de todos los pintores no-españoles incluye, entre otros, al pintor holandés Rembrandt y al pintor francés Cézanne. Finalmente, SP es el producto de los complementos de las dos clases originales y contiene todos aquellos entes, y solo aquellos, que no son españoles ni pintores. Es, realmente, una clase muy amplia, pues contiene; no solamente almirantes ingleses y alpinistas suizos, sino también cosas como

el río Mississippi y el monte Everest. Toda estas clases están diagramadas en la figura 6, donde las letras 'S' y 'P' deben interpretarse como acabamos de indicar.

Si sombreamos diversas partes de este cuadro o si insertamos x en ellas, podemos representar cualquiera de las cuatro proposiciones categóricas de forma típica. Para representar la proposición A Toda S es P, simbolizada por 'SP = O', simple mente sombreamos la parte del diagrama que representa a la clase S para indicar de este modo que no tiene miembros, que es nula. Para representar la proposición E Ningún S es P, simbolizada por 'SP = 0', sombreamos la parte del diagrama que corresponde a la clase SP, indicando así que está vacía, Para rerepresentar la proposición l Algún S es P, simbolizada por 'SP # 0', insertamos una 'x' en la parte d.el diagrama que representa a la clase SP. Esta inserción indica que la clase producto no es vacía, sino que tiene al menos un miembro. Finalm~te para la proposición O Algím S no es P, simbolizada por 'SP # 0' insertamos una 'x' en la parte del diagrama que representa a la clase SP a fin de indicar que no es nula~ sino que tiene al menos un miembro. Colocados uno junto al otro, los diagramas

de las cuatro proposiciones categóricas de forma típica revelan muy claramente sus diferentes significados. Debemos destacar un aspecto de estos Diagramas de Venn (así llamados por el matemático y lógico inglés John Venn, que fue el primero en introducirlos} .El simple diagrama de los dos círculos, rotulados pero sin ninguna otra indicación, representa clases pero no expresa proposiciones. Dejar un espacio en blanco no significa nada, ni que hay miembros de la clase representada por este espacio ni que no los hay. Un diagrama sólo puede expresar una proposición si tiene una parte de él sombreada, o en la cual se ha insertado una 'x'.

Hemos construido representaciones diagramáticas para Ningún S es p y Algún S es P, y puesto que éstas son lógicamente equivalentes a sus conversas Ning(m p es S y Alg1ín p es S, los diagramas de estas últimas ya han sido trázados. Para representar dentro del mismo esquema la proposición Todo p es S, simbolizada por' PS = O', debemos sombrear la parte del diagrama que representa a la c1ase PS. Es indudable que la clase

p es la misma que la clase SP; si no la vemos inmediatamente, consideremos el hecho de que todo ente que pertenece a la clase de todos los pintores ya la clase de todos los no-españoles debe (también) pertenecer a la clase de todos los no-españoles ya la de todos los pintores; todos los pintores no-españoles son no-españoles pintores y viceversa,. y para representar la proposición O Algún p no es S, simbolizada por 'PS # 0', insertamos una 'x' en la parte del diagrama que corresponde a la clase PS

(= SP) Los diagramas de estas proposiciones están en fig. 8. Mencionamos esta posibilidad adicional del diagrama de los dos círculos porque en el capítulo siguiente necesitamos usar un par de círculos que se superponen, con rótulos determinados, por ejemplo'S' y'M', para diagramar cualquier'proposición categórica de forma típica cuyos términos sean 'S' y 'M', sin consideración del orden en el que aparecen en ella.

Los Diagramas de Venn constituyen una representación gráfica de las proposiciones categóricas de forma típica, en la cual las inclusiones y exclusiones espaciales corresponden a las inclusiones v exclusiones no

espaciales de las clases" No solamente prove"en de un método excepcionalmente claro de notación, sino que constituyen también la base de los métodos más simples y directos para determinar la validez de los silogismos categóricos, como explicaremos en el capítulo próximo.

EJERCICIOS

Expresar cada una de las proposiciones siguientes como ecuaciones o como desigualdades, representando cada clase por la primera letra de la palabra castellana que la designa y simbolizándolas por medio de Diagramas de Venn:

I. Ninguna solterona es una hermosa muchacha.

2. Todos los marineros que han navegado por los sIete mares son hombres de considerable experiencia. 3. Algunos maestros del género del cuento son muy pobres como novelistas.

4. Ninguna filosofía materialista de la vida es una guía adecuada para llevar una vida satisfactoria. 5. Algunos piratas no eran pillos.

ó. Algunos dirigentes políticos no son hombres de sano juicio.

7. Todos los compuestos de plata son buenos conductores de la electricidad. 8. Algunas mezclas que contienen arsénico no son venenosas.

9. Ningún fabricante de municiones es un sincero opositor de la guerra.

10. Algunos pintores retratistas del siglo XVIII eran almas mercenarias que no tenían escrúpulos en pintar lo que se pedía de ellos, en vez de pintar lo que realmente veían.

CAPÍTULO VI