LA PRUEBA DE INVALIDEZ

Para un razonamiento inválido no hay, como es de imaginar, ninguna prueba formal de validez. Pero si no logramos descubrir una prueba formal de validez para un razonamiento

determinado, esta falla no demuestra que el razonamiento no sea válido y que tal prueba no pueda construirse. Puede significar solamente que no hemos hecho todos los esíuerzos necesarios. Nuestra incapacidad para hallar una prueba de validez puede deberse al hecho de que el razonamiento no sea válido, pero también puede deberse a nuestra falta de ingenio. Aun secuencia del carácter no efectivo del proceso de la construcción de pruebas. La incapacidad para hallar una prueba formal de su validez, no demuestra que un razonamiento no sea válido. ¿ Qué es, pues, lo que constituye una prueba de la invalidez de un razonamiento dado? .-

El método que describiremos se halla estrechamente relacionado con el de las tablas de verdad, aunque es mucho más corto. Será útil recordar cómo puede demostrarse que un razonamiento no es válido por medio de una tabla de verdad. Si puede encontrarse un solo caso (fila) en el que puedan asignarse valores de verdad a las variables de enunciado, de modo tal que las premisas sean. verdaderas y la conclusión falsa, el razonamiento no es válido. Si de algtma manera podemos hacer una asignación de valores de verdad a los enunciados simples constituyentes de un razonamiento que haga sus premisas verdaderas y su conclusión falsa, el hecho de poder hacer esta asignación bastará para demostrar que el razonamiento no es válido. Lo que la tabla hace, en efecto, es realizar esta asignación. Pero si podemos hacer esta asignación de valores de verdad sin tener que construir la tabla entera, nos hahremos ahorrado buena parte del trabajo.

Consideremos el razonamiento:

Si el gobernador está en favor de los albergues públicos, entonces quiere restringir el ámbito de la empresa privada.

Si el gobernador fuera comunista, querría restringir el ámbito de la empresa privada. Luego, si el gobernador está en favor de los albergues públicos, entonces es comunista. Lo simbolizamos así:

P  R C  R :. p  G

y podemos probar que no es válido sin tener que construir una tabla de verdad completa. Primero nos planteamos lo siguiente: ¿ qué asignación de valores de verdad es menester efectuar para hacer falsa la conclusión ? Sabemos que un enunciado hipotético sólo es falso cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso. Por consiguiente, asignar el valor 'verdad' a p y 'falsedad' a C hará que la conclusión p  C sea falsa. Ahora bien, si asignamos el valor 'verdad' a R, ambas premisas serán verdaderas, puesto que un enunciado hipotético (material) es siempre verdadero cuando su consecuente es verdadero. Podcmos decir, entonces, que si se asigna el valor 'verdad' a p y a R, y el valor 'falsedad' a G, el razonamiento tendrá premisas verdaderas y conclusión falsa, con lo que se demuestra que no es válido.

Este método para demostrar la invalidez puede usarse en lugar del método de prueba por tablas de verdad. Sin embargo, los dos métodos se hallan estrechamente relacionAdos y es menester comprender la conexión esencial que hay entre ellos. En efecto, la qlJe hicimos al efectuar las asignaciones indicadas de valores de verdad fue simplemente construir una fila de la tabla de verdad del razonamiento dado. La relación puede verse, quizá, con más claridad, si escribimos horizontalmente las asignaciones de valores de verdad:

P R C PR CR PC

Verdadero verdadero falso verdadeo verdadero falso

En esta forma es evidente que constituyen una fila de la tabla de verdad del razonamiento dado. Se prueba que un razonamiento no es válido si hay al menos una fiJa de su tabla de verdad en la cual todas sus

premisas sean verdaderas y la cohclusión falsa. Por consiguiente, no necesitamos examinar todas las filas de su tabla de verdad, para descubrir la falta de validez de un razonamiento: basta con hallar una sola fila en la cual todas sus premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. El método para probar la invalidez que estamos considerando es un método para construir esa fila sin tener que construir la tabla entera.

Este método es más breve que el de construir la tabla de verdad y la cantidad de tiempo y trabajo que se ahorra es proporcionalmente mayor cuando se consideran razonamientos que contienen muchos enunciados simples. Para los razonamientos que tienen un gran número de premisas, o prcmisas de gran complejidad, puede no ser muy fácil realizar la adecuada asignación de valores de vertiad. Quizá sean necesarios varios tanteos, pero, de cualquier forma, será mucho más breve y más fácil que escribir una .tabla de verdad completa.

EJERCICIOS

Demostrar que los siguientes razonamientos no son válidos por el método de asignación de valores de verdad:

III. LA INCONSISTENCIA

Si es imposible asignar valores de verdad a los enunciados simples constituyentes de un razonamiento. tales que hagan sus premisas verdaderas y su conclusión falsa, el razonamiento es válido, Aunque esto se desprende de la definición de 'validez', tiene una consecuencia curiosa. Consideremos el siguiente razonamiento, cuyas premisas parecen ser ajenas a la conclusión:

Si el aeroplano hubiese tenido algún desperfecto en el motor, habria aterrizado en Bridgeport. Si el aeroplano no hubiese tenido desperfectos en e! motor, habría aterrizado en Cleveland. El aeroplano no aterrizó en Bridgeport ni en Cleveland.

Luego el aeroplano debe de haber aterrizado en Denver, Su traducción simbolica es:

A  ~A C ~ (B v C)

:. D

Cualquier intento por asignar valores de verdad a sus enunciados componentes para hacer falsa la conclusión y verdaderas las premisas está condenado al fracaso. Si ignoramos la conclusiÓn y concentramos nuestra atención en el otro objetivo, el de hacer verdaderas todas sus premisas mediante una cierta asignación de valores de verdad a los enunciados simples que lo componen, también fracasaremos en este proyecto aparentemente menos ambicioso.

La razón por la cual no podemos hacer verdaderas las premisas y falsa la conclusión es que es imposible hacer que las premisas sean verdaderas en cualquier caso por ninguna asignación de valores de verdad. Es imposible hallar alguna asignación de valores de verdad que haga verdaderas las premisas porque éstas son inconsistentes. Su conjunción es contradictoria por ser un ejemplo de sustitución de una forma de enunciado contradictoria. Si construyéramos una tabla de verdad para el razonamiento en cuestión, encontraríamos que, en cada fila, al menos una de las premi&as es falsa. N o hay nínguna fila en la cual todas las premisas sean verdaderas y, por consiguiente, no puede haber ninguna fila en la cual todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Por lo tanto, la tabla de verdad de este razonamiento establece su validez. También puede mostrarse su validez mediante ia siguiente prueba formal:

1. A  E 2. ~ A  C 3. ~ (EvC)/ :. D 4 ~ B . ~ C 3, De M. 5. ~ B 4, Simp. 6. ~ A 1.5 M,T. 7. C 2,6 M.P. 8. ~C . ~ B 4, Conm. 9. ~ C 8, Simp. 10. C v D 7. Ad. 11, D 10,9 S,D,

En esta prueba, los pasos hasta el 9 inclusive están destinados a hacer explícita la inconsistencia que se hallaba implícitamente contenida en las premisas. Esta inconsistencia aparece en los pasos 7 y 9, que afirman C y ~ C, respectivamente. Una vez alcanzada esta contradicción explícita, la conclusión se deduce rápidamente por el Principio de adición Y por el Silogismo disyuntivo.

Vemos así que si un conjunto de premisas es inconsistente, se podrá deducir de éstas cllalquier conclusión, por ajena que sea a aquéllas. La esencia de esta cuestión se ve más sencillamente en el caso del razonamiento siguiente, cuyas premisas manifiestamente inconsistentes nos permiten inferir válidamente una conclusión fantástica y totalmente ajena a ellas:

Hoyes sábado. Hoy no es sábado.

Luego, la Luna está hecha de queso verde. En símbolos tenemos:

1. S

2. ~ S/ :. M

La prueba formal de validez es casi obvia: 3. S v -M 1, Ad.

4. M 3, 2 S.D.

¿Qué es lo que está mal aquí? ¿Cómo puede ser que premisas tan insuficientes y, además, inconsistentes, puedan otorGar validez a cualquier razonamiento en el cual aparecen ? Debe observarse ante todo que si un razonamiento es válido debido a una inconsistencia de las premisas, no puede ser un razonamiento sólido. Si son inconsistentes, las premisas no pueden ser todas verdaderas. Un razonamiento con premisas inconsistentes no puede garantízar la verdad de ninguna conclusión, puesto que sus premisas son necesariamente falsas.

Esta. situación se halla íntimamente relacionada con la llamada 'paradoja de la implicación material'. Al analizar esta úitima; observamos que la forma de enunciado ~ p  (p  q)

es una tautología, cuyos ejemplos de sustitución son todos verdaderos. Formulada en castellano, nos dice que un enunciado falso implica materialmente cualquier enunciado, la cual se demuestra fácilmente mediante las tablas de verdad. El resultado al que hemos llegado en nuestra discusión actual es que la forma de razonamiento p, ~ p :. q es válida. Su formulación castellana afirma que todo razonamiento con premisas inconsistentes es válido sea cual fuere su conclusión. Se lo puede demostrar mediante una tabla de verdad o por el tipo de prueba formal dada antes.

Las premisas de un razonamiento válido implican su conclusión no solamente en el sentido de la implicación 'material', sino también ll!,qicamcntc o 'estrictamente'. En un razonamiento válido, es lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas cuando la conclusión es falsa, Esta situación se presenta toda vez que sea imposible que las premisas sean verdaderas, aun cuando se ignore el problema de la verdad o falsedad de la conclusión. Su analogía con la propiedad correspondiente de la implicación material ha conducido a algunos autores a llamarla la 'paradoja de la implicación estricta'. Sin embargo, teniendo en cuenta la definición normal de 'validez', no parece especialmente 'paradójica'. La presunta paradoia surge de tratar un término técnico como si fuera un término del lenguaje cotidiano ordinario.

El anterior análisis nos ayuda a explicar por qué se valora tan altamente la consistencia. Una de las razones, claro está, es que dos enunciados inconsistentes no pueden ser am bos verdaderos. Este hecho e.s el que yace tras la estrategia del interrogatorio, en el que un abogado. frente a un testigo adverso, trata de inducirlo a contradecirse. Si el testimonio contiene afirmaciones incompatible" o inconsistentes, éstas no pl¡eden ser todas verdaderas y el crédito que nueda otorgarse al testigo queda anulado, o al menos muy debilitado. Pero otra de las razones por las cuales la inconsistencia provoca tanto rechazo es que si se toman como premisas enunciados inconsistentes puede deducirse lógicamente cualquier conclusión. Los enunciados inconsiententes 'no carecen de significado'. sino que el inconvenientes justamente lo opuesto, Significan demasiado, significan todo, en el sentido de q1le implican todo. y si lo que se afirma es todo, entonces la mitad de lo que se afirma es falso, puesto que todo enunciado tiene una negación.

Este análisis nos ofrece, de paso, una respuesta al antiguo enigma: ¿ Qué ocurre cuando una fuerza irresistiblc se encuentra con un objeto inmoble? Esta rlescripción cor1tiene una contradicciÓn, pues para que una fuerza irresistible pueda encontrarse con un ob,ipto inmoble es menester Que ambos existan.

Debe haber una fuerza irresistible v un obieto inmoble. Pero si hay una fuerza irresistible, no puede haber ningún objeto inmoble. He aquí la formulación explícita de la contradicción: hay un objeto inmoble y no hay un ob.ieto inmoble. Con estas premisas inconsistentes puede inferirse válidamente cualquier conclusión. De modo que la respuesta correcta a la pregunta

¿Qué ocurre cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inmoble? es

Todo

EJERCICIOS

Determinar, para cada uno de los siguientes razonamientos, si la conclusión indicada se deduce o no válidamente de las premisas dadas. En caso de que se deduzca de ellas, construir una prueba formal de validez; en caso contrario, demostrar su invalidez por el método de asignar "alures de verdad a los enunciados simples del razonamitnto.

1, Si los investigadores de la lingüística están en lo cierto, entonces, en caso de que haya habido más de un dialecto en la antigua Grecia, diferentes tribus descendieron en épocas distintas desde el Norte. Si diferentes tribus descendieron en épocas distintas desde el Norte, deben de haber venido del valle del Danubio. Pero, las excavaciones arqueológicas hubieran revelado allí rastros de tribus diferentes, si éstas hubieran descendido en épocas distintas desde el Norte, y las excavaciones no ban revelado tales rastros allí. Por consiguiente, si en la antigua Grecia había más de un dialecto, los investigadores de la lingüística no están en lo cierto. ( C, M , D, V, A)

2, Si se presentan los síntomas ordinarios de un resfrío y el paciente tiene alta temperatura, entonces, si tiene pequeñas manchas en la piel, está con sarampión. Claro está que el paciente no puede tener sarampión si su historia clínica revela que va lo ha tenido antes. El paciente tiene, alta temperatura y su historia clinica revela que ya ha tenido el sarampión antes. Además de los síntomas ordinarios de un resfrío tiene pequeñas manchas en la piel. Concluyo que el paciente tiene una infección de virus.

(O, T, S', M, R, V)

3. Si Dios quisiera evitar el mal, pero fuera incapaz de hacerlo. Sería impotente; si fuera capaz de evitar el mal, pero no quisiera hacerlo, sería malévolo. El mal sólo puede existir si Dios no quiere o no puede impedirlo. El mal e"xiste. Si Dios existe, no es impotente ni malévolo. Luego, Dios no existe. (W, A, I, M, E, G)

4. Si compro un automóvil nuevo esta primavera o hago ajustar mi automóvil viejo, iré a Canadá en el verano y pararé en Duluth visitaré a mis padres, si paro en Duiuth. Si visito a mis padres insistirán en que pase el verano con ellos. Si insisten en que me quede con ellos durante el veranQ. estaré allí hasta el otoño. Pero si me quedo allí hasta el otoño no iré a Canadá. Por consiguiente, no haré ajustar mi automóvil viejo. (N, F, C, D, V, I, A)

5. Si Smith es inteligente y estudia mucho, sacará buenas notas y aprobará el curso. Si Smith estudia mucho, pero rarece de inteli?encia, sus ~sf¡Jerzos serán aprt'ciados, y si sus esfuerzos son apreciados aprobará el curso. Si Smith es inteligente, entonces estudia mucho. Luego, Smith aprobará el curso. (I, S, G, P, A )

6. Si hay una norma única para juzgar la grandeza en pocsia, entonces Milton y Edgar Guest no pueden ser ambos grandes poetas. Si Pope o Dryden son considerados grandes poetas, entonces Wordsívorth no es ciertamente un gran poeta; pero si Wordsworth no es un gran poeta, tampoco lo son Keats o Shelley. Pero, después de todo, aun cuando Edgar Guest no lo sea, Dryden y Keats si son ambos grandes poetas. Luego, no hay una norma única para juzgar la grandeza en poesia. (N, M, G, P, D, W, K, S )

7. Si el despcnsero estuvo presente, enlonccs habrÍa sido visto, y si hubiera SÍdo visto habría sido interrogado. Si hubiera sido interrogado, habria contestado y si bubjera contestado se lo habría oido. Pero el despenscro no fue oÍdo. Si el despensero no fue visto ni oído. entonces debe haber estado en su trabajo v si estaba en su trabajo debe de haber estado presente. Luego, el despensero fue interrogado. (P, S, Q, R, H, D) 8. Si el despensero dijo la verdad, entonces la ventana estaba cerrada cuando entró en la habitacíón , sí el jardinero dijo la verdad entonces el sjstema de riego automático no funcionaba la noche del crimen. Si el despensero y el jardinero mienten ambos entonces debe existir una conspiración para proteger a alguien de la casa y habría habido un pequeño charco de agua en el piso junto a la ventana. Sabernos que la ventana no pudo estar abierta cuando el despensero entró cn la haLitacíón. Había un pequeño charco de agua sobre el piso justo al lado de la entada. Luego, si hay una conspiración para prote¡rer a al~uien de la casa, entonces el jardinero no dijo la verdad. (B, W, G, S, C, P)

9. El jefe de ellos abandonaría el país si lemiera ser capturado y no abandonarÍa el país a menos que temiera sey capturado, Si temió ser capturado y abandonó el paÍs, la red de espionaje enemiga estará desmoralizada y no tendrá poder para dañarnos. Si no temió ser capturado y permaneció en el pais, eso significaría que ignoraba la labor de nuestros agentes. Si realmente i~nora la labor de nuestros agentes, entonces nuestros agentes pueden consolidar su posición dentro de la organización enemiga; y si nuestros agentes pueden consolidar sus posiciones harán que la red de espionaje enemiga carezca de poder para dañarnos. Luego, la red de espionaje enemiga carecerá de poder para dañarnos, (L, F, D, P, I, C)

10. Si se considera honestos a los investigadores de percepción extrasensoríal, entonces debe adtnitírse que hay bastantes pruebas en favor de la percepción extrasensorial; y si se acepta hipotéticamente como un hecho la percepción extrasensorial, entonces hay que considerar seriamente la doctrina de la clarividencia. Si se admite que hay bastantes pruebas en favor de la percepción extrasensorial, entonces debe aceptársela hipotéticamente como un hecho y debe hacerse esfuerzos por explicarla. Si estamos dispuestos a tomar seriamente esta clase de fenómenos llamados 'ocultos', la doctrina de la clarividencia debe ser considerada seriamente, y si estamos dispuestos a tomar seriamente esta clase de fenómenos llamados 'ocultos', debemos considerar con respeto a los mediums. Si llevamos la cuestión más adelante entonces si debemos considerar con respeto a los mediums, debemos tomar seriamente su afirmación de que se comunican con los muertos. Llevamos la cuestión más adelante, pero entonces estamos prácticamente obligados a creer en los fanta&mas, si tomamos seriamente la afirmación de los medium6 de que se comunican con los muertos. Por lo tanto, si los investigadores de la percepción extrasensorial son considerados honestos, estamos prácticamente obligados a creer en los fantasmas. (H, A, C, F, E, O, M, P, D, G)

CAPÍTULO X

FUNCIONES PROPOSICIONALES