Ya se indicó en la unidad 1 que un proceso de control consta de diversos elementos, los cuales desempeñan una función determinada dentro de dicho proceso. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada elemento en el estudio de los sistemas de control, se usa una representación denominada diagrama de bloques. En el presente apartado se facilita un método para obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, analiza técnicas para simplificar tales diagramas.
La definición de diagrama de bloques de un sistema sería:
Representación gráfica de las funciones que llevan a cabo cada uno de los elementos de un sistema y su flujo de señales, donde, además, quedan mostradas las relaciones existentes entre los diversos componentes.
A diferencia de una representación matemática, que es puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del proceso real.
Otra de las ventajas de esta representación gráfica estriba en que la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.
Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.
3.2.1 Elementos constituyentes de un diagrama de bloques.
Bloque funcional.
En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque se puede describir como:
El símbolo utilizado para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida.
Las funciones de transferencia de los componentes, por lo general, se introducen en los bloques correspondientes que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Hay que observar que la señal sólo puede pasar en la dirección de flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un proceso de control muestra explícitamente una propiedad unilateral.
La figura 3.2 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como
señales.
La magnitud y dimensión de la señal de salida del bloque es la magnitud y dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función de transferencia en bloque.
Punto suma.
En referencia a la figura 3.3, un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.
Función de transferencia
G(s)
Figura 3.2 : Elemento de un diagrama de bloques.
a a - b
b
Punto de ramificación.
Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de salida de un bloque va de modo concurrente a
otros bloques o puntos suma.
3.2.2 Procedimientos para trazar un diagrama de bloques.
En el trazado de un diagrama de bloques de un sistema, se escriben primero las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación se realizan las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, y se representan individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace. Por último, se integran los elementos en un diagrama de bloques completo.
Ejemplo 3.1
Se tiene el circuito RL de la figura 3.4:
R
L i(t)
Figura 3.4 : Circuito RL. Las ecuaciones que caracterizan a este circuito son:
i t v t v t R i ( )= ( )− 0( ) ; v t L i t t o( ) ( ) = ⋅δ δ
Las transformadas de Laplace de las ecuaciones en el dominio del tiempo, resultan:
I s V s V s R
i o
( )= ( )− ( ) ; Vo( )s = ⋅ ⋅L s I s( )−i(0+)
Puesto que en la aplicación del método de la función de transferencia, las condiciones iniciales se consideran cero, i(0+) = 0, las expresiones resultan ser:
I s V s V s R
i o
( )= ( )− ( ) ; Vo( )s = ⋅ ⋅L s I s( )
La expresión de I(s) hace referencia a una operación suma, mientras que la expresión de Vo(s) representa un
bloque funcional con una ganancia L·s. El trazado del diagrama de bloques se representa en la figura 3.5.
1 R
I(s)
L·s
Figura 3.5 : Diagrama de bloques del circuito RL.
Los diagramas de bloques con múltiples lazos de realimentación y varios puntos suma se pueden simplificar realizando una reorganización de los mismos y siguiendo unas reglas de álgebra de bloques.
La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático posterior. Sin embargo, debe señalarse que,
conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.
Al simplificar un diagrama de bloques, se debe tener presente:
• El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo. • El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.
Un ejemplo ilustrativo facilitará la comprensión de lo anteriormente comentado.
Ejemplo 3.2
Se dispone del diagrama de la figura 3.6:
Y(s) R(s)
Figura 3.6 : Diagrama de bloques para simplificar.
Dado que la señal de salida de un bloque funcional es igual a la señal de entrada por la función de transferencia del bloque funcional, la señal de salida de dos bloques conectados en serie será igual a la señal de entrada por el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques. Por consiguiente, se puede sustituir el conjunto de dos bloques en serie por un único bloque que contenga el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques originales. En este caso se aplica a los bloques cuyas funciones de transferencia son G1(s) y G2(s) y a los bloques del lazo de realimentación con funciones H2(s) y H3(s). El
resultado se muestra en la figura 3.7.
Y(s) R(s)
Figura 3.7 : Reducción de los bloques G1(s), G2(s), H2(s) y H3(s).
El siguiente paso va a consistir en trasladar el punto suma del lazo del bloque [H2(s)·H3(s)] a la entrada del
bloque [G1(s)·G2(s)]. Para que el resultado en la trayectoria directa a la salida del bloque [G1(s)·G2(s)] no varíe,
Y(s) R(s)
Figura 3.8 : Traslación del punto suma del lazo correspondiente al bloque [H2(s)·H3(s)].
Ahora se tienen, de nuevo, dos bloques en serie en la trayectoria directa: [G1(s)·G2(s)] y [G3(s)]. Estos dos
bloques, al igual que se ha hecho anteriormente, se pueden sustituir por un único bloque cuya función de transferencia sea: G1(s)·G2(s)·G3(s).
Y(s) R(s)
Figura 3.9 : Reducción y obtención del bloque [G1(s)·G2(s)·G3(s)].
El siguiente paso natural es simplificar el lazo de realimentación del bloque [H1(s)]. Para ello se sustituye el
bucle constituido por los bloques [G1(s)·G2(s)·G3(s)] y [H1(s)] por uno único con la función de transferencia
equivalente a este lazo cerrado (el proceso de obtención de la función de transferencia de un lazo cerrado se trató en el apartado 1.5.1 de la unidad 1) tal y como se puede observar en la figura 3.10.
Y(s) R(s)
Figura 3.10 : Simplificación de un lazo cerrado.
Los siguientes pasos van a consistir en obtener la función de transferencia equivalente de la trayectoria directa (constituida por dos bloques en serie) para después obtener la función de trasferencia del lazo de realimentación resultante (figura 3.11).
Y(s) R(s)
Y(s) R(s)
1 +
Figura 3.11 : Simplificación final.
Como se puede comprobar, y en referencia a lo ya comentado, la función de transferencia resultante de la simplificación final se vuelve más compleja, dando lugar a la aparición de polos y ceros nuevos.